Просмотр кода страницы Квантовая теория поля

{{Квантовая теория поля}}
'''Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП)''' — раздел [[физика|физики]], изучающий поведение [[Квантовая физика|квантовых систем]] с бесконечно большим числом [[Степени свободы (физика)|степеней свободы]] — ''квантовых полей''; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. На языке КТП основываются [[физика высоких энергий]] и [[физика элементарных частиц]], её математический аппарат используется в [[физика конденсированного состояния|физике конденсированного состояния]]{{Переход|Физика конденсированного состояния}}. КТП в виде [[Стандартная модель|Стандартной модели]] в настоящее время является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описывать и предсказывать результаты экспериментов при достижимых в современных ускорителях высоких энергиях{{Переход|Стандартная модель}}.

Квантовая теория поля — результат работы нескольких поколений физиков на протяжении большей части XX века. Её развитие началось в 1920-х годах с описания взаимодействий между [[свет]]ом и [[электрон]]ами, что привело к появлению первой КТП — [[Квантовая электродинамика|квантовой электродинамики]]{{Переход|Квантовая электродинамика}}. Вскоре обнаружилось первое серьёзное теоретическое препятствие для построения более строгой теории, связанное с появлением и сохранением различных бесконечностей при вычислении рядов [[Теория возмущений|теории возмущений]]. Эта проблема нашла решение только в 50-х годах XX века после изобретения процедуры [[Перенормировка|перенормировки]]{{Переход|Бесконечности и перенормировка}}. Вторым серьёзным препятствием стала очевидная неспособность КТП описать [[Слабое взаимодействие|слабые]] и [[Сильное взаимодействие|сильные взаимодействия]], до такой степени, что некоторые теоретики призывали отказаться от теоретико-полевого подхода{{sfn|Зи|2009|с=169}}{{sfn|Зи|2009|с=370}}. Развитие [[Калибровочная инвариантность|калибровочной теории]] в 70-х годах XX века привело к возрождению КТП в виде Стандартной модели [[Элементарная частица|элементарных частиц]]{{Переход|Стандартная модель}}.

Математический аппарат КТП строится на основе прямого произведения [[гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] состояний ([[пространство Фока]]) квантового поля и действующих в нём [[оператор (математика)|операторов]]. В отличие от [[Квантовая механика|квантовой механики]], где исследуют свойства волновой функции «[[Элементарная частица|микрочастиц]]» как неких неуничтожимых объектов, в КТП основными объектами исследования являются квантовые поля и их элементарные возбуждения, а главную роль играет аппарат [[Вторичное квантование|вторичного квантования]] с [[Операторы рождения и уничтожения|операторами рождения и уничтожения]] частиц, действующими в пространстве состояний Фока{{Переход|Фоковские пространство и представление}}. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является ''полевой оператор'', способный действовать на [[вакуум]]ный вектор фоковского пространства и порождать одночастичные возбуждения [[Физическое поле|квантового поля]]. Физическим наблюдаемым величинам здесь также соответствуют операторы, составленные из ''полевых операторов''{{Переход|Квантование полей}}.

== История ==
{{main|История квантовой теории поля}}
Основное уравнение квантовой механики — [[уравнение Шрёдингера]] — является [[Лоренц-ковариантность|релятивистски неинвариантным]], что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение<ref>{{книга | автор = Грибов В. Д.; Муштакова С. П.| часть = | заглавие = Квантовая химия| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = М.| издательство = Гардарики| год = 1999| том = | страницы = 51| страниц = 387| isbn =  5-8297-0017-4}}</ref>. Оно соответствует классической связи [[Кинетическая энергия|кинетической энергии]] и [[Импульс|импульса частицы]] <math>E=p^2/2m</math>. [[Релятивистская механика|Релятивистское]] {{iw|Релятивистский инвариант|соотношение между энергией и импульсом|en|Energy–momentum relation}} имеет вид <math>E^2=p^2c^2+m^2c^4</math>{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=13}}. Предполагая, что [[оператор импульса]] в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и, используя эту формулу для построения релятивистского [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониана]] по аналогии{{sfn|Садовский|2003|с=20}}, в 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для [[Свободная частица|свободной]] частицы с нулевым [[спин]]ом ([[Уравнение Клейна — Гордона|уравнение Клейна — Гордона — Фока]]). Однако проблема предложенного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как [[Статистическая интерпретация волновой функции|амплитуду вероятности]], потому что [[плотность вероятности]] не будет положительно определённой величиной во всём пространстве, что связано с наличием второй производной по времени{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=22}}{{sfn|Грибов|2001|с=27—30}}.

Несколько иной подход был реализован в 1928 году [[Дирак, Поль Адриен Морис|П. Дираком]], который пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, где обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=22}}. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=23}}. С учётом того же релятивистского соотношения энергии и импульса на квадрат этого оператора налагаются ограничения. Соответственно и линейные «коэффициенты» также должны удовлетворять определённому ограничению, а именно их квадраты должны быть равны единице и быть взаимно [[Антикоммутативность|антикоммутативны]]. Таким образом, они точно не могут быть числами, но могут быть матрицами, причём размерности не менее 4, а волновая функция — четырёхкомпонентным объектом, получившим название [[биспинор]]а. В результате было получено [[уравнение Дирака]], в котором участвуют [[Матрицы Дирака|4-матрицы Дирака]] и четырёхкомпонентная волновая функция. Формально уравнение Дирака записывается в виде, аналогичном уравнению Шрёдингера с гамильтонианом Дирака{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=23}}. Однако это уравнение, как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=25}}. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания существования [[Античастицы|античастиц]], что позже подтвердилось в эксперименте (открытие [[позитрон]]а){{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=27}}. Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=31}}.

Релятивистские уравнения Клейна — Гордона и Дирака рассматриваются в КТП как уравнения для операторных ''полевых функций''{{refn|group=К|Классическое поле описывается ''полевой функцией'', заданной в точках пространства-времени. При квантовании этого поля ''полевые функции'' записываются через операторы рождения и уничтожения, и тогда их называют ''полевыми операторами''{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=12—13}}.}}. Соответственно вводится в рассмотрение «новое» [[гильбертово пространство]] состояний системы квантовых полей, на которые действуют ''полевые операторы''. Иногда эту процедуру квантования полей называют «вторичным квантованием»{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=37}}{{sfn|Kuhlmann|2020}}{{refn|group=К|Этот термин представляется неудачным, поскольку никакого «вторичного квантования» не происходит{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=15}}.}}.

=== Теоретические основы ===
{{main|Классическая теория поля|Квантовая механика|Специальная теория относительности}}
[[Файл:Magnet0873.png|мини|200x200пкс| [[Магнитное поле|Линии магнитного поля]] визуализируемые с помощью [[Железные опилки|железных опилок]]. Когда лист бумаги посыпают железными опилками и помещают над [[Магнит|постоянным магнитом]], то опилки выравниваются в соответствии с направлением магнитного поля, образуя дуги.]]
В основе квантовой теории поля лежат [[классическая теория поля]], [[квантовая механика]] и [[специальная теория относительности]] (СТО){{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=xi}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=11}}.

В основе самой ранней успешной [[Классическая теория поля|классической теории поля]] лежал [[Классическая теория тяготения Ньютона|закон всемирного тяготения Ньютона]], несмотря на полное отсутствие концепции полей в его трактате 1687 года ''[[Математические начала натуральной философии|Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]]''{{sfn|Weinberg|1977|p=18}}. Описанная И. Ньютоном [[сила тяжести]] представляет собой «[[Дальнодействие и короткодействие|действие на расстоянии]]», и её влияние на далёкие объекты происходит мгновенно, независимо от расстояния. Однако в переписке с [[Бентли, Ричард|Р. Бентли]] И. Ньютон заявлял, что «немыслимо, чтобы неодушевлённая грубая материя без посредничества чего-то ещё, что не является материальным, действовала бы на другую материю и влияла на неё без взаимного контакта»{{sfn|Hobson|2013|p=212}}. Только в XVIII веке физики-теоретики открыли удобное описание гравитации на основе полей — числовую величину ([[Вектор (математика)|вектор]]), присвоенную каждой точке пространства, указывающую действие гравитации на любую [[Пробное тело|пробную частицу]] в этой точке. Однако это считалось просто математическим трюком{{sfn|Weinberg|1977|p=18}}.

Понятие о полях обрело более формальное описание с развитием [[электромагнетизм]]а в XIX веке. [[Фарадей, Майкл|М. Фарадей]] ввёл английский термин «поле» ({{lang-en|field}}) в 1845 году. Он представил поле как обладающее физическими эффектами свойство пространства (даже если оно лишено [[Материя (физика)|материи]]). Фарадей выступал против «действия на расстоянии» (дальнодействия) и предполагал, что взаимодействия между объектами происходят через заполняющие пространство «силовые линии». Это описание полей сохранилось по сей день{{sfn|Hobson|2013|p=212}}{{sfn|Heilbron|2003|p=301}}{{sfn|Thomson|1893|p=2}}.

Теория [[Электродинамика|классического электромагнетизма]] приобрела завершённую форму в 1864 году в виде [[Уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]], которые описывали взаимосвязь между [[Электрическое поле|электрическим полем]], [[Магнитное поле|магнитным полем]], [[Электрический ток|электрическим током]] и [[Электрический заряд|электрическим зарядом]]. Уравнения Максвелла подразумевали существование [[Электромагнитное излучение|электромагнитных волн]] — явления, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной точки пространства в другую с конечной [[Скорость света|скоростью света]]. Таким образом, ''действие на расстоянии'' было окончательно опровергнуто{{sfn|Hobson|2013|p=213}}{{sfn|Weinberg|1977|p=19}}. В теории Максвелла все взаимодействия передавались через эфир — среду с необычными механическими свойствами. Многочисленные экспериментальные проверки не подтвердили никаких движений среды, что послужило причиной отказа от этой идеи, — для объяснения эффектов специальной теории относительности оказалось достаточно пустоты. Однако в современной теории пустота — это вакуум, который, по словам [[Мигдал, Аркадий Бейнусович|А. Мигдала]], можно было назвать эфиром, если бы не путаница со старым понятием<ref>{{книга | автор = Мигдал А. Б. | заглавие = Как рождаются физические теории | ссылка = http://physiclib.ru/books/item/f00/s00/z0000024/st023.shtml | ответственный =  | место = М. | издательство = Педагогика | год = 1984 | страниц = 128 | access-date = 2023-09-10 | archive-date = 2023-10-19 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231019120228/http://physiclib.ru/books/item/f00/s00/z0000024/st023.shtml | url-status = live }}</ref>.

Несмотря на успех электродинамики, она не смогла объяснить ни дискретных линий в [[Эмиссионный спектр|атомных спектрах]], ни распределение [[Излучение абсолютно чёрного тела|излучения чёрного тела]] на разных длинах волн{{sfn|Weisskopf|1981|p=70}}. Исследование [[Планк, Макс|М. Планком]] излучения абсолютно чёрного тела положило начало квантовой механике. Он рассматривал атомы, которые поглощают и излучают [[электромагнитное излучение]], как крошечные [[Колебания|осцилляторы]], энергия которых может принимать только серию дискретных, а не непрерывных значений. Сегодня они известны как [[Квантовый гармонический осциллятор|квантовые гармонические осцилляторы]]. Этот процесс ограничения энергии дискретными значениями называется квантованием{{sfn|Heisenberg|2007|loc=Ch.2}}. Основываясь на этой идее, [[Эйнштейн, Альберт|А. Эйнштейн]] в 1905 году предложил объяснение [[фотоэффект]]а, согласно которому свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых [[фотон]]ами. Это означало, что электромагнитное излучение, описываемое в виде волн в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц{{sfn|Weisskopf|1981|p=69}}{{sfn|Weinberg|1977|p=20}}.

В том же году, когда была опубликована статья о фотоэффекте, Эйнштейн опубликовал свою [[Специальная теория относительности|специальную теорию относительности]], пересекающуюся с электродинамикой Максвелла. Новые правила, называемые [[Преобразования Лоренца|преобразованиями Лоренца]], описывали изменение временных и пространственных координат событий при изменении скорости наблюдателя, и различие между временем и пространством оказалось размыто. Эйнштейн предположил, что все физические законы должны быть одинаковыми для движущихся при различных скоростях наблюдателей, то есть, что физические законы [[Инвариант (физика)|инвариантны]] относительно преобразований Лоренца{{sfn|Weinberg|1977|p=19}}.

В 1913 году [[Бор, Нильс|Н. Бор]] представил [[Боровская модель атома|модель]] атомной структуры, в которой [[электрон]]ы внутри атомов могут принимать только серию дискретных, а не непрерывных энергий{{sfn|Weinberg|1977|p=20}}. Это ещё один пример квантования. Модель Бора успешно объяснила дискретную природу [[Спектральная линия|спектральных линий]] атомов. В 1924 году [[Де Бройль, Луи|Л. де Бройль]] выдвинул гипотезу [[Корпускулярно-волновой дуализм|дуальности волна-частица]], согласно которой микроскопические частицы проявляют как волнообразные, так и частицеподобные свойства при различных обстоятельствах{{sfn|Weisskopf|1981|p=69}}. Объединив эти различные идеи, между 1925 и 1926 годами была сформулирована новая научная теория: [[квантовая механика]]. Существенный вклад в новую теорию внесли [[Планк, Макс|М. Планк]], [[Де Бройль, Луи|Л. де Бройль]], [[Гейзенберг, Вернер|В. Гейзенберг]], [[Борн, Макс|М. Борн]], [[Шрёдингер, Эрвин|Э. Шрёдингер]], [[Дирак, Поль Адриен Морис|П. Дирак]] и [[Паули, Вольфганг|В. Паули]]{{sfn|Weinberg|1977|p=21}}.

С экспериментальной точки зрения, [[уравнение Шрёдингера]], лежащее в основании квантовой механики, могло объяснить [[Вынужденное излучение|вынужденное]] излучение атомов, когда электрон испускает новый фотон под действием внешнего электромагнитного поля, но оно не могло объяснить [[спонтанное излучение]], при котором энергия электрона спонтанно уменьшается и происходит излучение фотона даже без действия внешнего электромагнитного поля. Теоретически уравнение Шредингера не могло описывать фотоны и оказалось несовместимо с принципами СТО — оно рассматривает время как обычный числовой параметр, одновременно представляя пространственные координаты [[Линейное отображение|линейными операторами]]{{sfn|Weisskopf|1981|p=70—71}}{{sfn|Weinberg|1977|p=22}}.

=== Квантовая электродинамика ===
{{main|Квантовая электродинамика}}
КТП началась с изучения электромагнитных взаимодействий, поскольку электромагнитное поле было единственным известным классическим полем в 1920-х годах{{sfn|Shifman|2012|p=1}}.

Благодаря работам М. Борна, В. Гейзенберга и [[Йордан, Паскуаль|П. Йордана]] в 1925—1926 годах была разработана квантовая теория, описывающая свободное (не взаимодействующее с материей) электромагнитное поле, используя [[каноническое квантование]] и рассматривая электромагнитное поле как набор бесконечного числа [[Квантовый гармонический осциллятор|квантовых гармонических осцилляторов]]. Однако такая теория, не учитывавшая взаимодействия, была не в состоянии сделать количественные предсказания о реальном мире{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=30—34}}.

В своей основополагающей статье 1927 года «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» П. Дирак ввёл термин [[квантовая электродинамика]] (КЭД) — теория, в которой к условиям, описывающим свободное электромагнитное поле, добавляется дополнительный член взаимодействия между [[Плотность тока|плотностью электрического тока]] и электромагнитным [[Электромагнитный потенциал|векторным потенциалом]]{{sfn|Weisskopf|1981|p=71}}. Используя [[Стационарная теория возмущений в квантовой механике|теорию возмущений]] первого порядка, он успешно объяснил явление [[Спонтанное излучение|спонтанного излучения]]. Согласно [[Принцип неопределённости|принципу неопределённости]], квантовые гармонические осцилляторы не могут оставаться неподвижными, но они обладают ненулевым минимумом энергии и всегда должны колебаться, даже в состоянии с самой низкой энергией (в [[Основное состояние|основном состоянии]]). Следовательно, даже в идеальном [[вакуум]]е остаётся колеблющееся электромагнитное поле с [[Нулевая энергия|нулевой энергией]]. Именно такие [[Квантовая флуктуация|квантовые флуктуации]] электромагнитных полей в вакууме «стимулируют» спонтанное излучение электронов в атомах. Теория Дирака{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=34}} оказалась чрезвычайно успешной в объяснении как испускания, так и поглощения излучения атомами{{refn|group=К|Статья П. Дирака была первой попыткой проквантовать электромагнитное поле, однако эта теория была только первым шагом к построению полностью релятивистски инвариантной схемы квантования электромагнитного поля, поскольку включала кулоновскую энергию взаимодействия между частицами. Последующие работы П. Йордана, В. Паули, В. Гейзенберга и Э. Ферми внесли вклад в решение этой проблемы{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=29}}.}}. Применяя теорию возмущений второго порядка, он смог учесть [[Рассеяние частиц|рассеяние]] фотонов и объяснил другие квантовые эффекты, такие как {{iw|резонансная флуоресценция||en|Resonance fluorescence}} и нерелятивистское [[Эффект Комптона|комптоновское рассеяние]]. Тем не менее применение теории возмущений в более высоких порядках столкнулось с бесконечностями при вычислениях{{sfn|Weisskopf|1981|p=71}}.

В 1927 году [[Фридрих Хунд|Ф. Хунд]] (при расчётах основного состояния двухъямного потенциала)<ref name="Nimtz">{{книга |заглавие=Zero Time Space |страницы=1 |издательство=[[Wiley-VCH]] |год=2008 |ref=Nimtz |язык=und |автор=Nimtz; Haibel}}</ref> и независимо от него [[Мандельштам, Леонид Исаакович|Л. Мандельштам]] и [[Леонтович, Михаил Александрович|М. Леонтович]]<ref>{{cite journal |first1=L. |last1=Mandelstam |first2=M. |url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01391061 |last2=Leontowitsch |title=Zur Theorie der Schrödingerschen Gleichung |journal=Zeitschrift für Physik |volume=47 |issue=1–2 |pages=131–136 |year=1928 |bibcode=1928ZPhy...47..131M |doi=10.1007/BF01391061 |s2cid=125101370 |access-date=2022-07-22 |archive-date=2022-07-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220722195147/https://link.springer.com/article/10.1007/BF01391061 |url-status=live }}</ref> впервые выявили «[[Квантовое туннелирование|туннельный эффект]]». В 1928 году [[Георгий Гамов|Г. Гамовым]] (который знал об результатах Л. Мандельштама и М. Леонтовича<ref>{{cite journal |first=E. L. |last=Feinberg |title=The forefather (about Leonid Isaakovich Mandelstam) |journal=Physics-Uspekhi |volume=45 |issue= 1 |pages=81–100 |year=2002 |bibcode = 2002PhyU...45...81F |doi = 10.1070/PU2002v045n01ABEH001126 }}</ref>) и американскими учёными {{iw|Гёрни, Рональд|Р. Гёрни|en|Ronald Wilfred Gurney}} и [[Кондон, Эдвард Улер|Э. Ко́ндоном]] при разработке теории [[альфа-распад]]а были получены первые формулы эффекта туннелирования<ref name='Гамов'>{{статья |автор = [[Георгий Гамов|Гамов Г.]]|заглавие = Очерк развития учения о строении атомного ядра |издание = [[УФН]]|год = 1930|том = 13|страницы = 46—57 |doi = 10.3367/UFNr.0013.193301c.0046 }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration |издание=Nature |том=122 |номер=3073 |страницы=439 |bibcode=1928Natur.122..439G |doi=10.1038/122439a0 |язык=en |автор=Gurney, R. W.; Condon, E. U. |год=1928 }}</ref>. Применив идею о квантово-механическом проникновении [[Волновая функция|волновой функции]] альфа-частицы через [[кулоновский барьер]], Гамову удалось показать, что частицы даже с не очень большой энергией могут с определённой вероятностью вылетать из ядра<ref name='Гамов'/>.

В 1928 году П. Дирак записал [[волновое уравнение]], описывающее релятивистские электроны, — [[уравнение Дирака]]. Оно имело важные следствия: [[спин]] электрона равен 1/2 (в единицах [[Приведённая постоянная Планка|приведённой постоянной Планка]] ''ħ''); [[G-Фактор|''g''-фактор]] электрона равен 2. Это привело к правильной {{iw|Модель Бора — Зоммерфельда|формуле Зоммерфельда|en|Bohr–Sommerfeld model}} для [[Тонкая структура|тонкой структуры]] [[Атом водорода|атома водорода]]; и уравнение Дирака можно использовать для вывода [[Формула Клейна — Нисины|формулы Клейна — Нисины]], описывающей релятивистское комптоновское рассеяние. Несмотря на то, что результаты находились в согласии с теорией, оставались и нерешённые вопросы — в частности, в теории предполагалось существование состояний с отрицательной энергией, которые могли бы сделать атомы нестабильными, поскольку они, в этом случае, всегда могли распадаться на состояния с более низкой энергией с излучением{{sfn|Weisskopf|1981|p=71–72}}.

В то время преобладало мнение, что мир состоит из двух очень разных ингредиентов: материальных частиц (таких как электроны) и [[Поле (физика)|квантовых полей]] (таких как фотоны). Материальные частицы считались вечными, а их физическое состояние описывалось вероятностями нахождения каждой частицы в любой заданной области пространства или диапазоне скоростей. С другой стороны, фотоны считались просто [[Возбуждение (физика)|возбуждёнными состояниями]] лежащего в основе квантованного электромагнитного поля и могли свободно рождаться или уничтожаться. Между 1928 и 1930 годами П. Йордан, [[Вигнер, Юджин|Ю. Вигнер]], В. Гейзенберг, В. Паули и [[Ферми, Энрико|Э. Ферми]] обнаружили, что материальные частицы также можно рассматривать как возбуждённые состояния квантовых полей. Как фотоны являются возбуждёнными состояниями квантованного электромагнитного поля, так и каждому типу частиц соответствует своё квантовое поле: электронное поле, протонное поле и так далее. Имея достаточно энергии, теперь можно было бы создавать материальные частицы. Основываясь на этой идее, Э. Ферми в 1932 году предложил объяснение [[бета-распад]]а, известное как [[Четырёхфермионная теория слабого взаимодействия|взаимодействие Ферми]]. [[Атомное ядро|Ядра атомов]] не содержат электронов сами по себе, но в процессе распада электрон создаётся из окружающего электронного поля, аналогично рождённому из окружающего электромагнитного поля фотону при излучении возбуждённого атома{{sfn|Weinberg|1977|p=23}}.

