Просмотр кода страницы Кривая

{{Значения|Кривая (значения)}}
'''Крива́я''' или '''ли́ния''' — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах [[математика|математики]] различно.

== Элементарная геометрия ==
В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки. Например, в «Началах» [[Евклид]]а она определялась как «длина без ширины», также иногда её определяли как «границу фигуры».

По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров ([[прямая]], [[отрезок]], [[ломаная]], [[окружность]] и др.).
Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых ([[конические сечения]], некоторые [[алгебраическая кривая|алгебраические кривые]] высших порядков и некоторые [[трансцендентная кривая|трансцендентные кривые]]), применяя в каждом случае специальные приёмы.

== Определение в топологии ==

=== Отображение отрезка ===
Чаще всего кривая определяется как [[непрерывное отображение|непрерывное]] '''[[отображение]]''' из отрезка в [[топологическое пространство]]:
: <math>\gamma\colon [a,b]\to X</math>

При этом кривые могут быть различными, даже если их [[Образ (математика)|образы]] совпадают.
Такие кривые называют '''параметризованными кривыми''' или, если <math>[a,b]=[0,1]</math>, '''путями'''.

=== Отношение эквивалентности ===
Иногда кривая определяется с точностью до [[параметр|репараметризации]], то есть с точностью до минимального [[отношение эквивалентности|отношения эквивалентности]] такого, что параметрические кривые
: <math>\gamma_1\colon [a_1,b_1]\to X</math> и <math>\gamma_2\colon [a_2,b_2]\to X</math>
эквивалентны, если существует непрерывная [[монотонная функция]] (иногда неубывающая) <math>h</math> из отрезка <math>[a_1,b_1]</math> на отрезок <math>[a_2,b_2]</math>, такая что
: <math>\gamma_1\equiv\gamma_2\circ h.</math>
Определяемые этим отношением [[классы эквивалентности]] называются '''[[непараметризованные кривые|непараметризованными кривыми]]''' или просто '''кривыми'''.

=== Комментарий ===
Приведённое определение во многом позволяет передать наше интуитивное представление о кривой как о чём-то, «нарисованном без отрыва карандаша». Однако это определение является слишком слабым, поскольку ему удовлетворяют многие фигуры, которые трудно считать кривыми.

Например, возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат (см. [[кривая Пеано]]). Более того, согласно '''теореме Мазуркевича''', любое [[Компактное множество|компактное]] [[Связное пространство|связное]] и локально связное [[топологическое пространство]] является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только [[квадрат]], но и [[куб]] любого числа измерений и даже [[гильбертов кирпич]] являются непрерывными образами отрезка.

Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.

=== Кривая Жордана ===

[[Файл:Osgood curve.svg|thumb|Кривая Жордана на плоскости с положительной мерой Лебега.]]

'''''Кривой Жордана''''' или '''''простой кривой''''' называется [[образ (математика)|'''образ''']] [[непрерывное отображение|непрерывного]] [[инъективное отображение|инъективного]] отображения ([[вложение|вложения]]) [[Окружность|окружности]] или отрезка в пространство.
В случае окружности кривая называется '''''замкнутой кривой Жордана''''', а в случае отрезка — '''''жордановой дугой'''''. 

Известная [[теорема Жордана]] утверждает, что любая замкнутая кривая Жордана на плоскости делит её на «внутреннюю» и «внешнюю» часть.

Кривая Жордана является довольно сложным объектом. Например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой [[мера Лебега|мерой Лебега]], что было сделано [[Осгуд, Вильям Фог|Осгудом]]<ref>{{статья|ссылка=|автор=W. F. Osgood|заглавие=A Jordan curve of positive area|год=1903|язык=en|издание=Trans. Am. Math. Soc.|том=4|номер=|страницы=107–112|issn=|doi=}}</ref> по аналогии с [[Кривая Пеано|кривой Пеано]].

== Определение в анализе ==
В [[математический анализ|математическом анализе]] часто используется определение ''гладкой кривой''. Определим сначала плоскую кривую (то есть кривую в <math>\mathbb R^2</math>). Пусть <math>x(t)</math> и <math>y(t)</math> — функции на отрезке <math>[a,b]</math>, [[непрерывно дифференцируемая функция|непрерывно дифференцируемые]] на этом отрезке, и такие, что <math>(x'(t))^2+(y'(t))^2</math> ни для какого ''t'' не равно нулю. Тогда отображение <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb R^2, t\mapsto (x(t),y(t))</math> задаёт кривую, которая является гладкой; непараметризованная кривая называется гладкой, если она допускает такую параметризацию. Длину гладкой кривой можно вычислить по формуле

: <math>\text{L}(\gamma)=\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \, dt. </math>

Это определение можно обобщить на отображения в другие пространства, а также на отображения другого класса гладкости, см. ниже.

