Просмотр кода страницы Константа де Брёйна — Ньюмана

'''Константа де Брёйна — Ньюмана''' — [[математическая константа]], обозначаемая Λ. Названа в честь [[Де Брёйн, Николас|Николаса Говерта де Брёйна]] и Чарльза М. Ньюмана.

== Описание ==
Рассмотрим кси-функцию Римана:

: <math>\Xi (i z) = \frac {1} {2} \left(z^2 - \frac {1} {4}\right) \pi ^ {- \frac {z} {2} - \frac {1} {4}} \Gamma \left(\frac {1} {2} z + \frac {1} {4}\right) \zeta \left(z + \frac {1} {2}\right) </math>.

Выражение <math>\frac {\Xi (z/2)} {8}</math> может быть представлено в виде [[Преобразование Фурье|преобразования Фурье]]:

: <math>\Phi (t) = \sum _{n=1} ^ \infin \left(2 \pi^2 n^4 e^{9t} - 3 \pi n^2 e^{5t}\right) e^{-\pi n^2 e^{4t}}</math>

для <math>t \in \mathbb{R} \geq 0</math>. Тогда обозначим преобразование Фурье <math>\Phi (t) e ^ {\lambda t^2}</math> как <math>H(\lambda, z)</math>:

: <math>\mathcal{F}_t \left [ \Phi (t) e ^ {\lambda t^2} \right ] = H(\lambda, z)</math>.

Константа определяется через [[Нуль функции|нули]] функции H(λ, z). Она имеет вещественные нули тогда и только тогда, когда λ ≥ Λ. Константа тесно связана с [[Гипотеза Римана|гипотезой Римана]] относительно нулей [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]].

== Значение ==
Де Брёйн показал<ref>{{Статья|автор=Nicolaas Govert de Bruijn.|заглавие=The Roots of Triginometric Integrals|ссылка=https://pure.tue.nl/ws/files/1769368/597490.pdf|язык=en|издание=Duke Math. J.|тип=|год=1950|месяц=|число=|том=17|номер=3|страницы=197–226|issn=|archivedate=2018-09-10|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180910014628/https://pure.tue.nl/ws/files/1769368/597490.pdf}}</ref> в 1950 году, что H имеет только вещественные нули при λ > 1/2, а кроме этого, что если H имеет только вещественные нули при некотором λ, то H также имеет только вещественные нули и при бо́льших значениях λ. Указанная де Брёйном верхняя граница Λ ≤ 1/2 не была доказана вплоть до 2008 года, когда Haseo Ki, Young-One Kim и Jungseob Lee доказали<ref>{{Статья|автор=Haseo Ki, Young-One Kim, Jungseob Lee.|заглавие=On the de Bruijn–Newman constant|ссылка=http://web.yonsei.ac.kr/haseo/p23-reprint.pdf|язык=en|издание=Advances in Mathematics|тип=|год=2009|месяц=|число=|том=222|номер=1|страницы=281—306|issn=0001-8708|archivedate=2017-08-09|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170809013021/http://web.yonsei.ac.kr/haseo/p23-reprint.pdf}}</ref>, что Λ < 1/2, сделав доказательство строгим<ref>{{Cite web|url=http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Zero-free_regions|title=Zero-free regions|author=|website=|date=|publisher=|access-date=2018-08-09|archive-date=2018-06-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20180612140037/http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Zero-free_regions|deadlink=no}}</ref>.

В декабре 2018 года проектом [[Polymath]] верхняя граница константы Λ была улучшена до 0,22<ref>{{Cite web|url=https://terrytao.wordpress.com/2018/05/04/polymath15-ninth-thread-going-below-0-22/|title=Going below Λ ≤ 0.22?|author=|website=|date=|publisher=|access-date=2018-08-09|archive-date=2018-08-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20180813072620/https://terrytao.wordpress.com/2018/05/04/polymath15-ninth-thread-going-below-0-22/|deadlink=no}}</ref><ref name=NewmanWu>{{Cite web |url=https://arxiv.org/abs/1901.06596 |title=Constants of de Bruijn-Newman type in analytic number theory and statistical physics |author=Charles M. Newman, Wei Wu |date=2019-01-19 |publisher=arXiv:1901.06596 [math-ph] |accessdate=2019-03-15 |archive-date=2020-01-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200122205000/https://arxiv.org/abs/1901.06596 |deadlink=no }}</ref>.