В 1930 году [[Иваненко, Дмитрий Дмитриевич|Д. Иваненко]] с [[Амбарцумян, Виктор Амазаспович|В. Амбарцумяном]] высказали<ref>{{статья|автор=Ambarzumian V., Iwanenko D.|заглавие=Les électrons inobservables et les rayons β|оригинал=|ссылка=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3143v/f584.item|автор издания=|издание=Compt. Rend. Acad. Sci|год=1930|том=190|выпуск=1|номер=|страницы=582—584|doi=|lang=fr}}{{free access}}</ref> гипотезу рождения массивных и элементарных частиц в процессе их взаимодействия (включая рождение электрона при бета-распаде), что исключало господствовавшую до этого теорию их спонтанного рождения и легло в основу КТП и теории элементарных частиц<ref>{{книга |автор=[[Сарданашвили, Геннадий Александрович|Сарданашвили Г. А.]]|заглавие=Дмитрий Иваненко — суперзвезда советской физики. Ненаписанные мемуары |ссылка=https://www.phys.msu.ru/upload/iblock/815/Ivanenko-book.pdf |язык=ru |издание=Либроком |год=2010 |страницы=13 |archivedate=2022-07-05 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20220705191723/https://www.phys.msu.ru/upload/iblock/815/Ivanenko-book.pdf }}</ref>. Тогда же П. Дирак и другие поняли, что состояния с отрицательной энергией, появляющиеся из решений уравнения Дирака, можно интерпретировать как частицы с той же массой, что и электроны, но с противоположным электрическим зарядом. Это не только обеспечило стабильность атомов, но и стало первым предсказанием существования [[Антивещество|антивещества]]. [[Позитрон]]ы были обнаружены в 1932 году [[Андерсон, Карл Дейвид|К. Андерсоном]] в [[Космические лучи|космических лучах]]{{sfn|Weinberg|1977|p=23}}. При наличии достаточного количества энергии, например, путём поглощения фотона, можно [[Рождение пар|создать электрон-позитронную пару]], процесс, называемый ''рождением пары''; обратный процесс, аннигиляция, также может происходить с испусканием фотона. Это показало, что количество частиц не обязательно остаётся фиксированным во время взаимодействия{{sfn|Weisskopf|1981|p=72}}. При квантовании полей Дирака с учётом запрета Паули не возникает проблем с отрицательными энергиями из-за симметричного описания электронов и позитронов, как показал В. Гейзенберг в 1934 году{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=32}}. Поэтому КТП естественным образом включает античастицы в свой формализм{{sfn|Weinberg|1977|p=24}}, и уравнения Дирака и Клейна — Гордона следует понимать как уравнения для ''полевых операторов'', действующих на вектор состояний ''квантовых полей'', которые удовлетворяют уравнению Шрёдингера{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=32}}.

=== Бесконечности и перенормировка ===
{{main|Перенормировка}}
[[Оппенгеймер, Роберт|Р. Оппенгеймер]] показал в 1934 году, что пертурбативные (то есть, основанные на [[Стационарная теория возмущений в квантовой механике|теории возмущений]]) вычисления в более высоких порядках КЭД всегда приводят к бесконечным величинам, например для {{iw|Собственно-энергетическая часть|собственно-энергетической части|en|Self-energy}} электрона и нулевой [[Энергия вакуума|энергии вакуума]] для электронного и фотонного полей{{sfn|Weisskopf|1981|p=76}}. Это означало, что существующие вычислительные методы не могли должным образом справиться с взаимодействиями, в которых принимали участие фотоны с чрезвычайно высокими импульсами{{sfn|Weinberg|1977|p=25}}. Проблема нашла решение 20 лет спустя, когда был разработан системный подход к устранению таких бесконечностей{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=54}}. Между 1934 и 1938 годами [[Штюкельберг, Эрнст|Э. Штюкельберг]] опубликовал серию статей, в которых была представлена релятивистски инвариантная формулировка КТП. В 1947 году Штюкельберг также независимо разработал полную процедуру перенормировки для устранения расходимостей. Однако в то время эти достижения не были поняты и признаны теоретическим сообществом{{sfn|Weisskopf|1981|p=78}}.

В 1947 году [[Лэмб, Уиллис Юджин|У. Лэмб]] и [[Ризерфорд, Роберт|Р. Ризерфорд]] измерили малую разницу в энергетических уровнях <sup>2</sup>''S''<sub>1/2</sub> и <sup>2</sup>''P''<sub>1/2</sub> атома водорода, также названную [[Лэмбовский сдвиг|лэмбовским сдвигом]]. Пренебрегая вкладом фотонов, энергия которых превышает массу электрона, [[Бете, Ханс|Г. Бете]] успешно оценил численное значение этой разницы{{sfn|Weisskopf|1981|p=78}}{{sfn|Weinberg|1977|p=28}}. Впоследствии {{iw|Кролл, Норман Майлз|Н. Кролл|en|Norman Myles Kroll}}, У. Лэмб, {{iw|Френч, Джеймс Брюс|Дж. Френч|en|James Bruce French}} и [[Вайскопф, Виктор Фредерик|В. Вайскопф]] использовали другой метод для вывода, в котором бесконечности взаимно сокращались и получалась конечная величина. Однако этот метод был громоздким и ненадёжным, и его нельзя было обобщить на другие вычисления{{sfn|Weisskopf|1981|p=79}}{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=53}}.

Прорыв в конечном итоге произошёл примерно в 1950 году, когда [[Швингер, Джулиан|Дж. Швингер]], [[Фейнман, Ричард|Р. Фейнман]], [[Дайсон, Фримен|Ф. Дайсон]] и [[Томонага, Синъитиро|С. Томонага]] разработали более приемлемый метод устранения бесконечностей. Его основная идея состоит в замене вычисленных значений массы и заряда электрона, какими бы бесконечными они ни были, их конечными экспериментальными значениями. Эта систематическая вычислительная процедура известна как [[перенормировка]] и может применяться к произвольному порядку в теории возмущений{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=54}}. С. Томонага так описал это в своей Нобелевской лекции<ref>{{Cite web|url=https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1965/tomonaga/lecture/|title=Development of Quantum Electrodynamics|author=[[Томонага, Синъитиро|Tomonaga, S.-I.]]|first=Shinichiro|website=Nobelprize.org|access-date=2021-09-04|archive-date=2021-04-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20210421161208/https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1965/tomonaga/lecture/|url-status=live}}</ref>:
{{Начало цитаты}}
Поскольку эти части модифицированной массы и заряда из-за полевых вкладов [становятся бесконечными], их невозможно вычислить с помощью теории. Однако масса и заряд, наблюдаемые в экспериментах, являются не исходной массой и зарядом, а массой и зарядом, изменёнными полевыми вкладами, и они конечны. С другой стороны, масса и заряд, фигурирующие в теории, являются… значениями, модифицированными полевыми вкладами. Поскольку это так, и, в частности, поскольку теория не может вычислить модифицированные массу и заряд, мы можем принять процедуру феноменологической подстановки их экспериментальных значений… Эта процедура называется перенормировкой массы и заряда … После долгих и кропотливых вычислений, менее искусных, чем у Швингера, мы получили результат … который согласуется с американцами.
{{оригинальный текст|en|Since those parts of the modified mass and charge due to field reactions [become infinite], it is impossible to calculate them by the theory. However, the mass and charge observed in experiments are not the original mass and charge but the mass and charge as modified by field reactions, and they are finite. On the other hand, the mass and charge appearing in the theory are… the values modified by field reactions. Since this is so, and particularly since the theory is unable to calculate the modified mass and charge, we may adopt the procedure of substituting experimental values for them phenomenologically... This procedure is called the renormalization of mass and charge… After long, laborious calculations, less skillful than Schwinger's, we obtained a result... which was in agreement with [the] Americans.}}
{{Конец цитаты}}
С применением процедуры перенормировки были окончательно проведены расчёты, объясняющие [[Аномальный магнитный момент|аномальный магнитный момент электрона]] (отклонение [[G-Фактор|''g''-фактора]] электрона от 2) и [[Поляризация вакуума|поляризацию вакуума]]. Эти результаты в значительной степени совпадали с экспериментальными измерениями, что ознаменовало конец «войны с бесконечностями»{{sfn|Weisskopf|1981|p=79}}.

В то же время Р. Фейнман ввёл в обиход [[Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям|формулировку квантовой теории через интегралы по траекториям]] и [[диаграммы Фейнмана]]{{sfn|Shifman|2012|p=2}}. Последние используются для визуализации вычислений в теории возмущений. Каждую диаграмму можно интерпретировать как пути частиц и их взаимодействия, причём каждой вершине и линии ставится в соответствие определённое [[математическое выражение]], а произведение этих выражений даёт [[Амплитуда рассеяния|амплитуду рассеяния]] процесса, представленного диаграммой{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=25}}.

Именно с изобретением процедуры перенормировки и диаграммной техники Фейнмана КТП получила законченную теоретическую основу{{sfn|Shifman|2012|p=2}}. Многие теоретики после 1949 года из-за успеха КЭД полагали, что КТП вскоре сможет объяснить все микроскопические явления, а не только взаимодействия между элементарными частицами КЭД. Вопреки этому оптимизму, КТП вступила в очередной период депрессии, который длился почти два десятилетия{{sfn|Weinberg|1977|p=30}}.

Первым препятствием оказалась ограниченная применимость процедуры перенормировки. В вычислениях теории возмущений в КЭД все бесконечные величины можно исключить путём переопределения небольшого числа физических величин (массы и заряда электрона). Ф. Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для «перенормируемых теорий», примером которых является КЭД. Однако большинство теорий, включая [[Четырёхфермионная теория слабого взаимодействия|теорию]] [[Слабое взаимодействие|слабого взаимодействия]] Ферми, неперенормируемы{{sfn|Weinberg|1977|p=30}}.

Вторая серьёзная проблема возникает из ограниченной применимости метода диаграмм Фейнмана. Для сходимости рядов необходимо, чтобы [[Константа взаимодействия|константа связи]] была достаточно малым числом. Константа связи в КЭД — это [[постоянная тонкой структуры]] {{Math|''α'' ≈ 1/137}}, величина которой позволяет не учитывать диаграммы Фейнмана высоких порядков, т.к. они вносят ничтожно малый вклад в решение. Напротив, константа связи при [[Сильное взаимодействие|сильном взаимодействии]] примерно равна единице, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка столь же важными, как и простые. Таким образом, не оказалось возможности получить надёжные количественные предсказания в задачах с сильным взаимодействием при использовании теории возмущений{{sfn|Weinberg|1977|p=31}}.

Столкнувшись с этими бесконечностями, [[Уилер, Джон Арчибальд|Дж. Уилер]] и В. Гейзенберг предложили в 1937 и 1943 годах соответственно заменить проблематичную КТП так называемой {{iw|Теория S-матрицы|теорией S-матриц|en|S-matrix theory}}. Поскольку конкретные детали микроскопических взаимодействий недоступны для наблюдений, теория должна пытаться описать только отношения между небольшим количеством [[Квантовая наблюдаемая|наблюдаемых]] (например, энергией атома) во взаимодействии, а не заниматься микроскопическими деталями взаимодействия. В 1945 году [[Фейнман, Ричард|Р. Фейнман]] и Дж. Уилер смело предложили полностью отказаться от КТП и предложили [[Дальнодействие и короткодействие|действие на расстоянии]] в качестве механизма взаимодействия частиц{{sfn|Weinberg|1977|p=26}}{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=50}}. В то время КТП использовалась эвристически как руководящий принцип, но не как основа для количественных расчётов{{sfn|Weinberg|1977|p=31}}.

=== Стандартная модель ===
{{main|Стандартная модель}}
[[Файл:Standard Model of Elementary Particles ru.svg|мини|300x300пкс| [[Фундаментальная частица|Элементарные частицы]] [[Стандартная модель|Стандартной модели]]: шесть типов [[кварк]]ов, шесть типов [[Лептоны|лептонов]], четыре типа [[Калибровочные бозоны|калибровочных бозонов]], несущих [[фундаментальные взаимодействия]], а также [[бозон Хиггса]], который наделяет элементарные частицы массой.]]
В 1954 году [[Янг Чжэньнин|Я. Чжэньнин]] и [[Миллс, Роберт (физик)|Р. Миллс]] обобщили локальную [[Калибровочная инвариантность|калибровочную симметрию]] КЭД, что привело к созданию [[Теория Янга — Миллса|неабелевых калибровочных теорий]] (теорий Янга — Миллса), основанных на более сложных локальных [[Группы симметрии|группах симметрии]]{{sfn|'t Hooft|2015|p=5}}. В КЭД электрически заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, тогда как в неабелевой калибровочной теории частицы, несущие новый тип «[[Заряд (физика)|заряда]]», взаимодействуют посредством обмена безмассовыми [[Калибровочные бозоны|калибровочными бозонами]]. В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд{{sfn|Weinberg|1977|p=32}}<ref>{{Cite journal|author=Yang|first=C. N.|date=1954-10-01|title=Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance|journal=[[Physical Review]]|volume=96|issue=1|pages=191–195|doi=10.1103/PhysRev.96.191|bibcode=1954PhRv...96..191Y}}</ref>.

В 1960 году [[Глэшоу, Шелдон Ли|Ш. Глэшоу]] разработал неабелеву калибровочную теорию, объединившую электромагнитное и слабое взаимодействия. В 1964 году [[Абдус Салам|А. Салам]] и [[Уорд, Джон Клайв|Дж. Уорд]] пришли к той же теории другим путём, но их теория была неперенормируемой<ref name="coleman">{{Cite journal|author=Coleman|first=Sidney|authorlink=Коулман, Сидни|date=1979-12-14|title=The 1979 Nobel Prize in Physics|journal=[[Science]]|volume=206|issue=4424|pages=1290–1292|bibcode=1979Sci...206.1290C|doi=10.1126/science.206.4424.1290|pmid=17799637}}</ref>. [[Хиггс, Питер|П. Хиггс]], [[Браут, Роберт|Р. Браут]], [[Энглер, Франсуа|Ф. Энглер]], [[Гуральник, Джеральд|Дж. Гуральник]], {{iw|Хаген, Карл Ричард|К. Хаген|en|C. R. Hagen}} и [[Киббл, Томас|Т. Киббл]] в своих знаменитых статьях в {{iw|Статьи о нарушении симметрии 1964 г.|Physical Review Letters|en|1964 PRL symmetry breaking papers}} предложили, что калибровочная симметрия в теориях Янга — Миллса нарушается с помощью механизма, называемого [[Спонтанное нарушение симметрии|спонтанным нарушением симметрии]], благодаря которому калибровочные бозоны могут приобретать массу{{sfn|'t Hooft|2015|p=5—6}}. Объединив более раннюю теорию Глэшоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, [[Вайнберг, Стивен|С. Вайнберг]] и независимо А. Салам в 1967 году{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=63}} создали теорию, описывающую [[Электрослабое взаимодействие|электрослабые взаимодействия]] между всеми [[Лептоны|лептонами]] и влияние [[Бозон Хиггса|бозона Хиггса]]. Его теория была вначале проигнорирована<ref name="coleman" />{{sfn|'t Hooft|2015|p=5}}, пока интерес к ней не вернул в 1971 году [[’т Хоофт, Герард|Г. т’Хоофт]], который доказал перенормируемость неабелевых калибровочных теорий. Для включения [[кварк]]ов теорию электрослабого взаимодействия С. Вайнберга и А. Салама обобщили Ш. Глэшоу, [[Илиопулос, Иоаннис|И. Илиопулос]] и [[Майани, Лучано|Л. Майани]] в 1970 году, что ознаменовало завершение её построения<ref name="coleman" />. Г. т’Хоофт и [[Велтман, Мартинус|М. Велтман]] развили технику размерной регуляризации для расчёта перенормируемых диаграмм. Эти результаты привели к завершению построения теории возмущений для унитарной матрицы рассеяния в теориях с калибровочными полями{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=63}}.

[[Фрич, Харальд|Х. Фрич]], [[Гелл-Ман, Марри|М. Гелл-Манн]] и {{iw|Лойтвилер, Генрих|Г. Лойтвилер|en|Heinrich Leutwyler}} в 1971 году обнаружили, что некоторые явления, связанные с [[Сильное взаимодействие|сильным взаимодействием]], также могут быть объяснены в рамках неабелевой калибровочной теории. Так появилась [[квантовая хромодинамика]] (КХД). В 1973 году [[Гросс, Дейвид|Д. Гросс]], [[Вильчек, Фрэнк|Ф. Вильчек]] и [[Политцер, Хью Дейвид|Х. Политцер]] показали, что неабелевы калибровочные теории [[Асимптотическая свобода|асимптотически свободны]], когда при перенормировке константа связи сильного взаимодействия уменьшается с увеличением энергии взаимодействия. Подобные открытия были сделаны несколько раз в прошлом, но они оказались незамеченными{{sfn|'t Hooft|2015|p=11}}. Таким образом, по крайней мере, при высоких энергиях, константа связи в КХД становится достаточно малой, чтобы гарантировать применимость разложения в ряд теории возмущений, что приводит к возможности получения количественных оценок для сильного взаимодействия{{sfn|Weinberg|1977|p=32}}. Переносчиками взаимодействия между кварками служат восемь квантов калибровочного поля, которые были названы [[глюон]]ами{{sfn|Садовский|2003|с=44}}.

Эти теоретические открытия привели к возрождению интереса к КТП. Полная теория, включающая теорию электрослабого взаимодействия и хромодинамику, сегодня называется [[Стандартная модель|Стандартной моделью]] элементарных частиц<ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/science/Standard-Model|title=Standard model|last=Sutton|first=Christine|website=britannica.com|publisher=[[Encyclopædia Britannica]]|access-date=2018-08-14|archive-date=2021-05-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20210518140644/https://www.britannica.com/science/Standard-Model|url-status=live}}</ref>. Стандартная модель успешно описывает все [[фундаментальные взаимодействия]], кроме [[Гравитация|гравитации]], а её многочисленные предсказания получили точное экспериментальное подтверждение в последующие десятилетия{{sfn|Shifman|2012|p=3}}. Существование [[Бозон Хиггса|бозона Хиггса]], который занимает центральное место в механизме спонтанного нарушения симметрии, было окончательно подтверждено в 2012 году экспериментами в [[ЦЕРН]]е, подводя итог полной проверке всех составляющих Стандартной модели<ref>{{cite arXiv |last=Kibble |first=Tom W. B. |author-link=Киббл, Томас |eprint=1412.4094 |title=The Standard Model of Particle Physics |class=physics.hist-ph |date=2014-12-12 }}</ref>.

=== Прочие разработки ===
В 1970-х годах появились разработки непертурбативных методов в неабелевых калибровочных теориях. [[Магнитный монополь#Модель 'т Хоофта — Полякова|Монополь 'т Хоофта — Полякова]] был открыт теоретически Г. 'т Хоофтом и [[Поляков, Александр Маркович|А. Поляковым]], {{iw|трубка потока|трубки потока|en|Flux tube}} — {{iw|Нильсен, Хольгер Бех|Х. Нильсеном|en|Holger Bech Nielsen}} и [[Пол Олесен|П. Олесеном]], [[инстантон]]ы — Поляковым и соавторами. Исследование этих объектов недоступно с помощью теории возмущений{{sfn|Shifman|2012|p=4}}.

[[Суперсимметрия]] также появилась в то же время. Первая суперсимметричная КТП в четырёх измерениях была построена [[Гольфанд, Юрий Абрамович|Ю. Гольфандом]] и [[Лихтман, Евгений Пинхасович|Е. Лихтманом]] в 1970 году, но их результат не вызвал широкого интереса из-за «[[Железный занавес|железного занавеса]]». Суперсимметрия получила широкое распространение в теоретическом сообществе только после работы [[Весс, Юлиус|Ю. Весса]] и {{iw|Зумино, Бруно|Б. Зумино|en|Bruno Zumino}} в 1973 году{{sfn|Shifman|2012|p=7}}.

Среди четырёх фундаментальных взаимодействий гравитация остаётся единственным, которому не хватает последовательного описания в рамках КТП{{sfn|Зи|2009|с=491}}. Хотя [[гравитон]] можно рассматривать как ещё одну элементарную частицу{{sfn|Зи|2009|с=490}}, но гравитация остаётся неперенормируемой теорией{{sfn|Зи|2009|с=491}}. Различные попытки создания теории [[Квантовая гравитация|квантовой гравитации]] привели к развитию [[Теория струн|теории струн]]{{sfn|Shifman|2012|p=6}}, которая сама относится к типу двумерной КТП с {{iw|Конформная симметрия|конформной симметрией|en|Conformal symmetry}}<ref name="polchinski1">{{Cite book|last=Polchinski|first=Joseph|date=2005|title=String Theory|volume=1|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-67227-6|author-link=Полчински, Джозеф}}</ref>. {{iw|Шерк, Джоэль|Дж. Шерк|en|Joël Scherk}} и [[Шварц, Джон Генри|Дж. Шварц]] впервые предложили в 1974 году, что теория струн может быть квантовой теорией гравитации<ref>{{cite arXiv |last=Schwarz |first=John H. |author-link=Шварц, Джон Генри |eprint=1201.0981 |title=The Early History of String Theory and Supersymmetry |class=physics.hist-ph |date=2012-01-04 }}</ref>.

=== Физика конденсированного состояния ===
{{main|Физика конденсированного состояния}}
Хотя КТП возникла в результате изучения взаимодействий между элементарными частицами, то есть используется для расстояний много меньших атомарных, она успешно применяется к другим физическим системам, особенно к [[система многих тел|многочастичным системам]] в [[Физика конденсированного состояния|физике конденсированного состояния]]. Исторически механизм спонтанного нарушения симметрии Хиггса был результатом применения [[Намбу, Йоитиро|Й. Намбу]] [[Сверхпроводимость|теории сверхпроводников]] к элементарным частицам, в то время как концепция перенормировки возникла благодаря исследованиям [[Фазовый переход|фазовых переходов второго рода]] в веществе<ref>{{Cite web|url=https://science.energy.gov/~/media/hep/pdf/Reports/HEP-BES_Roundtable_Report.pdf|title=Common Problems in Condensed Matter and High Energy Physics|author=<!--Not stated-->|website=science.energy.gov|date=2015-02-02|publisher=Office of Science, [[U.S. Department of Energy]]|access-date=2018-07-18|archive-date=2017-05-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20170501120909/https://science.energy.gov/~/media/hep/pdf/Reports/HEP-BES_Roundtable_Report.pdf|url-status=live}}</ref>.

Вскоре после введения фотонов А. Эйнштейн выполнил процедуру квантования колебаний в кристалле, что привело к появлению первой [[Квазичастица|квазичастицы]] в твёрдом теле — [[фонон]]а. [[Ландау, Лев Давидович|Л. Ландау]] утверждал, что низкоэнергетические возбуждения во многих системах конденсированной материи можно описывать в терминах взаимодействий между набором квазичастиц. Диаграммный метод КТП Фейнмана естественным образом подошёл для анализа различных явлений в конденсированных средах<ref name="wilczek">{{Cite journal|author=Wilczek|first=Frank|authorlink=Frank Wilczek|arxiv=1604.05669|title=Particle Physics and Condensed Matter: The Saga Continues|journal=Physica Scripta|volume=2016|issue=T168|pages=014003|date=2016-04-19|bibcode=2016PhST..168a4003W|doi=10.1088/0031-8949/T168/1/014003}}</ref>. Калибровочная теория используется для описания квантования [[Магнитный поток|магнитного потока]] в сверхпроводниках, [[Удельное электрическое сопротивление|удельного сопротивления]] в [[Квантовый эффект Холла|квантовом эффекте Холла]], а также связи между частотой и напряжением при нестационарном [[Эффект Джозефсона|эффекте Джозефсона]] для переменного тока<ref name="wilczek" />.

