Просмотр кода страницы Кватернион

{{Универсальная карточка}}
'''Кватернио́ны''' (от {{lang-lat|quaterni}}, ''по четыре'') — система [[Гиперкомплексное число|гиперкомплексных чисел]], образующая [[векторное пространство]] [[Размерность пространства|размерностью]] четыре над [[Поле (алгебра)|полем]] [[вещественное число|вещественных чисел]].
Обычно обозначаются символом <math>\mathbb H</math>. Предложены [[Гамильтон, Уильям Роуан|Уильямом Гамильтоном]] в [[1843 год]]у.

Кватернионы удобны для описания [[Изометрия (математика)|изометрий]] трёх- и четырёхмерного [[Евклидово пространство|евклидовых пространств]] и поэтому получили широкое распространение в [[механика|механике]]. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики<ref>[http://wat.gamedev.ru/articles/quaternions Кватернионы в программировании игр] {{Wayback|url=http://wat.gamedev.ru/articles/quaternions |date=20090725092721 }} ([[GameDev.ru]])</ref>.

[[Анри Пуанкаре]] писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию [[Общая алгебра|алгебры]]; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям [[Матрица (математика)|матрицы]] и [[Линейное отображение|линейного оператора]], пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевский]] в [[Геометрия Лобачевского|геометрии]]»<ref>{{статья|автор=Полак Л. С. |заглавие=Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения)  |издательство=АН СССР |издание=Труды Института истории естествознания |год=1956   |том=15 (История физ.-мат. наук) |страницы=273. }}</ref>.

== Определения ==

=== Стандартное ===
Кватернионы можно определить как сумму
: <math>q=a+bi+cj+dk</math>
где <math>a, b, c, d</math> — вещественные числа
[[File:Quaternion-multiplication-cayley-3d-with-legend.png|thumb|350px|Графическое представление таблицы умножения  базисных кватернионов (цвет шара определяет первый множитель, цвет выходящей стрелки - второй множитель, стрелка указывает на результат умножения)]]
: <math>i, j, k</math> — ''[[Мнимая единица|мнимые единицы]]'' со следующим свойством: <math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>, при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является [[коммутативная операция|коммутативным]]): <math>ij=k</math>, a <math>ji=-k</math>.
<center>
{| class="wikitable"
|+ Таблица умножения базисных кватернионов <math>1, i, j, k</math>
!X
!1
!i
!j
!k
|-
|'''1'''
|1
|i
|j
|k
|-
|'''i'''
|i
| -1
|k
| -j
|-
|'''j'''
|j
| -k
| -1
|i
|-
|'''k'''
|k
|j
| -i
| -1
|}
</center>

=== Как вектор и скаляр ===
Кватернион представляет собой [[упорядоченная пара|пару]] <math>\left(a, \vec{u} \right),</math> где <math>\vec{u}</math> — вектор трёхмерного пространства, а <math>a</math> — скаляр, то есть [[вещественное число]].

Операции сложения определены следующим образом:
: <math>\left(a, \vec{u} \right)+ \left(b , \vec{v}\right)= \left(a + b , \vec{u} + \vec{v}\right). </math>
Произведение определяется следующим образом:
: <math>\left(a, \vec{u}\right)\left(b, \vec{v}\right)= \left(ab - \vec{u}\cdot\vec{v}, a\vec{v} + b\vec{u} + \vec{u}\times\vec{v}\right),</math>
где <math>\cdot</math> обозначает [[скалярное произведение]], а <math>\times</math> — [[векторное произведение]].

