Просмотр кода страницы Кривая второго порядка

'''Кривая второго порядка''' — геометрическое место точек плоскости, [[прямоугольные координаты]] которых удовлетворяют уравнению вида
: <math>a_{11}x^2+2a_{12}xy + a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,</math>
в котором по крайней мере один из коэффициентов <math>a_{11},~a_{12},~a_{22}</math> отличен от нуля. 
Таким образом кривая второго порядка является частным случаем [[Алгебраическая кривая|алгебраической кривой]].

== История ==
Впервые кривые второго порядка изучались [[Менехм]]ом, учеником [[Евдокс Книдский|Евдокса]]<ref>''Розенфельд Б. А.'' [http://www.mccme.ru/free-books/pdf/ap_of_pe.pdf Аполлоний Пергский] {{Wayback|url=http://www.mccme.ru/free-books/pdf/ap_of_pe.pdf |date=20151112034534 }}. — {{М.}}: МЦНМО, 2004. — С. 32.</ref><ref>{{MacTutor Biography|id=Menaechmus|title=Menaechmus}}</ref>. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы образованного ими угла, то получится [[конус|конусная поверхность]]. Если же пересечь эту поверхность [[Плоскость (геометрия)|плоскостью]], то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно [[эллипс]], [[окружность]], [[парабола]], [[Гипербола (математика)|гипербола]] и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII веке, когда стало известно, что [[планеты]] движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу [[Первая космическая скорость|первую космическую скорость]], то оно будет двигаться по [[окружность|окружности]] вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по [[эллипс]]у, при достижении [[Вторая космическая скорость|второй космической скорости]] — по [[парабола|параболе]], а при скорости, большей второй космической, — по [[гипербола (математика)|гиперболе]].

== Инварианты ==
Вид кривой зависит от четырёх [[Инвариант (математика)|инвариантов]]:
* инварианты относительно поворота и сдвига [[Система координат|системы координат]]:
**<math>I_3=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}</math> (также обозначается как <math>\Delta</math>)
**<math>I_2=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2</math> (также обозначается как <math>D</math>)
**<math>I_1=\text{tr}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}</math>(также обозначается как <math>I</math>)
* инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант)<ref>{{Книга|ссылка=https://books.google.ru/books/about/%D0%9A%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%B3%D0%B5.html?id=7L_fCwAAQBAJ&redir_esc=y|автор=Д. Беклемишев|заглавие=Курс аналитической геометрии и линейной алгебры|год=2022-05-15|издательство=Litres|страниц=308|isbn=978-5-04-004810-6|access-date=2024-05-16|archive-date=2024-05-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20240516232549/https://books.google.ru/books/about/%D0%9A%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%B3%D0%B5.html?id=7L_fCwAAQBAJ&redir_esc=y|url-status=live}}</ref>:
**<math>K_1=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33}\end{vmatrix}</math>(также обозначается как <math>B</math>)

Иногда встречающееся выражение «инвариант кривой» является неточным. Если умножить уравнение на ненулевое число k, то получится уравнение, задающее ту же самую кривую. При этом значения инвариантов изменятся. <math>\Delta '= \Delta k^3, D '= D k^2</math> и т.д.

=== Классификация кривых второго порядка относительно значений инвариантов ===
{| class="wikitable"
|+
!Кривая
!Уравнение
! colspan="4" |Инварианты
|-
|Эллипс
|<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
| rowspan="5" |<math>I_2\neq0</math>
| rowspan="3" |<math>I_2>0</math>
|<math>I_1I_3<0</math>
|
|-
|Точка (пара мнимых пересекающихся прямых)
|<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0</math>
|<math>I_3=0</math>
|
|-
|Мнимый эллипс
|<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1</math>
|<math>I_1I_3>0</math>
|
|-
|Гипербола
|<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>
| rowspan="2" |<math>I_2<0</math>
|<math>I_3\neq0</math>
|
|-
|Пара пересекающихся прямых
|<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0</math>
|<math>I_3=0</math>
|
|-
|Парабола
|<math>y^2=2px</math>
| colspan="2" rowspan="4" |<math>I_2=0</math>
|<math>I_3\neq0</math>
|
|-
|Пара параллельных прямых
|<math>x^2-d^2=0</math>
|rowspan="3" | <math>I_3=0</math>
|<math>K_1<0</math>
|-
|Прямая
|<math>x^2=0</math>
|<math>K_1=0</math>
|-
|Пара мнимых параллельных прямых
|<math>x^2+d^2=0</math>
|<math>K_1>0</math>
|}