== Классический формализм теории поля ==
{{main|Классическая теория поля}}

=== Лагранжев формализм ===
{{main|Лагранжева механика}}
Классическое [[поле (физика)|поле]] является функцией пространственных и временных координат{{sfn|Tong|2015|loc=Chapter 1}}. Примеры включают [[гравитационное поле]] в ньютоновской гравитации {{math|'''g'''('''x''', ''t'')}}, [[электрическое поле]] {{math|'''E'''('''x''', ''t'')}} и [[магнитное поле]] {{math|'''B'''('''x''', ''t'')}} в [[Электродинамика|классической электродинамике]]. Классическое поле можно рассматривать как числовую величину, приписываемую каждой точке пространства, которая изменяется во времени. Следовательно, оно имеет бесконечно много степеней свободы{{refn|group=К|Число его степеней свободы [[Несчётное множество|несчётно]], поскольку несчётна размерность векторного пространства непрерывных (дифференцируемых, вещественно-аналитических) функций даже на конечномерном евклидовом пространстве. С другой стороны, подпространства (этих функциональных пространств), которые обычно рассматриваются, такие как гильбертовы пространства (например, пространство интегрируемых с квадратом функций с действительными значениями) или [[Сепарабельное пространство|сепарабельные]] [[Банахово пространство|банаховы пространства]] (например, пространство непрерывных функций с действительными значениями на компактном интервале, с равномерно сходящейся [[Норма (математика)|нормой]]), имеют счётную размерность в категории банаховых пространств (хотя размерность их евклидова векторного пространства несчётна), поэтому при этих ограничениях число степеней свободы (интерпретируемых теперь как размерность векторного пространства плотного подпространства, а не размерность векторного пространства самого интересующего функционального пространства) счётна{{sfn|Tong|2015|loc=Chapter 1}}.}}{{sfn|Tong|2015|loc=Chapter 1}}.

В лагранжевой механике функция Лагранжа {{math|''L''}} является функцией времени и динамических переменных системы и записывается в виде суммы по всем материальным точкам системы{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=23}}. В случае непрерывной системы, каковым является поле — центральное понятие теории{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=16}}, сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа — ''лагранжевой плотности'' <math>\mathcal{L}</math>
: <math>L(t)=L(x^0)=\int \mathcal{L}(x^0,\mathbf{x})d^3\mathbf{x}\,,</math>
где жирным шрифтом выделены пространственные компоненты 4-вектора координат, а нулевая компонента — время. Поэтому в теории поля [[лагранжиан]]ом называют обычно лагранжеву плотность{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=33}}{{sfn|Побойко|2017|с=5}}. [[Действие (физическая величина)|Действие]] <math>S</math> по определению есть интеграл по времени от лагранжиана{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=23}}
: <math>S=\int dt L(t)=\int dx^0 d^3\mathbf{x}\mathcal{L}(x^0,\mathbf{x} )=\int d^4x\mathcal{L}(x)\,,</math>
то есть действие в теории поля есть четырёхмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырёхмерному [[Пространство-время|пространству-времени]]{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=23}}.

Поле описывается ''полевой функцией'' <math>\psi(x)</math> (выступает в качестве динамической переменной), которое может быть вещественной или комплексной скалярной ([[псевдоскаляр]]ной), векторной, [[спинор]]ной или иной функцией. В теории поля предполагается, что лагранжиан зависит только от динамических переменных — от ''полевой функции'' и её производных, то есть отсутствует явная зависимость от координат, наличие которой нарушало бы релятивистскую инвариантность. ''Локальность'' теории требует, чтобы лагранжиан содержал конечное количество производных и не содержал, например, [[#Нелокальная квантовая теория поля|интегральных зависимостей]]. Более того, чтобы получить дифференциальные уравнения не выше второго порядка (в целях соответствия классической механике), предполагается, что лагранжиан зависит только от ''полевой функции'' и её первых производных (<math>\partial_{\nu}{\psi}(x))=\frac{\partial}{\partial x^\nu}\psi (x)</math>){{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=24}},
: <math>\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}(\psi(x),\partial_{\nu}{\psi}(x)\,.</math>

[[Принцип наименьшего действия]] (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным ([[Вариация функционала|вариация]] действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — [[уравнения Эйлера — Лагранжа]]{{refn|group=К|В дальнейшем используется принятая в квантовой теории поля [[тензорный анализ|тензорная]] (общековариантная) запись всех уравнений с использованием [[правило Эйнштейна|правила Эйнштейна]]. Используется [[Сигнатура (линейная алгебра)|сигнатура]] пространства-времени <math>(1,-1,-1,-1)</math>, соответственно интервал определяется как <math>s^2=t^2-x^2_1-x^2_2-x^2_3=x_{\mu}x^{\mu}=g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}</math>, где в последних двух записях предполагается суммирование по повторяющимся индексам <math>\mu</math>, то есть по четырём координатам (в плоском [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]] — просто с учётом различных знаков у координат и времени). Оператор производной (обычной) по координатам обозначается либо <math>\partial_{\mu}</math> либо <math>\partial/\partial x^{\mu}</math>. [[Оператор Даламбера]] в такой записи будет иметь вид: <math>-\partial_{\mu}\partial^{\mu}=-g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\partial_{\nu}</math>. Производную по времени обозначают либо точкой над символом функции, либо как <math>{\partial}_0</math>{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=24}}.}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=33}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=24}}:
: <math>\frac {\partial} {\partial x^{\nu}} \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu}\psi)}\right )=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}\,.</math>

Поскольку физические свойства системы определяются действием, в котором лагранжиан является подынтегральным выражением, то данному лагранжиану соответствует единственное действие, но не наоборот. А именно, лагранжианы, отличающиеся друг от друга полной 4-[[Дивергенция|дивергенцией]] некоторого 4-вектора <math>\mathcal{L}'(x)=\mathcal{L}(x)+\partial_{\nu}f^{\nu}(x)</math>, физически эквивалентны{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=24}}.

==== Лагранжиан системы полей ====
Лагранжиан системы невзаимодействующих (свободных) полей есть просто сумма лагранжианов отдельных полей. Уравнения движения для системы свободных полей — это совокупность уравнений движения отдельных полей. Взаимодействие полей учитывается в лагранжиане добавлением дополнительных нелинейных слагаемых. Таким образом, полный лагранжиан системы взаимодействующих полей является суммой свободного лагранжиана <math>\mathcal{L}_0</math> и ''лагранжиана взаимодействия'' <math>\mathcal{L_I}</math><ref>{{Книга:БЭС |Квантовая теория поля |2056341|Д. В. Ширков, Д. И. Казаков}}</ref>:
: <math>\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\mathcal{L_I}\,.</math>

Введение лагранжиана взаимодействия приводит к неоднородности и нелинейности уравнений движения. Лагранжианы взаимодействия обычно являются полиномиальными функциями участвующих полей (степени не ниже третьей), умноженными на некоторую числовую константу — так называемую [[Константа взаимодействия|константу связи]]. Лагранжиан взаимодействия может быть пропорционален третьей или четвёртой степени самой ''полевой функции'', или произведению различных ''полевых функций''{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=95}}.

=== Гамильтонов формализм ===
{{main|Гамильтонова механика}}
От лагранжева формализма можно перейти к гамильтоновому по аналогии с лагранжевой и гамильтоновой механикой. ''Полевая функция'' <math>\psi(t,\mathbf{x})</math> здесь выступает в качестве ''обобщённой (канонической) координаты''. Соответственно необходимо определить также и ''обобщённую (каноническую) плотность импульса'' <math>\pi(t,\mathbf{x})</math>, сопряжённую этой координате согласно стандартной формуле (точка над функцией обозначает частную производную по времени){{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=34}}{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=24}}{{sfn|Побойко|2017|с=5}}:
: <math>\pi(t, \mathbf{x})=\frac {{\partial} \mathcal{L}(\psi,\dot{\psi})}{{\partial} \dot{\psi}(t,\mathbf{x})}\,.</math>

Тогда плотность гамильтониана поля равна по определению{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=34}}
: <math>\mathcal{H}=\pi \dot{\psi}-\mathcal{L}\,.</math>

Уравнения движения в гамильтоновом подходе имеют вид{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=13}}:
: <math>\dot{\psi}=\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial \pi}, \qquad \dot{\pi}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial \psi}\,.</math>

Динамика любых величин <math>F(\psi, \pi)</math> в рамках гамильтонова формализма подчиняется следующему уравнению:
: <math>\dot{F}=\{F,\mathcal{H}\}\,,</math>

где фигурными скобками обозначена [[скобка Пуассона]]{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=13}}. При этом для самих функций <math>\psi</math> и <math>\pi</math> выполнено следующее{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=24}}{{sfn|Побойко|2017|с=6}}:
: <math>\{\psi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{y},t)\}=1, \qquad \{\psi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{y},t)\}= \{\pi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{y},t)\}=0\,.</math>

Соотношения с участием скобок Пуассона обычно и являются основой для квантования полей, когда ''полевые функции'' заменяются соответствующими операторами, а скобки Пуассона — на коммутатор операторов{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=25}}.

== Симметрии в квантовой теории поля ==

=== Определение и виды симметрий ===
Симметриями в квантовой теории поля называются преобразования координат и (или) ''полевых функций'', относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит, инвариантно действие. Сами преобразования при этом образуют [[группа (математика)|группу]]{{sfn|Sundermeyer|2014|p=2}}. Симметрии называются ''глобальными'', если соответствующие преобразования не зависят от 4-координат<ref>{{БРЭ |статья= Пространственно-временная симметрия|автор= |год= 2004|ref= |ссылка= https://old.bigenc.ru/physics/text/3168727|архив= https://web.archive.org/web/20221021043839/https://bigenc.ru/physics/text/3168727|архив дата= 2022-10-21}}</ref>. В противном случае говорят о ''локальных'' симметриях{{sfn|Sundermeyer|2014|p=12}}<ref>{{БРЭ |статья= Внутрення симметрия|автор= M. В. Терентьев|год= 2004|ref= |ссылка= https://old.bigenc.ru/physics/text/1920785|архив= https://web.archive.org/web/20221021043841/https://bigenc.ru/physics/text/1920785|архив дата= 2022-10-21}}</ref>. Симметрии могут быть ''дискретными'' или ''[[Непрерывная симметрия|непрерывными]]''{{sfn|Sundermeyer|2014|p=11}}. В последнем случае группа преобразований является непрерывной ([[топологическая группа|топологической]]), то есть в группе задана топология, относительно которой групповые операции непрерывны{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=321}}. В квантовой теории поля однако обычно используется более узкий класс групп — [[группа Ли|группы Ли]], в которых введена не только топология, но и структура дифференцируемого многообразия. Элементы таких групп можно представить как дифференцируемые ([[Голоморфная функция|голоморфные]] или [[Аналитическая функция|аналитические]]) функции конечного числа параметров. Группы преобразований обычно рассматриваются в некотором [[Представление группы|представлении]] — элементам групп соответствуют операторные (матричные) функции параметров{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=325—326}}.

=== Дискретные симметрии. CPT-теорема ===
Наиболее важное значение имеют следующие виды преобразований{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=96}}:

* {{math|''C''}} — [[зарядовое сопряжение]] — замена ''полевых функций'' на сопряжённые или замена частиц на античастицы.
* {{math|''P''}} — [[P-симметрия|чётность]] — изменение знаков пространственных компонент на противоположный.
* {{math|''T''}} — [[T-симметрия|обращение времени]] — изменение знака временной компоненты.

Доказано, что в локальной квантовой теории поля имеет место <math>CPT</math>-симметрия, то есть инвариантность относительно одновременного применения этих трёх преобразований{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=97}}.

=== Непрерывные симметрии. Теорема Нётер ===
{{main|Теорема Нётер}}

Согласно [[теорема Нётер|теореме Нётер]] инвариантность функционала действия относительно [[Параметрическая группа|<math>s</math>-параметрической группы]] преобразований приводит к <math>s</math> динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. А именно, пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций <math>F^{\mu}(x,\omega)</math>, а ''полевой функции'' — с помощью функции <math>U(x,\omega)</math>, где <math>{\omega}</math> — совокупность <math>s</math> параметров. Обозначим <math>u_k</math> значение производной функции <math>U</math> по <math>k</math>-му параметру при нулевом значении параметров, а через <math>f^{\mu}_k</math> — значения производных функций <math>F^{\mu}(x,\omega)</math> по <math>k</math>-му параметру при нулевом значении параметров. Указанные величины по существу являются генераторами соответствующих групп преобразований{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=25}}.

Тогда нётеровские токи, определённые как{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=26}}
: <math>J^{\mu}_k=\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}(\partial_{\nu}\psi f^{\nu}_k-u_k)-f^{\mu}_k \mathcal{L}</math>
обладают свойством <math>\partial_{\mu}J^{\mu}_k=0</math>. Сохраняющимися во времени величинами («нётеровскими зарядами») являются пространственные интегралы от нулевой компоненты токов{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=27}}
: <math>C_k=\int J^0_k d^3\mathbf{x}\,.</math>

Фундаментальной симметрией, присущей всем квантово-полевым теориям, является ''[[Лоренц-ковариантность|релятивистская инвариантность]]'' — инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца ([[группа Пуанкаре|группы Пуанкаре]]), то есть относительно пространственно-временных трансляций и лоренцевых вращений{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=18}}. Ещё одной глобальной симметрией для комплексных полей является глобальная калибровочная симметрия — симметрия относительно однопараметрической группы <math>U(1)</math> — группы умножений на <math>e^{i\alpha}</math>. Она связана с требованием вещественности лагранжиана и наблюдаемых физических величин, что приводит к зависимости от комплексных полей только через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряжённых функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель <math>e^{i\alpha}</math> не приводит к каким-либо изменениям{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=30}}.

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

{|  class="standard" | width="100%"
|-
! width="%15"| <center>Симметрия</center>
! width="%25"| <center>Нётеровские токи</center>
! width="%35"| <center>Нётеровские заряды и законы сохранения</center>
|-
! Пространственно-временные трансляции{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=36}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=28}}
|
: Тензор энергии-импульса: <math>T^{\mu}_\nu=\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\partial_{\nu}\psi-{\delta}^{\mu}_\nu \mathcal{L}</math>. В частности <math>\mathcal{H}=T^{0}_0=\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{0}\psi)}\partial_{0}\psi-\mathcal{L}</math> — гамильтониан (плотность) поля.
|
: Закон сохранения 4-импульса: <math>P^{\nu}=\int T^{0 \nu}d^3\mathbf{x}</math>, в частности энергии (гамильтониана) <math>H=P^{0}</math>
|-
! Лоренцевы вращения{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=29—30}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=29}}
|
: Тензор (полного) момента <math>M^{\tau(\rho\sigma)}=M^{\tau(\rho\sigma)}_0+S^{\tau(\rho\sigma)}</math>, где <math>M^{\tau(\rho\sigma)}_0=x^{\sigma}T^{\rho\tau}-x^{\rho}T^{\sigma\tau}</math> — тензор орбитального момента, <math>S^{\tau(\rho\sigma)}=-\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\tau} \psi_i)}A^{j(\rho\sigma)}_i\psi_j</math> — тензор спинового момента (спина), где <math>A^{j(\rho\sigma)}_i</math> — параметры преобразования ''полевых функций'' при лоренцевых вращениях. Для скалярных полей <math>S^{\tau(\rho\sigma)}=0</math>
|
: Закон сохранения полного момента <math>M^{\rho\sigma}=M^{\rho\sigma}_0+S^{\rho\sigma}</math> — пространственного интеграла от <math>M^{0(\rho\sigma)}</math>
|-
! Глобальная калибровочная симметрия <math>U(1)</math>{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=33}}
|
: 4-вектор заряженного тока: <math>J^{\mu} = i \left(\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi^*)}\psi^*-\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\psi\right)</math>. Для вещественных полей равен нулю.
|
: Закон сохранения заряда ([[электрический заряд]], [[барионный заряд]], [[странность]], [[Очарование (квантовое число)|очарование]] и т. д.): <math>Q=\int J^0d^3\mathbf{x}</math>{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=31}}. Для вещественных полей равен нулю.
|-
|}

=== Основные характеристики базовых полей ===
Ниже в таблице приведены описание и основные характеристики простейших полей, являющихся базовыми при построении реальных квантово-полевых теорий — скалярные, векторные и спинорные поля.

{|  class="standard" | width="100%"
|-
! width="%15"| <center>Характеристика</center>
! width="%25"| <center>Скалярное поле</center>{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=40—41}}
! width="%35"| <center>Векторное поле</center>{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=36—37}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=46—47}}
! width="%35"| <center>Спинорное поле</center>{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=49—51}}
|-
! ''Полевая функция''
|
: <math>\phi(x)=\phi_1(x)+i\phi_2(x)</math> — в общем случае комплексная функция. <math>\phi^*(x)</math> — комплексно-сопряжённая функция. Если <math>\phi^*(x)=\phi(x)</math> (то есть <math>\phi_2(x)=0</math>), то имеем вещественное скалярное поле <math>\phi_1(x)</math> (переобозначив её просто как <math>\phi(x)</math>)
|
: <math>A^{\mu}(x)</math> — векторная функция (4-вектор), в общем случае с комплексными компонентами (заряженное векторное поле). Вещественное (нейтральное) векторное поле получается из условия равенства <math>A^*_{\mu}=A_{\mu}</math> (комплексное поле приравнивается тогда к вещественному, делённому на <math>\sqrt{2}</math>)
|
: <math>\psi(x)</math> — четырёхкомпонентная функция (биспинор)-столбец, <math>\bar{\psi}=\psi^*\gamma^0</math> — дираковски сопряжённая четырёхкомпонентная функция-строка, <math>\gamma^{\mu}</math> — матрицы Дирака
|-
! Характер описываемых частиц
|
: Частица со спином 0. Для вещественного поля — нейтральная, для комплексного — заряженная.
|
: Частицы со спином 1 (проекции <math>0, \pm 1</math>), заряженные или нейтральные
|
: Заряженные частицы со спином 1/2 (<math>\pm 1/2</math>)
|-
! Лагранжиан <math>(\mathcal{L})</math>
|
: <math>\partial_{\mu}\phi^*\partial^{\mu}\phi-m^2\phi^*\phi=\mathcal{L}(\phi_1)+\mathcal{L}(\phi_2)</math>, где <math>\mathcal{L}(\phi)=\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-m^2\phi^2</math> — лагранжиан для вещественного поля <math>\phi</math>
|
: <math>-\frac{1}{2}F^*_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+m^2A^*_{\mu}A^{\mu}</math>, где <math>F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}</math>
: Для вещественного поля <math>-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2}m^2A_{\mu}A^{\mu}</math>
|
: <math>\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi</math>
|-
! [[Уравнение Эйлера — Лагранжа|Уравнения движения Эйлера — Лагранжа]]
|
: <math>(\partial_{\mu}\partial^{\mu}-m^2)\phi=0</math> ([[уравнение Клейна — Гордона]] — верно и для сопряжённой функции)
|
: <math>-(\partial_{\nu}\partial^{\nu}+m^2)A^{\mu}+\partial^{\mu}\partial_{\nu}A^{\nu}=0</math> ([[Уравнение Прока]])
: Дифференцирование по <math>x^{\mu}</math> приводит (если <math>m \ne 0</math>) к <math>\partial_{\nu}A^{\nu}=0\,.</math>
: С этим условием (Лоренца) <math>(\partial_{\nu}\partial^{\nu}+m^2)A^{\mu}=0</math>
|
: <math>(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi=0</math> — [[уравнение Дирака]]
|-
! [[Тензор энергии-импульса]] <math>(T^{\mu\nu})\,</math>
|
: <math>\partial^{\mu}\phi^*\partial^{\nu}\phi+\partial^{\nu}\phi^*\partial^{\mu}\phi-g^{\mu \nu}\mathcal{L}</math>{{sfn|Садовский|2003|с=56}}
|
: <math>F^{\mu\sigma}_*\partial^{\nu}A_{\sigma}+\partial^{\nu}A^*_{\sigma}F^{\mu\sigma}-g^{\mu \nu}\mathcal{L}</math>
|
: <math>\frac{1}{2}(\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\partial^{\nu}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi)</math>
|-
! Гамильтониан <math>(\mathcal{H}=T^{00})</math>
|
: <math>\mathcal{H}=\pi^*\pi+\nabla \phi^*\nabla\phi+m^2 \phi^*\phi\,,</math> где <math>\pi=\dot{\phi}\,,</math> для вещественного поля — <math>\mathcal{H}=\pi^2+(\nabla \phi)^2+m^2 \phi^2</math>
|
: 
|
: <math>\mathcal{H}=\frac {i}{2}(\psi^*\dot{\psi}-\dot{\psi}^*\psi)</math>
|-
! 4-вектор тока <math>(J^{\mu})</math> и заряд <math>(Q)</math>
|
: <math>J^{\mu}=i(\phi^*\partial^{\mu} \phi- (\partial^{\mu} \phi^*)\phi)</math>, <math>Q=\int d^3\mathbf{x} (\phi^*\dot{\phi}-\phi\dot{\phi}^*)</math> для вещественного поля равны нулю{{sfn|Садовский|2003|с=27}}
|
: <math>i(A^*_{\nu}F^{\mu\nu}-F^{\mu\nu}_*A_{\nu})</math>
|
: <math>J^{\mu}=\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi\,,</math> <math>Q=\int d^3\mathbf{x} (\psi^*\psi)</math>
|-
! Спин-тензор <math>(S^{\tau(\mu\nu)})</math>
|
: 0
|
: <math>A^{\mu}_*F^{\nu\tau}-F^{\mu\tau}_*A^{\nu}+F^{\nu\tau}_*A^{\mu}-A^{\nu}_*F^{\mu\tau}</math>
|
: <math>\frac {1}{4}\bar{\psi}(\gamma^{\tau}\sigma^{\mu\nu}+\sigma^{\mu\nu}\gamma^{\tau})\psi\,,</math> где <math>\sigma^{\mu\nu}=\frac {1}{2i}(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}-\gamma^{\nu}\gamma^{\mu})</math>
|-
|}

=== Локальные симметрии и калибровочные поля ===
{{main|Калибровочная инвариантность}}
Локальные преобразования можно определить как умножение ''полевой функции'' на некоторую функцию, зависящую от 4-координат. Например, локальные преобразования группы <math>U(1)</math> — фазовое преобразование, зависящее от конкретной пространственно-временной точки, то есть умножение на <math>e^{i\alpha(x)}</math>. Как отмечалось выше, все комплексные поля симметричны относительно аналогичных ''глобальных'' преобразований{{sfn|Ченг и Ли|1987|с=265}}. Однако они часто неинвариантны относительно локальных преобразований. В частности, описанные выше скалярные и спинорные поля неинвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Причина этого — неинвариантность относительно такого преобразования обычной производной. Если ввести дополнительное поле <math>A_{\mu}</math> и заменить производную в лагранжиане на так называемую ''калибровочно-ковариантную производную'' ({{math|''e''}} — калибровочный параметр, который равен электрическому заряду в КЭД)

: <math>D_{\mu}=\partial_{\mu}-ieA_{\mu}\,,</math>

то полученный лагранжиан будет инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований{{sfn|Ченг и Ли|1987|с=266}}. Однако полученный таким образом лагранжиан будет по сути содержать взаимодействие двух полей — исходного и калибровочного <math>A_{\mu}</math>. По общему правилу в таком случае необходимо ввести в общий лагранжиан также слагаемое, отвечающее за лагранжиан свободного калибровочного поля. Этот лагранжиан тоже должен быть калибровочно инвариантен и выбирается как лагранжиан свободного ''безмассового'' векторного поля <math>-\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>. В итоге, например, для спинорного поля получаем лагранжиан ''квантовой электродинамики'' (КЭД){{sfn|Ченг и Ли|1987|с=267}}:

: <math>\mathcal{L}_{QED}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m)\psi-\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi+e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi-\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},</math>

то есть данный лагранжиан включает в себя лагранжианы свободного спинорного поля Дирака и калибровочного (электромагнитного) поля, а также лагранжиан взаимодействия этих полей. Если следующее преобразование полей выполняется в каждой точке пространства-времени {{Math|''x''}} (локальное преобразование), то лагранжиан КЭД остаётся неизменным или инвариантным:

: <math>\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x),\quad A_\mu(x) \to A_\mu(x) + ie^{-1} e^{-i\alpha(x)}\partial_\mu e^{i\alpha(x)},</math>

где {{Math|''α''(''x'')}} — любая функция координат пространства-времени. Если лагранжиан теории (или, точнее, [[Действие (физическая величина)|действие]]) инвариантен относительно некоторого локального преобразования, то это преобразование называется [[Калибровочная инвариантность|калибровочной симметрией]] теории{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=482—483}}. Калибровочные симметрии образуют [[Группа (математика)|группу]] в каждой точке пространства — времени. В случае КЭД последовательное применение двух различных преобразований локальной симметрии <math>e^{i\alpha(x)}</math> и <math>e^{i\alpha'(x)}</math> — это ещё одно преобразование симметрии <math>e^{i[\alpha(x)+\alpha'(x)]}</math>. Для любого {{Math|''α''(''x'')}}, <math>e^{i\alpha(x)}</math> — элемент группы {{Math|[[U(1)]]}}, поэтому говорят, что КЭД обладает калибровочной симметрией {{Math|U(1)}}{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=496}}.