=== Определение в дифференциальной геометрии ===
{{main|Дифференциальная геометрия кривых}}
Если <math>X</math> — [[гладкое многообразие]], можно определить гладкую кривую на <math>X</math> как гладкое отображение <math>\gamma\colon [a,b]\to X</math>, [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] которого нигде не обращается в нуль. Если [[многообразие#Определение|класс гладкости]] многообразия <math>X</math> равен <math>k</math>, то <math>C_k</math>-кривая вводится как кривая, для которой <math>\gamma</math> — <math>k</math> раз непрерывно дифференцируемое отображение. Если <math>X</math> — {{iw|аналитическое многообразие||en|Analytic manifold}} (например, [[евклидово пространство]]) и <math>\gamma</math> — [[аналитическое отображение]], кривую называют аналитической.

Гладкие кривые <math>\gamma_1\colon I\to X</math> и <math>\gamma_2\colon J\to X</math> называются эквивалентными, если существует [[диффеоморфизм]] <math>p\colon I\to J</math> (замена параметра), такой что <math>\gamma_1=\gamma_2\circ p</math>. Классы эквивалентности по этому отношению называют непараметризованными гладкими кривыми.

== Алгебраические кривые ==
{{main|Алгебраическая кривая}}
Алгебраические кривые изучаются в [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]]. Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами <math>x</math>, <math>y</math>, задаваемое множество решений уравнения <math>f(x, y) = 0</math>, где <math>f</math> — [[многочлен]] от двух переменных с коэффициентами в [[поле (алгебра)|поле]] <math>F</math>. В алгебраической геометрии обычно принимают во внимание не только точки, координаты которых принадлежат <math>F</math>, но и точки с координатами в [[алгебраическое замыкание|алгебраическом замыкании]] <math>F</math>. Если <math>C</math> — плоская алгебраическая кривая, такая что коэффициенты определяющего её многочлена лежат в [[поле (алгебра)|поле]] <math>F</math>, она называется кривой, определённой над <math>F</math>. Точки кривой, определённой над <math>F</math>, все координаты которых принадлежат <math>G</math>, называются рациональными над <math>G</math> (или просто <math>G</math>-точками). Пример: кривая <math>x^2 + y^2 + 1 = 0</math>, определённая над [[действительное число|действительными]] числами, имеет точки, однако ни одна из них не является действительной точкой.

Алгебраические кривые можно определить и в пространствах большей [[размерность пространства|размерности]]; они определяются как множество решений системы [[Алгебраическое уравнение|полиномиальных уравнений]].

Любая плоская кривая может быть дополнена до кривой на [[проективная плоскость|проективной плоскости]]. Если плоская кривая определяется многочленом <math>f(x, y)</math> [[степень многочлена|полной степени]] <math>d</math>, то многочлен

: <math>z^d\cdot f(x/z,y/z)</math>

после раскрытия скобок упрощается до [[однородный многочлен|однородного многочлена]] <math>f(x, y, z)</math> степени <math>d</math>. Значения <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, такие что <math>f(x, y, z) = 0</math> — [[однородные координаты]] пополнения плоской кривой, при этом точки исходной кривой — это точки, для которых <math>z</math> не равно нулю. Пример: [[кривая Ферма]] <math>x^n + y^n = z^n</math> в аффинной форме принимает вид <math>x^n + y^n = 1</math>. Процесс перехода от аффинной кривой к проективной можно обобщить и на более высокие размерности.

Часто встречающиеся примеры плоских кривых — [[коническое сечение|коники]] (кривые второго порядка) и [[эллиптическая кривая|эллиптические кривые]], имеющие важные приложения в [[криптография|криптографии]]. В качестве примеров алгебраических кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней, можно указать следующие:
* Кривые четвёртого порядка: [[лемниската Бернулли]] и [[овал Кассини]].
* Кривые шестого порядка: [[астроида]] и [[нефроида]].
* Кривая, определяемая уравнением произвольной чётной степени: (многофокусная) [[лемниската]].

== Трансцендентные кривые ==
'''Трансцендентные кривые''' — это кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать как линию уровня [[аналитическая функция|аналитической]], но не [[алгебраическая функция|алгебраической функции]] (или, в многомерном случае, системы функций). Примеры трансцендентных кривых:
{{кол|3}}
* [[Гипоциклоида]]
* [[Гиперболическая спираль]]
* [[Кардиоида]]
* [[Квадратриса]]
* [[Клотоида]]
<!--* [[Овал Кассини]]-->
* [[Роза (плоская кривая)]]
* [[Синусоида]]
* [[Синусоидальная спираль]]
* [[Спираль Архимеда]]
* [[Трактриса]]
* [[Трохоида]]
* [[Цепная линия]]
* [[Циклоида]]
* [[Циклоидальная кривая]]
* [[Циссоида Диокла]]
* [[Эпициклоида]]
{{конец кол}}

== Типы кривых ==
* '''''Замкнутая кривая''''' — кривая, у которой начало совпадает с концом.
* '''''Плоская кривая''''' — кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.
* '''''Простая кривая''''' — то же, что [[#Кривая Жордана|кривая Жордана]].
* '''''Путь''''' — [[непрерывное отображение]] отрезка <math>[0,1]</math> в [[топологическое пространство]].