=== Невырожденные кривые ===
Кривая второго порядка называется ''невырожденной'', если <math>\Delta\ne0.</math> Могут возникать следующие варианты:
* Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если <math>D\not=0</math>
** [[эллипс]] — при условии <math>D>0</math> и <math>\Delta\cdot I<0</math>;
*** частный случай эллипса — [[окружность]] — при условии <math>I^2=4D</math> или <math>a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;</math>
** [[мнимый эллипс]] (ни одной вещественной точки) — при условии <math>D>0</math> и <math>\Delta\cdot I>0;</math>
** [[Гипербола (математика)|гипербола]] — при условии <math>D<0;</math>
* Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если <math>D=0</math>
** [[парабола]] — при условии <math>D=0.</math>

=== Вырожденные кривые ===
Кривая второго порядка называется ''вырожденной'', если <math>\Delta=0</math>. Могут возникать следующие варианты:
* вещественная [[Точка (геометрия)|точка]] на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный [[эллипс]]) — при условии <math>D>0;</math>
* пара вещественных пересекающихся [[прямая|прямых]] (вырожденная [[Гипербола (математика)|гипербола]]) — при условии <math>D<0;</math>
* вырожденная [[парабола]] — при условии <math>D=0:</math>
** пара вещественных [[Параллельные прямые|параллельных прямых]] — при условии <math>B<0;</math>
** одна вещественная [[прямая]] (две слившиеся [[параллельные прямые]]) — при условии <math>B=0;</math>
** пара мнимых [[Параллельные прямые|параллельных прямых]] (ни одной вещественной точки) — при условии <math>B>0.</math>

== Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение ==
Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи '''характеристической [[Квадратичная форма|квадратичной формы]]''', соответствующей уравнению кривой

: <math>F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.</math>

Так, например, невырожденная кривая <math>\left(\Delta\ne0\right)</math> оказывается вещественным [[эллипс]]ом, [[Мнимый эллипс|мнимым эллипсом]], [[Гипербола (математика)|гиперболой]] или [[Парабола|параболой]] в зависимости от того, будет ли <math>F_0(x,\,y)</math> положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

: <math>\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0</math>

или

: <math>\lambda^2 - I\lambda + D = 0.</math>

Корни этого уравнения являются [[Собственные векторы, значения и пространства|собственными значениями]] вещественной симметричной матрицы

: <math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}</math>

и, как следствие этого, всегда вещественны<ref>{{книга|автор=Корн&nbsp;Г., Корн&nbsp;Т.|заглавие=Справочник по математике|часть=2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение|издание=4-е издание|место=М.|издательство=Наука|год=1978|страницы=64}}</ref>.

== Диаметры и центр кривой второго порядка ==
'''Диаметром''' кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных [[Хорда (геометрия)|хорд]] этой кривой. Полученный таким образом диаметр называется ''сопряжённым'' этим хордам или их направлению. Диаметр, сопряжённый хордам, образующим угол <math>\theta</math> с положительным направлением оси ''Ox'', определяется уравнением:

<math>\left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\right) \cos\theta + \left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\right) \sin\theta = 0.</math>

Если выполняется условие <math>D\ne0,</math> то все диаметры кривой пересекаются в одной точке — '''центре''', а сама кривая называется '''центральной'''. В противном случае (<math>D=0</math>) все диаметры кривой либо параллельны, либо совпадают.

