Просмотр кода страницы Лагранжиан

{{Другие значения| Метод множителей Лагранжа}}
'''Лагранжиа́н''', '''фу́нкция Лагра́нжа''' <math> \mathcal {L} [\varphi_i] </math> [[динамическая система|динамической системы]], является [[Функция (математика)|функцией]] [[Степени свободы (механика)|обобщённых координат]] <math> \ \varphi_i (s) </math> и описывает развитие системы. Например, [[уравнения движения]] (для классической механики) в этом подходе получаются из [[принцип наименьшего действия|принципа наименьшего действия]], записываемого как
: <math> \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0, </math>
где [[Действие (физическая величина)|действие]] — [[функционал]] <math> \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns}, </math>

а <math>\varphi_i</math> — [[обобщённые координаты]] (например, координаты частиц или полевые переменные),<math>\ s_j </math> обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком — ещё электрические или другие физические параметры. Названа в честь [[Лагранж, Жозеф Луи|Жозефа Луи Лагранжа]].

Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю [[функциональная производная|функциональной производной]] функционала по всем направлениям, идентичны обычным [[уравнения Эйлера — Лагранжа|уравнениям Эйлера – Лагранжа]]. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как ''лагранжевы динамические системы''.

Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии [[Стандартная модель|Стандартной модели]] в [[физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]] и заканчивая [[Законы Ньютона|уравнениями Ньютона]] в [[классическая механика|классической механике]] (см. [[Лагранжева механика]]). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения [[уравнение геодезической|уравнений]] [[Геодезическая|геодезических]] и [[проблема Плато]].

Через [[преобразование Лежандра]] лагранжиан связан с [[Функция Гамильтона|гамильтонианом]] (в котором за основу берутся [[импульс]]ы). На гамильтониане основана [[гамильтонова механика|гамильтонова формулировка]] классической механики.

== Пример из [[классическая механика|классической механики]] ==
Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как [[лагранжева механика]]. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности [[кинетическая энергия|кинетической]] и [[потенциальная энергия|потенциальной энергии]] механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде
: <math>\frac{1}{2}\, m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),</math>
где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, <math>\vec{x}</math> — [[радиус-вектор]] частицы, <math>m</math> — её [[масса]] и <math>V</math> — потенциальная энергия. Тогда [[уравнение Эйлера — Лагранжа|уравнение Эйлера – Лагранжа]] будет иметь вид
: <math>m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0,</math>
где <math>\nabla V</math> — [[градиент]].

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу <math>F</math> в терминах потенциала <math>\vec{F}=- \nabla V(x)</math>, тогда мы получим уравнение <math>\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}</math>, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению <math>\vec{F}=d\vec{p}/dt</math>, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со [[сферические координаты|сферическими координатами]] <math>r</math>, <math>\theta</math>, <math>\varphi</math> с лагранжианом

: <math>\frac{m}{2}\,(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\,\dot{\varphi}^2)-V(r)</math>

можно получить следующие уравнения Эйлера – Лагранжа:

: <math>m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\,\dot{\varphi}^2)+V' =0,</math>

: <math>\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^2=0,</math>

: <math>\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\,\dot{\varphi})=0.</math>

== Классический релятивистский лагранжиан свободной частицы ==
Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий [[спин]]) лагранжиан свободной частицы в [[Теория относительности|теории относительности]] совпадает (с точностью до знака) со скоростью роста длины её [[мировая линия|мировой линии]] в [[пространство Минковского|пространстве Минковского]] (то есть со скоростью изменения [[собственное время|собственного времени]]), умноженной на массу частицы <math>m</math> и на квадрат скорости света <math>c</math>:

: <math>\mathcal {L} = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2},</math>

где <math>v</math> — обычная трёхмерная скорость частицы.

Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц ([[релятивистская динамика]]).

== Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля ==
* В [[Классическая теория поля|классической]] и [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]] делают различие между лагранжианом {{math|''L''}}, через который действие выражается как интеграл только по времени

: <math>S = \int{L \, dt},</math>

и ''плотностью лагранжиана'' <math>\mathcal{L}</math>, которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному (а в некоторых теориях и более [[Многомерное пространство|многомерному]]) пространству-времени:

: <math>S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}.</math>

Тогда лагранжиан — это [[интеграл]] по пространственным переменным от плотности лагранжиана.

* В последнее время плотность лагранжиана <math>\mathcal{L}</math> часто называют просто лагранжианом; это полезно в [[специальная теория относительности|релятивистских]] теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.

Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные <math>\vec x</math> в индекс <math>i</math> или в параметры <math>s</math> в <math>\varphi_i(s)</math>. [[Квантовая теория поля|Квантовые теории поля]] в [[Физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]], такие как [[квантовая электродинамика]], обычно описываются в терминах <math>\mathcal{L}</math>. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки [[Диаграммы Фейнмана|диаграмм Фейнмана]].