В частности:
: <math>\left(a, 0\right)\left(0, \vec{v}\right)=\left(0, \vec{v}\right)\left(a, 0 \right)= \left(0, a\vec{v}\right),</math>
: <math>\left(a, 0\right)\left(b, 0\right)=\left(ab, 0\right),</math>
: <math>\left(0, \vec{u} \right)\left(0, \vec{v}\right)= \left( - \vec{u}\cdot\vec{v} , \vec{u}\times\vec{v}\right).</math>

Заметим, что:
* Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством [[дистрибутивность|дистрибутивности]];
* [[Антикоммутативность]] векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

=== Через комплексные числа ===
{{main|Процедура Кэли — Диксона}}

Произвольный кватернион <math>\ q = a + bi + cj + dk</math> можно представить как [[упорядоченная пара|пару]] [[комплексные числа|комплексных чисел]] в виде
: <math>\ q = (a + bi) + (c + di)j</math>
или эквивалентно
: <math>\ q = z_1 + z_2 j, \quad z_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di,</math>
где <math>\ z_1, z_2</math> — комплексные числа, поскольку <math>\ i^2 = -1</math> выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а <math> k = ij</math>.

=== Через матричные представления ===

==== Вещественными матрицами ====
Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:
: <math>\begin{pmatrix}
 a & -b    & -c     & -d \\ 
 b & \;\;a & -d     & \;\; c \\
 c & \;\;d & \;\; a & -b \\
 d & -c    & \;\; b & \;\; a 
\end{pmatrix}.</math>

При такой записи:
* сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:
*: <math>
\bar q \mapsto 
Q ^ T
</math>;
* четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:
*: <math>
\left|q \right| ^ 4 =
\det Q.
</math>

==== Комплексными матрицами ====
Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой{{sfn|Stillwell|2008|p=7}}:
: <math>\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta &  \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},</math>
здесь <math>\bar \alpha</math> и <math>\bar \beta</math> обозначают комплексно-сопряжённые числа к <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>.

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:
* комплексному числу соответствует диагональная матрица;
* сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:
*: <math>
\bar q \mapsto 
\bar Q ^ T
</math>;
* квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:
*: <math>
\left|q \right| ^ 2 =
\det Q.
</math>

== Связанные объекты и операции ==
Для кватерниона
: <math>q=a+bi+cj+dk</math>

кватернион <math>a</math> называется ''скалярной частью'' <math>q,</math> а кватернион <math>u=bi+cj+dk</math> — ''векторной частью''. Если <math>u=0,</math> то кватернион называется ''чисто скалярным'', а при <math>a=0</math> — ''чисто векторным''.

=== Сопряжение ===
Для кватерниона <math>q</math> ''сопряжённым'' называется{{sfn|Stillwell|2008|p=9}}:
: <math>\bar q=a-bi-cj-dk.</math>

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке{{sfn|Stillwell|2008|p=10}}:
: <math> \overline {pq} = \bar q \bar p. </math>

Для кватернионов справедливо равенство
: <math> \overline {p} =-\frac 12 (p+ipi+jpj+kpk). </math>

=== Модуль ===
Так же, как и для комплексных чисел{{sfn|Stillwell|2008|p=8}},
: <math> \left|q \right| =\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math>

называется ''модулем'' <math>q</math>. Если <math>\left|q \right| =1,</math> то <math>q</math> называется ''единичным кватернионом''.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: <math> \left\|z \right\| =
\left |z \right | </math>.

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, [[Изоморфизм|изоморфное]] <math>\R^4</math> с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют
[[Банахова алгебра|банахову алгебру]].

Из [[Тождество Эйлера (кватернионы)|тождества четырёх квадратов]] вытекает, что <math> \left|p\cdot q \right| = \left|p \right| \cdot \left|q \right| ,</math> иными словами, кватернионы обладают мультипликативной [[норма|нормой]] и образуют ассоциативную алгебру с делением.

=== Обращение умножения (деление) ===
Кватернион, обратный по умножению к <math>q</math>, вычисляется так{{sfn|Stillwell|2008|p=9}}:
<math> q^{-1} = \frac {\bar q} {\left|q \right| ^ 2} </math>.

== Алгебраические свойства ==
Множество кватернионов является примером [[Тело (алгебра)|тела]], то есть кольца с делением и единицей.
Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением
над полем вещественных (но не комплексных) чисел.

По [[Теорема Фробениуса|теореме Фробениуса]] тела
<math> \mathbb R</math>, <math> \mathbb C</math>, <math> \mathbb H</math>
являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением
над полем вещественных чисел.