Координаты центра <math>\left(x_0,\;y_0\right)</math> определяются системой уравнений:

<math>\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{cases}</math>

Решая эту систему относительно <math>x_0</math> и <math>y_0,</math> получим:

<math>\begin{align}
x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22} \end{vmatrix} = \frac{a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\
y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D}
\end{align}\;\;\;(D\ne0).</math>

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

<math>a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\bar x = x - x_0,\;\;\;\bar y = y - y_0,</math>

где <math>\bar x,\;\bar y</math> — координаты относительно новой системы.

== Главные оси и вершины кривой второго порядка ==
'''Главной осью''' кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым с ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая <math>\left(D\ne0\right)</math> либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые <math>\left(D=0\right)</math> имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её '''вершинами'''.

Направляющие косинусы нормалей к главным осям удовлетворяют уравнениям

<math>\begin{cases} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22} - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{cases},</math>

где <math>\lambda</math> — отличный от нуля корень характеристического уравнения. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются '''главными направлениями''' кривой. Угол между положительным направлением оси ''Ox'' и каждым из двух главных направлений определяется формулой

<math>\operatorname{tg}2\phi = \operatorname{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.</math>

Из всех видов кривых второго порядка только окружность имеет неопределённые главные направления.

== Уравнения ==

=== Общее уравнение в матричном виде ===
Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде
:<math>\begin{pmatrix} x & y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = 0</math> или  <math>x^TAx=0</math>

=== Канонический вид ===
{{переработать раздел|дата=2017-10-20}}
Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу выше). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты <math>\Delta,\;D,\;I</math> исходного уравнения кривой и корни характеристического уравнения <math>\lambda_1 \geqslant \lambda_2</math> (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).

Замечание. При переходе к канонической форме уравнения может понадобиться умножить уравнение на число, не равное нулю. Поэтому численные значения инвариантов канонического уравнения могут отличаться от значений инвариантов для исходного уравнения. Неизменными остаются знаки величин <math>\Delta \cdot I \;</math> и <math>D</math>.

Для центральной кривой в каноническом виде её центр <math>\left(x_0,\;y_0\right)</math> находится в начале координат.

=== Через эксцентриситет ===
Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

<math>y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\ \ (p>0).</math>

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось ''Ox'' является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, что ''невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых'' <math>\varepsilon \geqslant 0</math> ('''[[эксцентриситет]]''') ''от данной точки'' ('''фокуса''') ''и от данной прямой'' ('''директрисы''') ''постоянно''. Кроме того, при <math>\varepsilon = 0</math> кривая является окружностью, при <math>\varepsilon < 1</math> — эллипсом, при <math>\varepsilon = 1</math> — параболой, при <math>\varepsilon > 1</math> — гиперболой.

Уравнение директрисы кривой выражается уравнением <math>x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)},</math> а координаты фокуса <math>x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y = 0.</math> Директриса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой ('''фокальная ось'''). Расстояние между фокусом и директрисой равно <math>\frac{p}{\varepsilon}.</math>

Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипербола), то прямая

<math>x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a</math>

является осью симметрии и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директрисы.

Параметр <math>p</math> называется '''фокальным параметром''' и равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к фокальной оси ('''фокальная хорда''').

=== Полярные координаты ===
Если взять в качестве полюса [[полярные координаты|полярной системы координат]] <math>\left(\rho,\phi\right)</math> [[Фокус (геометрия)|фокус]] невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симметрии, то в полярных координатах <math>\rho</math>, <math>\phi</math> уравнение кривой будет иметь вид

<math>\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.</math>

=== Кривая, заданная своими пятью точками ===
Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой. Уравнение кривой, проходящей через точки <math>\left( x_1, y_1 \right),</math> <math>\left( x_2, y_2 \right),</math> <math>\left( x_3, y_3 \right),</math> <math>\left( x_4, y_4 \right)</math> и <math>\left( x_5, y_5 \right):</math>

<math>\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \end{vmatrix} = 0.</math>

Кривая, заданная пятью точками вырождается в том и только в том случае, когда три из заданных точек лежат на одной прямой.