По состоянию на апрель 2020 года, лучшая верхняя граница константы Λ ≤ 0,2<ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/abs/2004.09765 |title=The Riemann hypothesis is true up to 3⋅10^12 |author=Dave Platt, Tim Trudgian |date=2020-04-21 |publisher=arXiv:2004.09765 [math.NT] |accessdate=2021-05-02 |archive-date=2021-04-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210417051643/https://arxiv.org/abs/2004.09765 |deadlink=no }}</ref>.
 
Серьёзные расчёты по нахождению нижней границы производились с 1988 года и продолжаются до сих пор (по состоянию на 2018 год):
{| class="wikitable"
!Год
!Нижняя граница Λ
|-
|1988
|−50
|-
|1991
|−5
|-
|1990
|−0.385
|-
|1994
|−4.379×10<sup>−6</sup>
|-
|1993
|−5.895×10<sup>−9</sup><ref>{{Статья|автор=G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S Varga.|заглавие=A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn–Newman constant Lambda|ссылка=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/debruijn.constant.pdf|язык=en|издание=Electronic Transactions on Numerical Analysis|тип=|год=1993|месяц=|число=|том=1|номер=|страницы=104–111|issn=|archivedate=2021-08-19|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210819165508/http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/debruijn.constant.pdf}}</ref>
|-
|2000
|−2.7×10<sup>−9</sup><ref>{{Статья|автор=Andrew Odlyzko|заглавие=An improved bound for the de Bruijn–Newman constant|ссылка=|язык=en|издание=Numerical Algorithms|тип=|год=2000|месяц=|число=|том=25|номер=|страницы=293—303|issn=}}</ref>
|-
|2011
|−1.1×10<sup>−11</sup><ref>{{Статья|автор=G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S. Varga|заглавие=An improved lower bound for the de Bruijn–Newman constant|ссылка=|язык=en|издание=Mathematics of Computation|тип=|год=2011|месяц=|число=|том=80|номер=276|страницы=2281–2287|issn=}}</ref>
|-
|2018
|≥ 0<ref name=":0">{{Книга|автор=Brad Rodgers, Terence Tao|заглавие=The De Bruijn–Newman constant is non-negative|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=2018|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|url=https://terrytao.wordpress.com/2018/01/19/the-de-bruijn-newman-constant-is-non-negativ/|title=The De Bruijn-Newman constant is non-negative|author=|website=|date=2018-01-19|publisher=|access-date=2018-08-09|archive-date=2018-07-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20180711100907/https://terrytao.wordpress.com/2018/01/19/the-de-bruijn-newman-constant-is-non-negativ/|deadlink=no}}</ref>
|}
Так как <math>H(\lambda, x)</math> является [[Преобразование Фурье|преобразованием Фурье]] <math>F(e^{\lambda x}\Phi)</math>, то H имеет представление Винера-Хопфа:

: <math>\xi(1/2 + iz) = A\sqrt\pi(\lambda)^{-1} \int\limits_{-\infin}^{\infin} e^{\frac{-1}{4\lambda}(x-z)^2} H(\lambda, x) dx</math>,

которое действует только для неотрицательных значений λ. В пределе λ стремится к 0, тогда <math>H(0, x) = \xi(1/2 + ix)</math> в случае, если λ отрицательна, H определяется следующим образом:

: <math>H(\lambda, z) = B\sqrt\pi(\lambda)^{-1} \int\limits_{-\infin}^{\infin} e^{\frac {-1} {4\lambda} (x-z)^2} \xi(1/2 + ix) dx</math>.

Здесь A и B — вещественные константы.

В январе 2018 года Брэд Роджерс и [[Тао, Теренс|Теренс Тао]] опубликовали статью на [[arXiv.org]], в которой они утверждают, что константа де Брейна-Ньюмана неотрицательна<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=NewmanWu/>.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Числа с собственными именами}}