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям.
Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения.
В частности, уравнение <math>
q^2 + 1 = 0 </math>
имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению
[[группа (математика)|группу]] кватернионов ([[порядок группы|порядка]] 8).
Обозначается:
: <math> Q_8 = \left\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \right\}. </math>

== Кватернионы и повороты пространства ==
{{main|Кватернионы и вращение пространства}}
[[Файл:Rotating gimbal-xyz.gif|thumb|240px|Организация [[Шесть степеней свободы|трёх степеней свободы]], но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец]]

Кватернионы, рассматриваемые как [[Алгебра над полем|алгебра]] над <math>\mathbb R</math>, образуют четырёхмерное вещественное [[векторное пространство]]. Любой поворот этого пространства относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>q\mapsto \xi q \zeta</math>, где <math>\xi</math> и <math>\zeta</math> — пара единичных кватернионов, при этом пара <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> и <math>\left(-\xi,-\zeta\right)</math>. Из этого следует, что [[группа Ли]] <math>\text{SO}\left(\R,4\right)</math> [[поворот]]ов <math>\R^4</math> есть [[факторгруппа]] <math>S^3\times S^3/\Z_2</math>, где <math>S^3</math> обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>u\mapsto \xi u \bar\xi</math>, где <math>\xi</math> — некоторый единичный кватернион. Соответственно, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)=S^3/\Z_2</math>, в частности, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)</math> [[диффеоморфизм|диффеоморфно]] <math>\R \mathrm{P}^3</math>.

== «Целые» кватернионы ==
В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: <math>
\left\|z \right\| = \left |z \right | ^ 2 </math>.

''Целыми'' [[Кватернион Гурвица|по Гурвицу]] принято называть кватернионы <math>a + bi + cj + dk</math> такие, что все <math>2a, 2b, 2c, 2d</math> — [[целое число|целые]] и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется
* ''чётным''
* ''нечётным''
* ''простым''
если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется ''примитивным'', если он не делится ни на какое натуральное число, кроме <math>1</math>, ''нацело'' (иными словами, <math>
\gcd \left(2a, 2b, 2c, 2d \right) \le 2
</math>).

=== Целые единичные кватернионы ===
Существует 24 целых единичных кватерниона:
: <math> \pm 1</math>; <math> \pm i</math>; <math> \pm j</math>; <math> \pm k</math>; <math> \frac {\pm 1 \pm i \pm j \pm k } {2}. </math>
Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4-мерного многогранника — [[Двадцатичетырёхъячейник|3-кубооктаэдра]] (не путать с 3-мерным многогранником-[[кубооктаэдр]]ом).

=== Разложение на простые сомножители ===
Для примитивных кватернионов верен аналог [[основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]].

'''Теорема.'''<ref>
{{cite web
 |author        = John C. Baez.
 |authorlink    = 
 |datepublished = 
 |url           = http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/conway_smith/
 |title         = On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith
 |work          = 
 |publisher     = 
 |accessdate    = 2009-02-07
 |lang          = en
 |description   = Review
 |archiveurl    = https://www.webcitation.org/618OftMR3?url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/conway_smith/
 |archivedate   = 2011-08-22
}}
</ref>
Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона <math>N(q)</math> в произведение простых целых положительных чисел
<math>N(q) = p_1 p_2 ... p_n</math> существует разложение кватерниона <math>q</math> в произведение простых кватернионов <math>q = q_1 q_2 ... q_n</math> такое, что <math>N(q_i) = p_i</math>.
Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид
: <math>
q = 
\left(q_1 \epsilon_1 \right)
\left(\bar\epsilon_1 q_2 \epsilon_2 \right)
\left(\bar\epsilon_2 q_3 \epsilon_3 \right)
...
\left(\bar\epsilon_{n-1} q_n \right)
</math>,
где <math>
\epsilon_1</math>, <math>
\epsilon_2</math>, <math>
\epsilon_3</math>, … <math>
\epsilon_{n-1}</math> — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион <math>q=(1+i)^2(1+i+j)(2+i)</math> имеет норму 60,
значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

