Просмотр кода страницы Компактификация Стоуна — Чеха

'''Компактификация Стоуна — Чеха''' (также ''стоун-чеховская'' или ''чех-стоунова компактификация'') — максимальная [[компактификация]] [[Вполне регулярное пространство|вполне регулярного]] [[топологическое пространство|топологического пространства]]. 

Компактификация Стоуна — Чеха пространства <math>X</math> обычно обозначается как <math>\beta X</math>.

== История ==

Конструкция компактификации Стоуна — Чеха была впервые рассмотрена [[Тихонов, Андрей Николаевич|Тихоновым]]<ref>Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, — Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544—561</ref> в 1930 году. 
Более явно она была описана в 1937 году [[Стоун, Маршалл|Стоуном]]
<ref>''Stone, M.H.'' (1937), Applications of the theory of Boolean rings to general topology, — Trans. Amer. Soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) '''41''' (3): 375—481</ref> и [[Чех, Эдуард|Эдуардом Чехом]]<ref>''Čech, E.'' (1937), On bicompact spaces, — Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 38, No. 4) '''38''' (4): 823—844</ref>.

== Универсальное свойство ==
<math>\beta X</math> — это [[компактность|компактное]] [[хаусдорфово пространство]] вместе с [[непрерывное отображение|непрерывным отображением]] из <math>X,</math> удовлетворяющее следующему [[универсальное свойство|универсальному свойству]]: любое непрерывное отображение <math>f:X\to K</math> в компактное хаусдорфово пространство <math>K</math> можно однозначно продолжить до непрерывного отображения <math>\beta f: \beta X\to K,</math> такого что следующая диаграмма [[коммутативная диаграмма|коммутативна]]:
:[[Файл:Stone–Cech compactification.png|150px]]

В случае, если исходное пространство <math>X</math> было вполне регулярным, отображение <math>X\to\beta X</math> является [[гомеоморфизм]]ом <math>X</math> на образ этого отображения (то есть [[вложение]]м).

===Замечание===
*Несмотря на то, что универсальное свойство однозначно определяет компактификацию с точностью до [[изоморфизм]]а,  для доказательства существования компактификации нужно описать явную конструкцию.

== Конструкция ==
Обозначим через <math>A</math> множество всех непрерывных функций <math>\alpha\colon X\to [0,1]</math>.
Можно проверить, что отображение <math>F:X\to [0,1]^A</math> ([[тихоновский куб]]), определяемое равенством
: <math>x\mapsto (\alpha(x))_{\alpha\in A}</math>,
является гомеоморфизмом <math>X</math> на свой образ <math>F(X)\subset [0,1]^A</math>. Замыкание <math>F(X)</math> в <math>[0,1]^A</math> и будет искомой компактификацией.

==Свойства==

*Если <math>X</math> является [[дискретное пространство|дискретным пространством]], его компактификация — это множество [[ультрафильтр]]ов на решётке подмножеств <math>X,</math> наделённое ''топологией Стоуна''. В качестве [[база топологии|базы открытых множеств]] топологии Стоуна на множестве ультрафильтров <math>G</math> можно взять множества <math>D_a=\{U\in G|a\in U\}</math> для всевозможных <math>a\in P(X).</math>

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{Из|МЭ||заглавие=Стоуна — Чеха бикомпактное расширение|автор=Кожевникова И. Г.}}
* ''Dror Bar-Natan'', [http://www.math.toronto.edu/~drorbn/classes/9293/131/ultra.pdf Ultrafilters, Compactness, and the Stone-Čech compactification]

{{перевести|en|Stone–Čech compactification}}
[[Категория:Общая топология]]