Просмотр кода страницы Клотоида

[[Файл:Cornu_spiral.png|thumb|Двойная Клотоида]]
'''Клото́ида''' или '''спира́ль Корню́''' (в иностранной литературе известна также как '''спираль [[Эйлер, Леонард|Эйлера]]''') — плоская [[кривая]], у которой радиус [[кривизна|кривизны]] изменяется линейно как функция длины дуги:

: <math display="inline">1/R \sim L \Leftrightarrow R\cdot L = \mathrm{const}.</math>

== Свойства ==
[[Файл:Клотоида.gif|220px|мини|Анимация построения клотоиды по касательной окружности. 1 — {{oncolor||#2177B2|'''клотоида'''}}, 2 — [[эволюта]].]]
* Параметрически клотоида может быть представлена в виде:

: <math>x(t) = C(t);~</math> <math>y(t) = S(t),</math>

: где <math>S(t)</math> и <math>C(t)</math> [[интегралы Френеля]]:

: <math>S(t)=\int\limits_0^t \sin(u^2)\,du,</math>
: <math>C(t)=\int\limits_0^t \cos(u^2)\,du</math>

* Полная длина клотоиды бесконечна.

== Применение ==

=== В дорожном строительстве ===
Кривизна клотоиды изменяется линейно. Это позволяет использовать кривую как [[Переходная кривая|переходную дугу]] в [[Дорожное строительство|дорожном строительстве]]. Если участок дороги в плане имеет форму участка клотоиды, то руль автомобиля при поворотах поворачивается плавно; [[центробежная сила]] нарастает плавно (линейно), от нуля до некоторой величины, без боковых рывков. Такой изгиб дороги позволяет проходить поворот без существенного снижения скорости. Впервые эту задачу об изгибе дороги решил [[Эйлер, Леонард|Эйлер]]<ref name="pwayblog">{{Cite web|last=Constantin|date=2016-03-07|title=The Clothoid|url=https://pwayblog.com/2016/07/03/the-clothoid/|access-date=2023-06-07|website=Pwayblog|archive-date=2023-07-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20230724030125/https://pwayblog.com/2016/07/03/the-clothoid/|deadlink=no}}</ref>. [[Ренкин, Уильям Джон|Уильям Ренкин]], не зная о решении Эйлера, предложил в качестве кривой с плавным изменением центробежной силы на поворотах [[Парабола|кубическую параболу]] — кривую 3-го порядка, являющуюся приближенно участком клотоиды при не очень больших углах поворота.

=== В оптике ===
Клотоида предложена [[Корню, Мари Альфред|Корню]] для облегчения расчёта [[дифракция|дифракции]] в прикладных оптических задачах, так как описывает дифракционную картину при [[Дифракция|дифракции]] на «лезвии ножа»<ref name=Hecht>{{cite book | title = Optics | url = https://archive.org/details/optics0000hech_e5d5/page/491 | edition = 3rd | author = Eugene Hecht | publisher = Addison-Wesley | year = 1998 | isbn = 978-0-201-30425-1 | page = 491 }}</ref>. Например, рассмотрим [[Монохроматическая волна|плоскую монохроматическую волну]], распространящуюся в сторону нарастания <math>x</math> с амплитудой <math>E_0\,\exp(-jkz),</math> дифрагирующую на «лезвии ножа» высотой <math>h,</math> расположенного в точке <math>x = 0</math> на плоскости <math>x, z.</math> Тогда волновое поле, образованное за ножом в результате дифракции, можно записать в виде:

<math display="block"> \mathbf{E}(x, z) = E_0 e^{-jkz} \frac{\mathrm{Fr}(\infty) - \mathrm{Fr}\left(\sqrt{\frac{2}{\lambda z}}(h-x)\right)}{\mathrm{Fr}(\infty) - \mathrm{Fr}(-\infty)},</math>

: где {{math|Fr(''x'')}} — интегральная [[Интегралы Френеля|функция Френеля]], образующая на комплексной плоскости спираль Корню.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{geometry-stub}}
{{нет ссылок|дата=7 июля 2014}}

{{Кривые}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]