<math> 60 = 2\cdot2\cdot3\cdot5  \quad   60 = 2\cdot2\cdot5\cdot3  \quad  60 = 2\cdot3\cdot2\cdot5  \quad  60 = 2\cdot5\cdot2\cdot3  \quad  60 = 2\cdot3\cdot5\cdot2  \quad  60 = 2\cdot5\cdot3\cdot2 </math>

<math> 60 = 3\cdot2\cdot2\cdot5  \quad   60 = 5\cdot2\cdot2\cdot3  \quad  60 = 3\cdot2\cdot5\cdot2  \quad  60 = 5\cdot2\cdot3\cdot2  \quad  60 = 3\cdot5\cdot2\cdot2  \quad  60 = 5\cdot3\cdot2\cdot2 </math>

Общее число разложений такого кватерниона равно <math>24^3 \cdot 12 = 165888</math>

== Функции кватернионного переменного ==

=== Вспомогательные функции ===
Знак кватерниона вычисляется так:
: <math>
\operatorname {sgn}\, q =
\frac {q} {\left|q \right|}.
</math>

Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:

: <math> \arg q = \arccos \frac  {a} {\left|q \right|}. </math>

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона <math>q</math> в виде
: <math>q = a + \left| \mathbf{u} \right| \mathrm{i} = \left| q \right| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\mathrm{arg}\,q}.</math>

Здесь <math>a</math> — вещественная часть кватерниона, <math>\mathrm{i} = \left| \mathbf{u} \right|^{-1} \mathbf{u}</math>. При этом <math>\mathrm{i}^2 = -1</math>, поэтому проходящая через <math>q</math> и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид <math>a+b\mathrm{i}</math> для фиксированного единичного вектора <math>\mathrm{i}</math>. В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

=== Элементарные функции ===
Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если <math>f(a+b\mathrm{i}) = c + d \mathrm{i}</math> для комплексных чисел, то <math>f(q) = c + d \mathbf{i}</math>, где кватернион <math>q</math> рассматривается в «комплексном» представлении <math>q = a + b \mathbf{i}</math>.

; Степень и логарифм

: <math> 
\mathrm{e}^q = \mathrm{e}^a \left(
\cos \left|\mathbf{u} \right| + \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \sin \left| \mathbf{u} \right|  
\right)
</math>

: <math> 
\ln q = \ln \left|q \right| + \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \arg q
</math>

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до <math>2\pi  \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|}</math>.

; Тригонометрические функции

: <math> 
\sin q 
= 
\sin a \,
\operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right| 
+
\frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \cos a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| 
</math>

: <math> 
\cos q 
= 
\cos a \,
\operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right| 
-
\frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \sin a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| 
</math>

: <math> 
\operatorname {tg}\, q 
= \frac{\sin q}{\cos q}
</math>

=== Линейное отображение ===
Отображение <math>f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math>
алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства
: <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>
: <math>f(ax)=af(x)</math>
: <math>x,y\in\mathbb H, a\in\mathbb R</math>
где <math>\mathbb R</math> — поле действительных чисел.
Если <math>f</math> является линейным отображением алгебры кватернионов,
то для любых <math>a, b\in\mathbb H</math> отображение
: <math>(afb)(x)=af(x)b</math>
является линейным отображением.
Если <math>f</math> — тождественное отображение (<math>f(x)=x</math>),
то для любых <math>a, b\in\mathbb H</math>
мы можем отождествить [[тензорное произведение]] <math>a\otimes b</math> с отображением
: <math>(a\otimes b)\circ x=axb</math>
Для любого линейного отображения
<math>f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math>
существует [[тензор]] <math>a\in\mathbb H\otimes\mathbb H</math>,
<math>a=a_{s0}\otimes a_{s1}</math>,
такой, что
: <math>f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1}</math>
В приведённых выше равенствах предполагается суммирование по индексу <math>s</math>.
Поэтому мы можем отождествить линейное отображение <math>f</math>
и тензор <math>a</math>.

