Просмотр кода страницы Коса (математика)

{{Float begin|side=right}}
| || <div style="position:relative; top:0px; left:0px;{{Transform-rotate|90}}">[[Файл:Tresse math.svg|200px]]</div>
{{Float end|caption=[[#Геометрические косы|Геометрическая коса]] из трёх нитей.}}
'''Коса''' в математике — [[Математическая абстракция|идеализированная абстракция]] знакомого из повседневности [[Коса (причёска)|переплетения нитей]]. Является фундаментальным понятием [[теория кос|теории кос]].

== Определение ==
Классический подход к определению косы состоит из двух шагов. Сначала вводятся определённые наборы [[Кривая#Определение в топологии|кривых]] в [[трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]], которые называются ''геометрическими косами''. Затем на множестве всех геометрических кос вводится [[отношение эквивалентности]], которое называется ''изотопностью'' и отвечает возможности преобразовать одну геометрическую косу в другую определёнными физическими [[Манипуляция (фокусы)|манипуляциями]] нитей. По определению принимается, что эквивалентные геометрические косы представляют один и тот же математический объект — косу.

=== Геометрические косы ===
Для данного [[натуральное число|натурального]] числа <math>n \in \N</math> пусть в [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]] <math>\R^3</math> на двух параллельных [[Плоскость|плоскостях]] <math>\R^2\times \{0\}</math> и <math>\R^2\times \{1\}</math> отмечены по <math>n</math> точек

: <math>\{(k,0,0) \in \R^3 \mid k \in \{1,2,\ldots,n\}\}</math>

: <math>\{(k,0,1) \in \R^3 \mid k \in \{1,2,\ldots,n\}\}</math>,

расположенных друг напротив друга на двух параллельных [[Прямая|прямых]] <math>\R\times \{0\}\times \{0\}</math> и <math>\R\times \{0\}\times \{1\}</math>. Для краткости множество <math>\R^2\times [0,1]</math>, ограниченное плоскостями <math>\R^2\times \{0\}</math> и <math>\R^2\times \{1\}</math>, называется ''объемлющим пространством'', а сами плоскости — ''основными''.

'''''Геометрической косой''''' из <math>n</math> нитей называется подмножество объемлющего пространства <math>\R^2\times [0,1]</math>, которое состоит из <math>n</math> непересекающихся [[Кривая#Определение в топологии|кривых]] и удовлетворяет следующим требованиям:
# концы этих кривых расположены в отмеченных точках;
# каждая плоскость, параллельная основным и находящаяся между ними, пересекает геометрическую косу по ровно <math>n</math> точкам.

Данные кривые называются '''''нитями''''' геометрической косы. Второе условие означает то, что нити идут «монотонно», то есть в длину вдоль прямой, [[Перпендикулярность|перпендикулярной]] основным плоскостям.

=== Изотопность геометрических кос ===
Изотопия геометрических кос представляет собой определённое непрерывное шевеление нитей. Предполагается, что при таких шевелениях должны сохраняться два указанных выше определяющих свойства геометрических кос, то есть необходимо, чтобы концы нитей были неподвижны, а сами нити оставались монотонными и не проходили друг сквозь друга. Так, допустимыми манипуляциями нитей являются их покачивания, но не задирания или попытки «заузливания».

Данные манипуляции обычно формализуются с помощью понятия [[Глоссарий теории кос#Объемлющая изотопия|объемлющей изотопии]], которое представляет собой непрерывное шевеление ''сразу всех'' точек объемлющего пространства. При таком шевелении точки не могут наезжать друг на друга, но могут переставляться и «перемешиваться».

'''''Изотопией''''' геометрических кос называется такая объемлющая изотопия объемлющего пространства <math>\R^2\times [0,1]</math>, что:
# его точки не выходят за пределы содержащих их плоскостей, параллельных основным;
# точки на основных плоскостях <math>\R^2\times \{0\}</math> и <math>\R^2\times \{1\}</math> неподвижны.

Геометрические косы называются '''''изотопными''''', если одна может быть получена из другой некоторой изотопией. '''''Косой''''' называется [[класс эквивалентности]] геометрических кос по отношению изотопности.

Некоторые авторы злоупотребляют обозначениями и опускают прилагательное «геометрические», называя косами как классы эквивалентности, так и их представителей{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=71}}.

=== Нити косы ===
Поскольку при изотопии геометрических кос количество <math>n</math> нитей сохраняется, оно является корректно определённой характеристикой косы и называется её '''''индексом'''''{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=172}}.

Множество всех кос индекса <math>n \in \N</math> обозначается символом <math>B_n</math> (от {{lang-en|braid}} — коса).

Точка пересечения данной нити с плоскостью <math>\R^2 \times \{0\}</math> называется её ''началом'' или ''левым концом'', а с плоскостью <math>\R^2 \times \{0\}</math> — её ''концом'' или ''правым концом''. Такое натуральное число <math>k</math>, что началом данной нити является точка <math>(k,0,0)</math>, называется её ''номером''.

