Просмотр кода страницы Линейная алгебра

'''Лине́йная а́лгебра''' — раздел [[алгебра|алгебры]], изучающий [[математический объект|математические объекты]] ''линейной природы'': [[Векторное пространство|векторные]] (или линейные) пространства, [[линейное отображение|линейные отображения]]{{Переход|#Линейные преобразования}}, [[Система линейных алгебраических уравнений|системы линейных уравнений]]{{Переход|#Системы линейных уравнений}}. Среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — [[Определитель|определители]], [[Матрица (математика)|матрицы]]{{Переход|#Матрицы и определители}}, [[Сопряжённое пространство|сопряжение]]. [[Теория инвариантов]] и [[тензорное исчисление]] обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры<ref name="БСЭ">{{БСЭ3|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров]]|Линейная алгебра}}</ref>. Такие объекты как [[Квадратичная форма|квадратичные]] и [[Билинейная форма|билинейные]] формы{{Переход|#Квадратичные и билинейные формы}}, [[тензор]]ы{{Переход|#Тензоры}} и операции как [[тензорное произведение]] непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к [[полилинейная алгебра|полилинейной алгебре]].

Линейная алгебра обобщена средствами [[Общая алгебра|общей алгебры]], в частности, современное определение линейного (векторного) пространства{{Переход|#Векторные пространства}} опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные [[Модуль над кольцом|модули над кольцом]]. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в [[Теория представлений|теории представлений групп]]{{Переход|#Теория представлений}}. [[Функциональный анализ]] возник как применение методов [[Математический анализ|математического анализа]] и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных [[Прикладная математика|приложениях]] (в том числе, в [[Линейное программирование|линейном программировании]]{{Переход|#Линейное программирование}}, в [[Эконометрика|эконометрике]]{{переход|#Эконометрика}}) и [[Естественные науки|естественных науках]] (например, в [[Квантовая механика|квантовой механике]]{{Переход|#Квантовая механика}}).

== История ==
Первые элементы линейной алгебры следовали из практических вычислительных задач вокруг решения [[линейное уравнение|линейных уравнений]], в частности, такие арифметические приёмы как [[тройное правило]] и [[правило ложного положения]] были сформулированы ещё в древности. В [[Начала Евклида|«Началах» Евклида]] фигурируют две теории «линейного» характера: теория величины и теория целых чисел. Близкие к современным матричным методам подходы к решению систем линейных уравнений обнаруживаются у [[Древний Вавилон|вавилонян]] (системы из двух уравнений с двумя переменными) и [[Древний Китай|древних китайцев]] (в «[[Математика в девяти книгах|Математике в девяти книгах]]», до трёх уравнений с тремя переменными){{Sfn|Клейнер|2007|p=79|loc=About 4000 years ago the Babylonians knew how to solve a system of two linear equations in two unknowns (a 2 × 2 system). In their famous Nine Chapters of the Mathematical Art the Chinese solved 3 × 3 systems by working solely with their (numerical) coefficients. These were prototypes of matrix methods, not unlike the “elimination methods” introduced by Gauss and others}}. Однако после достижения определённости с основными вопросами нахождения решений [[Система линейных алгебраических уравнений|систем линейных уравнений]] развитие раздела практически не происходило, и даже в конце XVIII — начале XIX века считалось, что проблем относительно уравнений первой степени больше не существует, притом системы линейных уравнений с числом переменных, отличающихся от количества уравнений или с линейно-зависимыми коэффициентами в левой части попросту считались некорректными{{Sfn|Бурбаки|1963|с=74}}.

Методы, сформировавшие линейную алгебру как самостоятельную отрасль математики, уходят корнями в другие разделы. [[Ферма, Пьер|Ферма]] в 1630-е годы, создав классификацию плоских кривых, ввёл в математику (ключевой для линейной алгебры) принцип размерности и разделил задачи аналитической геометрии по числу неизвестных (с одним неизвестным — отыскание [[Точка (геометрия)|точки]], с двумя — [[Кривая|кривой]] или [[Геометрическое место точек|геометрического места]] на плоскости, с тремя — [[Поверхность|поверхности]]). [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] создал классификацию кривых по порядкам, обратив внимание на линейный характер преобразований координат, и ввёл в оборот понятие [[Аффинное преобразование|аффинного преобразования]] (и само слово «аффинность»){{Sfn|Бурбаки|1963|с=75}}.