=== Регулярные функции ===
{{main|Кватернионный анализ}}
Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать ''праводифференцируемые'' и ''леводифференцируемые'' функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию <math>f</math> как имеющую предел
: <math>\frac{df}{dq} = \lim_{h \to 0} \left[ h^{-1}\left(f\left(q+h\right) - f\left(q\right)\right) \right]</math>

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки <math>q</math> вид
: <math>f = a + q b</math>

где <math>a,b</math> — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов
: <math>\frac{\partial}{\partial \bar q} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}</math>
: <math>\frac{\partial}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial t} - \vec i \frac{\partial}{\partial x} - \vec j \frac{\partial}{\partial y} - \vec k \frac{\partial}{\partial z}</math>

и рассмотрении таких кватернионных функций <math>f</math>, для которых<ref>''R. Fueter'' Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.</ref>
: <math>\frac{\partial f}{\partial \bar q} = 0</math>

что полностью аналогично использованию операторов <math>\frac{\partial}{\partial \bar z}</math> и <math>\frac{\partial}{\partial z}</math> в комплексном случае. При этом получаются аналоги [[Интегральная теорема Коши|интегральной теоремы Коши]], теории [[Вычет (комплексный анализ)|вычетов]], [[Гармоническая функция|гармонических функций]] и [[Ряд Лорана|рядов Лорана]] для кватернионных функций<ref>''A. Sudbery'' Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics,
University of York, 1977.</ref>.

=== Дифференцирование отображений ===
{{main|Кватернионный анализ}}

Непрерывное отображение
<math>f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math>
называется дифференцируемым
на множестве <math>U\subset \mathbb H</math>,
если в каждой точке <math>x\in U</math>
изменение отображения <math>f</math> может быть представлено в виде
: <math>f(x+h)-f(x)=\frac{d f(x)}{d x}\circ h+o(h)</math>
где
: <math>\frac{d f(x)}{d x}:\mathbb H\rightarrow\mathbb H</math>
линейное отображение алгебры кватернионов <math>\mathbb H</math> и
<math>o:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math>
такое непрерывное отображение, что
: <math>\lim_{a\rightarrow 0}\frac{|o(a)|}{|a|}=0</math>
Линейное отображение
<math>\frac{d f(x)}{d x}</math>
называется производной отображения <math>f</math>.

Производная может быть представлена в
виде<ref>Выражение <math>\frac{d_{sp} f(x)}{d x} </math>
не является дробью и должно восприниматься как единый символ.
Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной.
Значение выражения <math>\frac{d_{sp} f(x)}{d x} </math> при заданном <math>x</math>
является кватернионом.</ref>
: <math>\frac{d f(x)}{d x}=
\frac{d_{s0} f(x)}{d x}
\otimes
\frac{d_{s1} f(x)}{d x}
</math>
Соответственно дифференциал отображения <math>f</math> имеет вид
: <math>df=\frac{d f(x)}{d x}\circ dx=
\left(
\frac{d_{s0} f(x)}{d x}
\otimes
\frac{d_{s1} f(x)}{d x}\right)\circ dx=
\frac{d_{s0} f(x)}{d x}
dx
\frac{d_{s1} f(x)}{d x}
</math>

Здесь предполагается суммирование по индексу <math>s</math>. Число слагаемых
зависит от выбора функции <math>f</math>. Выражения
<math>\frac{d_{s0}d f(x)}{d x}</math> и
<math>\frac{d_{s1} f(x)}{d x}</math> называются
компонентами производной.

Для произвольного кватерниона <math>a</math> верно равенство
: <math>\frac{d f(x)}{d x}\circ a=\lim_{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))</math>

== Виды умножений ==

=== Умножение Грассмана ===
Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов (<math>pq</math>).

=== Евклидово умножение ===
Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берётся сопряжённый к нему: <math>\bar p q</math>.
Оно также некоммутативно.

=== Скалярное произведение ===
Аналогично одноимённой операции для векторов:
: <math> 
p \cdot q = \frac{\bar p q + \bar q p}{2}
</math>.