=== Перестановка косы ===
[[Файл:Braid permutation.svg|мини|350px|Определение перестановки, соответствующей косе]]
Помимо общего количества нитей, при изотопии также сохраняется изменение порядка кончиков нитей при движении от их начала к концу{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=17}}. А именно, '''''перестановкой, соответствующей косе''''' <math>\beta</math> из <math>n</math> нитей, называется функция{{sfn|Murasugi и Kurpita|1999|p=9}}

: <math>\pi_\beta \colon \{1,2,\ldots,n\} \to \{1,2,\ldots,n\}</math>,

переводящая число <math>k</math> в такое число <math>\pi_\beta(k)</math>, что точка <math>(\pi(k),0,1)</math> является правым концом нити с левым концом в точке <math>(k,0,0)</math>.

== Вспомогательные определения ==

=== Произведение кос ===
{{См. также|Группа кос}}
[[Файл:Braid product.svg|thumb|Произведение кос|450px]]
Косы из одинакового числа нитей можно умножать, соединяя правые концы нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=72}}.

Точнее, произведением ''геометрических'' кос <math>A, B \subset \R^2\times [0,1]</math> из одинакового числа нитей называется геометрическая коса из того же числа нитей, состоящая из таких точек <math>(p,t) \in \R^2\times [0,1]</math>, что

: <math>\begin{align} (p,2t) &\in A, && 0 \leq t \leq 1/2, \\ (p,2t-1) &\in B, && 1/2 \leq t \leq 1.\end{align}</math>

'''''Произведением''''' кос <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> из одинакового числа нитей называется коса <math>\alpha\beta</math>, заданная произведением любых их геометрических представителей.

Такое умножение задаёт на множестве <math>B_n</math> всех кос из <math>n</math> нитей алгебраическую структуру, которая называется ''[[группа кос|группой кос]]''.

=== Тривиальная коса ===
Операция умножения на множестве <math>B_n</math> всех кос из <math>n</math> нитей имеет [[нейтральный элемент]], задающийся геометрическим представителем, нити которого являются прямыми отрезками, перпендикулярными основным плоскостям.

Точнее, геометрическая коса

: <math>\{1,2,\ldots,n\}\times \{0\} \times [0,1]</math>,

и соответствующий ей класс эквивалентности геометрических кос называются '''''тривиальными'''''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=18}}. Тривиальная коса из <math>n</math> нитей обозначается символом <math>1_n</math> или просто <math>1</math>.

Характеристическим свойством тривиальной косы является то, что для любой косы <math>\beta</math> выполняется цепочка равенств

: <math>\beta 1 = 1 \beta = \beta</math>.

=== Обратная коса ===
Образ геометрической косы <math>A \subset \R\times\R\times [0,1]</math> при [[Отражение (геометрия)|отражении]]

: <math>(x,y,t) \mapsto (x,y,1-t)</math>

относительно плоскости <math>\R \times \R \times \{1/2\}</math> является геометрической косой и называется её ''обратной''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=33}}. '''''Обратной косой''''' к косе <math>\beta</math> называется коса <math>\beta^{-1}</math>, заданная обратной к любому геометрическому представителю этой косы <math>\beta</math>.

Характеристическим свойством обратной косы является цепочка равенств

: <math>\beta \beta^{-1} = \beta^{-1}\beta =  1</math>.

=== Диаграммы кос ===
[[Файл:The half-twist braid.svg|thumb|Стандартная диаграмма [[#Фундаментальная коса|фундаментальной косы]]|300px]]
Геометрические косы традиционно изображают их плоскими диаграммами, которые определяются следующим образом.

[[Образ (математика)|Образ]] геометрической косы относительно ортогональной проекции <math>\pi \colon \R \times \R \times [0,1] \to \R \times [0,1]</math>, заданной формулой <math>(x,y,t) \mapsto (x,t)</math>, называется ''плоской проекцией'' этой геометрической косы. ''Ветвью'' плоской проекции называется её подмножество, являющееся образом некоторого [[связное пространство|связного]] подмножества геометрической косы. ''Кратностью'' или ''порядком'' точки на плоской проекции называется [[мощность множества|мощность]] её [[прообраз]]а относительно ортогональной проекции <math>\pi</math>. Плоская проекция называется ''регулярной'', если кратность каждой её точки не превосходит двух (то есть равна единице или двойке), причем двойных точек (то есть точек кратности два) лишь конечное число, и каждая из них представляет собой [[Трансверсальность|трансверсальное]] пересечение.

Любую геометрическую косу можно так подвергнуть небольшой изотопии, чтобы её плоская проекция стала регулярной{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=20}}.