Первое введение понятия [[Определитель|определителя]] для целей решения систем линейных уравнений относят к [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницу]] ([[1678 год в науке|1678]]{{Sfn|Прасолов|1996|с=9}} или [[1693 год в науке|1693 год]]{{Sfn|Клейнер|2007|p=80}}), но эти работы не были опубликованы. Также определитель обнаруживается в трудах [[Сэки Такакадзу]] [[1683 год в науке|1683 года]], в которых он обобщил метод решения систем линейных уравнений из древнекитайской «Математики в девяти книгах» до <math>n</math> уравнений с <math>n</math> неизвестными{{Sfn|Прасолов|1996|с=10}}. [[Маклорен, Колин|Маклорен]], фактически используя простейшие определители в трактате, вышедшем в [[1748 год в науке|1748 году]], приводит решения систем из двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трёх уравнений с тремя неизвестными{{Sfn|Клейнер|2007|p=81|loc=The first publication to contain some elementary information on determinants was Maclaurin’s Treatise of Algebra, in which they were used to solve 2 × 2 and 3 × 3 systems}}. [[Крамер, Габриэль|Крамер]] и [[Безу, Этьенн|Безу]] в работах по проблеме отыскания плоской кривой, проходящей через заданную точку, вновь построили это понятие ([[правило Крамера]] сформулировано в [[1750 год в науке|1750 году]]), [[Вандермонд, Александр Теофил|Вандермонд]] и [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] дали индуктивное определение для случаев <math>n>3</math>{{Sfn|Даан-Дальмедико|1986|c=394}}, а целостное определение и окончательные свойства определителей дали [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] ([[1815 год в науке|1815]]) и [[Якоби, Карл Густав Якоб|Якоби]] (1840-е годы){{Sfn|Бурбаки|1963|с=74}}. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гауссу]] (около 1800 года) принадлежит формализация [[метод Гаусса|метода последовательного исключения переменных]] для решения этих задач, ставшего известным под его именем{{Sfn|Клейнер|2007|p=79}} (хотя по существу для решения систем линейных уравнений именно этот метод и использовался с древности{{Sfn|Бурбаки|1963|с=75}}).

[[Д’Аламбер, Жан Лерон|Д’Аламбер]], [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] и [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], работая над теорией [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]], в том или ином виде выделили класс [[Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами#Однородное уравнение|линейных однородных уравнений]] и установили факт, что общее решение такого уравнения порядка <math>n</math> является [[Линейная комбинация|линейной комбинацией]] <math>n</math> частных решений (однако, при этом не отмечали необходимость линейной независимости решений){{Sfn|Бурбаки|1963|с=75—76}}. Основываясь на наблюдении, что множество значений целочисленной функции <math>f(x, y)</math> не меняется от того, что над <math>x</math> и <math>y</math> совершается линейная подстановка (с целыми коэффициентами и определителем, равным 1), Лагранж в [[1769 год в науке|1769 году]] разрабатывает теорию представления целых чисел [[Квадратичная форма|квадратичными формами]], а в [[1770 год в науке|1770 году]] обобщает теорию до [[Алгебраическая форма|алгебраических форм]]. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] развил теорию Лагранжа, рассматривая вопросы эквивалентности форм, и ввёл серию понятий, относящихся к линейным подстановкам, самым важным из которых было понятие сопряжённой (транспонированной) подстановки{{Sfn|Бурбаки|1963|с=76}}. С этого времени арифметические и алгебраические исследования [[Квадратичная форма|квадратичных]] и связанных с ними [[Билинейная форма|билинейных]] форм составляют существенную часть предмета линейной алгебры{{Sfn|Бурбаки|1963|с=76—77, 134—137}}.