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, <math>
\left(a + bi + cj + dk\right) \cdot i = b
</math>.

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

: <math> \left|p \right| = \sqrt{p \cdot p} </math>.

=== Внешнее произведение ===
: <math>	
\operatorname {Outer}\left(p, q\right) = \frac {\bar p q - \bar q p} {2}
</math>.

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

=== Векторное произведение ===
Аналогично одноимённой операции для векторов.
Результатом является тоже вектор:

: <math> 
p \times q = \frac{pq - qp}{2}</math>.

== Из истории ==
[[Файл:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|thumb|<center>Памятная табличка на мосту Брум Бридж в [[Дублин]]е: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр [[Гамильтон, Уильям Роуан|Уильям Роуэн Гамильтон]] открыл формулу перемножения кватернионов»<ref>В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (''Л. С. Полак'' Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)</ref></center>]]

Система кватернионов была впервые опубликована [[Гамильтон, Уильям Роуан|Гамильтоном]] в [[1843 год]]у. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях [[Карл Гаусс|Гаусса]], относящихся к [[1819]]—[[1820 год]]ам<ref>{{книга |автор=[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]. |заглавие=Архитектура математики. Очерки по истории математики |место=М. |издательство=Иностранная литература |год=1963 |страницы=68 }}</ref>. Также кватернионы рассматривал Эйлер. [[Родриг, Олинд|Б. О. Родриг]] (1840 год) при рассмотрении поворотов абсолютно твёрдого тела вывел правила умножения кватернионов<ref>{{статья |автор = Rodrigues Olinde |заглавие = Геометрические законы, управляющие перемещениями твёрдой системы в пространстве, и изменение координат, возникающее в результате этих перемещений, рассматриваемые независимо от причин, которые могут их вызвать|оригинал = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire|ссылка = https://books.google.com/books?id=f9ZGAAAAcAAJ&pg=PA380|издание = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|год =1840 |том = 5|страницы = 380—440 |doi = |pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = }}</ref>{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=5}}.

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам [[комплексное число|комплексным]], но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=5}}.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильямом Гамильтоном]] (который также занимался указанной задачей) в [[1843 год в науке|1843 году]], и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон работал сначала с ''дуплетами'' (точками на плоскости) и легко получил правила для умножения соответствующие комплексным числам, но для точек в пространстве (''триплеты'') не мог получить никакой формулы умножения для таких наборов. В конце концов решил попробовать ''четвёрки'' — точки в четырёхмерном пространстве. Эти числа Гамильтон назвал ''кватернионами''{{sfn|Мищенко и Соловьёв|1983|с=11—12}}. Позднее [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениус]] строго доказал (1877) [[Теорема Фробениуса|теорему]], согласно которой расширить комплексное [[Поле (алгебра)|поле]] до поля или [[Тело (алгебра)|тела]] с двумя мнимыми единицами невозможно{{sfn|Мищенко и Соловьёв|1983|с=15}}.

Развитие кватернионов и их приложений в физике следовало по трём путям, связанным с алгебраическим подходом, апологетами которого выступали [[Кэли, Артур|Кэли]], который в 1858 году открыл матричное представление кватернионов{{sfn|Stillwell|2008|p=10}}, [[Клиффорд, Уильям Кингдон|Клиффорд]], [[Пирс, Бенджамин|Б. Пирс]], [[Пирс, Чарльз Сандерс|Ч. Пирс]] и Фробениус; с теорией комплексных кватернионов, представителями которого были Клиффорд, [[Штуди, Эдуард|Штуди]] и [[Котельников, Александр Петрович|Котельников]]; с физикой из-за имён Максвелла и Хэвисайда{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=6—8}}. Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]] использовал компактную кватернионную запись для формулировки [[Уравнения Максвелла|своих уравнений]] электромагнитного поля.<ref>''А. Н. Крылов'' [http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/BIO/KRYLOV/KRYLOV_23.HTM Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.] {{Wayback|url=http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/BIO/KRYLOV/KRYLOV_23.HTM |date=20170503043859 }}</ref> Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный [[векторный анализ]] ([[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббс]], [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]]){{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=8}}. Применение кватернионов было вытеснено векторным анализом из уравнений электродинамики. Впрочем тесная связь уравнений Максвелла с кватернионами не исчерпывается только электродинамикой, поскольку была построена теория СТО с использованием кватернионов {{нп3|Конвей, Артур Уильям|А. У. Конвеем|en|Arthur William Conway}} и {{нп3|Зильберштейн, Людвиг|Зильберштейном|pl|Ludwik Silberstein}}{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=9}}. Послевоенный период применения кватернионов в физике связан с широким применением теории групп и их представлений в физике элементарных частиц. Также возможно заменить стандартное гильбертово пространство квантовой механики на его определение над телом кватернионов{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=10}}.