Аналогичным образом можно написать калибровочно инвариантный лагранжиан комплексного скалярного поля — лагранжиан ''скалярной КЭД''{{sfn|Садовский|2003|с=30}}:

: <math>\mathcal{L}_{SQED}=(D_{\mu}\phi)^*D^{\mu}\phi -\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,.</math>

{{Math|U(1)}} — [[абелева группа]]. КТП можно построить для [[неабелева группа|неабелевых групп]], которые называют [[Теория Янга — Миллса|неабелевыми калибровочными теориями]]{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=489}}. [[Квантовая хромодинамика]] — неабелева калибровочная теория с [[специальная унитарная группа|{{Math|SU(3)}}]] группой симметрии. Она описывает дираковкие поля {{Math|''ψ<sup>i</sup>'', ''i'' {{=}} 1,2,3}}, которые представляют [[кварк]]овые поля, и векторные поля {{Math|''A<sup>a,μ</sup>'', ''a'' {{=}} 1,...,8}} — [[глюон]]ные поля, которые являются {{Math|SU(3)}} калибровочными бозонами{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=547}}. Лагранжиан КХД имеет вид{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=490—491}}{{sfn|Ченг и Ли|1987|с=271}}:

: <math>\mathcal{L} = i\bar\psi^i \gamma^\mu (D_\mu)^{ij} \psi^j - \frac 14 F_{\mu\nu}^aF^{a,\mu\nu} - m\bar\psi^i \psi^i\,,</math>

где {{Math|''D<sub>μ</sub>''}} — калибровочная [[ковариантная производная]] (в случае с U(1) был один генератор, равный единице){{sfn|Ченг и Ли|1987|с=271}}:

: <math>D_\mu = \partial_\mu - igA_\mu^a t^a\,,</math>

где {{Math|''g''}} — константа связи, {{Math|''t<sup>a</sup>''}} — восемь [[Алгебра Ли|генераторов]] группы {{Math|SU(3)}} в [[Фундаментальное представление|фундаментальном представлении]] (матриц {{Math|3×3}}){{sfn|Ченг и Ли|1987|с=271}},

: <math>F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c\,,</math>

{{Math|''f<sup>abc</sup>''}} — [[структурные константы]] {{Math|SU(3)}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=467}}. По повторяющимся индексам происходит неявное суммирование согласно обозначениям Эйнштейна. Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=466}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=467}}:
: <math>\psi^i(x) \to U^{ij}(x)\psi^j(x),\quad A_\mu^a(x) t^a \to U(x)\left[A_\mu^a(x) t^a + ig^{-1} \partial_\mu\right]U^\dagger(x)\,,</math>
где {{Math|''U''(''x'')}} — элемент {{Math|SU(3)}} в каждой точке пространства-времени {{Math|''x''}}:
: <math>U(x) = e^{i\alpha(x)^a t^a}\,.</math>

Указанный подход можно обобщить на случай других локальных групп симметрии{{sfn|Ченг и Ли|1987|с=267}}.

Предыдущее обсуждение симметрий происходит на языке лагранжиана. Другими словами, это «классические» симметрии. После квантования некоторые теории больше не будут демонстрировать свою классическую симметрию — явление, называемое {{iw|Аномалия (физика)|аномалией|en|anomaly (physics)}}. Например, в формулировке интеграла по траекториям, несмотря на инвариантность плотности лагранжиана <math>\mathcal{L}[\phi,\partial_\mu\phi]</math>, при некотором локальном преобразовании полей [[Мера множества|мера]] <math>\int\mathcal D\phi</math> интеграла по траекториям может измениться{{sfn|Зи|2009|с=283}}. Для теории, описывающей природу, чтобы быть последовательным, она не должна содержать каких либо аномалий в калибровочной симметрии. Стандартная модель элементарных частиц — это калибровочная теория, основанная на группе {{Math|SU(3) × SU(2) × U(1)}}, в которой все аномалии точно сокращаются{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=705—707}}.

Теоретический фундамент [[Общая теория относительности|общей теории относительности]], [[Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции|принцип эквивалентности]], также можно понимать как форму калибровочной симметрии, преобразуя общую теорию относительности в калибровочную теорию, основанную на группе [[Группа Лоренца|Лоренца]]<ref>Veltman, M. J. G. (1976). ''Methods in Field Theory, Proceedings of the Les Houches Summer School, Les Houches, France, 1975''.</ref>.

[[Теорема Нётер]] утверждает, что каждая непрерывная симметрия, то есть параметр в преобразовании симметрии, являющийся непрерывным, а не дискретным, приводит к соответствующему [[Законы сохранения|закону сохранения]]{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=17—18}}{{sfn|Зи|2009|с=85—86}}. Например, {{Math|U(1)}} симметрия КЭД означает [[Закон сохранения электрического заряда|сохранение заряда]]<ref>{{Cite journal|author=Brading|first=Katherine A.|date=March 2002|title=Which symmetry? Noether, Weyl, and conservation of electric charge|journal=Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics|volume=33|issue=1|pages=3–22|doi=10.1016/S1355-2198(01)00033-8|bibcode=2002SHPMP..33....3B}}</ref>.

Калибровочные преобразования не связывают отдельные квантовые состояния. Скорее, они связывают два эквивалентных математических описания одного и того же квантового состояния. Например, поле фотона {{Math|''A<sup>μ</sup>''}}, будучи [[4-вектор|четырёхвекторным]], имеет четыре кажущихся степени свободы, но фактическое состояние фотона описывается его двумя степенями свободы, соответствующими {{iw|Поляризация фотона|поляризации|en|photon polarization}}. Остальные две степени свободы называются «избыточными», а разные способы записи {{Math|''A<sup>μ</sup>''}} можно связать друг с другом калибровочным преобразованием и, фактически, они описывают одно и то же состояние фотонного поля. В этом смысле калибровочная инвариантность — это не «настоящая» симметрия, а отражение «избыточности» выбранного математического описания{{sfn|Zee|2010|p=168 }}.

Чтобы учесть избыточность калибровки в формулировке интеграла по траекториям, необходимо выполнить так называемую процедуру [[Калибровка векторного потенциала|фиксации калибровки]] [[Духи Фаддеева — Попова|Фаддеева — Попова]]. В неабелевых калибровочных теориях такая процедура приводит к возникновению новых полей, называемых «ду́хами». Частицы, соответствующие полям духов, называются частицами-духами, которые не могут быть обнаружены извне{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=512—515}}. Более строгое обобщение процедуры Фаддеева — Попова задаётся процедурой [[Метод квантования Бекки — Руэ — Стора — Тютина|БРСТ квантования]]{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=517}}.

=== Спонтанное нарушение симметрии ===
{{main|Спонтанное нарушение симметрии}}
Спонтанное нарушение симметрии — это механизм, при котором симметрия лагранжиана описываемой им системы нарушается{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=337}}.

Чтобы проиллюстрировать механизм, рассмотрим линейную {{iw|Сигма модель|сигма-модель|en|sigma model}}, содержащую {{Math|''N''}} вещественных скалярных полей (за номер поля отвечает индекс {{Math|''i''}}), описываемых плотностью лагранжиана вида{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=339}}:

: <math>\mathcal{L} = \frac 12 \left(\partial_\mu\phi^i\right)\left(\partial^\mu\phi^i\right) + \frac 12 \mu^2 \phi^i\phi^i - \frac{\lambda}{4} \left(\phi^i\phi^i\right)^2\,,</math>

где {{Math|''μ''}} и {{Math|''λ''}} — действительные параметры. Теория допускает глобальную симметрию [[Ортогональная группа|{{Math|O(''N'')}}]]{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=339}}:

: <math>\phi^i \to R^{ij}\phi^j,\quad R\in\mathrm{O}(N)\,.</math>

Состояние с наименьшей энергией (основное состояние или вакуумное состояние) классической теории представляется любым однородным полем {{Math|''ϕ''<sub>0</sub>}}, которое удовлетворяет условию

: <math>\phi_0^i \phi_0^i = \frac{\mu^2}{\lambda}.</math>

Без ограничения общности, пусть основное состояние находится в {{Math|''N''}}-м направлении{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=339}}:

: <math>\phi_0^i = \left(0,\cdots,0,\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\right).</math>

Исходные {{Math|''N''}} полей можно переписать в виде:
: <math>\phi^i(x) = \left(\pi^1(x),\cdots,\pi^{N-1}(x),\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma(x)\right)\,</math>
и исходная плотность лагранжиана записывается как

: <math>\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\pi^k)(\partial^\mu\pi^k) + \frac 12 (\partial_\mu\sigma)(\partial^\mu\sigma) - \frac 12 (2\mu^2)\sigma^2 - \sqrt{\lambda}\mu\sigma^3 - \sqrt{\lambda}\mu\pi^k\pi^k\sigma - \frac{\lambda}{2} \pi^k\pi^k\sigma^2 - \frac{\lambda}{4}(\pi^k\pi^k)^2,</math>

где {{Math|''k'' {{=}} 1,...,''N''-1}}. Исходная {{Math|O(''N'')}} больше не появляется, а остаётся только [[подгруппа]] {{Math|O(''N''-1)}}. Большая симметрия до спонтанного нарушения симметрии называется «скрытой» или спонтанно нарушенной{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=340}}.

[[Голдстоуновский бозон|Теорема Голдстоуна]] утверждает, что при спонтанном нарушении симметрии каждая нарушенная непрерывная глобальная симметрия приводит к появлению безмассового поля, называемому бозоном Голдстоуна. В приведённом выше примере {{Math|O(''N'')}} имеет {{Math|''N''(''N''-1)/2}} непрерывных симметрий (равной размерности его [[Алгебра Ли|алгебры Ли]]), а {{Math|O(''N''-1)}} имеет {{Math|(''N''-1)(''N''-2)/2}}. Число нарушенных симметрий — это разность этих величин {{Math|''N''-1}}, что также соответствует {{Math|''N''-1}} безмассовым полям {{Math|''π<sup>k</sup>''}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=340}}.

С другой стороны, когда калибровочная (в отличие от глобальной) симметрия спонтанно нарушается, образующийся бозон Голдстоуна «съедается» соответствующим калибровочным бозоном, становясь дополнительной степенью свободы для калибровочного бозона{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=657}}. Теорема об эквивалентности бозонов Голдстоуна гласит, что при высокой энергии амплитуда излучения или поглощения продольно поляризованного массивного калибровочного бозона становится равной амплитуде излучения или поглощения бозона Голдстоуна, который был «съеден» калибровочным бозоном{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=698}}.

В КТП [[ферромагнетизм]]а спонтанное нарушение симметрии может объяснить выравнивание [[магнитный диполь|магнитных диполей]] при низких температурах{{sfn|Зи|2009|с=232}}{{sfn|Зи|2009|с=312}}. В Стандартной модели элементарных частиц [[W- и Z-бозоны|W и Z бозоны]], которые иначе были бы безмассовыми в результате калибровочной симметрии, приобретают массы через спонтанное нарушение симметрии благодаря [[Бозон Хиггса|бозону Хиггса]]. Этот процесс называется [[Механизм Хиггса|механизмом Хиггса]]{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=658}}.

== Импульсное представление ==
Для решения уравнений движения можно перейти к так называемому импульсному представлению с помощью [[Преобразование Фурье|преобразования Фурье]]{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=36}}{{refn|group=К|Здесь [[скалярное произведение]] определяется как <math>px=g_{\mu\nu}p^{\mu}x^{\nu}=p^0x^0-p^1x^1-p^2x^2-p^3x^3\,,</math> где <math>g_{\mu\nu}</math> — диагональный метрический тензор{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=10}}.}}:

: <math>\phi(x)=\frac {1}{(2\pi)^2}\int d^4p f(p)e^{ipx}\,,</math>

с учётом свойств Фурье-образа <math>f(p)</math>, в частности Фурье-образ производных <math>\partial_{\mu} \phi(x)</math> равен <math>ip_{\mu}f(p)</math>.

Нахождение решения уравнений движения можно показать на примере уравнения Клейна — Гордона{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=36}}.
{{Hider|
  title = ''Решение уравнения и импульсное представление поля Клейна — Гордона'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Переходя к импульсному представлению, уравнение Клейна — Гордона для Фурье-образа ''полевой функции'' будет иметь вид{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=36}}:

: <math>(p^2-m^2) f(p)=0\,.</math>

Следовательно, <math>f(p)=\sqrt{2\pi}\delta(p^2-m^2)\tilde{f}(p)</math> (множитель <math>\sqrt{2\pi}</math> — для удобства), где <math>\tilde{f}(p)</math> — произвольная функция <math>p</math>, определённая на массовой поверхности (из-за наличия дельта-функции) <math>p^2-m^2=0</math> или, выделяя временную компоненту <math>p_0=\pm \sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}</math> (жирным выделена пространственная часть 4-вектора импульса, то есть обычный импульс). Тогда импульсное представление имеет вид{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=37}}:

: <math>\phi(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^4p \delta(p^2-m^2)e^{ipx}\tilde{f}(p)\,.</math>

Наличие дельта-функции под знаком интеграла означает, что по существу интегрирование осуществляется не по всему 4-мерному импульсному пространству, а лишь по двум полам трёхмерного гиперболоида, определяемого уравнением массовой поверхности. Два знака перед квадратным корнем определяют два независимых решения, с помощью которых ''полевая функция'' разделяется на две компоненты (каждая в отдельности релятивистки инвариантна){{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=37}}

: <math>\phi(x)=\phi^+(x)+\phi^-(x)\,.</math>

Тогда импульсное представление двух независимых решений имеет вид{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=37}}

: <math>\phi^{\pm}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^4p \delta(p^2-m^2)\tilde{f}^{\pm}(p)e^{\pm ipx}\,.</math>

Интегрируя по временной компоненте <math>p_0</math>, получим{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=38}}

: <math>\phi^{\pm}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \frac {d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2p_0}} e^{\pm ipx}a^{\pm}(\mathbf{p})\,,</math> где <math>a^{\pm}=\tilde{f}^{\pm}/\sqrt{2p_0}\,.</math>

<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Используя импульсное представление ''полевых функций'', можно получить и остальные характеристики поля в импульсном представлении. Покажем это на примере 4-импульса для того же вещественного скалярного поля Клейна — Гордона{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=38}}.

{{Hider|
  title = ''Вывод импульсного представления для 4-импульса поля Клейна — Гордона'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->

Для получения импульсного представления характеристик поля нужно выразить эти характеристики поля через функции <math>\phi^{\pm}(x)\,,</math> а затем использовать импульсные представления последних функций. Например, гамильтониан поля равен{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=38}} 
: <math>H=\int d^3\mathbf{x}\mathcal{H}=1/2\int d^3\mathbf{x}[(\partial_{\nu}\phi(x))^2+m^2\phi^2(x)]\,.</math>

Если подставить сюда разложение ''полевой функции'' на два слагаемых, то получим в квадратных скобках различные попарные произведения положительно и отрицательно частотных ''полевых функций'' и их производных. Однако можно показать, что произведения с одинаковым знаком дают нулевой вклад. Для этого нужно использовать импульсное представление и тот факт, что произведение двух интегралов есть двойной интеграл по всевозможным комбинациям аргументов{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=39}}:

: <math>\int d^3\mathbf{x}[(\partial_{\nu}\phi^{\pm}(x))^2+m^2(\phi^{\pm}(x))^2]=\frac{1}{(2 \pi)^3} \iint \frac {d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'}}{2\sqrt{p_0 p'_0}} a^{\pm}(\mathbf{p})a^{\pm}(\mathbf{p'})e^{\pm i(p_0+p'_0)x_0}(m^2-p_{\nu}p'_{\nu}) \int d^3\mathbf{x} e^{\mp i(\mathbf{p}+\mathbf{p'})}\,.</math>

Последний интеграл в этом выражении даёт дельта-функцию <math>(2\pi)^3\delta(\mathbf{p}+\mathbf{p'})</math>, следовательно, всё выражение может быть не равно нулю, только если эта дельта-функция не равна нулю, что возможно только при условии <math>\mathbf{p'}=-\mathbf{p}</math> (откуда следует также <math>p_0=p'_0</math>). Но в таком случае выражение в скобках <math>m^2-p_{\nu}p'_{\nu}=m^2-(p^2_0+\mathbf{p}_n\mathbf{p'}_n)=m^2-p^2_0+\mathbf{p}^2</math>, что равно нулю. Следовательно, первоначальное выражение также равно нулю. Таким образом, исходный интеграл для гамильтониана должен выражаться только через произведения разнознаковых функций{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=34}}. Применяя аналогичный подход, мы получим, что{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=39}}

: <math>\int d^3\mathbf{x} [\partial_{\nu}\phi^+(x)\partial^{\nu}\phi^-(x)+m^2\phi^+(x)\phi^-(x)]=\frac{1}{(2 \pi)^3} \iint \frac {d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'}}{2\sqrt{p_0 p'_0}} a^{+}(\mathbf{p})a^{-}(\mathbf{p'})e^{ i(p_0-p'^0)x_0}(m^2+p_{\nu}p'_{\nu}) \int d^3\mathbf{x} e^{- i(\mathbf{p}-\mathbf{p'})}\,.</math>

В таком случае последний интеграл даёт дельта-функцию <math>(2\pi)^3\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p'})</math>, следовательно, должно быть равенство <math>\mathbf{p}=\mathbf{p'}</math>, чтобы обеспечить ненулевой вклад в интеграл. Тогда <math>m^2+p_{\nu}p'_{\nu}= m^2+p^2_0+\mathbf{p}^2=2p^2_0</math>. Отсюда окончательно получаем

: <math>\int d^3\mathbf{x} [\partial_{\nu}\phi^+(x)\partial^{\nu}\phi^-(x)+m^2\phi^+(x)\phi^-(x)]=\frac{1}{(2 \pi)^3} \int d^3\mathbf{p}\,p_0 a^{+}(\mathbf{p})a^{-}(\mathbf{p})\,.</math>

Аналогично гамильтониану можно получить аналогичное выражение и для других компонент 4-вектора импульса. В итоге получаем общее выражение для 4-импульса:

: <math>P^{\mu}=\frac{1}{2}\int d^3\mathbf{p}\,p^{\mu}(a^+(\mathbf{p})a^-(\mathbf{p})+a^-(\mathbf{p})a^+(\mathbf{p}))=\int d^3\mathbf{p}\,p^{\mu}a^+(\mathbf{p})a^-(\mathbf{p})\,.</math>

Первое выражение оказывается нужным при квантовании — когда порядок перемножения играет роль в силу некоммутативности операторов в общем случае{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=34—35}}.
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

{|  class="standard" | width="100%"
|-
! width="%15"| <center>Характеристика</center>
! width="%25"| <center>Скалярное поле</center>{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=41—42}}
! width="%35"| <center>Векторное поле</center>{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=47—49}}
! width="%35"| <center>Спинорное поле</center>{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=77—79}}
|-
! Импульсное представление ''полевой функции'': <math>f(\mathbf{p})</math> в выражении <math>\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \frac {d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2p_0}} f(\mathbf{p})\,.</math>
: <math>a</math> отвечает за частицу, <math>b</math> — за античастицу.
|
: <math>e^{-ipx}a(\mathbf{p})+e^{ipx}b^+(\mathbf{p})\,,</math> для вещественного поля <math>b=a\,.</math>
|
: <math> \sum^3_{n=1}e^n_{\mu}(\mathbf{p})(e^{-ipx}a_n(\mathbf{p})+e^{ipx}b_n^+(\mathbf{p}))</math>
|
: <math>	
\begin{align}\sum^2_{r=1}(e^{-ipx}a_r(\mathbf{p})u_r(\mathbf{p})+ \\ e^{ipx}b_r^+(\mathbf{p})v_r(\mathbf{p}))\end{align}</math>
|-
! Плотность <math>n(\mathbf{p})</math> частиц с импульсом <math>\mathbf{p}\,.</math> Общее число частиц <math>N=\int d^3\mathbf{p}\, n(\mathbf{p})\,.</math><br> 4-импульс поля <math>P^{\nu}=\int d^3\mathbf{p}\, p^{\nu} n(\mathbf{p})</math>
|
: <math>(a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p})+b^+(\mathbf{p})b(\mathbf{p}))</math>
|
: <math> \sum^3_{n=1}(a^+_n(\mathbf{p})a_n(\mathbf{p})+b_n^+(\mathbf{p})b_n(\mathbf{p}))</math>
|
: <math>\begin{align}\sum^2_{r=1}(a^+_r(\mathbf{p})a_r(\mathbf{p})- \\ b_r^+(\mathbf{p})b_r(\mathbf{p}))\end{align}</math>
|-
! Заряд <math>(Q)</math>
|
: <math>(a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p})-b^+(\mathbf{p})b(\mathbf{p}))\,,</math> для вещественного поля равен нулю
|
: <math>\sum^3_{n=1}(a^+_n(\mathbf{p})a_n(\mathbf{p}) -b_n^+(\mathbf{p})b_n(\mathbf{p}))</math>
|
: <math>\begin{align}\sum^2_{r=1}(a^+_r(\mathbf{p})a_r(\mathbf{p})- \\ b_r^+(\mathbf{p})b_r(\mathbf{p}))\end{align}</math>
|-
! Проекция спина на направление импульса
|
: 0
|
: <math>b^+_1a_1-b_1a^+_1+b_2a^+_2-b^+_2a_2\,,</math> индексы 1 и 2 отвечают частицам с проекциями спина <math>\pm 1\,,</math> а третий индекс — частицам с нулевой проекцией спина
|
: 
|-
|}

== Квантование полей ==
{{main|Вторичное квантование}}
Квантование означает переход от полей (''полевых функций'') к соответствующим операторам (операторнозначным функциям), действующим на вектор (амплитуду) состояния '''Φ'''. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=57}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=65}}. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется ''[[Пространство Фока|пространством Фока]]''{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=70}}.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, как и классическое выражение этих величин через ''полевые функции'' (с учётом порядка перемножения, поскольку умножение операторов в общем случае некоммутативно, в отличие от произведения обычных функций). [[Скобка Пуассона]] (см. гамильтонов формализм) заменяется на [[Коммутатор (алгебра)|коммутатор]] соответствующих операторов{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=62—63}}. В частности, классический гамильтонов формализм трансформируется в квантовый следующим образом:

: <math>[\psi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{x'},t)]=[\pi(\mathbf{x},t), \pi(\mathbf{x'},t)]=0, \qquad [\pi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{x'},t)]=-i\delta^{(3)}(\mathbf{x-x'}).</math>

Это так называемые коммутационные соотношения Бозе — Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе — разности «прямого» и «обратного» произведения операторов{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=71}}

: <math>[A,B]=AB-BA.</math>

Коммутационные соотношения Ферми — Дирака основаны на антикоммутаторе — сумме «прямого» и «обратного» произведения операторов{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=71}}:

: <math>[A,B]_+=AB+BA.</math>

Кванты первых полей подчиняются [[статистика Бозе — Эйнштейна|статистике Бозе — Эйнштейна]] и называются [[бозоны|бозонами]], а кванты вторых подчиняются [[статистика Ферми — Дирака|статистике Ферми — Дирака]] и называются [[фермионы|фермионами]]. Квантование полей по Бозе — Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым [[спин]]ом, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми — Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=71}}.