Ещё одним источником подходов для линейной алгебры стала [[проективная геометрия]], создание которой начато [[Дезарг, Жерар|Дезаргом]] в XVII веке и получившей значительное развитие в трудах [[Монж, Гаспар|Монжа]] конца XVIII века и в дальнейшем в работах [[Понселе, Жан-Виктор|Понселе]], [[Брианшон, Шарль Жюльен|Брианшона]] и [[Шаль, Мишель|Шаля]] начала — середины XIX века. В те времена основным предметом изучения проективной геометрии были [[Коническое сечение|коники]] и [[Квадрика|квадрики]], являющиеся по сути квадратичными формами. Кроме того, понятие двойственности проективных пространств, введённое Монжем, являет один из аспектов двойственности в линейных пространствах (однако эта связь была замечена только в конце XIX века [[Пинкерле, Сальваторе|Пинкерле]]){{Sfn|Бурбаки|1963|с=77—78}}.

Но основной базой линейной алгебры стало фактически влившееся в раздел [[векторное исчисление]], очерченное Гауссом в работах по геометрической интерпретации [[Комплексное число|комплексных чисел]] ([[1831 год в науке|1831]]) и обретшее окончательную форму в трудах [[Мёбиус, Август Фердинанд|Мёбиуса]], [[Грассман, Герман Гюнтер|Грассмана]] и [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Гамильтона]] 1840-х — 1850-х годах. Так, Гамильтон в [[1843 год в науке|1843 году]] открывает [[кватернион]]ы, четырёхмерный аналог комплексных чисел, и даёт им геометрическую интерпретацию по аналогии с гауссовой (Гамильтону, в том числе, принадлежит и введение термина «вектор»). Физики школы Гамильтона, из которых самым выдающимся был [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]], тщательно проработали то, что сейчас относится к векторной алгебре в трёхмерном евклидовом пространстве: введены понятия [[Скалярное произведение|скалярного]], [[Векторное произведение|векторного]] и [[Смешанное произведение|смешанного]] произведений векторов, [[Набла|набла-оператор]]{{Sfn|Даан-Дальмедико|1986|с=402}}, сформирована вошедшая в традицию символика, также начиная с этого времени векторы проникают и в школьные программы. Вместе с тем для школы Гамильтона центральным понятием были не векторы, а кватернионы, и определения линейной алгебры давались в терминах умножения кватернионов.

Параллельно шло развитие линейной алгебры и в Европе. В [[1844 год в науке|1844 году]] Грассман строит понятие [[Внешняя алгебра|внешней алгебры]], описывающей подпространства линейного пространства{{Sfn|Бурбаки|1963|с=80}}. Долгое время его работы незаслуженно обходились вниманием: языком, адекватным физической картине мира, считался язык кватернионов. Так, [[Тэйт, Питер Гатри|Тэт]], лидер школы «кватернионистов», считал смехотворной критику [[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббса]], указывавшего, что язык кватернионов не приспособлен для описания пространств размерности выше четырёх, ибо пространство-время четырёхмерно; в то время как для Гиббса это было крайне важно, ибо фазовые пространства в разработанной им статистической механике имеют очень большую размерность (порядка [[число Авогадро|числа Авогадро]]). Впоследствии правота Гиббса, идеи которого были развиты [[Хевисайд, Оливер|Хевисайдом]], подтвердилась: основным языком стал именно язык векторного исчисления, а повсеместное употребление кватернионов осталось историческим курьёзом. Синтез идей Грассмана и Гамильтона был осуществлён в 1870-х [[Клиффорд, Уильям Кингдон|Клиффордом]]: введённое им понятие [[алгебра Клиффорда|алгебры Клиффорда]] включает как частные случаи как алгебру кватернионов, так и внешнюю алгебру.