=== Типы точек на кривой ===
* [[Точка излома]]
* [[Касп]]
* [[Точка перегиба]]
* [[Двойная точка]]

== Ориентированная кривая ==
{{Обзорная статья|Аналлагматическая геометрия|Ориентация}}
[[Файл:Two tangent directed circles.svg|right|thumb|300px|Две ориентированные окружности]]

Аналогично [[Аналлагматическая геометрия#Направленная окружность и направленная прямая|ориентации прямой]] любая [[замкнутая кривая]] ориентируема двумя способами{{sfn|''Колмогоров А. Н.'' Ориентация, 1988|loc=с. 436}}{{sfn|''Ориентация 2'', 1974|loc=с. 509}}{{sfn|Ориентация в математике'', 2022}}:
* [[По часовой стрелке и против часовой стрелки|против часовой стрелки]];
* [[По часовой стрелке и против часовой стрелки|по часовой стрелке]].

На рисунке справа показаны две ориентированные окружности: окружность слева ориентирована против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке{{sfn|''Колмогоров А. Н.'' Ориентация, 1988|loc=с. 436}}{{sfn|''Ориентация 2'', 1974|loc=с. 509}}{{sfn|Ориентация в математике'', 2022}}.

'''''Ориентированная, или направленная, кривая''''' — кривая вместе с фиксированным направлением на ней{{sfn|''Колмогоров А. Н.'' Ориентация, 1988|loc=с. 436}}{{sfn|''Ориентация 2'', 1974|loc=с. 509}}{{sfn|Ориентация в математике'', 2022}}.
{{clear}}

== Обобщённые кривые ==
Более общее определение кривой для случая плоскости было дано [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Кантором]] в 1870-e годы:

'''''Канторовой кривой''''' называется компактное связное [[подмножество]] плоскости такое, что его дополнение [[всюду плотное множество|всюду плотно]].

Важный пример канторовой кривой доставляет [[ковёр Серпинского]].
Какова бы ни была канторова кривая <math>L</math>, она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество <math>L'</math>, [[Гомеоморфизм|гомеоморфное]] <math>L</math>.
Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.

Впоследствии это определение было обобщено [[Урысон, Павел Самуилович|Урысоном]]:

'''[[Кривая Урысона|Кривой Урысона]]''' называется связное компактное топологическое пространство <math>C</math> [[топологическая размерность|топологической размерности]] 1.

Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона.
Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.

== См. также ==
* [[Кривая Осгуда]]
* [[Длина кривой]]
* [[Кривая второго порядка]]
* [[Кривизна]]
* [[Каустика#Кривые и их каустики|Кривые и их каустики]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Колмогоров А. Н.'' Ориентация, 1988|3=
''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]]'' Ориентация // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 436—437.
}}
* {{h|''Ориентация 2'', 1974|3=
''Ориентация 2'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1974. Т. 18. Никко — Отолиты. 1974. 632 с. с илл., 24 л. илл., 6 л. карт, 1 карта — вкладка. С. 509—510. [http://bse.uaio.ru/BSE/1803.htm Ориентация 2] // [http://bse.uaio.ru/BSE/bse30.htm#x000 БСЭ 3-е издание. Основной вариант] {{Wayback|http://bse.uaio.ru/BSE/1803.htm |date=20240808}}
}}
* {{h|''Ориентация в математике'', 2022|3=
[https://bigenc.ru/c/orientatsiia-v-matematike-2a4f15 Ориентация в математике. 2022] // [https://bigenc.ru/ Большая российская энциклопедия] {{Wayback|https://bigenc.ru/c/orientatsiia-v-matematike-2a4f15 |date=20240929}}
}}

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Болтянский, Владимир Георгиевич|Болтянский В.Г.]], [[Ефремович, Вадим Арсеньевич|Ефремович В.А.]] | 
заглавие = Наглядная топология | место = М. | издательство  = Наука | год = 1982 | страниц = 160 |  ref = Болтянский}}
* {{книга|автор=Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В.|заглавие=Курс метрической геометрии|место=Москва, Ижевск|издательство=Институт компьютерных исследований|isbn=5-93972-300-4|год=2004|страниц=496|серия=Современная математика}}
* [[Математический энциклопедический словарь]]. М. «[[Советская энциклопедия]]», [[1988]] г.
* {{ВТ-ЭСБЕ|Кривые}}

== Ссылки ==
{{wiktionary|кривая}}
* [http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Caustics_dir/caustics.html Caustics]{{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20080801002055/http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/surfaces_curves/ Surfaces, curves]{{ref-en}}
* специальные плоские кривые [https://www.math10.com/ru/vysshaya-matematika/analiticheskaya-geometriya/spetsialnie-plokostnie-krivie.html]{{ref-ru}}

{{Кривые}}

[[Категория:Кривые|*]]
[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Метрическая геометрия]]