Из коммутационных соотношений для ''полевой функции'', играющей здесь роль обобщённой координаты, и соответствующего обобщённого импульса можно получить коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения квантов в импульсном представлении (для скалярного действительного поля){{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=79}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=122}}
: <math>[a(\mathbf{p}),a^+(\mathbf{p'})]=\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p'}), \qquad [a(\mathbf{p}),a(\mathbf{p'})]=[a^+(\mathbf{p}),a^+(\mathbf{p'})]=0\,.</math>

=== Поле как набор гармонических осцилляторов ===
{{main|Квантовый гармонический осциллятор}}
Поле можно представить в виде бесконечного множества гармонических осцилляторов. Это можно показать на примере поля Клейна — Гордона. Трёхмерный (по трём пространственным координатам) Фурье-образ ''полевой функции'' удовлетворяет следующему уравнению (Фурье-образ уравнения Клейна — Гордона)
: <math>\partial^2_t\phi(\mathbf{p},t)+(\mathbf{p}^2+m^2)\phi(\mathbf{p},t)=0,</math>
что является дифференциальным уравнением для гармонического осциллятора с частотой <math>\omega=\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}</math> каждой фиксированной моды <math>\mathbf{p}</math> Фурье-разложения. Для каждого такого [[Квантовый гармонический осциллятор|квантового гармонического осциллятора]], как известно из квантовой механики, стационарные состояния <math>\phi_n</math> можно связать между собой повышающим и понижающим операторами следующим образом{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=58}}
: <math>{\hat{a}}^+{\phi}_n={\sqrt{n+1}}{\phi}_{n+1}, \qquad {\hat{a}}{\phi}_n={\sqrt{n}}{\phi}_{n-1},</math>

а гамильтониан равен <math>H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}</math>, где <math>\hat{n}={a}^+a</math>. Соответственно энергия осциллятора квантуется как <math>E_n={\hbar} {\omega}(n+1/2)</math>, где квантовое число <math>n</math> соответствует собственным значениям оператора <math>\hat{n}={a}^+a</math>{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=59}}.

Таким образом, применение повышающего или понижающего оператора изменяет квантовое число <math>n</math> на единицу и приводит к одинаковому изменению энергии осциллятора (''эквидистантность спектра''), что можно интерпретировать как рождение или уничтожение кванта поля с энергией <math>{\hbar} {\omega}</math>. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведённые операторы, как '''операторы рождения и уничтожения'''. Любое состояние с индексом <math>n</math> может быть представлено как действие <math>n</math> операторов рождения на «нулевое» состояние{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=59}}:

: <math>{\phi}_n=\frac{(\hat{a}^+)^n}{\sqrt{n!}}\phi_0.</math>
 
В случае <math>N</math> осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов отдельных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения <math>\hat{a}^+_k, k=1,...,N</math>. Следовательно, произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью '''чисел заполнения''' <math>n_k</math> — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

: <math>\phi(n_1,...,n_N)=\prod_{(k)}{\frac{(\hat{a_k}^+)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}}\phi_0.</math>

Такое представление называют '''представлением чисел заполнения'''. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания вектора состояния как функции от координат (координатное представление) или как функции от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбуждённого состояния — числом заполнения{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=60}}.

=== Фоковские пространство и представление ===
{{main|Пространство Фока}}
В квантовой теории поля гамильтониан, первоначально выраженный как функция <math>\psi</math> и <math>\pi</math>, в конечном итоге также выражается через соответствующие операторы рождения и уничтожения квантов полей. Главный принцип сохраняется — любые операторы выражаются через эти операторы рождения и уничтожения так же, как соответствующие функции до квантования. Единственное различие — порядок записи операторов имеет значение, так как операторы, в отличие от обычных функций, в общем случае некоммутативны и удовлетворяют соответствующим коммутационным соотношениям{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=65}}.

Все операторы рождения и уничтожения и их комбинации, операторы самих полей и их производных — все они действуют в бесконечномерном ''пространстве Фока''. В пространстве Фока в первую очередь определяется вакуум (вакуумное состояние) <math>\Phi_0</math> или <math>|0\rangle</math>, по аналогии с нулевым состоянием квантового осциллятора. Вакуум определяется как{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=69—70}}

: <math>a(\mathbf{p})|0\rangle=\langle0|a^+(\mathbf{p})=0, \qquad \langle0|0\rangle=1\,.</math>

Произвольные состояния задаются как возбуждения вакуума следующего вида{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=70}}:

: <math>|f\rangle=\int d^3\mathbf{p_1}d^3\mathbf{p_2}...d^3\mathbf{p_k}f(\mathbf{p_1},\mathbf{p_2},...,\mathbf{p_k})a^+(\mathbf{p_1})a^+(\mathbf{p_2})...a^+(\mathbf{p_k})|0\rangle.</math>

Это и есть фоковское представление для ''k''-частичного состояния. Функции ''f'' являются обычными квантово-механическими волновыми функциями. Обычно они предполагаются квадратично-интегрируемыми, чтобы нормы векторов состояний были конечными величинами. Однако состояния с бесконечной нормой тоже имеют смысл. Например, состояние <math>a^+(\mathbf{p})|0\rangle</math> имеет бесконечную норму <math>(\delta(0))</math>, однако это состояние соответствует одночастичному состоянию с определённым импульсом и, если рассматривать пространственную плотность таких частиц, то она оказывается конечной{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=70}}.

=== Нормальное и хронологическое произведение. Теорема Вика ===
{{main|Теорема Вика (в квантовой электродинамике)}}
Из определения вакуума следует, что [[вакуумное среднее]] произведения любого количества операторов рождения и уничтожения, в котором все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения, равно ''нулю''. Соответствующий порядок написания операторов рождения и уничтожения называется ''нормальной формой'' или ''нормальным упорядочением''<ref>{{Книга:Физическая энциклопедия| | автор = Чехов Л. О. | статья =Нормальное произведение | ссылка =http://femto.com.ua/articles/part_2/2515.html | страницы =}}</ref>. Чтобы подчеркнуть, что операторы нормально упорядочены, соответствующие произведения заключаются между двоеточиями, например, <math>\colon\phi(x)\phi(y)\colon</math>, или используются обозначения с введением некоторого условного оператора <math>\mathcal{N}\{\phi(x)\phi(y)\}</math>{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=102}}.

Нормальная форма связана с обычной через коммутатор операторов, а именно «обычная» форма равна нормальной форме плюс (анти)коммутатор соответствующих операторов («неправильно» упорядоченных). Например (<math>\phi^+(x)</math> содержит оператор уничтожения, <math>\phi^-(x)</math> содержит оператор рождения),

: <math>\phi(x)\phi(y)= \mathcal{N}\{\phi^+(x)\phi^+(y)\}+\phi^+(x)\phi^-(y)+\mathcal{N}\{\phi^-(x)\phi^+(y)\}+\mathcal{N}\{\phi^-(x)\phi^-(y)\}.</math>

В этой записи лишь одно слагаемое записано не в нормальной форме, соответственно можно записать

: <math>\begin{alignat}{2}
\phi(x)\phi(y) & =(\mathcal{N}\{\phi^+(x)\phi^+(y)\}+\mathcal{N}\{\phi^-(y)\phi^+(x)\}+\mathcal{N}\{\phi^-(x)\phi^+(y)\}+\mathcal{N}\{\phi^-(x)\phi^-(y)\}) \\
&+(\phi^+(x)\phi^-(y)-\phi^-(y)\phi^+(x))=\mathcal{N}\{\phi(x)\phi(y)\}+[\phi^+(x),\phi^-(y)].\\
\end{alignat}</math>

Тем самым вакуумное среднее от исходного произведения операторов по существу будет определяться только последним коммутатором{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=102}}.

[[Хронологическое упорядочение|Хронологическое произведение]] определяется как упорядоченное по временной переменной (нулевой компоненте 4-координат) произведение{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=160—161}}:

: <math>\mathcal{T}f_1(x_1)f_2(x_2)...f_n(x_n)=(-1)^{\sigma}f_{i_1}(x_{i_1})f_{i_2}(x_{i_2})...f_{i_n}(x_{i_n})</math>, где <math>x^0_{i_1}>x^0_{i_2}>...>x^0_{i_n}\,,</math>

где <math>{\sigma}</math> — число перестановок ''фермионных'' полей между собой в ходе упорядочения по <math>x^0</math> (перестановка бозонных полей не влияет на знак)<ref>{{Книга:Физическая энциклопедия| | автор = Вернов Ю. С. | статья =Хронологическое произведение | ссылка =http://femto.com.ua/articles/part_2/4485.html | страницы =}}</ref>.

Произведения пары ''полевых функций'' в разных точках пространства-времени <math>\phi(x)\phi(y)</math> можно выразить через нормальную форму плюс коммутатор. Под знаком хронологического упорядочения здесь нужно сделать модификацию — вместо коммутатора нужно использовать так называемую ''свёртку'' <math>\overline{\phi(x)\phi(y)}</math>, равную коммутатору <math>[\phi^+(x),\phi^-(y)]</math>, если <math>x^0>y^0</math> и коммутатору <math>[\phi^+(y),\phi^-(x)]</math>, если <math>y^0>x^0</math>. Таким образом, хронологическое произведение двух ''полевых функций'' равно сумме их произведения в нормальной форме и свёртки{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=103}}:

: <math>\mathcal{T}\phi(x)\phi(y)=\mathcal{N}\{\phi(x)\phi(y)\}+\overline{\phi(x)\phi(y)}\,.</math>

Теорема Вика обобщает данное представление на случай произвольного количества множителей:

: <math>\mathcal{T}f_1f_2...f_n=\sum (-1)^{\sigma}\overline{ f_{i_1} f_{i_2} }...\overline{f_{i_{k-1}} f_{i_k}} \mathcal{N}\{ f_{i_{k+1}}...f_{i_n} \}\,,</math>

где сумма берётся по всем возможным попарным свёрткам функций (<math>k</math> — неотрицательные чётные числа, не превышающие <math>n</math>)<ref>{{Книга:Физическая энциклопедия| | автор= Ширков Д. В. | статья=Вика теорема | ссылка=http://femto.com.ua/articles/part_1/0490.html | страницы =}}</ref>.

=== Основные коммутационные соотношения ===
{{main|Коммутатор (алгебра)}}
Выражение для вакуумного среднего, обозначенное как <math>D^-(x-y)</math>, от произведения полевых операторов скалярного поля Клейна — Гордона с учётом сказанного выше имеет вид{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=44}}

: <math>D^-(x-y)=\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle=\frac {1}{(2\pi)^3}\iint \frac{d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'}}{2\sqrt{p_0p'_0}}e^{-ip(x-y)}[a(\mathbf{p}),a^+(\mathbf{p'})]=</math>
: <math>=\frac {1}{(2\pi)^3}\iint\frac{d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'}}{2\sqrt{p_0p'_0}}e^{-ip(x-y)}\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p'})=\frac {1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{2p_0}e^{-ip(x-y)}\,.</math>

Это амплитуда распространения частицы из точки <math>y</math> в точку <math>x</math>. Можно показать, что эта функция [[Преобразования Лоренца|лоренц-инвариантна]]. Коммутатор полевых функций выражается через эту функцию следующим образом:

: <math>[\phi(x ),\phi(y)]=D^-(x-y)-D^-(y-x)=D(x-y)=\frac {1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf{p}}{2p_0}(e^{-ip(x-y)}-e^{-ip(y-x)})\,.</math>

Для любого пространственноподобного интервала <math>(x-y)^2<0</math> можно выбрать систему отчёта так, чтобы <math>x-y</math> сменил знак, а в силу лоренц-инвариантности это означает, что соответствующий коммутатор равен нулю. Это означает, что в точках, разделённых пространственноподобным интервалом, возможны измерения, и они не влияют друг на друга. То есть никакое измерение не может повлиять на другое измерение вне светового конуса. Это означает соблюдение ''[[Принцип причинности|принципа причинности]]'' в квантовой теории поля. Для комплексных полей принцип причинности требует наличия пары частица-античастица с одинаковыми массами и противоположными «зарядами»{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=45—46}}.

=== Пропагаторы ===
{{main|Пропагатор}}
[[Пропагатор]] <math>D^c(x-y)</math> определяется через вакуумное среднее от хронологического произведения двух ''полевых операторов'' скалярного поля{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=167}}:

: <math>\begin{align}
D^c(x-y) & =i\langle0|\mathcal{T}\phi(x)\phi(y)|0\rangle=i(\theta(x_0-y_0)D^-(x-y)+\theta(y_0-x_0)D^-(y-x))= \\
 & =\frac {i}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{2p_0}(\theta(x_0-y_0)e^{-ip(x-y)}+\theta(y_0-x_0)e^{-ip(y-x)})\,,
\end{align}</math>

где <math>\theta(x)</math> — это [[функция Хевисайда]]. Чётная функция <math>D^c(x)</math> — это [[функция Грина]] для оператора Клейна — Гордона, в частности{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=167}}

: <math>(\partial^2+m^2)D^c(x)=\delta(x).</math>

Следовательно, 4-мерный фурье-образ этой функции должен быть пропорционален <math>(m^2-p^2)^{-1}</math>. Однако, в силу неопределённости в точках на массовой поверхности <math>m^2-p^2=0</math>, её импульсное представление записывают следующим образом{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=167}}:

: <math>D^c(x)=\frac {1}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ipx}}{m^2-p^2-i\epsilon}\,,</math>

где <math>\epsilon</math> — бесконечно малая величина, которая задаёт обходы полюсов <math>p_0=\pm \sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}</math> при интегрировании по <math>p_0</math>.

Пропагаторы базовых полей (ненулевыми являются только свёртки одинаковых полей противоположных зарядов){{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=168}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=215}}{{sfn|Владимиров|2013|с=19}}:

{|  class="standard" | width="100%"
|-
! width="%15"| <center>Поле</center>
! width="%25"| <center>Величина</center>
! width="%25"| <center>Формула</center>
|-
! Вещественное или комплексное скалярное поле{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=193}}
|
: <math>\langle0|\mathcal{T}\phi(x)\phi^*(y)|0\rangle</math>
|
: <math>-iD^c(x-y)=\frac {i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon}</math>
|-
! Спинорное поле{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=194}}
|
: <math>\langle0|\mathcal{T}\psi(x)\bar{\psi}(y)|0\rangle</math>
|
: <math>\left(\gamma^{\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}-im\right)D^c(x-y)=\frac {i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}(\gamma^{\nu}p_{\nu}+m)}{p^2-m^2+i\epsilon}</math>
|-
! Массивное векторное поле
|
: <math>\langle0|\mathcal{T}U_{\mu}(x)U_{\nu}^*(y)|0\rangle</math>
|
: <math>\frac {-i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}(g_{\mu\nu}-p_{\mu}p_{\nu}/m^2)}{p^2-m^2+i\epsilon}</math>
|-
! Вещественное безмассовое векторное (электромагнитное) поле{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=194}}
|
: <math>\langle0|\mathcal{T}A_{\mu}(x)A_{\nu}(y)|0\rangle</math>
|
: <math>\frac {-i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}g_{\mu\nu}}{p^2+i\epsilon}</math>
|-
|}

== ''S''-матрица ==
{{main|Матрица рассеяния}}
Пусть задано начальное состояние полей <math>|in\rangle</math> в «далёком» прошлом и конечное состояние в «далёком» будущем <math>|out\rangle</math>. Предполагается, что в «далёком» прошлом и будущем взаимодействие отсутствует, а «включается» оно в некоторой конечной пространственно-временной области. Оператор <math>S</math>, переводящий начальное состояние в конечное, называется оператором рассеяния{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=115}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=120}}:

: <math>|out\rangle=S|in\rangle\,.</math>

Соответственно, амплитуда <math>\mathcal{M}</math> перехода из начального состояния в конечное состояние равна{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=116}}:

: <math>\mathcal{M}=\langle out|S|in \rangle\,.</math>

Оператор рассеяния можно выразить через матричные элементы в некотором базисе. Соответствующая бесконечномерная матрица называется ''[[Матрица рассеяния|матрицей рассеяния]]'' или <math>S</math>-матрицей. Квадраты модулей матричных элементов определяют вероятности переходов между базисными векторами начального и конечного состояний{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=120}}.

Исходя из общих требований [[Лоренц-ковариантность|релятивистской ковариантности]], [[Принцип причинности|причинности]], [[Унитарность (физика)|унитарности]]{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=190—192}}, а также принципа соответствия{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=202}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=145}} можно показать, что <math>S</math>-матрица (оператор) выражается через лагранжиан взаимодействия следующим образом (эту формулу иногда также получают с помощью теории возмущений){{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=121}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=203}}:

: <math>S=\mathcal{T}e^{i\int d^4x \mathcal{L}_I (\phi(x))}=\sum_n \frac {i^n}{n!}\mathcal{T}\left(\int d^4x\mathcal{L}_I(x)\right)^n=\sum_n \frac {i^n}{n!}\int \mathcal{T}\prod^n_{j=1}d^4x_j\mathcal{L}_I(x_j)\,,</math>

<math>\mathcal{T}e</math> — хронологическая экспонента, то есть <math>\mathcal{T}</math>-экспонента, понимаемая как разложение в указанный выше бесконечный ряд по <math>\mathcal{T}</math>-произведениям (хронологическим произведениям) <math>\mathcal{T}\prod^n_{j=1}</math>{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=205—206}}{{sfn|Боголюбов и Ширков|1984|с=209}}.

Пусть начальное состояние имеет вид <math>|in\rangle=a^+(\mathbf{p_1})...a^+(\mathbf{p_s})|0\rangle</math>, а конечное состояние <math>|out\rangle=a^+(\mathbf{p'_1})...a^+(\mathbf{p'_r})|0\rangle</math>. Тогда вклад <math>n</math>-го порядка теории возмущений будет равен вакуумному среднему следующего вида (константа связи <math>g</math> выведена из лагранжиана взаимодействия){{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=121}}:

: <math>\frac {i^ng^n}{n!}\langle0|a(\mathbf{p'_1})...a(\mathbf{p'_r})\int \mathcal{T}\prod^n_{j=1}d^4x_j\mathcal{L}_I(x_j)a^+(\mathbf{p_1})...a^+(\mathbf{p_s})|0\rangle\,.</math>

С учётом теоремы Вика такого рода вакуумные средние будут разложены на слагаемые, в которых за знак вакуумного среднего будут выведены все свёртки в этих слагаемых, а оставшиеся ''полевые операторы'' в нормальной форме будут участвовать только в (анти)коммутаторах с операторами начального и конечного состояния, порождая стандартные вклады от таких коммутаторов. Ненулевой вклад могут дать только те слагаемые, в которых количество и тип полей под знаком нормального произведения будет соответствовать типу и общему числу частиц в начальном и конечном состояниях. Эти ненулевые вклады также выводятся за знак вакуумного среднего (ибо они тоже не являются операторами) и в этих слагаемых остаются множители с вакуумными обкладками без операторов <math>\langle0|0\rangle</math>, что равно единице по определению. В конечных выражениях, таким образом, не остаётся операторов и вакуумных обкладок, а остаются свёртки и выражения для коммутаторов ''полевых операторов'' с операторами начальных и конечных состояний. Свёртки заменяются их импульсными представлениями — пропагаторами, а интегрирование по пространственно-временным координатам устраняет все экспоненты, заменяя их на дельта-функции от сумм 4-импульсов. Интегралы по импульсам также уничтожают большую часть этих дельта-функций. Какие именно конечные выражения получаются, можно формализовать с помощью правил и соответствующих диаграмм Фейнмана{{sfn|Владимиров|2013|с=21}}.