'''''Диаграммой''''' геометрической косы, плоская проекция которой является регулярной, называется подмножество полосы <math>\R\times [0,1]</math>, получающееся из этой проекции определёнными разрывами в её двойных точках{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=18}}. А именно, разрывами той ветви маленькой окрестности каждой двойной точки, прообраз в <math>\R\times\R \times [0,1]</math> которой имеет меньшую вторую координату <math>y</math>. Такую ветвь называют '''''проход''''' или '''''нижняя ветвь''''', а оставшуюся — '''''переход''''' или '''''верхняя ветвь'''''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=19}}.

Участок диаграммы, полученный в результате разрыва нижней ветви на маленькой окрестности некоторой двойной точки регулярной плоской проекции, называется '''''перекрёстком'''''. Каждый перекрёсток имеет один из следующих двух типов: если его нижняя ветвь указывает налево от его верхней ветви (относительно ориентации нитей, ведущей от их начала к концу), то перекрёсток называется '''''положительным''''', а иначе, если нижняя ветвь указывает направо, то '''''отрицательным'''''.

=== Образующие Артина и артиновские слова ===
{{См. также|Теорема Артина о задании группы кос}}
[[Файл:Artin generators of the braid group.svg|thumb|Стандартные диаграммы образующих Артина и обратных к ним (слева) и диаграмма, заданная некоторым артиновским словом (справа)|400px]]
Косы <math>\sigma_1,\sigma_2, \ldots, \sigma_{n-1}</math> и <math>\sigma_1^{-1},\sigma_2^{-1}, \ldots, \sigma_{n-1}^{-1}</math>, называющиеся '''''образующими А́ртина''''' и '''''обратными''''' к ним, определяются следующим образом.

Коса <math>\sigma_i</math> (соответственно, <math>\sigma_i^{-1}</math>) задаётся своим геометрическим представителем, у которого нити под номерами <math>i</math> и <math>i+1</math> единожды переплетаются в ''положительном'' (соответственно, в ''отрицательном'') направлении, а остальные являются прямыми.

Конечные [[последовательность|последовательности]] элементов из множества образующих Артина и их обратных (или, что то же самое, [[Слово (формальный язык)|слова]] в этом алфавите) называются '''''а́ртиновскими''''' или '''''косо́выми''''' словами (от {{lang-en|braid word}}).

Каждому артиновскому слову соответствует диаграмма косы, полученная поочерёдным склеиванием (по длинным сторонам) стандартных диаграмм, отвечающих буквам этого слова. Поскольку [[конкатенация|конкатенации]] артиновских слов отвечает произведение кос, полученная коса является произведением образующих Артина и их обратных.

Любую геометрическую косу можно подвергнуть небольшой изотопии, чтобы её диаграмма могла быть получена таким способом по некоторому артиновскому слову{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=74}}. В частности, множество образующих Артина является [[порождающее множество группы|порождающим]] для группы кос (см. {{ссылка на раздел|Теорема Артина о задании группы кос}}).

=== Фундаментальная и центральная косы ===
[[Файл:Два обличия фундаментальной косы.svg|thumb|Две стандартные диаграммы фундаментальной косы из 6 нитей|400px]]
Коса, заданная для <math>n \geq 2</math> формулой

: <math>\Delta_n := (\sigma_{n-1}\sigma_{n-2}\ldots\sigma_1)(\sigma_{n-1}\sigma_{n-2}\ldots \sigma_2) \ldots (\sigma_{n-1}\sigma_{n-2})\sigma_{n-1}</math>,

называется '''''фундаментальной''''', '''''полуоборотом <math>n</math> нитей''''' и '''''элементом Гарсайда'''''. Она также может быть представлена следующим образом:

: <math>\Delta_n = (\sigma_1\sigma_2\ldots\sigma_{n-1})(\sigma_1\sigma_2\ldots \sigma_{n-2}) \ldots (\sigma_1\sigma_2)\sigma_1</math>.

По-определению, <math>\Delta_1 := 1</math>.

[[Файл:Центральность полного оборота в группе кос.svg|thumb|Полный оборот лежит в [[центр группы|центре]] группы кос|400px]]
Квадрат фундаментальной косы может быть представлен следующим образом:

:<math>\Delta_n^2 = (\sigma_1\sigma_2\ldots\sigma_{n-1})^n = (\sigma_{n-1}\sigma_{n-2}\ldots\sigma_1)^n</math>.

Он называется '''''центральной косой''''' и '''''полным оборотом <math>n</math> нитей'''''.

Данное название происходит из того факта, что при <math>n \ge 3 </math> коса <math>\Delta_n^2</math> порождает [[Группа кос#Центр|центр группы кос]]. В частности, для любой косы <math>\beta \in B_n</math> выполняется соотношение

: <math>\Delta_n^2 \cdot \beta = \beta \cdot \Delta_n^2</math>,

которое может быть установлено геометрически: правая коса получается из левой прокручиванием косы <math>\beta</math> вокруг своей оси на угол <math>2\pi</math>.