Понятие [[Матрица (математика)|матрицы]] ввёл [[Сильвестр, Джеймс Джозеф|Сильвестр]] в [[1850 год в науке|1850 году]]<ref>От {{lang-la|matrix}} — «первопричина». Во многих источниках считается, что термин ввёл Сильвестр в 1848 году, однако в том году он не опубликовал ни одной работы, см. {{книга |автор= J. J. Sylvester |заглавие= The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester |ссылка= https://books.google.com/books?id=r-kZAQAAIAAJ&pg=PR6 |викитека=  |ответственный= H. F. Baker |место= [[Кембридж (Англия)|Cambridge]] |издательство= Cambridge University Press |год= 1904 |allpages=  |серия=  |isbn=  |archivedate= 2023-07-27 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20230727225119/https://books.google.com/books?id=r-kZAQAAIAAJ&pg=PR6 }}, тогда как в работе 1850 года {{статья|автор= J. J. Sylvester|заглавие= Additions to the articles in the September number of this journal, “On a new class of theorems”, and on Pascal’s theorem|ссылка= https://books.google.ru/books?id=CBhDAQAAIAAJ&pg=PA369&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|язык= en|издание= The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|том= XXXVII|страницы= 363—370}}: <cite>«…This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants…»</cite></ref>{{Sfn|Клейнер|2007|p=82|loc=… the term “matrix” was coined by Sylvester in 1850}}. [[Кэли, Артур|Кэли]] обстоятельно разрабатывает матричное исчисление, публикуя в [[1858 год в науке|1858 году]] «Мемуар о теории матриц» ({{lang-en|Memoir on the theory of matrices}}), принципиально, что Кэли рассматривает матрицы как нотацию для линейных подстановок{{Sfn|Бурбаки|1963|с=80}}. В частности, в этой работе Кэли вводит [[Сложение матриц|сложение]] и [[Умножение матриц|умножение]] матриц, [[Обратная матрица|обращение матриц]], рассматривает [[Характеристический многочлен матрицы|характеристические многочлены матриц]] и формулирует и доказывает для случаев 2×2 и 3×3 утверждение об обращении в нуль характеристического многочлена квадратной матрицы (известное как [[теорема Гамильтона — Кэли]], так как случай 4×4 доказал Гамильтон с использованием кватернионов), доказательство для общего случая принадлежит [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениусу]] ([[1898 год в науке|1898]]). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах [[Лагерр, Эдмон Никола|Лагерра]] ([[1867 год в науке|1867]]). Матричные группы, связанные с неевклидовыми геометриями, появились в работах [[Киллинг, Вильгельм|Киллинга]] в 1880-х годах, вместе с более ранними работами [[Ли, Софус|Ли]] они стали основой теории [[группа Ли|групп]] и [[алгебра Ли|алгебр Ли]]. На рубеже веков эта теория была обогащена [[Энгель, Фридрих|Энгелем]] и [[Картан, Эли|Картаном]], давшими классификацию полупростых алгебр Ли и попутно открывшими [[векторное произведение в семимерном пространстве]].

[[Теория инвариантов]] в классическом варианте — учение о свойствах [[Алгебраическая форма|алгебраических форм]], сохраняющихся при линейных преобразованиях, сформирована начиная с 1840-х годов в работах Кэли, [[Эрмит, Шарль|Эрмита]] и Сильвестра (известных как «инвариантная троица», {{lang-fr|la trinité invariantive}}), считается{{Sfn|Бурбаки|1963|с=82}}, что именно теория инвариантов и приводит к созданию принципов решения произвольных систем линейных уравнений. В частности, Эрмит{{Уточнить}}<!-- в <xxx году>--> сформулировал и решил в частном случае проблему нахождения системы линейных диофантовых уравнений, решение в общем случае найдено [[Смит, Генри Джон Стивен|Смитом]], результат которого остался незамеченным, пока не был обнаружен в 1878 году [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениусом]]{{Sfn|Бурбаки|1963|с=82}}. Финальный вид результаты о системах линейных уравнений с произвольными числовыми коэффициентами получили в работах, организованных [[Кронекер, Леопольд|Кронекером]], в которых принимали участие [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]], Фробениус и группа немецких учёных, особое внимание уделялось строгости и точности формулировок. В частности, определитель в курсе лекций Кронекера — Вейерштрасса вводился как полилинейная знакопеременная функция от <math>n</math> векторов <math>n</math>-мерного пространства, нормированная таким образом, что принимает значение 1 для единичной матрицы; притом это определение эквивалентно вытекающему из [[Внешняя алгебра|исчисления Грассмана]]{{Sfn|Бурбаки|1963|с=82}}{{Sfn|Клейнер|2007|p=81}}. Фробениус в [[1877 год в науке|1877 году]] ввёл понятие [[Ранг матрицы|ранга матрицы]], основываясь на котором в ближайшие годы сразу несколько учёных доказали утверждение об эквивалентности разрешимости системы линейных уравнений совпадением рангов её основной и расширенной матрицы, известной в русских и польских источниках как [[теорема Кронекера — Капелли]], во французских — теорема [[Руше, Эжен|Руше]] — Фонтене ({{lang-fr|Georges Fontené}}), в немецких и испанских — теорема Руше — Фробениуса, в итальянских и английских — теорема Руше — [[Капелли, Альфредо|Капелли]].

