Просмотр кода страницы Кепстр

'''Кепстр''' — один из видов [[Гомоморфная фильтрация|гомоморфной обработки]] сигналов{{sfn|Оппенгейм|1979|с=339—361}}, [[Функция (математика)|функция]] обратного преобразования Фурье от логарифма [[спектр сигнала|спектра мощности сигнала]]{{sfn|Оппенгейм|1979|с=355|name=Оппенгейм_стр355}}. Кепстр можно записать следующим выражением:
: <math> C_s(q)={1 \over 2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \ln |S(\omega)|^2 e^{i\omega q}\, d\omega</math>
где <math>S(\omega)</math> — спектр входного сигнала.

[[Функция (математика)|Аргумент]] <math> q </math> имеет размерность времени, но это особое, [[кепстральное время]], поскольку <math> C_s(q) </math> в любой момент <math> q </math> зависит от функции <math> s(t) </math> исходного сигнала со спектром <math> S(\omega ), </math> заданной при <math> -\infty<t<\infty</math>.<ref name="Гоноровский"/> Иногда <math> q </math> называют «сачтота» или «кьюфренси» ([[Анаграмма|анаграммы]] от {{lang-ru|[[частота]]}} или {{lang-en|frequency}}).

Кепстр в английском языке имеет два аналога — {{lang-en2|kepstrum}} и {{lang-en2|cepstrum}}.

== Название ==
Первые упоминания термина «кепстр» относятся к июню 1962 года, когда Богерт, Хили и Тьюки опубликовали статью с необычным названием «{{lang-en|The '''Quefrency''' Analysis of Time Series for Echoes: '''Cepstrum''', Pseudo Autocovariance, Cross-Cepstrum and '''Saphe''' Cracking}}»<ref name="ref01" />{{sfn|Оппенгейм|1979|с=355|name=Оппенгейм_стр355}}<ref name="ref03" />.

В этой статье они заметили, что логарифм спектра мощности колебания, содержащего отраженный сигнал, имеет аддитивную периодическую компоненту, созданную этим сигналом, и поэтому преобразование Фурье от логарифма спектра мощности имеет пик на месте, соответствующем задержке отраженного сигнала<ref name="Оппенгейм1979" />. Эту функцию они назвали «кепстром» ({{lang-en|cepstrum}}), изменяя слово «[[спектр]]» ({{lang-en2|spectrum}}) и объясняя это тем, что «в общем случае мы действуем в частотной области так, как принято действовать во временной, и наоборот»<ref name="ref01" />. При этом новое «кепстральное» время было ими названо термином «{{lang-en2|quefrency}}» (от {{lang-en|frequency}}), а фаза — «{{lang-en2|saphe}}» (от {{lang-en|phase}})<ref name="Оппенгейм1979" />.

Позже, в 1969 году Шафер ввёл понятие «комплексного кепстра» ({{lang-en|complex cepstrum}}), опирающегося на использовании информации как о амплитудном, так и о фазовом спектре наблюдаемого сигнала<ref name="ref04" />. Метод комплексного кепстра используется для восстановления исходных сигналов из результата их свёртки и был назван методом гомоморфной деконволюции или гомоморфной фильтрации<ref name="ref05" />.

Первые упоминания термина «kepstrum» относятся к 1978 году, когда Сильвия и Робинсон в своей работе<ref name="ref06" /> использовали его для обозначения предложенного ими метода анализа сейсмических сигналов. В этом методе используется тот факт, что для минимально фазовых сигналов kepstrum-спектральные коэффициенты могут быть получены непосредственно из оценки спектра мощности. В большинстве случаев вычисления «kepstrum» и «complex cepstrum» коэффициентов дают почти одинаковые результаты. Оба метода сходны в том, что используют обратное БПФ от логарифмического спектра мощности. А различие между ними состоит в том, что метод «kepstrum» характеризуется kepstrum-коэффициентами, полученными из степенных рядов Колмогорова, что обеспечивает получение теоретических значений («истинных» значений). В то время как метод «complex cepstrum» позволяет получить эмпирические значения kepstrum-коэффициентов (оценки величин), используя прямое БПФ<ref name="ref03" />.

Другими словами, «kepstrum»-последовательности коэффициентов в разложении Колмогорова заменяются коэффициентами «complex cepstrum» обратного БПФ<ref name="ref03" />.