== Операции над косами ==
Помимо умножения, с косами связан ряд других операций, помогающих прояснить их структуру. К таким операциям относятся, например, всевозможные [[Унарная операция|унарные]] и [[Бинарная операция|бинарные]] операции на множестве кос. Самостоятельный интерес представляют '''''преобразования кос''''' — произвольные геометрические процедуры, проводимые над геометрическими представителями кос или их артиновскими словами и задающие функции (возможно, [[Многозначная функция|многозначные]]) из множества кос в себя.

=== Тензорное произведение кос ===
Косы можно комбинировать, параллельно приставляя одну косу к другой{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=98}}.

Точнее, тензорным произведением ''геометрических кос'' <math>A, B \subset \R^2\times [0,1]</math> из <math>n</math> и <math>m</math> нитей, расположенных в областях <math>[1,n]\times\R\times[0,1]</math> и <math>[1,m]\times\R\times[0,1]</math>, называется геометрическая коса из <math>n+m</math> нитей, состоящая из таких точек <math>(x,y,t) \in \R \times \R \times [0,1]</math>, что

: <math>\begin{align} (x,y,t) &\in A, && x \leq n, \\ (x-n,y,t) &\in B, && n \leq x.\end{align}</math>

'''''Тензорным произведением''''' кос <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> называется коса <math>\alpha\otimes\beta</math>, заданная тензорным произведением любых их геометрических представителей с указанными выше свойствами.

=== Удаление нитей из косы ===
Из косы из <math>n \geq 2</math> нитей можно следующим образом выдернуть любую её нить и получить корректно определённую косу из <math>n-1</math> нитей{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=38}}.

[[File:Удаление нити косы.svg|thumb|300px|Вспомогательная конструкция, использующаяся для удаления нити, выделенной красным цветом]]
В результате удаления нити из геометрической косы может, вообще говоря, не получиться геометрическая коса. Однако в случае, если для косы <math>\beta</math> выполняется условие <math>\pi_\beta(n)=n</math>, операция <math>d_n</math> удаления нити под номером <math>n</math> корректно определена. Она позволяет определить для каждого <math>k \in \{1,2,\ldots,n\}</math> отображение

: <math>d_k\colon B_n \to B_{n-1}</math>

удаления нити под номером <math>k</math> формулой

: <math>d_k(\beta) := d_n(\sigma_{n-1}\sigma_{n-2}\ldots\sigma_k \beta \sigma_{\pi_\beta(k)}^{-1}\sigma_{\pi_\beta(k)+1}^{-1}\ldots\sigma_{n-1}^{-1})</math>.

Композиция данных операций задаёт для каждого множества индексов <math>J \subset \{1,2,\ldots,n\}</math> отображение

: <math>d_J\colon B_n \to B_{n-|J|}</math>,

удаляющее из косы все нити с номерами из множества <math>J</math>.

Например, при удалении из неё любого набора нитей, фундаментальная коса остаётся фундаментальной:

: <math>d_J(\Delta_n) = \Delta_{n-|J|}</math>.

=== Повороты и отражения кос ===
Помимо отражения, фигурирующего в определении обратной косы, некоторые другие [[Геометрия#Геометрические преобразования|геометрические преобразования]] трёхмерного пространства также задают функции на множестве кос.

Так, [[поворот]] на угол <math>\pi</math> вокруг перпендикулярной основным плоскостям оси <math>\{(n+1)/2\}\times \{0\} \times \R</math> задаёт корректно определённую [[инволюция (математика)|инволюцию]]

: <math>\rho_n\colon B_n \to B_n</math>.

Она действует на образующих Артина формулой <math>\sigma_i\mapsto \sigma_{n-i}</math>.

Кроме того, отражение относительно плоскости проекции <math>\R \times \{0\} \times [0,1]</math> задаёт корректно определённую инволюцию

: <math>\tau_n\colon B_n \to B_n</math>.

Она действует на образующих Артина формулой <math>\sigma_i \mapsto \sigma_i^{-1}</math> и называется '''''отражением'''''.

Данные инволюции <math>\rho_n</math> и <math>\tau_n</math> являются [[автоморфизм группы|автоморфизмами]] группы кос. В отличие от них, фигурирующее в определении обратной косы отражение относительно плоскости, расположенной посередине между основными плоскостями и параллельно им, действует по правилу

: <math>\beta \mapsto \beta^{-1}</math>,

и, тем самым, задаёт инволютивный {{нп5|антиавтоморфизм|антиавтоморфизм|en|Antiautomorphism}} группы кос.

=== Сопряжение кос ===
[[Файл:Сопряжение косой-полуоборотом.svg|thumb|Сопряжение фундаментальной косой представляет собой поворот косы вокруг своей оси на угол <math>\pi</math>|350px]]
Для косы <math>\alpha</math> из <math>n</math> нитей преобразование

: <math>B_n \to B_n</math>,

заданное правилом

: <math>\beta \mapsto \alpha\beta\alpha^{-1}</math>,

называется '''''сопряжением''''' косой <math>\alpha</math>. Оно является частным случаем понятия [[внутренний автоморфизм]].