В [[1888 год в науке|1888 году]] [[Пеано, Джузеппе|Пеано]] на базе исчисления Грассмана впервые в явном виде сформулировал аксиомы линейного пространства (векторных пространств над полем действительных чисел в том числе бесконечномерных) и применил обозначения, сохранившиеся в употреблении в XX—XXI века{{Sfn|Бурбаки|1963|с=84}}. [[Тёплиц, Отто|Тёплиц]] в начале 1910-х годов обнаружил, что при помощи аксиоматизации линейного пространства для доказательства основных теорем линейной алгебры не требуется прибегать к понятию определителя, что позволяет распространить их результаты на случай бесконечного числа измерений {{Sfn|Бурбаки|1963|с=84}}. Аксиоматическое определение векторного и евклидова пространства было впервые чётко сформулировано в начале XX века практически одновременно [[Вейль, Герман|Вейлем]] и [[Нейман, Джон фон|фон Нейманом]], исходя из запросов [[Квантовая механика|квантовой механики]]<ref>{{книга
 |автор         = Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.
 |заглавие      = Линейная алгебра и геометрия
 |ссылка        = https://archive.org/details/isbn_5922111396
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = Москва
 |издательство  = Физматлит
 |год           = 2009
 |pages         = [https://archive.org/details/isbn_5922111396/page/n510 511]
 |columns       = 
 |allpages      = 
 |серия         = 
 |isbn          = 978-5-9221-1139-3
 |тираж         = 1000
}}
</ref>.

[[Тензорное исчисление]], разработанное в 1890-е годы [[Риччи-Курбастро, Грегорио|Риччи]] и [[Леви-Чивита, Туллио|Леви-Чивитой]], составило своей алгебраической частью основное содержание полилинейной алгебры. Особое внимание к этому подразделу было привлечено в 1910-е — 1930-е годы благодаря широкому использованию тензоров [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейном]] и [[Гильберт, Давид|Гильбертом]] в [[Математическая формулировка общей теории относительности|математическом описании общей теории относительности]].

