Просмотр кода страницы Комбинаторная геометрия

{{Перенаправление|Дискретная геометрия}}
<!---->
[[Файл:Pyramid of 35 spheres animation.gif|frame|right|[[Кубическая гранецентрированная решётка|Кубическая гранецентрированная упаковка]]]]
'''Комбинаторная''' или '''дискретная геометрия''' — раздел [[Геометрия|геометрии]], в котором изучаются [[Комбинаторика|комбинаторные]] свойства геометрических объектов и связанные с ними конструкции. В комбинаторной геометрии рассматривают конечные и бесконечные дискретные [[Множество|множества]] или структуры базовых однотипных геометрических объектов ([[Точка (геометрия)|точек]], [[Прямая|прямых]], [[Окружность|окружностей]], [[многоугольник]]ов, тел с одинаковым [[диаметр]]ом, [[Целочисленная решётка|целочисленных решёток]] и т. п.) и ставят вопросы, связанные со свойствами различных геометрических конструкций из этих объектов или на этих структурах. Проблемы комбинаторной геометрии простираются от конкретных «предметно»-комбинаторных вопросов (хотя и не всегда с простыми ответами) — [[Замощение (геометрия)|замощения]], [[Упаковка шаров|упаковка кругов на плоскости]], [[формула Пика]] — до вопросов общих и глубоких, таких как [[гипотеза Борсука]], [[Задача Нелсона — Эрдёша — Хадвигера|проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера]].

== История ==
Хотя [[многогранник]]и, [[Замощение (геометрия)|замощения]] и [[Гипотеза Кеплера|упаковка шаров]] исследовались ещё [[Кеплер, Иоганн|Кеплером]] и [[Коши, Огюстен Луи|Коши]], современная комбинаторная геометрия начала формироваться в конце XIX века. Одними из первых задач были: плотность [[Упаковка шаров|упаковки кругов]] [[Туэ, Аксель|Акселя Туэ]], {{нп5|Проективная конфигурация|проективная конфигурация|en|projective configuration}} [[Штайниц, Эрнст|Штайница]], [[геометрия чисел]] [[Минковский, Герман|Минковского]] и [[проблема четырёх красок]] {{нп1|Гутри, Фрэнсис|Фрэнсиса Гутри|en|Francis Guthrie}}.

== Примеры задач ==
Представление о диапазоне задач комбинаторной геометрии дают следующие примеры.

* [[Лемма Витали о покрытиях]] — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.
[[Файл:Truncated rhombitrihexagonal tiling circle packing.png|180px|frame|right|Ромботришестиугольная упаковка шаров, одна из 11 возможных симметричных упаковок]]

* Задача о возможных и наиболее плотных [[Упаковка шаров|упаковках кругов на плоскости и шаров в пространстве]]. Наиболее плотные упаковки кругов и шаров представляются очевидными. Но полное математическое доказательство для кругов было получено только в [[1940 год]]у<ref name="ChangWang">{{cite arXiv |last1=Chang|first1=Hai-Chau |last2=Wang|first2=Lih-Chung |authorlink= |eprint=1009.4322v1 |title=A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing |class=math.MG |year=2010 |accessdate=2011-05-11 }}</ref>. Для шаров компьютерное доказательство [[Гипотеза Кеплера|гипотезы Кеплера]] появилось спустя 400 лет в [[1998 год]]у в работе математика {{не переведено 3|Хейлс, Томас|Томаса Хейлса|en|Thomas Callister Hales}}
[[Файл:8-points-no-pentagon.svg|thumb|Восемь точек в общем положении, для которых нет выпуклого пятиугольника]]

* [[Задача со счастливым концом|Теорема Эрдёша — Секереша о выпуклых многоугольниках]] утверждает, что в любом достаточно большом множестве точек в [[Общее положение|общем положении]] на плоскости можно найти <math>n</math> точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника. Гипотеза Эрдёша — Секереша о минимальном числе точек, обязательно содержащих выпуклый <math>n</math>-угольник, на сегодня не доказана. Данная задача является также задачей [[Теория Рамсея|теории Рамсея]].