Например, определённая выше инволюция <math>\rho_n</math> совпадает с сопряжением фундаментальной косой{{sfn|Кассель и Тураев|2014|с=117}}:

: <math>\rho_n(\beta) = \Delta_n\beta\Delta_n^{-1}</math>.

Напротив, автоморфизм-отражение <math>\tau_n</math> не является внутренним{{sfn|Кассель и Тураев|2014|с=15}}.

=== Локальные преобразования кос ===
{{См. также|Группа кос#Усечённая группа кос}}
Преобразования кос, заключающиеся в выборе геометрического представителя косы или её артиновского слова и замены в нём фрагмента определённого типа на некоторый другой, называются '''''локальными'''''.

Операция <math>\sigma_k \leftrightarrow \sigma_k^{-1}</math> замены в артиновском слове образующей Артина на обратную, где <math>k \in \N</math>, называется '''''переключением перекрёстка'''''. Она задаёт одноимённое (многозначное) преобразование кос, заключающееся в переключении перекрёстка в некотором артиновском слове косы.

Одну косу можно получить из другой конечной последовательностью переключений перекрёстка тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа нитей и соответствующие им перестановки равны{{sfn|Murasugi и Kurpita|1999|p=75}}.

Для <math>m \in \N</math> операция <math>1 \leftrightarrow \sigma_k^m</math> вставки в артиновское слово <math>m</math>-ой степени образующей Артина, где <math>k \in \N</math>, а также удаление такого фрагмента, называется '''''<math>m</math>-преобразованием''''' (от {{lang-en|<math>m</math>-move}}). Она задаёт одноимённое (многозначное) преобразование кос{{sfn|Murasugi и Kurpita|1999|p=84}}.

Одна коса получается из другой одним переключением перекрёстка тогда и только тогда, когда она получается из неё одним <math>2</math>-преобразованием{{sfn|Murasugi и Kurpita|1999|p=75}}. Таким образом, <math>m</math>-преобразования обобщают переключение перекрёстка.

== Косы из малого числа нитей ==
{{См. также|Группа кос из трёх нитей}}
Любая геометрическая коса из одной нити изотопна тривиальной. Так, каждая такая коса может быть равномерно выпрямлена путем протаскивания к отрезку <math>\{0\}\times\{0\}\times[0,1]</math> точек в каждой плоскости, параллельной основным. Таким образом,

: <math>B_1 = \{1\}</math>.

Кроме того, это означает, что каждая отдельная нить произвольной косы является в некотором смысле «незаузленной», а сама коса по существу хранит информацию лишь о том, как её нити «переплетаются» друг с другом.

Каждая двухниточная коса является некоторой [[Возведение в степень|степенью]] образующей Артина:

: <math>B_2 = \{\sigma_1^m \mid m \in \mathbb{Z}\}</math>.

Кроме того, это означает, что взаимодействие каждой пары нитей произвольной косы в некотором смысле однозначно определяется единственным параметром — общим количеством <math>m</math> полуоборотов одной нити вокруг другой (см. {{ссылка на раздел|#Коэффициенты зацепления нитей косы}}).

Данные классификационные результаты являются следствием [[Теорема Артина о задании группы кос|теоремы Артина]].

Косы из трёх нитей также допускают элементарное описание. Так, для любой косы <math>\beta \in B_3</math> существуют такие единственные <math>k \in \N</math> и <math>m, a_1,b_1,\ldots,a_k,b_k \in \Z</math>, что <math>a_1 \geq 0</math>, <math>a_2,\ldots,a_k > 0</math>, <math>b_1,b_2,\ldots,b_{k-1} < 0</math> и

: <math>\beta = \Delta_3^m \prod_{i=1}^k \sigma_1^{a_1}\sigma_2^{b_i}</math>,

где <math>\Delta_3 = \sigma_1\sigma_2\sigma_1</math> — фундаментальная коса из трёх нитей{{sfn|Datta|2020|p=4}}.

== Числовые характеристики кос ==

=== Коэффициенты зацепления нитей косы ===
Простейшей характеристикой косы является следующая информация о взаимодействии отдельных пар её нитей, которая тесно связана с понятием [[Коэффициент зацепления|коэффициента зацепления]].

Для таких <math>i</math> и <math>j</math>, что <math>1 \leq i < j \leq n</math>, разность между количеством положительных и количеством отрицательных перекрёстков нитей с номерами <math>i</math> и <math>j</math> косы <math>\beta \in B_n</math>, вычисленная по любой её диаграмме, называется '''''коэффициентом зацепления''''' этих нитей и обозначается символом <math>{\rm lk}_\beta(i,j)</math>.

Коэффициент зацепления двух нитей косы равен такому единственному <math>m \in \Z</math>, что двухниточная коса, получающаяся из исходной удалением всех нитей, кроме данной пары, равна <math>\sigma_1^m</math>. Иными словами,

: <math>d_{\{1,\ldots,n\}\setminus\{i,j\}}(\beta) = \sigma_1^{{\rm lk}_\beta(i,j)}</math>.