В [[1922 год в науке|1922 году]] [[Банах, Стефан|Банах]], изучая [[Полное метрическое пространство|полные]] [[Нормированное пространство|нормированные]] линейные пространства, ставшие известными после его работ как [[Банахово пространство|банаховы]], обнаружил, что уже в конечном случае возникают линейные пространства, не [[Изоморфизм (математика)|изоморфные]] своему сопряжённому{{Sfn|Бурбаки|1963|с=84}}, и в этой связи в первой половине XX века методы и результаты линейной алгебры обогатили [[функциональный анализ]], сформировав его основной предмет в современном понимании — изучение [[Топологическое векторное пространство|топологических линейных пространств]]<ref>{{книга |автор=Данфорд Н., Шварц Дж.|заглавие=Линейные операторы|часть = Предисловие ([[Костюченко, Анатолий Гордеевич|Костюченко А. Г.]], научный редактор) |место= М. |издательство= [[Иностранная литература (издательство)|Иностранная литература]]|год= 1962 |страницы=5—6}} <cite>Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и теория линейных операторов, которую иногда называют становым хребтом функционального анализа.</cite></ref>. Также в 1920-е — 1950-е годы получает распространение направление по линеаризации общей алгебры, так, развивая результат [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]] о линейной независимости любых [[автоморфизм]]ов поля, [[Артин, Эмиль|Артин]] линеаризовывает [[Теория Галуа|теорию Галуа]], а в 1950-е годы, прежде всего, в работах [[Джекобсон, Натан|Джекобсона]], эти результаты обобщены на произвольные расширения [[Тело (алгебра)|тел]]{{Sfn|Бурбаки|1963|с=85}}; благодаря этим построениям обретена возможность применения инструментов и достижений хорошо изученной линейной алгебры в весьма абстрактных разделах [[Общая алгебра|общей алгебры]].
[[Файл:LDU decomposition of Walsh 16.svg|thumb|Схема алгоритма LU-разложения]]
Со второй половины XX века, с появлением [[компьютер]]ов, развитием методов [[Вычислительная математика|вычислительной математики]] и [[Символьные вычисления|компьютерной алгебры]], в рамках линейной алгебры получило бурное развитие вычислительное направление — отыскание методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задач линейной алгебры с использованием вычислительной техники, сформировался самостоятельный раздел {{не переведено 2|Вычислительная линейная алгебра|вычислительной линейной алгебры|en|numerical linear algebra}}, а решение задач линейной алгебры стало одной из важных практических составляющих использования компьютеров. В числе работ, положивших начало разработке этого направления, стало создание [[Тьюринг, Алан|Тьюрингом]] алгоритма [[LU-разложение|LU-разложения]] квадратной матрицы на верхнюю и нижнюю [[Треугольная матрица|треугольные]] ([[1948 год в науке|1948]])<ref>{{книга
 |автор         = Poole, D.
 |заглавие      = Linear Algebra: A Modern Introduction
 |ссылка        = https://archive.org/details/linearalgebramod00pool_936
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 2nd edition
 |место         = [[Белмонт (Калифорния)|Belmont]]
 |издательство  = Brooks/Cole
 |год           = 2006
 |pages         = [https://archive.org/details/linearalgebramod00pool_936/page/n202 179]
 |columns       = 1
 |allpages      = 714
 |серия         = 
 |isbn          = 0-534-99845-3
 |тираж         = 
}}
</ref>. Показательно, что результаты {{нп5|Тест Linpack|тестов Linpack|en|LINPACK benchmarks}}, в которых вычислительные системы должны решить сложные системы линейных уравнений с использованием LU-разложения, считаются основным показателем производительности вычислений с плавающей запятой, в том числе и для [[Кластер (группа компьютеров)|кластерных систем]]. В 1950-е — 1960-е годы крупные исследования в области вычислительной линейной алгебры опубликованы [[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Фаддеевым]] и [[Уилкинсон, Джеймс Харди|Уикинсоном]], значительные результаты в 1970-е — 2000-е годы получены [[Марчук, Гурий Иванович|Марчуком]], [[Самарский, Александр Андреевич|Самарским]], [[Годунов, Сергей Константинович|Годуновым]], {{не переведено 2|Голуб, Джин|Голубом|en|Gene H. Golub}}, [[Аксельсон, Ове|Аксельсоном]]<ref>{{cite web
 |url          = http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1178356&uri=page1.html
 |title        = Линейная алгебра: от Гаусса до суперкомпьютеров будущего
 |author       = [[Ильин, Валерий Павлович|Ильин В. П.]]
 |date         = 1999-06-01
 |work         = [[Природа (журнал)|Природа]], 1999, № 6
 |publisher    = 
 |accessdate   = 2013-05-02
 |lang         = en
 |deadlink     = no
 |archive-date = 2013-05-10
 |archive-url  = https://www.webcitation.org/6GVpuiIrY?url=http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1178356
}}</ref>.