== Современное применение ==
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в [[квантовая механика|квантовой механике]]<ref>{{книга|автор=Курочкин Ю. А. |заглавие=Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109|издание=ИФ АН БССР |год=1976}}</ref> и [[теория относительности|теории относительности]]<ref name=ALEX>{{книга|автор=Александрова Н. В. |часть=Исчисление кватернионов Гамильтона |заглавие=''Гамильтон У. Р.'' Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы |издательство=Наука |место=М. |год=1994 |серия=Классики науки}}— С. 519—534.</ref>. Реальное применение кватернионы нашли в современной [[компьютерная графика|компьютерной графике и программировании игр]]<ref>{{книга|автор=Побегайло А. П.|заглавие=Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике|место=Минск|издательство=Издательство БГУ |год=2010 |страниц=216 |isbn=978-985-518-281-9 }}.</ref>, а также в [[вычислительная механика|вычислительной механике]]<ref name="wittenburg">{{книга|автор=Виттенбург Й.|заглавие=Динамика систем твёрдых тел|место=М.|издательство=Мир|год=1980|страниц=292}} — С. 25—26, 34—36.</ref><ref name="pogorelov">{{книга|автор=Погорелов Д. Ю.|заглавие=Введение в моделирование динамики систем тел|место=Брянск|издательство=Издательство БГТУ|год=1997|страниц=156|isbn=5-230-02435-6}}. — С. 22—26, 31—36.</ref>, в [[инерциальная навигация|инерциальной навигации]] и [[теория управления|теории управления]]<ref>{{книга|автор=[[Ишлинский, Александр Юльевич|Ишлинский А. Ю.]]|заглавие=Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация|место=М.|издательство=Наука|год=1976|страниц=672}} — С. 87—103, 593—604.</ref><ref>{{cite web|url=http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/366/ru/pdf/07-10.pdf|title=Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени|last=Чуб В. Ф.|accessdate=2013-12-09|archive-date=2013-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20131213142532/http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/366/ru/pdf/07-10.pdf|deadlink=no}}</ref>. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»<ref>{{Cite web |url=http://hypercomplex.xpsweb.com/section.php?lang=ru&genre=3 |title=Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» |access-date=2014-03-13 |archive-date=2016-09-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160926203312/http://hypercomplex.xpsweb.com/section.php?lang=ru&genre=3 |deadlink=no }}</ref>.

Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется [[Матрица (математика)|матричное исчисление]]<ref>{{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Лекции о развитии математики в XIX столетии |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu |том=I |издательство=ГОНТИ |место=М.-Л. |год=1937 |страницы=229—231. |страниц=432 |archivedate=2013-12-06 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131206192959/http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu }}</ref>. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи ''минимального'' числа скалярных параметров, использование [[параметры Родрига — Гамильтона|параметров Родрига — Гамильтона]] (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, [[углы Эйлера|углами Эйлера]]) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается<ref name="wittenburg" /><ref name="pogorelov" />.