* [[Теорема Минковского о выпуклом теле]]. Пусть <math>S</math> — замкнутое [[Выпуклое множество|выпуклое тело]], симметричное относительно начала координат <math>O</math> <math>n</math>-мерного евклидова пространства, имеющее объём <math>\ge 2^n</math>. Тогда в <math>S</math> найдётся целочисленная точка, отличная от <math>O</math>. Эта теорема положила начало [[Геометрия чисел|геометрии чисел]].

* [[Гипотеза Борсука]] утверждает, что любое тело диаметра <math> d</math> в <math>n</math>-мерном [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] можно разбить на <math>n+1</math> часть так, что [[диаметр]] каждой части будет меньше <math>d</math>. Эта гипотеза была доказана для размерностей <math>2</math> и <math>3</math>, но опровергнута для пространств большой размерности. По известной сегодня оценке она неверна для пространств размерности 64 и более<ref>Thomas Jenrich, [http://arxiv.org/abs/1308.0206 A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/1308.0206 |date=20181226084412 }}</ref>.

* [[Задача Данцера — Грюнбаума]] заключается в поиске конечного множества из как можно большего количества точек в многомерном пространстве, между которыми можно построить только острые углы.
* [[Задача «никакие три на прямой»|Задача «никакие три точки не лежат на одной прямой»]], состоящая в нахождении количества точек, которые можно расположить на решётке <math>n\times n</math> так, чтобы никакие три точки не находились на одной прямой.

== См. также ==
* [[Вычислительная геометрия]]
* [[Конечная геометрия]]
* [[Геометрия чисел]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{книга|автор=Грюнбаум Б.|заглавие=Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел|год=1971|серия=|ссылка=|место=|издательство=|тираж=|страниц=|isbn=}}
*{{книга|автор=Фейеш Тот, Ласло|заглавие=Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве|год=1958|серия=|ссылка=|место=М.|издательство=Физматгиз|тираж=4500|страниц=364|isbn=}}
* {{книга |заглавие=Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday |ссылка=https://archive.org/details/discretegeometry0000unse |издательство={{Нп3|Marcel Dekker}} |место=New York, N.Y |год=2003 |isbn=0-8247-0968-3 |язык=en |автор=Bezdek, András; Kuperberg, W.}}
* {{книга |заглавие=Classical Topics in Discrete Geometry |ссылка=https://archive.org/details/classicaltopicsi0000bezd |издательство=Springer |место=New York, N.Y |год=2010 |isbn=978-1-4419-0599-4 |язык=und |автор=Bezdek, Károly}}
* {{книга |заглавие=Research problems in discrete geometry |издательство=Springer |место=Berlin |год=2005 |isbn=0-387-23815-8 |язык=und |автор=Brass, Peter; Moser, William; {{Нп3|János Pach|Pach, János|en|János Pach}}}}
* {{книга |заглавие=Combinatorial geometry |ссылка=https://archive.org/details/combinatorialgeo0000pach |издательство=[[John Wiley & Sons|Wiley-Interscience]] |место=New York |год=1995 |isbn=0-471-58890-3 |язык=und |автор={{Нп3|János Pach|Pach, János|en|János Pach}}; Agarwal, Pankaj K.}}
* {{книга |заглавие=Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition |издательство=Chapman & Hall/CRC |место=Boca Raton |год=2004 |isbn=1-58488-301-4 |язык=en |автор=Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph}}
* {{книга |заглавие=Convex and Discrete Geometry |издательство=Springer |место=Berlin |год=2007 |isbn=3-540-71132-5 |ref=Gruber |язык= |автор=[[Грубер, Петер|Gruber, Peter M.]]}}
* {{книга |заглавие=Lectures on discrete geometry |издательство=Springer |место=Berlin |год=2002 |isbn=0-387-95374-4 |язык= |автор=Matoušek, Jiří}}
* {{книга |заглавие=Excursions into Combinatorial Geometry |ссылка=https://archive.org/details/excursionsintoco0000bolt |издательство=Springer |год=1997 |isbn=3-540-61341-2 |язык=und |автор=Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,}}
{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Комбинаторная геометрия]]