== [[Электромагнитное излучение|Электромагнитный]] лагранжиан ==
В этом разделе речь идёт о чисто классической (не квантовой) электродинамике (квантовоэлектродинамический лагранжиан описан в следующих разделах), в особенности сказанное касается заряженного вещества, с которым взаимодействует электромагнитное поле — то есть и члена взаимодействия, и лагранжиана собственно вещества (лагранжиан же свободного электромагнитного поля в целом один и тот же в классической и квантовой теории).

=== Электростатика ===
[[Электростатика]] — физика статических (то есть постоянных) электрических полей, которые можно (приближенно или точно) описать скалярным<ref>Здесь подразумевается, конечно же, [[скаляр]] обычного трёхмерного пространства, а не инвариант преобразований Лоренца.</ref> потенциалом, и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом ньютоновской механике.

В классической механике лагранжиан есть

: <math> \mathcal{L} = T - V ,</math>

где <math>T</math> — кинетическая энергия и <math>V</math> — потенциальная энергия.

Для заряженной частицы массой <math>m</math> и зарядом <math>q</math>, находящейся в электрическом (электростатическом) поле со [[скалярный потенциал|скалярным потенциалом]] <math> \varphi\ </math>, кинетическая энергия задаётся выражением
: <math> T_s = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}</math> — для одной частицы (для многих берётся сумма).
Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как
: <math> V = q\varphi\ </math> для одного точечного заряда (для многих суммируется),
или
: <math> V = \int \rho\varphi\ dx dy dz</math> — в виде для непрерывного распределения заряда.
(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать [[дельта-функция|дельта-функцию]]).
Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц<ref>Это определяется знаком, который должен получиться в итоге в уравнениях движения и тем, что из определённых соображений энергию поля хочется иметь положительной. Всё это может быть более или менее строго обосновано, но здесь мы ограничимся только что изложенными простыми соображениями.</ref>, записываясь как:
: <math> T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \varphi)^2 dx dy dz,</math>
где <math>\varkappa</math> — «силовая константа», входящая в конечном итоге в [[закон Кулона]].

Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков:

: <math> \mathcal{L} = T_f - V + T_s,</math>
(каждый член его выписан выше).

* Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.

Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом<ref>Для получения уравнения поля удобнее использовать лагранжиан взаимодействия, выраженный через <math>\rho</math>, для получения уравнения движения частицы в поле — через положение точечной частицы (через <math>q\varphi</math>).</ref>, легко получить уравнение поля для электростатики ([[уравнение Пуассона]]):
: <math>\nabla^2 \varphi = - \varkappa \rho</math>
и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи):
: <math>m \dot{\mathbf v} = - q \nabla \varphi.</math>

=== Электродинамика ===

==== Трёхмерная формулировка ====
В случае [[Электродинамика|электродинамики]] приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) [[Потенциальная энергия|потенциальной энергией]] (энергией взаимодействия):

: <math> V = q\varphi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}, </math>
или
: <math> V = \int (\rho\varphi - {1 \over c} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A}) dx dy dz, </math>
где <math>c</math> — [[скорость света]], <math>v</math> — скорость частицы, {{math|'''j'''}} — вектор [[Плотность тока|плотности тока]], {{math|'''А'''}} — [[векторный потенциал]].

Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля<ref>Вопрос о знаках, как это было сделано выше и для электростатического поля, не будем здесь подробно обсуждать, хотя достаточно строгое обоснование и существует, ограничившись опять замечанием, что именно такие знаки дают нужные знаки в итоговых уравнениях.</ref>:

: <math> T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz,</math>
где векторы [[Напряжённость электрического поля|напряжённости электрического поля]] {{math|'''E'''}} и [[Напряжённость магнитного поля|напряжённости магнитного поля]] {{math|'''H'''}} следует считать выраженными через [[Потенциалы электромагнитного поля|скалярный потенциал]] <math>\varphi</math> и [[векторный потенциал]] {{math|'''А'''}}:

: <math>\mathbf E = -\nabla\varphi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},</math>
: <math> \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A.</math>

Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

: <math> L = T_f  - q\varphi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} + T_s.</math>
или
: <math> L = T_f  + \int (-\rho\varphi + \frac{\mathbf j \cdot \mathbf{A}}{c}) dx dy dz + T_s.</math>

Здесь в качестве лагранжиана вещества <math>T_s</math> можно использовать приближённое выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц

: <math>T_s = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.</math>
Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля {{итд}}, что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность.

При варьировании действия с этим лагранжианом по {{math|''φ''}} и по <math>A_x, A_y, A_z</math> (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются [[уравнения Максвелла]], а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к:

: <math>d\mathbf p/d t = \mathbf F_L,</math>
где {{math|'''p'''}} — (трёхмерный) импульс частицы, <math>\mathbf F_L</math> — [[сила Лоренца]] (включая электрический член).

Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см. далее).

==== Четырёхмерная формулировка ====
В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана [[Электромагнитное поле|электромагнитного поля]], его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (при использовании [[Рациональная система единиц|системы единиц]] {{math|[[скорость света|''c'']] {{=}} 1}}):

: <math>L = \frac{1}{4\varkappa} F_{ik}F^{ik} + A_i j^i + L_s.</math>

Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет:
: <math>S_{int} = - \int q A_i dx^i.</math>

(Член <math>L_s</math> — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность).

Здесь <math>F^{ik}</math> — [[тензор электромагнитного поля]] (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), <math>A_i</math> — [[4-потенциал]], <math>j^i</math> — [[4-ток|четырёхмерная плотность тока]], <math>x^i</math> — [[4-вектор|4-координата]] точки в области, в которой проводится интегрирование; подразумевается [[правило Эйнштейна]] суммирования по повторяющемуся индексу.


Варьированием по <math>A_i</math> легко получаются [[уравнения Максвелла]] в четырёхмерной форме:

: <math>\partial_i F^{ik} = \varkappa j^k,</math>
а варьированием по <math>x^i</math> — уравнение движения для частицы:
: <math>d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k,\, </math>

где <math>p_i = m u_i</math> — [[4-импульс]], <math>u^k</math> — [[4-скорость]].

== Лагранжиан квантовой теории поля ==
Лагранжиан [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]] (КТП) в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или корректно проинтерпретировать их; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом [[приближение стационарной фазы]] ([[приближение стационарного действия|стационарного действия]]) — то есть найдя [[классическое приближение]] описания системы.

Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они используются в КТП, представляя в определённом отношении её основу.

=== Лагранжиан [[квантовая электродинамика|квантовой электродинамики]] ===
Плотность лагранжиана для [[квантовая электродинамика|квантовой электродинамики]] (КЭД):

: <math> \mathcal{L} = \bar \psi (i {D}\!\!\!\!/\ - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu},</math>

где <math> \psi </math> — [[биспинор|спинор]] (четырёхмерный), <math> \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 </math> — его [[дираковское сопряжение]], <math>F^{\mu\nu}</math> — [[тензор электромагнитного поля]], {{math|''D''}} — [[калибровочная ковариантная производная]] и <math> {D}\!\!\!\!/\ </math> — обозначение Фейнмана для <math>\gamma^\sigma D_\sigma </math>.

=== Лагранжиан Дирака ===
Плотность лагранжиана для [[Дираковское поле|дираковского поля]]

: <math> \mathcal{L} = \bar \psi (i {\partial}\!\!\!/\ - m) \psi. </math>

=== Лагранжиан квантовой хромодинамики ===
Плотность лагранжиана для [[квантовая хромодинамика|квантовой хромодинамики]]<ref>{{Cite web |url=http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html |title=Quantum Chromodynamics (QCD)<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2006-02-21 |archive-date=2011-07-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110709054804/http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html |deadlink=no }}</ref>

: <math> \mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n ({D}\!\!\!\!/ + m_n) \psi_n, </math>

где <math>D_\mu</math> — калибровочная ковариантная производная КХД и <math>F^\alpha {}_{\mu\nu} </math> — тензор напряжённости [[Глюонное поле|глюонного поля]].

== Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Лагранжа ==
В классической механике необходимым и достаточным условием существования и единственности уравнения Лагранжа является <math>det \left \| \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{j}\partial \dot{q}_{k}} \right \|_{j,k=1}^{n} \neq 0</math><ref>''[[Айзерман, Марк Аронович|Айзерман М. А.]]'' Классическая механика. - М., Наука, 1980. - с. 165</ref>. 

== Ссылки ==
{{Wikisource|fr:Auteur:Joseph-Louis_Lagrange}}
* ''Christoph Schiller''. [https://web.archive.org/web/20081217082551/http://www.motionmountain.net/C-2-CLSB.pdf ''Global descriptions of motion: the simplicity of complexity''], [http://www.motionmountain.net Motion Mountain] (2005)
* ''David Tong'' [http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html Classical Dynamics] (Cambridge lecture notes)

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
'''Исторические публикации'''
* {{Книга|автор = [[Лагранж, Жозеф Луи|Ж. Лагранж]]|заглавие = Аналитическая механика|место = М.-Л.|оригинал = |ссылка = |издательство = Государственное издательство технико-теоретической литературы|год = 1950|isbn = |страниц =594}}

'''Курсы теоретической физики'''
* {{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Механика|2004|авторы}}
* {{Книга|автор =Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.|заглавие = Теория поля [[Курс теоретической физики Ландау и Лифшица|(Теоретическая физика, т. II]])|место = М.|издательство = Физматлит |год = 2003|isbn = 5-9221-0056-4|страниц =536}}

[[Категория:Теоретическая физика]]
[[Категория:Теория поля]]
[[Категория:Теоретическая механика]]