== Правила и диаграммы Фейнмана ==
{{main|Диаграммы Фейнмана|Правила Фейнмана}}

=== Интегралы по траекториям ===
{{Основная статья|Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям}}
Формулировка КТП через интегралы по траекториям связана с прямым вычислением [[Амплитуда рассеяния|амплитуды рассеяния]] определённого процесса взаимодействия, а не с определением операторов и пространств состояний. Чтобы вычислить [[Статистическая интерпретация волновой функции|амплитуду вероятности]] эволюции системы из некоторого начального состояния <math>|\phi_I\rang</math> в момент времени {{Math|''t'' {{=}} 0}} до некоторого конечного состояния <math>|\phi_F\rang</math> при {{Math|''t'' {{=}} ''T''}} общее время {{Math|''T''}} делится на {{Math|''N''}} небольших интервалов. Общая амплитуда — это произведение амплитуды эволюции в каждом интервале времени, интегрированное по всем промежуточным состояниям. Пусть {{Math|''H''}} — [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониан]] (то есть [[Оператор эволюции|генератор эволюции]] во времени), тогда{{sfn|Zee|2010|p=61}}

: <math>\lang \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rang = \int d\phi_1\int d\phi_2\cdots\int d\phi_{N-1}\,\lang \phi_F|e^{-iHT/N}|\phi_{N-1}\rang\cdots\lang \phi_2|e^{-iHT/N}|\phi_1\rang\lang \phi_1|e^{-iHT/N}|\phi_I\rang\,.</math>

В пределе {{Math|''N'' → ∞}} указанное произведение интегралов становится функциональным интегралом{{sfn|Зи|2009|с=12—15}}:

: <math>\lang \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rang = \int \mathcal{D}\phi(t)\,\exp\left\{i\int_0^T dt\,L\right\}\,,</math>

где {{Math|''L''}} — лагранжиан, содержащий {{Math|''ϕ''}} и его производные по пространственным и временным координатам, полученным из гамильтониана {{Math|''H''}} с помощью [[Преобразование Лежандра|преобразования Лежандра]]. Начальные и конечные условия для интеграла по траекториям соответственно равны{{sfn|Зи|2009|с=13}}

: <math>\phi(0) = \phi_I,\quad \phi(T) = \phi_F\,.</math>

Другими словами, полная амплитуда — это сумма по амплитуде всех возможных траекторий между начальным и конечным состояниями, где амплитуда пути задаётся экспонентой в подынтегральном выражении{{sfn|Зи|2009|с=13}}.

=== Двухточечная корреляционная функция ===
{{Main|Корреляционная функция (квантовая теория поля)}}

В расчётах часто встречаются выражения типа
: <math>\lang 0|\mathcal{T}\phi(x)\phi(y)|0\rang
\quad \text{или} \quad
\lang \Omega |\mathcal{T}\phi(x)\phi(y)|\Omega \rang</math>

в свободной теории или теории с взаимодействием соответственно. Здесь, <math>x</math> и <math>y</math> — координатные 4-векторы, <math>\mathcal{T}</math> — оператор [[Хронологическое упорядочение|временного упорядочивания]], который переставляет операторы таким образом, чтобы время компонент <math>x^0</math> и <math>y^0</math> увеличивалось от правых к левым компонентам, и <math>|\Omega\rang</math> — основное состояние ([[Вакуум квантовой теории поля|вакуумное состояние]]) взаимодействующей теории, отличное от свободного основного состояния <math>| 0 \rang</math>. Это выражение представляет собой амплитуду вероятности распространения поля от {{math|''y''}} до {{math|''x''}} и имеет несколько названий, например, двухточечный [[пропагатор]], двухточечная [[корреляционная функция (квантовая теория поля)|корреляционная функция]], двухточечная [[функция Грина]] или, для краткости, просто двухточечная функция{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=97}}.

Свободная двухточечная функция, также известная как [[пропагатор|фейнмановский пропагатор]], находится для вещественного скалярного поля либо с помощью канонического квантования, либо с помощью интегралов по траекториям{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=47}}{{sfn|Зи|2009|с=28}}:

: <math>\lang 0|\mathcal{T}\phi(x)\phi(y) |0\rang \equiv D_F(x-y) = \lim_{\epsilon\to 0} \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} e^{-ip (x - y)}\,.</math>

Этот пропагатор входит в феймановские диаграммы и описывает распространение виртуальных частиц{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=48}}. В теории с взаимодействием, где лагранжиан или гамильтониан содержат слагаемые <math>L_I(t)</math> или <math>H_I(t)</math>, описывающие взаимодействия, двухточечную функцию определить сложнее. Однако, используя формулировку канонического квантования или формулировку интеграла по путям, её можно выразить через бесконечный ряд возмущений «свободной» двухточечной функции{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=101}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=281}}.

В терминах канонического квантовании двухточечная корреляционная функция записывается как{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=101}}:
: <math>\lang\Omega|\mathcal{T}\phi(x)\phi(y)|\Omega\rang = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \frac{\left\lang 0\left|\mathcal{T}\phi_I(x)\phi_I(y)\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right|0\right\rang}{\left\lang 0\left|\mathcal{T}\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right|0\right\rang}\,,</math>
где <math>\epsilon</math> — [[бесконечно малая]], а {{math|''ϕ<sub>I</sub>''}} — ''полевой оператор'' в рамках свободной теории. Здесь [[Экспоненциальная функция|экспоненту]] следует понимать как её [[степенной ряд]]. Например, в [[Взаимодействие четвёртой степени|{{math|''ϕ''<sup>4</sup>}}-теории]] взаимодействующий член гамильтониана равен <math display="inline">H_I(t) = \int d^3 x\,\frac{\lambda}{4!}\phi_I^4(x)</math>{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=97}}, и разложение двухточечного коррелятора по <math>\lambda</math> становится
: <math>\lang\Omega|\mathcal{T}\phi(x)\phi(y)|\Omega\rang = 
\frac{
    \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i \lambda)^n}{(4 !)^n n !} \int d^4 z_1 \cdots \int d^4 z_n \lang 0|\mathcal{T}\phi_I(x)\phi_I(y)\phi_I^4(z_1)\cdots\phi_I^4(z_n)|0\rang}{
    \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i \lambda)^n}{(4 !)^n n !} \int d^4 z_1 \cdots \int d^4 z_n \lang 0|\mathcal{T}\phi_I^4(z_1)\cdots\phi_I^4(z_n)|0\rang
}\,.</math>

Это разложение возмущения выражает взаимодействующую двухточечную функцию в терминах величин <math>\lang 0 | \cdots | 0 \rang</math>, которые оцениваются в свободной теории{{sfn|Бьёркен и Дрелл, т. 2|1978|с=189}}.

В формулировке интеграла по путям двухточечная корреляционная функция записывается как

: <math>\lang\Omega|\mathcal{T}\phi(x)\phi(y)|\Omega\rang = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \frac{\int\mathcal{D}\phi\,\phi(x)\phi(y)\exp\left[i\int_{-T}^T d^4z\,\mathcal{L}\right]}{\int\mathcal{D}\phi\,\exp\left[i\int_{-T}^T d^4z\,\mathcal{L}\right]}\,,</math>

где <math>\mathcal{L}</math> — плотность лагранжиана. Как и в предыдущем абзаце, экспонента может быть разложена в ряд по {{math|''λ''}}, сводя взаимодействующую двухточечную функцию к величинам в свободной теории{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=281}}.

Все произведения с нечётным количеством полей в числителе исчезают из-за антисимметрии, поэтому остаются только члены ряда с чётным количеством полей{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=284}}. [[Теорема Вика (в квантовой электродинамике)|Теорема Вика]] дополнительно сводит любую {{math|''n''}}-точечную корреляционную функцию в свободной теории к сумме произведений двухточечных корреляционных функций. Например, четырёхтечечная корреляционная функция
: <math>\begin{align}
\lang 0|\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)|0\rang &= \lang 0|\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)|0\rang \lang 0|\mathcal{T}\phi(x_3)\phi(x_4)|0\rang\\
&+ \lang 0|\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_3)|0\rang \lang 0|\mathcal{T}\phi(x_2)\phi(x_4)|0\rang\\
&+ \lang 0|\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_4)|0\rang \lang 0|\mathcal{T}\phi(x_2)\phi(x_3)|0\rang\,.
\end{align}</math>
Поскольку взаимодействующие корреляционные функции могут быть выражены через свободные корреляционные функции, для расчёта всех физических величин во взаимодействующей теории необходимо оценивать только последние{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=103}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=284}}.

=== Диаграмма Фейнмана ===
Корреляционные функции в теории взаимодействий можно записать в виде ряда возмущений. Каждый член в этой серии является произведением пропагаторов Фейнмана для свободных частиц и может быть визуально представлен [[Диаграммы Фейнмана|диаграммой Фейнмана]]. [[Взаимодействие четвёртой степени|{{math|''ϕ''<sup>4</sup>}}-теория]] является простейшей теорией с взаимодействием, и её часто рассматривают в педагогических целях. Такая нелинейность может появляться в [[статистическая физика|статистической физике]] и в стандартной электрослабой теории. Лагранжиан этой теории записывается в виде{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=92}}
: <math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 -\frac{\lambda}{4!}\phi^4\,, </math>
где {{Math|''λ''}} — безразмерная ''[[Константа взаимодействия|константа связи]]'', играющая роль малого параметра, по которому строится ряд теории возмущений{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=97}}. Например, вклад порядка {{Math|''λ''<sup>1</sup>}} в двухточечной корреляционной функции ([[функция Грина]]) в теории {{Math|''ϕ''<sup>4</sup>}} имеет следующий вид:
: <math>\frac{-i\lambda}{4!}\int d^4z\,\lang 0|\mathcal{T}\phi(x)\phi(y)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z)|0\rang\,.</math>

После применения теоремы Вика появляются слагаемые вида{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=105}}
: <math>12\cdot \frac{-i\lambda}{4!}\int d^4z\, D_F(x-z)D_F(y-z)D_F(z-z)\,,</math>
где <math>D_F(x-y)</math> — фейнмановский пропагатор. Альтернативно то же слагаемое можно получить из диаграммы Фейнмана
[[Файл:Phi-4 one-loop.svg|center|200px]]

Диаграмма состоит из{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=104—108}}

* внешних точек, соединённых одной линией (здесь обозначены <math>x</math> и <math>y</math>).
* внутренних вершин, соединённых линиями (здесь обозначена <math>z</math>).
* линий, соединяющих вершины.

Каждой вершине соответствует один полевой множитель <math>\phi</math> в соответствующей точке пространства-времени, а края соответствуют пропагаторам между точками пространства-времени. Член в ряду возмущений, соответствующий диаграмме, получается записью выражения, которое следует из правил Фейнмана{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=106}}:

# Для каждой внутренней вершины <math>z_i</math>, записывается коэффициент <math display="inline">-i \lambda \int d^4 z_i</math>;
# Для каждой линии, соединяющего две вершины <math>z_i</math> и <math>z_j</math>, записывается коэффициент <math>D_F(z_i-z_j)</math>;
# Разделить на коэффициент симметрии диаграммы.

С коэффициентом симметрии <math>2</math>, следование этим правилам даёт в точности указанное выше выражение. Используя преобразование Фурье, правила Фейнмана можно переформулировать из координатного пространства в пространство импульсов{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=106}}.

Чтобы вычислить {{Math|''n''}}-точечную корреляционную функцию до {{Math|''k''}}-го порядка, перечисляют все допустимые диаграммы Фейнмана с {{Math|''n''}}-внешними точками и {{Math|''k''}} или меньшим количеством вершин, а затем используют правила Фейнмана, чтобы получить выражение для каждого члена. Точнее{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=111}},
: <math>\lang\Omega|\mathcal{T}\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)|\Omega\rang</math>
равно сумме (соответствующих выражений) всех связанных диаграмм с {{Math|''n''}} внешними точками. (Связанные диаграммы — это такие, в которых каждая вершина соединена с внешней точкой линиями. Компоненты, которые полностью отсоединены от внешних линий, иногда называют «вакуумными пузырями».) В {{Math|''ϕ''<sup>4</sup>}} каждая вершина должна иметь четыре ножки{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=107}}.

В реальных приложениях амплитуду рассеяния определённого взаимодействия или [[Радиоактивный распад|скорость распада]] частицы можно вычислить из [[Матрица рассеяния|''S''-матрицы]], которую находят с помощью метода диаграмм Фейнмана{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=112}}.

Диаграммы Фейнмана, лишённые петель, называются древесными диаграммами, которые описывают процессы взаимодействия низшего порядка; диаграммы, содержащие {{Math|''n''}} петель, называются {{Math|''n''}}-петлевыми диаграммами, которые описывают вклады более высокого порядка или радиационные поправки к взаимодействию{{sfn|Зи|2009|с=53}}. Линии, конечные точки которых являются вершинами, можно рассматривать как распространение [[Виртуальная частица|виртуальных частиц]]{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=105}}.

=== Ренормализация ===
{{main|Перенормировка}}
Правила Фейнмана можно использовать для прямой оценки древовидных диаграмм. Однако наивное вычисление петлевых диаграмм, подобных показанной выше, приведёт к расходящимся интегралам по импульсам, то есть почти все члены в пертурбативном разложении бесконечны. Процедура [[Перенормировка|перенормировки]] — это систематический процесс удаления таких бесконечностей{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=309}}.

Параметры{{refn|group=К|Рассматривается теория {{Math|''ϕ''<sup>4</sup>}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=316}}.}}, входящие в лагранжиан, такие как масса {{Math|''m''}} и константа связи {{Math|''λ''}}, не имеют физического смысла — {{Math|''m''}}, {{Math|''λ''}} и напряжённость поля {{Math|''ϕ''}} не являются экспериментально измеряемыми величинами и упоминаются здесь как голая масса, голая константа связи, и голое поле. Физические масса и константа связи измеряются в некотором процессе взаимодействия и обычно отличаются от голых величин{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=316}}. При вычислении физических величин в этом процессе взаимодействия ограничивают область интегрирования расходящихся интегралов по импульсам до значения ниже некоторого порогового значения импульса {{Math|Λ}}, чтобы получить выражения для физических величин, а затем перейти к пределу {{Math|Λ → ∞}}. Это пример [[Регуляризация (физика)|регуляризации]] — класса методов для устранения особенностей в КТП, где {{Math|Λ}} — параметр регуляризации{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=317}}.

Подход, проиллюстрированный выше, называется голой теорией возмущений, поскольку в расчётах используются только голые величины, такие как масса и константа связи. Другой подход, называемый перенормированной теорией возмущений, заключается в использовании физически значимых величин с самого начала. В случае теории {{Math|''ϕ''<sup>4</sup>}} сначала переопределяется напряжённость поля{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=317}}:
: <math>\phi = Z^{1/2}\phi_r\,,</math>
где {{Math|''ϕ''}} — голое поле, {{Math|''ϕ<sub>r</sub>''}} — перенормированное поле, а {{Math|''Z''}} — постоянная, которую необходимо определить. Плотность лагранжиана имеет вид{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=318}}:

: <math>\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\phi_r)(\partial^\mu\phi_r) - \frac 12 m_r^2\phi_r^2 - \frac{\lambda_r}{4!}\phi_r^4 + \frac 12 \delta_Z (\partial_\mu\phi_r)(\partial^\mu\phi_r) - \frac 12 \delta_m\phi_r^2 - \frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4,</math>

где {{Math|''m<sub>r</sub>''}} и {{Math|''λ<sub>r</sub>''}} — экспериментально измеряемые перенормированная масса и константа связи, соответственно, а

: <math>\delta_Z = Z-1,\quad \delta_m = m^2Z - m_r^2,\quad \delta_\lambda = \lambda Z^2 - \lambda_r</math>

— константы, которые предстоит определить. Первые три члена представляют собой {{Math|''ϕ''<sup>4</sup>}}, записанную в терминах перенормированных величин, в то время как последние три члена называются «контрчленами». Поскольку лагранжиан теперь содержит больше слагаемых, диаграммы Фейнмана должны включать дополнительные элементы, каждый со своими собственными правилами Фейнмана. Процедура описывается следующим образом. Сначала выбирается метод регуляризации — например, введённая выше регуляризация обрезанием (с помощью параметра {{Math|Λ}}) или {{iw|размерная регуляризация||en|Dimensional regularization}}. Вычисляются диаграммы Фейнмана, в которых расходящиеся члены будут зависеть от параметра регуляризации, например, {{Math|Λ}}. Затем определяют {{Math|''δ<sub>Z</sub>''}}, {{Math|''δ<sub>m</sub>''}} и {{Math|''δ<sub>λ</sub>''}} так, чтобы диаграммы Фейнмана для контрчленов в точности сокращали расходящиеся члены в нормальных диаграммах Фейнмана, когда берётся предел {{Math|Λ → ∞}}. Таким образом получаются конечные величины{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=319}}.

Исключить все бесконечности для получения конечного результата можно только в перенормируемых теориях, тогда как в неперенормируемых теориях бесконечности нельзя удалить путём переопределения конечного числа параметров. [[Стандартная модель]] элементарных частиц является ренормализуемой КТП{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=719–727}}, в то время как [[квантовая гравитация]] не является ренормализуемой{{sfn|Zee|2010|p=798}}.

В квантовой электродинамике при расчёте поправок к кулоновскому взаимодействию при учёте древесной (беспетлевой) и однопетлевой диаграмм{{sfn|Смилга|2019|с=84}} возникает модифицированный кулоновский потенциал вида
: <math>\frac{e_0^2}{4\pi r}\left(1-\frac{e_0^2}{6\pi^2}\ln\frac{\Lambda}{m}\right)+\text{конечные члены}\,, </math>
где <math>e_0</math> — голый заряд, <math>r</math> — расстояние до заряда, <math>m</math> — масса электрона, <math>\Lambda</math> — параметр, отвечающий за ультрафиолетовое обрезание, который ограничивает импульсы частиц при расчёте амплитуды рассеяния. Несмотря на то, что математически это выражение расходится, но для того, чтобы эта поправка сравнялась по величине с главным членом, нужна масса <math>\Lambda</math> ~ {{nobr|10<sup>250</sup> г}}, что по величине превышает массу Вселенной{{sfn|Смилга|2019|с=85}}. Голый (или затравочный) заряд не наблюдаем сам по себе, поскольку окружён заряженными виртуальными частицами, которые экранируют этот заряд{{sfn|Смилга|2019|с=85}}. В реальности на больших расстояниях наблюдается другой физический заряд <math>e_{\text{физ}}</math>, который можно посчитать более точно с учётом многопетлевых диаграмм{{sfn|Смилга|2019|с=86}}:
: <math>e^2_{\text{физ}}\approx\frac{e_0^2}{1+\frac{e_0^2}{6\pi^2}\ln\frac{\Lambda}{m}}\,.</math>
Это выражение оказывается конечным при любом значении <math>\Lambda\,.</math> Если его переписать в виде
: <math>e^2_0\approx\frac{e_{\text{физ}}^2}{1-\frac{e_{\text{физ}}^2}{6\pi^2}\ln\frac{\Lambda}{m}}\,,</math>
то можно заметить, что при некотором значении <math>\Lambda</math> ([[полюс Ландау]]) голый заряд становится бесконечным{{sfn|Смилга|2019|с=87}}.

==== Ренормализационная группа ====
{{main|Ренормализационная группа}}
Ренормализационная группа, разработанная [[Вильсон, Кеннет|Кеннетом Уилсоном]], представляет собой математический аппарат, используемый для изучения изменений физических параметров (коэффициентов в лагранжиане), когда система рассматривается на различных масштабах{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=393}}. Способ, в котором каждый параметр изменяется в зависимости от масштаба, описывается её [[Бета-функция (физика)|''β''-функцией]]{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=417}}. Корреляционные функции, которые лежат в основе количественных предсказаний, изменяются в зависимости от масштаба в соответствии с [[Уравнение ренормгруппы|уравнением ренормгруппы]]{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=410—411}}.

Например, константа связи в КЭД, а именно [[Элементарный электрический заряд|элементарный заряд]] {{Math|''e''}}, имеет следующую ''β''-функцию:

: <math>\beta(e) \equiv \frac{1}{\Lambda}\frac{de}{d\Lambda} = \frac{e^3}{12\pi^2} + O(e^5),</math>

где {{Math|Λ}} — масштаб энергии, в котором выполняется измерение {{Math|''e''}}. Это [[дифференциальное уравнение]] означает, что наблюдаемый элементарный заряд увеличивается с увеличением масштаба<ref>{{cite arXiv |last=Fujita |first=Takehisa |eprint=hep-th/0606101 |title=Physics of Renormalization Group Equation in QED |date=2008-02-01 }}</ref>. Перенормированная константа связи, которая изменяется в зависимости от масштаба энергии, также называется ''бегущей константой связи''{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=420 }}.

Константа связи {{Math|''g''}} в [[Квантовая хромодинамика|квантовой хромодинамике]], неабелевой калибровочной теории, основанной на группе симметрии [[Специальная унитарная группа|{{Math|SU(3)}}]], обладает следующей ''β-функцией'':

: <math>\beta(g) \equiv \frac{1}{\Lambda}\frac{dg}{d\Lambda} = \frac{g^3}{16\pi^2}\left(-11 + \frac 23 N_f\right) + O(g^5),</math>

где {{Math|''N<sub>f</sub>''}} — количество [[Аромат (физика)|ароматов]] [[кварк]]а. В случае, когда {{Math|''N<sub>f</sub>'' ≤ 16}} (для Стандартной модели {{Math|''N<sub>f</sub>'' {{=}} 6}}), константа связи {{Math|''g''}} уменьшается с увеличением масштаба энергии. Следовательно, в то время как сильное взаимодействие является сильным при низких энергиях, оно становится очень слабым при высоких энергиях — явление, известное как [[асимптотическая свобода]]{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=531 }}.

[[Конформная теория поля|Конформные теории поля]] (КТП) — это специальные КТП, допускающие {{iw|Конформная симметрия|конформную симметрию|en|Conformal symmetry}}. Они нечувствительны к изменениям масштаба, так как все их константы связи имеют исчезающе малую ''β''-функцию. Однако обратное неверно — исчезновение всех ''β''-функций не означает конформной симметрии теории<ref>{{Cite journal|author=Aharony|first=Ofer|arxiv=1501.06664|title=The Holographic Dictionary for Beta Functions of Multi-trace Coupling Constants|journal=Journal of High Energy Physics|volume=2015|issue=5|pages=31|date=2015-05-19|bibcode=2015JHEP...05..031A|doi=10.1007/JHEP05(2015)031}}</ref>. Примеры включают [[Теория струн|теорию струн]]<ref name="polchinski1" /> и [[Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями|{{Math|''N'' {{=}} 4}} суперсимметричную теорию Янга — Миллса]]<ref>{{cite arXiv |last=Kovacs |first=Stefano |eprint=hep-th/9908171 |title={{math|''N'' {{=}} 4}} supersymmetric Yang–Mills theory and the AdS/SCFT correspondence |date=1999-08-26 }}</ref>.