=== Касательные и нормали ===
Уравнение [[Касательная|'''касательной''']] к кривой второго порядка <math>f(x,y)</math> в её [[Точка (геометрия)|точке]] <math>\left(x_1, y_1\right)</math> имеет вид:

<math>\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0.</math>

Уравнение [[Нормаль|'''нормали''']] к кривой второго порядка в [[Точка (геометрия)|точке]] <math>\left(x_1, y_1\right)</math> имеет вид

<math>\frac{x-x_{1}}{a_{11}x_{1}+a_{12}y_{1}+a_{13}}=\frac{y-y_{1}}{a_{12}x_{1}+a_{22}y_{1}+a_{23}}.</math>

=== Полюсы и поляры ===
Уравнение
: <math>\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0</math>
помимо касательной определяет прямую, называемую [[Полюс и поляра|'''полярой''']] точки <math>\left(x_1, y_1\right)</math> относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка <math>\left(x_1, y_1\right)</math> называется '''полюсом''' этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:{{нет АИ|1|08|2013}}
# Если прямая, проведённая через полюс <math>P,</math> пересекает поляру в точке <math>Q,</math> а кривую второго порядка — в точках <math>R_1</math> и <math>R_2,</math> то точки <math>P</math> и <math>Q</math> '''гармонически разделяют''' отрезок <math>R_1R_2,</math> то есть выполняется условие<br /><math>\frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.</math>
# Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.
# Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.
# Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой этого пучка. Директриса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:
# если через точку можно провести две касательные к кривой, то поляра этой точки проходит через точки касания;
# касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;
# точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директрисе;
# каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.

== Теоремы, связанные с кривыми второго порядка ==
* [[Теорема Паскаля]]: ''точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат на одной прямой''.
* [[Теорема Брианшона]]: ''диагонали, проходящие через противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго порядка, пересекаются в одной точке''.

== См. также ==
* [[Коническое сечение]]
* [[Квадрика]]
* [[Поверхности второго порядка]]
* [[Кубика|Кривая третьего порядка]]
* [[Плоская кривая четвёртой степени]]

== Ссылки ==
* [http://www.bmstu.ru/~fn11/intpos/C2Theory/theory4.html Общее уравнение кривой второго порядка] {{Wayback|url=http://www.bmstu.ru/~fn11/intpos/C2Theory/theory4.html |date=20200130160141 }}
* [http://mathserfer.narod.ru/node26-1.html  Кривые второго порядка] 
* [http://www.pm298.ru/reshenie/giperb.php Кривые второго порядка: гипербола, парабола]

== Литература ==

* {{книга|автор=Александров&nbsp;А.Д., Нецветаев&nbsp;Н.Ю.|заглавие=Геометрия|часть=Глава II (Кривые второго порядка)|место=М|издательство=Наука|год=1990|страницы=32—57}}
* {{книга|автор=Акопян&nbsp;А.В., Заславский&nbsp;А.А.|заглавие=Геометрические свойства кривых второго порядка|место=М|издательство=МНЦМО|год=2007}}
* {{книга|автор=Прасолов&nbsp;В.В., Тихомиров&nbsp;В.М.|заглавие=Геометрия|место=М|издательство=МНЦМО|год=2007}}
* {{книга|автор=Корн&nbsp;Г., Корн&nbsp;Т.|заглавие=Справочник по математике|часть=Кривые второго порядка (конические сечения)|издание=4-е издание|место=М|издательство=Наука|год=1978|страницы=64—69}}



== Примечания ==
{{примечания}}

{{Нет иллюстрации}}

[[Категория:Аналитическая геометрия]]
[[Категория:Алгебраические кривые]]