Коэффициенты «complex cepstrum» являются усечённой версией коэффициентов «kepstrum» и зависят только от длины последовательности данных, а не от статистической вариации<ref name="ref03" />.

Иногда<ref name="ref03" /> термин «kepstrum» связывают с именем советского математика [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогорова]], которым был предложен<ref name="ref07" /> специальный функциональный ряд для обработки регулярных стационарных случайных процессов. При этом некоторые авторы считают, что первые буквы слова «kepstrum» могут быть расшифрованными как «{{lang-en2|Kolmogorov-equation power-series time response}}»<ref name="ref08" /><ref name="ref09" />, в то же время аббревиатура KEPSTR ни в указанной работе<ref name="ref07" />, ни в других работах А. Н. Колмогорова не встречается.

{{translate|en|hidden=1}}
<!-- Разница между Kepstrum и Сepstrum:
;Kepstrum:
The word ‘kepstrum’, is collected from the first letters of the Kolmogorov Equation Power Series Time Response, and then adds the Latin singular ending ‘um’ to denote one kepstrum and its plural word ‘kepstra’ is also used to denote more than one kepstrum by adding the Latin plural ending ‘a’.
;Сepstrum:
The word ‘cepstrum’, an anagram of the word ‘spectrum’,quite similar to the word ‘kepstrum’, has been defined by Bogert et al (1963) as the magnitude power spectrum of the logarithm of the power spectrum of the observed time series and the word ‘complex cepstrum’ has been used by Schafer (1969) for both the magnitude and phase spectra of the observed signal. <br>
The two methods, complex cepstrum and kepstrum give quite identical results for most purposes but seem to have been derived from a different theoretical backgrounds.
-->

== Примечания ==
<references>
<ref name="ref01">B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: «The Quefrency Analysis of Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo Autocovariance, Cross-Cepstrum and Saphe Cracking». Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209—243. New York: Wiley, 1963.</ref>
<ref name="Оппенгейм1979">{{книга
 | автор         = Оппенгейм А. В., Шафер Р. В.
 | заглавие      = Цифровая обработка сигналов
 | оригинал      = Digital Signal Processing
 | язык          = ru
 | ответственный = Пер. с англ./Под ред. С. Я. Шаца.
 | место         = М.
 | издательство  = Связь
 | год           = 1979
 | страниц       = 416
 | isbn          = 5-09-002630-0
 | ref = Оппенгейм
}}</ref>
<ref name="ref03">{{книга |автор=J. Jeong |заглавие=Kepstrum Analysis and Real-Time Application to Noise Cancellation / Proceedings of the 8th WSEAS International Conference on SIGNAL PROCESSING, ROBOTICS and AUTOMATION |страницы=149—154 |isbn=978-960-474-054-3}}, {{ISSN|1790-5117}}</ref>
<ref name="ref04">R. W. Schafer, Echo removal by discrete generalized linear filtering: Res. Lab. Electron. MIT, Tech. Rep., No. 466, 1969.</ref>
<ref name="ref05">A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Homomorphic analysis of speech, IEEE Trans. Audio Electroacoust. AU-16 (1968) 221—226.</ref>
<ref name="ref06">M. T. Silvia, E. A. Robinson, Use of the kepstrum in signal analysis, Geoexploration 16. (1978) 55-73.</ref>
<ref name="ref07">А. Н. Колмогоров. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве. Бюллетень МГУ. Математика. 1941, т. 2, № 6, с. 3—40.</ref>
<ref name="ref08">M. T. Silvia, E. A. Robinson. Deconvolution of Geophysical Time Series in the Exploration for Oil and Natural Gas / Elsevier Scientific Publishing Company, 1979.</ref>
<ref name="ref09">J. Jeong, T. J. Moir. Kepstrum approach to real-time speech-enhancement methods using two microphones / Res. Lett. Inf. Math. Sci., 2005, Vol. 7, p. 135—145.</ref>
<ref name="Гоноровский">Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.— 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1986. — 512 с. С.478</ref>
</references>

== Литература ==
* Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999.
* Kepstrum approach to real-time speech-enhancement methods using two microphones J.JEONG & T.J.MOIR // Institute of Information & Mathematical Sciences, Massey University at Albany, Auckland, New Zealand
* D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "[http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=1455016 The Cepstrum: A Guide to Processing], " ''Proceedings of the IEEE'', Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428—1443.

{{rq|img|topic=math}}

[[Категория:Обработка сигналов]]
[[Категория:Спектр по типу]]