Согласно представлению Уилсона, каждая КТП в основе ограничена по энергии {{Math|Λ}}, то есть теория не справедлива при энергиях выше, чем {{Math|Λ}}, и все степени свободы выше шкалы {{Math|Λ}} не должны учитываться. Например, граница может быть обратной величиной к атомному расстоянию в конденсированной среде, а в физике элементарных частиц она может быть связана с фундаментальной «зернистостью» пространства-времени, вызванной квантовыми флуктуациями гравитации. Масштаб границы в теориях взаимодействия частиц лежит далеко за пределами текущих экспериментов. Даже если теория была бы очень сложной на этом масштабе, до тех пор, пока её связи достаточно слабы, она должна описываться при низких энергиях с помощью перенормируемой [[Эффективная теория поля|эффективной теории поля]]{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=402—403}}. Разница между перенормируемыми и неперенормируемыми теориями состоит в том, что первые нечувствительны к деталям взаимодействий при высоких энергиях, в то время как последние не зависят от них{{sfn|Shifman|2012|p=2}}. Согласно этой точки зрения, неперенормируемые теории следует рассматривать как низкоэнергетические эффективные теории какой-то более фундаментальной теории. Неспособность избежать ограничения {{Math|Λ}} из расчётов в такой теории просто указывает на то, что новые физические явления появляются на масштабах, больших {{Math|Λ}}, где необходима новая теория{{sfn|Зи|2009|с=170}}.

== Другие теории ==
[[Файл:Bhabha T channel.svg|мини|Диаграмма рассеяния электрона и позитрона{{sfn|Боголюбов и Ширков|2005|с=99}}. Пример трёхуровневой диаграммы Фейнмана в КЭД. Время бежит слева направо. Она описывает кулоновское взаимодействие через обмен фотоном между электроном и позитроном. Стрелки, указывающие вперёд во времени, представляют распространение электронов, а стрелки, указывающие назад во времени, представляют распространение позитронов. Волнистая линия, не имеющая направления, представляет распространение фотона. Каждая вершина в диаграммах КЭД Фейнмана должна иметь входящую и исходящую фермионную (позитронную/электронную) линию, а также фотонную линию.]]
Процедуры квантования и перенормировки, описанные в предыдущих разделах, выполняются для свободной теории поля и [[Взаимодействие четвёртой степени|{{Math|''ϕ''<sup>4</sup>}} теории]] действительного скалярного поля. Аналогичный процесс можно рассмотреть для других типов полей, включая комплексное скалярное поле, [[векторное поле]] и [[Фермионное поле|поле Дирака]], а также для других типов членов взаимодействия, включая электромагнитное взаимодействие и [[взаимодействие Юкавы]]{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=94}}.

Например, [[квантовая электродинамика]] содержит поле Дирака {{Math|''ψ''}}, представляющее [[электрон]]ное поле, и векторное поле {{Math|''A<sup>μ</sup>''}}, представляющее электромагнитное ([[фотон]]ное) поле. Несмотря на свое название, квантовое электромагнитное «поле» соответствует классическому [[Электромагнитный потенциал|электромагнитному 4-потенциалу]], а не классическим электрическим и магнитным полям. Полная плотность лагранжиана КЭД равна

: <math>\mathcal{L} = \bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi - \frac 14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - e\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu,</math>

где {{Math|''γ<sup>μ</sup>''}} — [[матрицы Дирака]], <math>\bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0</math>, а <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu</math> — [[тензор электромагнитного поля]]. Параметрами в этой теории являются масса (голого) электрона {{Math|''m''}} и (голый) [[Элементарный электрический заряд|элементарный заряд]] {{Math|''e''}}. Первое и второе слагаемые в плотности лагранжиана соответствуют свободному полю Дирака и свободному векторному полю соответственно. Последний член описывает взаимодействие между электронным и фотонным полями, которое рассматривается как возмущение в теории без взаимодействия{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=78}}{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=93}}.

КТП хоть и имеет дело с переменным количеством частиц, но в основном отвечает на вопросы, связанные с рассеянием элементарных частиц{{sfn|Пескин и Шрёдер|2001|с=23}}. Однако задачи, которые ставит перед КТП космология [[Большой взрыв|Большого взрыва]] и [[астрофизика]] звёзд (состояние вещества [[Нейтронная звезда|нейтронной звезды]]), имеют дело с большим количеством реальных частиц при экстремальных условиях. В этом случае нужно применять {{iw|Квантовая теория поля при конечной температуре|квантовую теорию поля при конечной температуре|en|Thermal quantum field theory}}, которая, помимо КТП, использует также язык [[Квантовополевая теория возмущений в статистической физике|статистической физики]] и [[Термодинамика|термодинамики]]{{sfn|Kapusta, Gale|2023|p=xi}}.

=== Нелокальная квантовая теория поля ===
{{main|Нелокальная квантовая теория поля}}

Рассматриваемая квантовая теория поля локальна, то есть значения поля и координаты частиц можно указать точно и описать их взаимодействие в этой точке. Это приводит к расходимостям при малых расстояниях, которые впоследствии устраняются в рамках теории перенормировок. Если же предположить существование некоторой фундаментальной длины, которая ограничивает наше знание о координатах, то можно построить нелокальную квантовую теорию поля. Взаимодействия рассматриваемых квантовых полей происходят не в точке, а в области пространства. Это предположение позволяет избежать [[Ультрафиолетовая расходимость|ультрафиолетовых расходимостей]]<ref>{{ФЭ|статья=Нелокальная квантовая теория поля|ссылка=http://femto.com.ua/articles/part_2/2461.html|том=3|автор=[[Киржниц, Давид Абрамович|Д. А. Киржниц]]}}</ref>.

=== Топологическая квантовая теория поля ===
Корреляционные функции и физические предсказания КТП зависят от метрики пространства-времени {{Math|''g<sub>μν</sub>''}}. Для специального класса КТП, называемых {{iw|топологическая квантовая теория поля|топологическими квантовыми теориями поля|en|topological quantum field theories}} (ТКТП), все корреляционные функции не зависят от непрерывных изменений в метрике пространства-времени<ref>{{cite arXiv |last1=Ivancevic |first1=Vladimir G. |last2=Ivancevic |first2=Tijana T. |eprint=0810.0344v5 |page=36|title=Undergraduate Lecture Notes in Topological Quantum Field Theory |class=math-th |year=2008}}</ref>. КТП в искривлённом пространстве-времени обычно изменяются в соответствии с ''геометрией'' (локальной структурой) пространства-времени, в то время как ТКТП инвариантны относительно [[диффеоморфизм]]ов пространства-времени, но чувствительны к ''[[Топология|топологии]]'' (глобальной структуре) пространства-времени. Это означает, что все результаты вычислений ТКТП являются [[Топологический инвариант|топологическими инвариантами]] основного пространства-времени. [[Теория Черна — Саймонса]], которая является одним из примеров ТКТП, использовалась для построения моделей квантовой гравитации<ref>{{Cite book|last=Carlip|first=Steven|author-link=Карлип, Стивен|date=1998|title=Quantum Gravity in 2+1 Dimensions|url=https://www.cambridge.org/core/books/quantum-gravity-in-21-dimensions/D2F727B6822014270F423D82501E674A|publisher=Cambridge University Press|pages=27–29|isbn=9780511564192|doi=10.1017/CBO9780511564192|arxiv=2312.12596 }} {{Wayback|url=https://www.cambridge.org/core/books/quantum-gravity-in-21-dimensions/D2F727B6822014270F423D82501E674A |date=20210517191647 }} {{Cite web |url=https://www.cambridge.org/core/books/quantum-gravity-in-21-dimensions/D2F727B6822014270F423D82501E674A |title=Источник |access-date=2021-09-04 |archive-date=2021-05-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210517191647/https://www.cambridge.org/core/books/quantum-gravity-in-21-dimensions/D2F727B6822014270F423D82501E674A |url-status=unfit }}</ref>. Применения ТКТП включают [[дробный квантовый эффект Холла]] и {{iw|Топологический квантовый компьютер|топологические квантовые компьютеры|en|topological quantum computer}}{{sfn|Carqueville, Runkel|2018|pp=1–5}}. Траектория [[Мировая линия|мировой линии]] для частиц с дробным зарядом (известных как [[энион]]ы) может формировать узлы в пространстве-времени<ref>{{Cite journal|authorlink=Edward Witten|first=Edward|author=Witten|title=Quantum Field Theory and the Jones Polynomial|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=121|issue=3|pages=351–399|year=1989|bibcode=1989CMaPh.121..351W|doi=10.1007/BF01217730|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178138 }}</ref>. Топологические квантовые теории поля (ТКТП), применимые к передовым исследованиям топологических квантовых материй, включают калибровочные теории Черна — Саймонса — Виттена в пространственно-временных измерениях 2 + 1, другие новые экзотические ТКТП в пространственно-временных измерениях 3 + 1 и за их пределами<ref>{{Cite journal |first1=Pavel|last1=Putrov |first2=Juven |last2=Wang | first3=Shing-Tung | last3=Yau    |title=Braiding Statistics and Link Invariants of Bosonic/Fermionic Topological Quantum Matter in 2+1 and 3+1 dimensions |journal=[[Annals of Physics]] |volume=384 |issue=C |pages=254–287 |year=2017|doi =10.1016/j.aop.2017.06.019|arxiv=1612.09298 |bibcode=2017AnPhy.384..254P }}</ref>.

=== Суперсимметрия ===
{{main|Суперсимметрия}}
Все экспериментально известные симметрии в природе связывают [[бозон]]ы с бозонами, а [[фермион]]ы с фермионами. Теоретики выдвинули гипотезу о существовании нового типа симметрии, называемой [[Суперсимметрия|суперсимметрией]], которая связывает бозоны и фермионы{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=795 }}{{sfn|Зи|2009|с=520}}.

Стандартная модель подчиняется [[Группа Пуанкаре|симметрии Пуанкаре]], [[Генератор группы|генераторами]] которой являются пространственно-временные [[Параллельный перенос|трансляции]] {{Math|''P<sup>μ</sup>''}} и [[преобразования Лоренца]] {{Math|''J<sub>μν</sub>''}}{{sfn|Вайнберг, т. 1|2015|с=76—77}}. В дополнение к этим генераторам суперсимметрия в (3 + 1)-мерном пространстве включает дополнительные генераторы {{Math|''Q<sub>α</sub>''}}, называемые [[суперзаряд]]ами, которые сами преобразуются как [[Уравнение Вейля|фермионы Вейля]]{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=795 }}{{sfn|Zee|2010|p=444 }}. Группа симметрии, порождённой всеми этими генераторами, известна как {{iw|супергруппа Пуанкаре||en|super-Poincaré group}}. В общем случае может существовать более одного набора генераторов суперсимметрии, {{Math|''Q<sub>α</sub><sup>I</sup>'', ''I'' {{=}} 1, ..., ''N''}}, которые порождают соответствующую суперсимметрию {{Math|''N'' {{=}} 1}}, {{Math|''N'' {{=}} 2}} и так далее{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=795 }}{{sfn|Zee|2010|p=450 }}. Суперсимметрию также можно построить в других измерениях<ref>{{cite arXiv |last1=de Wit |first1=Bernard |last2=Louis |first2=Jan |eprint=hep-th/9801132 |title=Supersymmetry and Dualities in various dimensions |date=1998-02-18 }}</ref>, в первую очередь в (1 + 1)-пространстве для её применения в [[Теория суперструн|теории суперструн]]<ref>{{Cite book|last=Polchinski|first=Joseph|date=2005|title=String Theory|url=https://archive.org/details/stringtheory0000polc|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-67228-3|author-link=Полчински, Джозеф}}</ref>.

Лагранжиан суперсимметричной теории должен быть инвариантным относительно действия супергруппы Пуанкаре{{sfn|Zee|2010|p=448}}. Примеры таких теорий включают в себя {{iw|Минимальная суперсимметричная стандартная модель|минимальную суперсимметричную стандартную модель|en|Minimal Supersymmetric Standard Model}} (МССМ), [[Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями|{{Math|''N'' {{=}} 4}} суперсимметричную теорию Янга — Миллса]]{{sfn|Zee|2010|p=450}} и теорию суперструн. В суперсимметричной теории у каждого фермиона есть бозонный [[суперпартнёр]] и наоборот{{sfn|Zee|2010|p=444}}.

Если суперсимметрия превращается в локальную симметрию, то результирующая калибровочная теория является расширением [[Общая теория относительности|общей теории относительности]], называемой [[Супергравитация|супергравитацией]]<ref name="NathArnowitt">{{Cite journal|author=Nath|first=P.|year=1975|title=Generalized Super-Gauge Symmetry as a New Framework for Unified Gauge Theories|journal=Physics Letters B|volume=56|issue=2|pages=177–180 |doi=10.1016/0370-2693(75)90297-x|bibcode=1975PhLB...56..177N}}</ref>.

Суперсимметрия — потенциальное решение многих современных проблем физики. Например, [[Проблема калибровочной иерархии|проблема иерархии]] Стандартной модели — почему масса бозона Хиггса не перенормируется до очень большого масштаба, такого как [[Теории Великого объединения|масштаб великого объединения]], — может быть решена путём введения суперпартнёра [[Бозон Хиггса|бозона Хиггса]] — [[хиггсино]]. Радиационные поправки, обусловленные петлями бозона Хиггса в диаграммах Фейнмана, компенсируются соответствующими петлями хиггсино. Суперсимметрия также предлагает ответы на великое объединение всех калибровочных констант связи в Стандартной модели, а также на природу [[Тёмная материя|тёмной материи]]{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=796—797}}<ref>{{Cite journal|author=Munoz|first=Carlos|arxiv=1701.05259|title=Models of Supersymmetry for Dark Matter|journal=EPJ Web of Conferences|volume=136|pages=01002|date=2017-01-18|bibcode=2017EPJWC.13601002M|doi=10.1051/epjconf/201713601002}}</ref>.

Тем не менее, по состоянию {{На|2021}}<ref>{{cite web|author = Hershberger, Scott|url = https://www.symmetrymagazine.org/article/the-status-of-supersymmetry|title = The status of supersymmetry|lang = en|website = https://www.symmetrymagazine.org|publisher = Symmetry Magazine|date = 2021-12-01|accessdate = 2022-02-09|archive-date = 2022-02-09|archive-url = https://web.archive.org/web/20220209133817/https://www.symmetrymagazine.org/article/the-status-of-supersymmetry|url-status = live}}</ref>, экспериментальных доказательств существования суперсимметричных частиц не найдено. Если бы суперсимметрия была истинной симметрией природы, то она должна нарушаться, и энергия нарушения этой симметрии должна быть больше энергии, достижимой в современных экспериментах{{sfn|Peskin and Schroeder|1995|p=797}}{{sfn|Zee|2010|p=443}}.

=== Другое пространство-время ===
В [[Физика конденсированного состояния|физике конденсированного состояния]] КТП используется для описания [[Двумерный электронный газ|(2 + 1)-мерных электронных газов]]<ref>{{cite book |last1=Morandi |first1=G. |last2=Sodano |first2=P. |last3=Tagliacozzo |first3=A. |last4=Tognetti |first4=V. |date=2000 |title=Field Theories for Low-Dimensional Condensed Matter Systems |url=https://www.springer.com/us/book/9783540671770 |publisher=Springer |isbn=978-3-662-04273-1 }} {{Wayback|url=https://www.springer.com/us/book/9783540671770 |date=20210517191631 }} {{Cite web |url=https://www.springer.com/us/book/9783540671770 |title=Источник |access-date=2022-02-09 |archive-date=2021-05-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210517191631/https://www.springer.com/us/book/9783540671770 |url-status=unfit }}</ref>. В [[Физика элементарных частиц|физике высоких энергий]] [[теория струн]] представляет собой тип (1 + 1)-мерной КТП{{sfn|Zee|2010|p=452}}<ref name="polchinski1" />, в то время как [[теория Калуцы — Клейна]] использует гравитационную силу в [[Старшие размерности|дополнительных измерениях]], чтобы получить калибровочную теорию с более низкой размерностью{{sfn|Zee|2010|p=428—429}}.

В пространстве Минковского плоская [[Метрика пространства-времени|метрика]] {{Math|''η<sub>μν</sub>''}} используется для {{iw|поднятие и опускание индексов|поднятия и опускания индексов|en|Raising and lowering indices}} пространства-времени в лагранжиане, заданному по следующему правилу:

: <math>A_\mu A^\mu = \eta_{\mu\nu} A^\mu A^\nu,\quad \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi \partial_\nu\phi\,,</math>

где {{Math|''η<sup>μν</sup>''}} — обратная к {{Math|''η<sub>μν</sub>''}} удовлетворяющая соотношению {{Math|''η<sup>μρ</sup>η<sub>ρν</sub>'' {{=}} ''δ<sup>μ</sup><sub>ν</sub>''}}. С другой стороны, для [[Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени|КТП в искривлённом пространстве-времени]] используется общая метрика (такая как [[метрика Шварцшильда]], описывающая [[Чёрная дыра|метрику чёрной дыры]]):

: <math>A_\mu A^\mu = g_{\mu\nu} A^\mu A^\nu,\quad \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi \partial_\nu\phi\,,</math>

где {{Math|''g<sup>μν</sup>''}} — величина, обратная к {{Math|''g<sub>μν</sub>''}}. Для действительного скалярного поля плотность лагранжиана на общем пространстве-времени равна

: <math>\mathcal{L} = \sqrt{|g|}\left(\frac 12 g^{\mu\nu} \nabla_\mu\phi \nabla_\nu\phi - \frac 12 m^2\phi^2\right)\,,</math>

где {{Math|''g'' {{=}} det(''g<sub>μν</sub>'')}} (det — [[Определитель|детерминант]]), а символ {{Math|∇<sub>''μ''</sub>}} обозначает [[Ковариантная производная|ковариантную производную]]<ref>{{cite book |last1=Parker |first1=Leonard E. |last2=Toms |first2=David J. |date=2009 |title=Quantum Field Theory in Curved Spacetime |url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo00park |url-access=limited |publisher=Cambridge University Press |page=[https://archive.org/details/quantumfieldtheo00park/page/n58 43] |isbn=978-0-521-87787-9 }}</ref>.

=== Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени ===
{{main|Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени}}
Квантовая теория поля в искривлённом [[Пространство-время|пространстве-времени]] является расширением квантовой теории поля из пространства-времени Минковского в общее искривлённое пространство-время . Эта теория рассматривает пространство-время как фиксированный классический фон, давая при этом квантово-механическое описание материи и энергии, распространяющихся через это пространство-время<ref>{{статья|автор= Hollands, Stefan; [[Уолд, Роберт|Wald, Robert M.]]|заглавие=Quantum fields in curved spacetime|ссылка=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157315001416|язык=en|издание=[[Physics Reports]]|год=2015|volume=|pages=|doi=10.1016/j.physrep.2015.02.001|arxiv=|archivedate=2015-09-24|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150924172657/http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157315001416}}</ref>. Общее предсказание этой теории состоит в том, что частицы могут создаваться нестационарными гравитационными полями<ref>{{Cite journal|last=Parker|first=L.|date=1968-08-19|title=Particle Creation in Expanding Universes|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.21.562|journal=Physical Review Letters|volume=21|issue=8|pages=562–564|doi=10.1103/PhysRevLett.21.562}}</ref>, или независимыми от времени гравитационными полями, которые содержат [[Горизонт событий|горизонты событий]]. Наиболее известным примером последнего является явление [[Излучение Хокинга|излучения Хокинга]], которое излучается [[чёрная дыра|чёрными дырами]]<ref>{{Citation|last=Hawking|first=S. W.|title=Particle Creation by Black Holes|date=1993-05-01|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789814539395_0011|work=Euclidean Quantum Gravity|pages=167–188|publisher=World Scientific|doi=10.1142/9789814539395_0011|isbn=978-981-02-0515-7|access-date=2021-08-15|archive-date=2022-01-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20220115143433/https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789814539395_0011|url-status=live}} {{Cite web |url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789814539395_0011 |title=Источник |doi=10.1142/9789814539395_0011 |access-date=2022-01-15 |archive-date=2022-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220115143433/https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789814539395_0011 |url-status=unfit }}</ref>. Последнее можно понимать как проявление [[Эффект Унру|эффекта Унру]], когда ускоряющийся наблюдатель наблюдает излучение абсолютно чёрного тела<ref>{{Cite journal|last1=Crispino|first1=Luís C. B.|last2=Higuchi|first2=Atsushi|last3=Matsas|first3=George E. A.|date=2008-07-01|title=The Unruh effect and its applications|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.80.787|journal=Reviews of Modern Physics|volume=80|issue=3|pages=787–838|doi=10.1103/RevModPhys.80.787|arxiv=0710.5373 |hdl=11449/24446|hdl-access=free}}</ref>. Другие предсказания квантовых полей в искривлённых пространствах включают, например, излучение, испускаемое частицей, движущейся по [[Геодезическая|геодезической]]<ref>{{Cite book|last=Birrell|first=N. D.|url=https://www.worldcat.org/oclc/7462032|title=Quantum fields in curved space|date=1982|publisher=Cambridge University Press|others=P. C. W. Davies|isbn=0-521-23385-2|location=Cambridge [Cambridgeshire]|oclc=7462032}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Brito|first1=João P. B.|last2=Bernar|first2=Rafael P.|last3=Crispino|first3=Luís C. B.|date=2020-06-11|title=Synchrotron geodesic radiation in Schwarzschild--de Sitter spacetime|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.101.124019|journal=Physical Review D|volume=101|issue=12|pages=124019|doi=10.1103/PhysRevD.101.124019|arxiv=2006.08887}}</ref>.
Это позволяет учесть некоторые существенные гравитационные эффекты, хотя и не является последовательной теорией квантовой гравитации. Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени справедлива в области, где искривление пространства-времени мало по сравнению с [[Планковские единицы|планковскими масштабами]]{{refn|group=К|Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени, которую можно было бы рассматривать как промежуточный шаг к теории квантовой гравитации, уже не имеет чёткой интерпретации с участием частиц<ref name=Brunetti />.}}<ref name=Brunetti>{{cite journal|last1=Brunetti|first1=Romeo|last2=Fredenhagen|first2=Klaus|author-link2=Фреденхаген, Клаус|last3=Rejzner|first3=Katarzyna|year=2016|title=Quantum Gravity from the Point of View of Locally Covariant Quantum Field Theory|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=345|issue=3 |pages=741–779|doi=10.1007/s00220-016-2676-x}}</ref>.