Корректность данных определений устанавливается с помощью [[Теорема Артина о задании группы кос|теоремы Артина]].

Как и перестановка косы, коэффициенты зацепления применимы в [[Задача распознавания кос|задаче распознавания кос]]. Они различают заведомо не меньше кос, чем перестановка косы. А именно, если все коэффициенты зацепления двух кос имеют одинаковую четность

: <math>{\rm lk}_{\beta_1}(i,j) = {\rm lk}_{\beta_2}(i,j) \pmod 2</math>,

то совпадают и соответствующие таким косам перестановки:

: <math>\pi_{\beta_1} = \pi_{\beta_2}</math>.

=== Экспоненциальная сумма косы ===
{{См. также|Группа кос#Абелианизация и коммутант}}
Разность между количеством положительных и количеством отрицательных перекрёстков на любой диаграмме данной косы <math>\beta</math> называется её '''''экспоненциальной суммой''''' и обозначается символом <math>{\rm exp}(\beta)</math>{{sfn|Murasugi и Kurpita|1999|p=29}}.

Экспоненциальная сумма косы <math>\beta \in B_n</math> равна сумме коэффициентов зацепления всех пар её нитей:

: <math>{\rm exp}(\beta) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} {\rm lk}_\beta(i,j)</math>.

Она задаёт [[гомоморфизм групп|гомоморфизм]]

: <math>{\rm exp}\colon B_n \to \Z</math>

из группы кос в [[бесконечная циклическая группа|бесконечную циклическую группу]], принимающий единичное значение на каждой (положительной) образующей Артина. Например,

: <math>{\rm exp}(\sigma_1\sigma_2\sigma_1^{-1}) = 1+1-1=1</math>.

=== Числа Конвея ===
С каждой трёхниточной косой связаны следующие две числовые характеристики.

Сопоставим косе

: <math>\beta = \sigma_1^{a_1}\sigma_2^{b_1}\sigma_1^{a_2}\sigma_2^{b_2}\ldots\sigma_1^{a_k}\sigma_2^{b_k} \in B_3</math>

[[цепная дробь|цепные дроби]]

: <math>\rho_1(\beta) := [a_1;-b_1,a_2,-b_2,\ldots,a_k,-b_k],</math>

: <math>\rho_2(\beta) := [a_1;-b_1,a_2,-b_2,\ldots,a_k].</math>

Величины <math>\rho_1(\beta)</math> и <math>\rho_2(\beta)</math> называются '''''числами Конвея''''' косы <math>\beta</math>. Данное сопоставление задаёт корректно определённые отображения

: <math>\rho_1,\rho_2\colon B_3 \to \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})</math>

из [[Группа кос из трёх нитей|группы кос из трёх нитей]] в множество расширенных рациональных чисел <math>\mathbb{P}^1(\mathbb{Q}) := \mathbb{Q} \cup \{\infty\}</math>, также известное как [[проективная прямая]] над [[поле рациональных чисел|полем рациональных чисел]].

Отображение

: <math>\rho\colon B_3 \to \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})\times \mathbb{P}^1(\mathbb{Q}) \times \Z</math>,

заданное правилом

: <math>\beta \mapsto (\rho_1(\beta), \rho_2(\beta), {\rm exp}(\beta))</math>,

является инъективным{{sfn|Datta|2020|p=4}}.

С помощью операции удаления нитей возможно стандартным образом распространить определение чисел Конвея на косы из произвольного числа нитей.

== Классы кос ==

=== Крашеные косы ===
{{См. также|Группа крашеных кос}}
Коса называется '''''крашеной''''' или '''''чистой''''' (от {{lang-en|pure braid}}), если соответствующая ей перестановка является [[тождественная перестановка|тождественной]]{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=91}}{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=33}}.

Множество <math>P_n</math> всех крашеных кос из <math>n</math> нитей является [[Нормальная подгруппа|нормальной подгруппой]] группы <math>B_n</math> и называется ''[[Группа крашеных кос|группой крашеных кос]]''.

При <math>n=2</math> имеет место равенство

: <math>P_2 = \{\sigma_1^{2m} \mid m\in \Z\}</math>.

=== Брунновы косы ===
Коса из <math>n \geq 2</math> нитей называется '''''брунновой''''' (или '''''почти тривиальной'''''), если она становится тривиальной при удалении любой её нити{{sfn|Murasugi и Kurpita|1999|p=111}}.

Множество <math>{\rm Brunn}_n</math> всех брунновых кос из <math>n</math> нитей является нормальной подгруппой группы <math>B_n</math> и называется ''группой брунновых кос''.

Например, при <math>n \geq 2</math> итерированный [[коммутатор (теория групп)|коммутатор]]

: <math>[[[A_{1,n},A_{2,n}],A_{3,n}],\ldots,A_{n-1,n}]</math>

[[Образующая Маркова|образующих Маркова]] является нетривиальной брунновой косой из <math>n</math> нитей{{sfn|Murasugi и Kurpita|1999|p=112}}.