Как алгебра над <math>\scriptstyle\mathbb R</math>, кватернионы образуют вещественное векторное пространство <math>\scriptstyle\mathbb H</math>, снабжённое [[тензор]]ом третьего ранга <math>S</math> типа (1,2), иногда называемого ''структурным тензором''. Как всякий тензор такого типа, <math>S</math> отображает каждую [[Внешняя форма|1-форму]] <math>t</math> на <math>\scriptstyle\mathbb H</math> и пару векторов <math>\left(a, b\right)</math> из <math>\scriptstyle\mathbb H</math> в вещественное число <math>S\left(t, a, b\right)</math>. Для любой фиксированной 1-формы <math>t</math> <math>S</math> превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится [[Скалярное произведение|скалярным произведением]] на <math>\mathbb H</math>. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным [[Линейное многообразие|линейным многообразием]], такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой [[Метрика (дифференциальная геометрия)|метрикой]] на <math>\mathbb H</math>. В случае кватернионов это скалярное произведение [[Индефинитное произведение|индефинитно]], его [[Сигнатура (математика)|сигнатура]] не зависит от 1-формы <math>t</math>, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть [[метрика Минковского]]<ref>''Vladimir Trifonov'' A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.</ref>. Эта метрика автоматически продолжается на [[Группа Ли|группу Ли]] ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику<ref>''Vladimir Trifonov'' Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).</ref> — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости [[Квантовая механика|квантовой механики]] и [[ОТО|общей теории относительности]] в рамках теории [[Квантовая гравитация|квантовой гравитации]]<ref>''Vladimir Trifonov'' GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).</ref>.

== См. также ==
* [[Кватернионы и вращение пространства]]
* [[Кватернионный анализ]]
* [[Октонионы]]
* [[Теорема Фробениуса]]
* [[Складывание рамок]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
;на русском языке
* {{книга|автор=Березин А. В., Курочкин Ю. А., Толкачёв Е. А.|часть=|заглавие=Кватернионы в релятивистской физике|оригинал=|ссылка=https://archive.org/details/isbn_5354004039|издание=2-е|ответственный=|место=М.|издательство=Едиториал УРСС|год=2003|том=|страницы=[https://archive.org/details/isbn_5354004039/page/n10 12]|страниц=202|isbn=5-354-00403-9|ref=Березин, Курочкин и Толкачёв}}
* {{статья|автор=Ватульян А. О.|заглавие=Кватернионы|издание=[[Соросовский образовательный журнал]]|год=1999|номер=5|страницы=117—120 |ссылка=http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9905_117.pdf}}
* {{книга |автор=Кантор И. Л., Солодовников А. С.|ссылка=https://studizba.com/uploads/unziped/real/246967/pdf/77557-66098.pdf |заглавие=Гиперкомплексные числа |место={{М}} |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=1973 |страниц=144}}
* [https://web.archive.org/web/20041120030005/http://quater1.narod.ru/glava_II.pdf Кватернионы. Кватеры.]
* {{книга |автор=[[Конвей, Джон Хортон|Конвей Д.]], Смит Д.|заглавие=О кватернионах и октавах: об их геометрии, арифметике и симметриях |место={{М}} |издательство=[[МЦНМО]] |год=2009 |страниц=184 |ISBN=978-5-94057-517-7}}
* {{статья |автор = [[Мищенко, Александр Сергеевич|Мищенко А. С.]], Соловьёв Ю. П.|заглавие = Кватернионы|оригинал = |ссылка = http://kvant.mccme.ru/1983/09/kvaterniony.htm|издание = [[Квант (журнал)|Квант]]|год = 1983|том = 9|страницы = 10—15 |doi = |pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = Мищенко и Соловьёв}}
;на других языках
* {{cite book | author=Stillwell, J. | year= 2008 | title=Naive lie theory | url=https://archive.org/details/naivelietheory0000stil | publisher=Springer | series=Undergraduate texts in mathematics | isbn=9780387782140|ref=Stillwell}}
* ''Martin John Baker'' [http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm EuclideanSpace.com] {{Wayback|url=http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm |date=20070927221021 }} — применение кватернионов в 3D графике.

{{вс}}
{{Числа}}
{{Алгебра над кольцом}}

[[Категория:Кватернионы]]
[[Категория:Гиперкомплексные числа]]