=== Пертурбативные и непертурбативные методы ===
Используя [[Стационарная теория возмущений в квантовой механике|теорию возмущений]], общий эффект малого члена взаимодействия можно аппроксимировать разложением в ряд по числу [[Виртуальная частица|виртуальных частиц]], участвующих во взаимодействии. Каждый член в расширении можно понимать как один из возможных способов взаимодействия (физических) частиц друг с другом через виртуальные частицы, визуально выраженный с помощью [[диаграммы Фейнмана]]. [[Электромагнетизм|Электромагнитная сила]] между двумя электронами в КЭД представлена (в первом порядке теории возмущений) распространением виртуального фотона. Аналогичным образом [[W- и Z-бозоны|бозоны W и Z]] переносят слабое взаимодействие, а [[глюон]]ы переносят сильное взаимодействие. Интерпретация взаимодействия как суммы промежуточных состояний, включающих обмен различными виртуальными частицами, имеет смысл только в рамках теории возмущений. Напротив, непертурбативные методы в КТП рассматривают взаимодействующий лагранжиан как единое целое без какого-либо разложения в ряд. Вместо частиц, несущих взаимодействия, эти методы породили такие концепции, как {{iw|монополь 'т Хоофта — Полякова||en|'t Hooft–Polyakov monopole}}, [[доменная стенка]], {{iw|трубка потока||en|flux tube}} и [[инстантон]]{{sfn|Shifman|2012|p=3—4}}. Примеры КТП, которые полностью разрешимы непертурбативно, включают {{iw|Минимальная модель (физика)|минимальные модели|en|Minimal model (physics)}} [[Конформная теория поля|конформной теории поля]]<ref>{{cite book |last1=Di Francesco |first1=Philippe |last2=Mathieu |first2=Pierre |last3=Sénéchal |first3=David |date=1997 |title=Conformal Field Theory |publisher=Springer |isbn=978-1-4612-7475-9 |url=https://books.google.com/books?id=5u7jBwAAQBAJ }} {{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=5u7jBwAAQBAJ |title=Источник |isbn=978-1-4612-2256-9 |access-date=2021-09-04 |archive-date=2021-05-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210517192633/https://books.google.com/books?id=5u7jBwAAQBAJ |url-status=unfit |last1=Francesco |first1=Philippe |last2=Mathieu |first2=Pierre |last3=Senechal |first3=David |date=2012-12-06 |publisher=Springer }}</ref> и {{iw|модель Тирринга||en|Thirring model}}<ref>{{Cite journal|author=Thirring|first=W.|authorlink=Walter Thirring|year=1958|title=A Soluble Relativistic Field Theory?|journal=[[Annals of Physics]]|volume=3|issue=1|pages=91–112|bibcode=1958AnPhy...3...91T|doi=10.1016/0003-4916(58)90015-0}}</ref>.

== Математическое обоснование ==
Несмотря на существенный прогресс в физике элементарных частиц и физике конденсированного состояния, самой КТП не хватает формальной математической основы. Например, согласно {{iw|Теорема Хаага|теореме Хаага|en|Haag's theorem}}, не существует чётко определённого [[Представление взаимодействия|представления взаимодействия]] для КТП{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=47}}, что означает, что теория возмущений КТП, лежащая в основе метода диаграмм Фейнмана, не определена<ref>{{cite journal |last=Haag |first=Rudolf |author-link=Хааг, Рудольф |date=1955 |title=On Quantum Field Theories |url=http://cdsweb.cern.ch/record/212242/files/p1.pdf |journal=Dan Mat Fys Medd |volume=29 |issue=12 |access-date=2021-09-04 |archive-date=2019-07-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190701000957/http://cdsweb.cern.ch/record/212242/files/p1.pdf |url-status=live}}</ref>{{sfn|Боголюбов, Логунов, Оксак и Тодоров|1987|с=350}}{{sfn|Боголюбов, Логунов, Оксак и Тодоров|1987|с=353}}. Однако пертурбативную КТП, которая требует только вычисления величин как формальных степенных рядов без каких-либо требований сходимости, можно трактовать строго математически. В частности, монография {{iw|Костелло, Кевин|К. Костелло|en|Kevin Costello}} «Перенормировка и эффективная теория поля» ({{Lang-en|Renormalization and Effective Field Theory}})<ref name="costello">{{книга | автор = Costello, Kevin| заглавие = Renormalization and Effective Field Theory|том =170|издание=Mathematical Surveys and Monographs| место = М.  | издательство = American Mathematical Society| год = 2011 | страниц = 251 |isbn=978-0-8218-5288-0}}</ref> приводит строгую формулировку пертурбативной перенормировки, которая сочетает в себе подходы эффективной теории поля [[Каданов, Лео|Каданова]], [[Вильсон, Кеннет|Уилсона]] и [[Полчински, Джозеф|Полчинского]], а также {{iw|подход Баталина — Вилковыского|подход Баталина — Вилковыского|en|Batalin–Vilkovisky formalism}} к квантованию калибровочных теорий. Более того, пертурбативные методы интегралов по траекториям, обычно понимаемые как формальные вычислительные методы, вдохновлённые конечномерной теорией интегрирования<ref name="ren">{{cite book | last = Folland | first = G. B. | title = Quantum field theory : a tourist guide for mathematicians | url = https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000foll | publisher = American Mathematical Society | location = Providence, R.I | year = 2008 | isbn = 978-0821847053 }}</ref>, могут получить надёжную математическую интерпретацию на основе их конечномерных аналогов<ref name="nguyen">{{Cite journal|author=Nguyen|first=Timothy|arxiv=1505.04809|title=The perturbative approach to path integrals: A succinct mathematical treatment|journal=J. Math. Phys.|volume=57|year=2016|issue=9 |doi=10.1063/1.4962800}}</ref>.

С 1950-х годов<ref name="buchholz">{{Cite book|author=Buchholz|first=Detlev|authorlink=Detlev Buchholz|arxiv=hep-th/9811233|title=Current Trends in Axiomatic Quantum Field Theory|journal=Quantum Field Theory|series=Lecture Notes in Physics |volume=558|pages=43–64|year=2000|doi=10.1007/3-540-44482-3_4|bibcode=2000LNP...558...43B|isbn=978-3-540-67972-1 }}</ref> физики-теоретики и математики пытались сформулировать КТП в виде набора [[Аксиома|аксиом]], чтобы математически строгим образом установить существование конкретных моделей релятивистских КТП и изучить их свойства. Это направление исследований называется {{iw|Конструктивная квантовая теория поля|конструктивной квантовой теорией поля|en|constructive quantum field theory}}, подразделом [[Математическая физика|математической физики]]<ref name=sum>{{cite arXiv |last=Summers |first=Stephen J. |eprint=1203.3991v2 |title=A Perspective on Constructive Quantum Field Theory |class=math-ph |year=2016|page=2,10}}</ref>, которое привело к таким результатам, как [[CPT-инвариантность|CPT-теорема]], [[Теорема Паули|теорема о связи спина и статистики]] и [[Голдстоуновский бозон|теорема Голдстоуна]]<ref name="buchholz" />, а также к математически строгим конструкциям многих КТП с взаимодействием в двух и трёх измерениях пространства-времени, например, двумерных скалярных теорий поля с произвольными полиномиальными взаимодействиями<ref name="Simon">{{Cite book|last=Simon|first=Barry|title=The <math>P(\Phi)_2</math> Euclidean (quantum) field theory|publisher=Princeton University Press|year=1974|isbn=0-691-08144-1|page=}}</ref>, трёхмерных скалярных теорий поля с взаимодействием четвёртой степени и так далее<ref name="Glimm1987">{{Cite book|last=Glimm|first=James|title=Quantum Physics : a Functional Integral Point of View|publisher=Springer New York|year=1987|isbn=978-1-4612-4728-9|page=}}</ref>.

По сравнению с обычной КТП, {{iw|топологическая квантовая теория поля||en|topological quantum field theory}} и [[конформная теория поля]] корректно обосновываются математически — обе могут быть классифицированы в рамках [[Теория представлений|представлений]] [[Бордизм|кобордизмов]]<ref>{{Cite arXiv|last1=Sati|first1=Hisham|last2=Schreiber|first2=Urs|eprint=1109.0955v2|title=Survey of mathematical foundations of QFT and perturbative string theory|class=math-ph|date=2012-01-06}}</ref>.

{{iw|Алгебраическая квантовая теория поля||en|Algebraic quantum field theory}} — это ещё один подход к аксиоматизации КТП, в котором фундаментальными объектами являются локальные операторы и алгебраические отношения между ними. Аксиоматические системы, следующие этому подходу, включают [[аксиомы Уайтмана]] и {{iw|Аксиомы Хаага — Кастлера|аксиомы Хаага — Кастлера|en|Haag–Kastler axioms}}<ref name=sum />. Одним из способов построить теории, удовлетворяющие аксиомам Уайтмана, является использование аксиом {{iw|Аксиомы Остервальдера — Шредера|Остервальдера — Шредера|en|Osterwalder–Schrader axioms}}, которые дают необходимые и достаточные условия для теории в действительном времени, для вывода из теории с [[Мнимое время|мнимым временем]] с помощью [[Аналитическое продолжение|аналитического продолжения]] ([[Поворот Вика|поворота Вика]])<ref name=sum />.

{{iw|Существование теории Янга — Миллса и щели в спектре масс||en|Yang–Mills existence and mass gap}} — одна из проблем, связанных с [[Задачи тысячелетия|Премией тысячелетия]], — касается чётко определённого существования [[Теория Янга — Миллса|теорий Янга — Миллса]], следующих из вышеупомянутых аксиом<ref>{{cite web |url=http://www.claymath.org/sites/default/files/yangmills.pdf |title=Quantum Yang–Mills Theory |last1=Jaffe |first1=Arthur |last2=Witten |first2=Edward |publisher=[[Clay Mathematics Institute]] |access-date=2018-07-18 |archive-date=2020-11-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201114191121/http://www.claymath.org/sites/default/files/yangmills.pdf |url-status=live }}</ref>.

=== Аксиоматическая квантовая теория поля ===
{{main|Аксиоматическая квантовая теория поля}}
Из-за проблем с расходимостями возникла потребность создания математически строгой КТП<ref>{{статья|автор = Streater, Raymond Frederick|заглавие = Wightman quantum field theory|оригинал = |ссылка = http://www.scholarpedia.org/article/Wightman_quantum_field_theory|издание = Scholarpedia|год = 2009|doi = 10.4249/scholarpedia.7123|ref = Kuhlmann|archivedate = 2022-01-17|archiveurl = https://web.archive.org/web/20220117154128/http://www.scholarpedia.org/article/Wightman_quantum_field_theory}}</ref>. Этот подход получил название аксиоматической квантовой теории поля, когда в основе лежит набор аксиом, обобщающих набор экспериментальных фактов, а вся последующая теория строится строгим математическим образом. Среди аксиом должны быть аксиома релятивистской инвариантности, аксиома локальности или причинности, аксиома спектральности (о положительной энергии всех частиц). Аксиоматические подходы отличаются друг от друга выбором исходных физических величин. Предложенный в 1955 году [[Боголюбов, Николай Николаевич|Н. Н. Боголюбовым]] [[Теорема Боголюбова «об острие клина»|подход]] в качестве основного физического объекта использовал матрицу рассеяния{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=70}}. В подходе {{iw|Уайтман, Артур|А. Уайтмана|en|Arthur Wightman}} (1956) в качестве такого объекта рассматривается взаимодействующее квантованное поле. Наиболее общий алгебраический подход ([[Хааг, Рудольф|Р. Хааг]], {{iw|Араки, Хузихиро|X. Араки|en|Huzihiro Araki}}, {{iw|Кастлер, Даниэль|Д. Кастлер|en|Daniel Kastler}}) использует набор всех возможных наблюдаемых<ref>{{ФЭ|статья=Аксиоматическая квантовая теория поля|ссылка=http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0057.html|том=1|автор=Павлов В. П., [[Хоружий, Сергей Сергеевич|Хоружий С. С.]]}}</ref>. В рамках аксиоматического подхода получены новые доказательства CPT-теоремы и теоремы о связи спина со статистикой{{sfn|Белокуров и Ширков|1986|с=47}}.

== Примечания ==
;Комментарии
{{примечания|group=К}}
;Источники
{{примечания}}

== Литература ==
{{refbegin|2}}
;На русском языке
* {{книга | автор = [[Белокуров, Владимир Викторович|Белокуров В. В.]], [[Ширков, Дмитрий Васильевич|Ширков Д. В.]]| заглавие = Теория взаимодействий частиц | место = М.| издательство = Наука| год = 1986| страниц = 160| ref = Белокуров и Ширков}}
* {{книга|автор=[[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбов Н. Н.]], [[Логунов, Анатолий Алексеевич|Логунов А. А.]], Оксак А. И., {{iw|Тодоров, Иван Тодоров|Тодоров И. Т.|bg|Иван Тодоров (физик)}}|заглавие=Общие принципы квантовой теории поля|место=М.|издательство=Наука|год=1987|страниц=616|ref=Боголюбов, Логунов, Оксак и Тодоров}}
* {{книга|автор=Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.|заглавие=Квантовые поля|издание=3-е изд.|город=М.|издательство = Физматлит|год=2005|страниц=384|isbn = 5-9221-0580-9|ref = Боголюбов и Ширков}}
* {{книга|автор=Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.|заглавие=Введение в теорию квантованных полей|город=М.|издательство=Наука|год=1984|страниц=600|ref = Боголюбов и Ширков}}
* {{книга|автор = [[Бьёркен, Джеймс|Бьёркен Дж. Д.]], [[Дрелл, Сидни|Дрелл С. Д.]]|заглавие= Релятивистская квантовая теория|заглавие2 = Релятивистская квантовая механика |том = 1|год = 1978|издательство = Наука|город = М.|страниц = 296|ref=Бьёркен и Дрелл, т. 1}}
* {{книга|автор = Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д.|заглавие= Релятивистская квантовая теория|заглавие2 = Релятивистские квантовые поля |том = 2|год = 1978|издательство = Наука|город = М.|страниц = 408|ref=Бьёркен и Дрелл, т. 2}}
* {{книга |автор = [[Вайнберг, Стивен|Вайнберг С.]] |заглавие = Квантовая теория поля |заглавие2 = Общая теория |место = М. |том = 1 |ответственный = Под ред. В. Ч. Жуковского |издательство = Физматлит |год = 2015 |страниц = 648 |isbn = 978-5-9221-1620-6 |ref = Вайнберг, т. 1}}
* {{книга |автор = Вайнберг С.|заглавие = Квантовая теория поля |заглавие2 = Современные приложения|место = М.|том = 2|ответственный = Под ред. В. Ч. Жуковского|издательство = Физматлит|год = 2003|страниц = 528|isbn = 5-9221-0404-7|ref = Вайнберг, т. 2}}
* {{книга |автор = Вайнберг С. |заглавие = Квантовая теория полей |город = {{Comment|М.|Москва}} |издательство = Фазис |том = 3 |год = 2002|страниц = 458}}
* {{книга |автор = [[Вентцель, Грегор|Вентцель Г.]] |заглавие = Введение в квантовую теорию волновых полей |город = М. |издательство = ГИТТЛ |год = 1947 |страниц = 292 }}
* {{книга | автор = [[Грибов, Владимир Наумович|Грибов В. Н.]]  | заглавие = Квантовая электродинамика | ответственный = Под ред. [[Хриплович, Иосиф Бенционович|И. Б. Хрипловича]]| место = Ижевск| издательство = НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»| год = 2001 | страниц = 288| isbn = 5-93972-089-7|ref = Грибов}}
* {{книга |автор = [[Зи, Энтони|Зи Э.]] |заглавие = Квантовая теория поля в двух словах |город = Ижевск |издательство = РХД |год = 2009 |страниц = 632 |isbn = 978-5-93972-770-9 |ref = Зи}}
* {{книга |автор = [[Исаев, Пётр Степанович|Исаев П. С.]] |заглавие = Обыкновенные, странные, очарованные, прекрасные |том =  |город = М. |издательство = Энергоатомиздат |год = 1995 |страниц = 320 }} ''(об истории развития теоретических идей в физике элементарных частиц)''
* {{книга |автор = {{iw|Ициксон, Клод|Ициксон К.|en|Claude Itzykson}}, {{iw|Зюбер, Жан-Бернар|Зюбер Ж.-Б.|en|Jean-Bernard Zuber}} |заглавие = Квантовая теория поля |том = 1 |город = М. |издательство = Мир |год = 1984 |страниц = 448 }}
* {{книга |автор = [[Пескин, Майкл|Пескин М.]], Шрёдер Д. |заглавие = Введение в квантовую теорию поля |ответственный = Ред. пер. [[Белавин, Александр Абрамович|''А. А. Белавин'']] |город = Ижевск |издательство = РХД |год = 2001 |страниц = 784|ref= Пескин и Шрёдер}}
* {{книга |автор = Побойко И. В. |заглавие = Семинары по курсу «Введение в квантовую теорию поля»|ссылка = https://poboiko.bitbucket.io/qft/fall17/qft.pdf|год = 2017 |страниц = 68|ref= Побойко}}
* {{книга |автор = {{iw|Райдер, Льюис|Райдер Л.|en|Lewis Ryder}} |заглавие = Квантовая теория поля |город = М. |издательство = [[Мир (издательство)|Мир]] |год = 1987 |страниц = 512 }}
* {{книга |автор = [[Садовский, Михаил Виссарионович|Садовский, М. В.]] |заглавие = Лекции по квантовой теории поля |город = Ижевск |издательство = Институт компьютерных исследований |год = 2003 |страниц = 480 |ссылка = http://sadovski.iep.uran.ru/RUSSIAN/LTF/Q_fields.pdf |isbn=5-93972-241-5|ref=Садовский}}
* {{книга | автор = [[Смилга, Андрей Вольдемарович|Смилга А. В.]]| часть = | заглавие = Квантовая теория поля на обед| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = М.| издательство = Издательство МЦНМО| год = 2019| том = | страницы = | страниц = 432| isbn =978-5-4439-3365-8 |ref=Смилга}}
* {{книга |автор = [[Соколов, Арсений Александрович (физик)|Соколов А. А.]], [[Иваненко, Дмитрий Дмитриевич|Иваненко Д. Д.]] |заглавие = Квантовая теория поля |том =  |город = Санкт-Петербург (Ленинград) |издательство = Государственное Издательство Технико-теоретической Литературы |год = 1952 |страниц = 781 }}
* {{книга |автор = [[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнман Р.]] |заглавие = КЭД — странная теория света и вещества |город = М. |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]] |год = 1988 |страниц = 144 |ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/ked.htm }}
* {{книга |автор = Ченг, Т.-П.; Ли, Л.-Ф |заглавие = Калибровочные теории в физике элементарных частиц |ответственный = |город = М. |издательство = Мир |год = 1987 |страниц = 624|ref= Ченг и Ли}}

;На английском языке
* {{cite journal |last1=Carqueville |first1=Nils |last2=Runkel |first2=Ingo |arxiv=1705.05734 |title=Introductory lectures on topological quantum field theory |journal=Banach Center Publications |year=2018 |volume=114 |pages=9–47 |doi=10.4064/bc114-1 |ref=Carqueville, Runkel}}
* {{cite book|author= Heilbron, John L.|author-link=Хейлброн, Джон|title=The Oxford Companion to the History of Modern Science|url=https://archive.org/details/oxfordcompaniont0000unse_s7n3|year=2003|publisher=[[Oxford University Press]]|isbn=978-0-19-974376-6|ref=Heilbron}}
* {{Cite book|last= Heisenberg, Werner|author-link=Гейзенберг, Вернер|title=Physics and Philosophy: The Revolution in Modern Science|year=2007|publisher=HarperCollins |isbn=978-0061209192|ref=Heisenberg}}
* {{Cite journal|author=Hobson|first=Art|title=There are no particles, there are only fields|journal=[[American Journal of Physics]]|volume=81|issue=211|pages=211–223|year=2013|doi=10.1119/1.4789885|arxiv=1204.4616|bibcode=2013AmJPh..81..211H|ref=Hobson}}
* {{книга|автор = Kapusta, Joseph I.; Gale, Charles|заглавие = Finite-Temperature Field Theory Principles and Applications |издательство = Cambridge Univesity Press|страниц= 441|год = 2023|doi=10.1017/9781009401968|isbn=978-1-009-40198-2 |ref=Kapusta, Gale}}
* {{статья |автор = Kuhlmann, Meinard|заглавие = Quantum Field Theory|оригинал = |ссылка = https://plato.stanford.edu/archives/fall2020/entries/quantum-field-theory/|издание = The Stanford Encyclopedia of Philosophy|год =2020 |ref = Kuhlmann}}
* {{Cite book|last1=Peskin|first1=M.|author-link1=Пескин, Майкл|last2=Schroeder|first2=D.|year=1995|title=An Introduction to Quantum Field Theory|url=https://books.google.com/books?id=i35LALN0GosC|publisher=Westview Press|isbn=978-0-201-50397-5|ref=Peskin and Schroeder}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books/about/An_Introduction_to_Quantum_Field_Theory.html?id=i35LALN0GosC |date=20210518140357 }}
* {{cite book | last = Schwinger | first = Julian |author-link=Швингер, Джулиан | title = Particles, sources, and fields | publisher = CRC Press| page=444 | volume =I|year = 2018| isbn = 9780738200538|ref= Schwinger }}
* {{книга |автор=[[Шифман, Михаил Аркадьевич|Shifman, M.]]|язык=en|год=2012 |заглавие=Advanced Topics in Quantum Field Theory |ссылка=https://archive.org/details/advancedtopicsin0000shif|издательство=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-19084-8|ref=Shifman}}
* {{cite book | last = Sundermeyer | first = Kurt | title = Symmetries in fundamental physics | publisher = Springer | location = Cham | year = 2014 | isbn = 9789400776418 |ref=Sundermeyer}}
* {{Cite book |last='t Hooft |first=Gerard |author-link=’т Хоофт, Герард |arxiv=1503.05007 |chapter=The Evolution of Quantum Field Theory |title=The Standard Theory of Particle Physics |volume=26 |pages=1–27 |year=2015 |bibcode=2016stpp.conf....1T |doi=10.1142/9789814733519_0001 |series=Advanced Series on Directions in High Energy Physics |isbn=978-981-4733-50-02|ref='t Hooft}}
* {{cite book|author= Thomson, Joseph John|author-link=Томсон, Джозеф Джон|title=Notes on Recent Researches in Electricity and Magnetism: Intended as a Sequel to Professor Clerk-Maxwell's 'Treatise on Electricity and Magnetism'.|year=1893|publisher=Dawsons|ref=Thomson}}
* {{Cite book |last=Tong |first=David |title=Lectures on Quantum Field Theory |year=2015 |url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf |access-date=2016-02-09 |ref=Tong }} {{Wayback|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf |date=20220127200507 }}
* {{Cite journal|author=Weinberg|first=Steven|authorlink=Вайнберг, Стивен|date=1977|title=The Search for Unity: Notes for a History of Quantum Field Theory|url=https://archive.org/details/sim_daedalus_fall-1977_106_4/page/17|journal=Daedalus|volume=106|issue=4|pages=17–35|ref=Weinberg}}
* {{Cite journal|author=Weisskopf|first=Victor|authorlink=Вайскопф, Виктор Фредерик|date=November 1981|title=The development of field theory in the last 50 years|journal=[[Physics Today]]|volume=34|issue=11|pages=69–85|doi=10.1063/1.2914365|bibcode=1981PhT....34k..69W|ref=Weisskopf}}
* {{cite book |last=Zee |first=A. |year=2010 |title=Quantum Field Theory in a Nutshell |url=https://archive.org/details/isbn_9780691140346 |url-access=registration |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-01019-9 |ref=Zee }}
{{refend}}

== Ссылки ==
* {{cite web |author = Владимиров A. A.|url = http://theor.jinr.ru/~diastp/winter13/lectures/vladimirov.pdf|title = Введение в квантовую теорию поля|lang=ru |pages=— 54 c|website = |publisher = |date = 2013|accessdate = 2023-09-18 |ref=Владимиров}}

{{ВС}}
{{Разделы квантовой физики}}
{{Избранная статья|Физика}}

[[Категория:Квантовая теория поля|*]]