При <math>n = 2</math> имеет место равенство

: <math>{\rm Brunn}_2 = B_2</math>.

При <math>n \geq 3</math> группа брунновых кос является нормальной подгруппой группы крашеных кос:

: <math>{\rm Brunn}_n \triangleleft P_n</math>.

При <math>n = 3</math>, согласно классификации двухниточных кос, имеет место равенство

: <math>{\rm Brunn}_3 = \{\beta \in B_3 \mid {\rm lk}_\beta(1,2) = {\rm lk}_\beta(1,3) = {\rm lk}_\beta(2,3) = 0\}</math>.

=== Положительные по Деорнуа косы ===
{{См. также|Порядок Деорнуа}}
[[Файл:Dehornoy-positive braid.svg|450px|thumb|Общий вид положительной по Деорнуа диаграммы косы]]
Коса называется '''''положительной по Деорнуа''''' (или '''''<math>\sigma</math>-положительной'''''), она может быть задана таким непустым артиновским словом, что образующая Артина <math>\sigma_k</math> с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом <math>k</math> входит в него только в положительных степенях{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=353}}.

Множество всех положительных по Деорнуа кос из <math>n</math> нитей является [[Положительный конус|положительным конусом]] группы <math>B_n</math>{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=354}}. Соответствующий ему [[упорядоченная группа|линейный порядок]] на группе кос называется ''[[порядок Деорнуа|порядком Деорнуа]]''.

=== Положительные и квазиположительные косы ===
Диаграмма косы называется ''положительной'', если каждый её перекрёсток является положительным. Коса называется '''''положительной''''', если она обладает положительной диаграммой. Или, что эквивалентно, если она может быть представлена в виде произведения положительных образующих Артина{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=323}}{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=176}}.

Множество <math>B_n^+</math> всех положительных кос из <math>n</math> нитей является [[Подмоноид|подмоноидом]] группы <math>B_n</math> и называется ''моноидом положительных кос''{{sfn|Кассель и Тураев|2014|p=323}}.

Коса называется '''''квазиположительной''''', если она может быть представлена в виде произведения [[Сопряжённый элемент (теория групп)|сопряженных]] к положительным образующим Артина{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=176}}.

Множество <math>QP_n</math> всех квазиположительных кос из <math>n</math> нитей является подмоноидом группы <math>B_n</math> и называется ''моноидом квазиположительных кос''.

Любая положительная коса является квазиположительной, но не наоборот:

: <math>B_n^+ < QP_n</math>.

Кроме того, любая нетривиальная квазиположительная коса является положительной по Деорнуа{{sfn|Малютин и Нецветаев|2003|p=176}}.

== Связь с теорией узлов ==
Косы тесно связаны с [[узел (математика)|узлами]] и [[зацепление (теория узлов)|зацеплениями]]. Так, существует несколько способов превратить первые во вторые, определённым образом замкнув концы нитей геометрических представителей кос.

=== Замыкание Александера ===
[[Файл:Alexander closure of a braid.svg|350px|thumb|Замыкание Александера косы]]
'''''Замыканием Александера''''' косы из <math>n</math> нитей называется зацепление, получающееся из некоторого её геометрического представителя, расположенного в области <math>[1,n]\times\R\times[0,1]</math>, соединением точек вида <math>(k,0,0)</math> с точками вида <math>(k,0,1)</math> так, как показано на рисунке{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=81}}.

Количество компонент замыкания Александера косы <math>\beta</math> совпадает с количеством {{нп5|Циклическое разложение перестановки|независимых циклов|en|Cycle decomposition (group theory)}} перестановки <math>\pi_\beta</math>. В частности, замыкание косы является узлом тогда и только тогда, когда соответствующая ей перестановка является [[Циклическая перестановка|циклом]]{{sfn|Прасолов и Сосинский|1997|p=82}}.

=== Плетёное замыкание ===
[[Файл:Plat closure of a braid.svg|450px|thumb|Плетёное замыкание косы из чётного (слева) или из нечётного (справа) числа нитей]]
'''''Плетёным замыканием''''' (от {{lang-en|plat}} — плетение) косы из <math>n</math> нитей называется зацепление, получающееся из некоторого её геометрического представителя, расположенного в области <math>[1,n]\times\R\times[0,1]</math>, попарным соединением короткими дугами точек вида <math>(2k-1,0,0)</math> и <math>(2k,0,0)</math>, а также точек вида <math>(2k-1,0,1)</math> и <math>(2k,0,1)</math>. Если число <math>n</math> нечётно, помимо этого точка <math>(n,0,0)</math> соединяется дугой с точкой <math>(n,0,1)</math>.

=== Короткое замыкание ===
[[Файл:Short-сircuit map.svg|450px|thumb|Короткое замыкание косы из чётного (слева) или из нечётного (справа) числа нитей]]
'''''Коротким замыканием''''' (от {{lang-en|short-circuit}}) косы из <math>n</math> нитей называется зацепление, получающееся из некоторого её геометрического представителя, расположенного в области <math>[1,n]\times\R\times[0,1]</math>, попарным соединением короткими дугами точек вида <math>(2k,0,0)</math> и <math>(2k+1,0,0)</math>, а также точек вида <math>(2k-1,0,1)</math> и <math>(2k,0,1)</math>{{sfn|Дужин|2011|p=179}}. Иными словами, точка <math>(1,0,1)</math> соединяется с точкой <math>(2,0,1)</math>, точка <math>(2,0,0)</math> соединяется с точкой <math>(3,0,0)</math>, и так далее, «змейкой», как показано на рисунке.

Короткое замыкание любой крашеной косы является узлом, то есть однокомпонентным зацеплением.

== См. также ==
* [[Группа кос]]
* [[Теория кос]]
* [[Глоссарий теории кос]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор         = {{автор|Кассель, Кристиан|Кассель, К}}, {{автор|Тураев, Владимир Георгиевич|Тураев, В. Г}}
 |часть         =
 |ссылка часть  =
 |заглавие      = Группы кос
 |nodot         =
 |оригинал      = Braid groups
 |язык          = ru
 |ссылка        =
 |викитека      =
 |ответственный = пер. с англ. С. Н. Малыгина
 |издание       =
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 2014
 |том           =
 |страницы      =
 |столбцы       =
 |страниц       = 424
 |серия         =
 |isbn          = 978-5-4439-0245-6
 |doi           =
 |тираж         =
 |ref           = Кассель и Тураев
 |archiveurl    =
 |archivedate   =
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов, В. В}}, {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский, А. Б}}
 |часть         =
 |ссылка часть  =
 |заглавие      = Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
 |nodot         =
 |оригинал      =
 |язык          = ru
 |ссылка        =
 |викитека      =
 |ответственный =
 |издание       =
 |место         = {{М.}}
 |издательство  = [[МЦНМО]]
 |год           = 1997
 |том           =
 |страницы      =
 |столбцы       =
 |страниц       = 352
 |серия         =
 |isbn          = 5-900916-10-3
 |doi           =
 |тираж         =
 |ref           = Прасолов и Сосинский
 |archiveurl    =
 |archivedate   =
}}
*{{книга
 |автор         = {{автор|Мурасуги, Кунио|Murasugi, K}}, {{автор|Курпита, Богдан Игорь|Kurpita, B. I}}
 |часть         =
 |ссылка часть  =
 |заглавие      = A Study of Braids
 |nodot         =
 |оригинал      =
 |язык          =
 |ссылка        =
 |викитека      =
 |ответственный =
 |издание       =
 |место         =
 |издательство  = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 |год           = 1999
 |том           =
 |страницы      =
 |столбцы       =
 |страниц       = 277
 |серия         = Mathematics and Its Applications
 |isbn          = 978-0-7923-5767-4
 |doi           = 10.1007/978-94-015-9319-9
 |тираж         =
 |ref           = Murasugi и Kurpita
 |archiveurl    =
 |archivedate   =
}}

== Ссылки ==
* {{статья
 | автор         = {{автор|Малютин, Андрей Валерьевич|Малютин, А. В.}}, {{автор|Нецветаев, Никита Юрьевич|Нецветаев, Н. Ю.}}
 | заглавие      = Порядок Деорнуа на группе кос и преобразования замкнутых кос
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/aa/v15/i3/p170
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Алгебра и анализ
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = 
 | год           = 2003
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 15
 | выпуск        = 3
 | номер         = 
 | страницы      = 170—187
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Малютин и Нецветаев
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Дужин, Сергей Васильевич|Дужин, С. В.}}
 | заглавие      = Многочлен Конвея и разложение Магнуса
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://www.mathnet.ru/rus/aa/v23/i3/p175
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = Алгебра и анализ
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = 
 | год           = 2011
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 23
 | выпуск        = 3
 | номер         = 
 | страницы      = 175—188
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Дужин
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}
* {{статья
 | автор         = {{автор|Датта, Амитеш|Datta, A}}
 | заглавие      = The braid group B3 in the framework of continued fractions
 | оригинал      = 
 | ссылка        = https://arxiv.org/pdf/2008.02262.pdf
 | язык          = 
 | ответственный = 
 | автор издания = 
 | издание       = 
 | тип           = 
 | место         = 
 | издательство  = 
 | год           = 2020
 | месяц         = 
 | число         = 
 | том           = 
 | выпуск        = 
 | номер         = 
 | страницы      = 
 | isbn          = 
 | issn          = 
 | doi           = 
 | bibcode       = 
 | arxiv         = 2008.02262
 | pmid          = 
 | jstor         = 
 | ref           = Datta
 | archiveurl    = 
 | archivedate   = 
}}

[[Категория:Теория кос]]