== Основные конструкции ==

=== Матрицы и определители ===
{{Main|Определитель|Матрица (математика)}}
''[[Матрица (математика)|Матрица]]'' — математический объект, записываемый в прямоугольной таблице размером <math>m \times n</math>, в ячейках которой расположены элементы произвольного заранее выбранного (основного) [[Поле (математика)|поля]] (в наиболее общем случае — ассоциативного [[Кольцо (математика)|кольца]]{{Sfn|Мальцев|1970|с=12}}) — это могут быть [[Целое число|целые]], [[Вещественное число|вещественные]] или [[Комплексное число|комплексные]] числа, [[Вектор (математика)|векторы]], [[Рациональная функция|рациональные функции]] — в зависимости от приложений и задач:
: <math>\begin{pmatrix} 
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix}</math>
Для матриц используется также сокращённая запись <math>(a_{ij})</math>, но обычно с матрицами оперируют как с едиными объектами: над матрицами определены [[Сложение матриц|сложение]] и [[Умножение матриц|умножение]], также матрицу можно ''умножить на [[скаляр]]'' — элемент основного поля, относительно этих операций образуют [[векторное пространство]]{{Переход|#Векторные пространства}} над основным полем (или, в наиболее общем случае — [[модуль над кольцом]]). Другие операции над матрицами — [[Транспонирование матрицы|транспонирование]] (замена строк на столбцы) и [[Псевдообратная матрица|псевдообращение]] (обобщение [[Обратная матрица|обращения квадратных матриц]]). Матрицы размера <math>1 \times n</math> и <math>m \times 1</math> называются вектор-строка и вектор-столбец соответственно.

Матрица с равным числом строк и столбцов называется [[Квадратная матрица|квадратной]], в зависимости от содержания они могут быть [[Диагональная матрица|диагональными]] (все элементы — нули основного поля, кроме диагональных: <math>i \neq j \Rightarrow a_{ij} = 0</math>), [[Единичная матрица|единичными]] (все диагональные элементы равны единице основного поля, а остальные — нулю), [[Симметричная матрица|симметричными]] (все элементы симметричны относительно главной диагонали: <math>a_{ij} = a_{ji}</math>), [[Кососимметричная матрица|кососимметричными]] (<math>a_{ij} = - a_{ji}</math>), [[Треугольная матрица|треугольными]] (все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю), [[Ортогональная матрица|ортогональными]]. Среди квадратных матриц вводится отношение [[Подобные матрицы|подобия]] (<math>A \sim B \Leftrightarrow \exists P (A = P^{-1} \cdot B \cdot P</math>), где <math>P^{-1}</math> — матрица, [[обратная матрица|обратная]] <math>P</math>), такие характеристики матриц, как [[Ранг матрицы|ранг]] (максимальное количество линейно независимых строк или столбцов) и [[Характеристический многочлен матрицы|характеристический многочлен]] [[Инвариант (математика)|инвариантны]] относительно подобия{{Sfn|Мальцев|1970|с=55—59}}. Также одинаковы для подобных прямоугольных матриц такие характеристики, как [[След матрицы|след]] (взятие суммы элементов главной диагонали) и определитель.

''[[Определитель]]'' — [[многочлен]], комбинирующий элементы квадратной матрицы особым способом, характеризующий обратимость матрицы. Точнее, определитель матрицы обращается в нуль тогда и только тогда, когда матрица необратима. Это же условие, равносильно тому, что в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы. Квадратные матрицы, определитель которых равен нулю называются ''[[Вырожденная матрица|вырожденными]]'', если определитель отличен от нуля — то матрица называется ''[[Невырожденная матрица|невырожденной]]''. Определитель может использоваться при решении систем линейных уравнений. На его базе вводятся понятия [[Минор матрицы|минора]], [[Дополнительный минор|дополнительного минора]], [[Алгебраическое дополнение|алгебраического дополнения]]{{Sfn|Прасолов|1996|с=9—29}}.

=== Векторы ===
{{Main|Векторное исчисление}}
Понятие ''[[Вектор (математика)|вектора]]'' (сам термин «вектор» был введён [[Гамильтон, Уильям Роуэн|У. Гамильтоном]]) изначально возникло как геометрическая абстракция для объектов, характеризующихся одновременно величиной и направлением, таких как [[скорость]], [[момент силы]], [[напряжённость электрического поля]], [[намагниченность]]. В начале XX века изначальная интерпретация векторов (до сих пор используемая в элементарной математике) как «направленных отрезков» сменилось на аксиоматику [[Векторное пространство|векторного пространства]] с двумя операциямиː [[Вектор (математика)#Сложение|сложением]] векторов и умножение вектора на числа (более общо, на элементы [[Поле (алгебра)|поля]]). Кроме того, часто вводятся различные виды произведения векторов: [[Скалярное произведение|скалярное]], [[Векторное произведение|векторное]], [[Смешанное произведение|смешанное]], [[Псевдоскалярное произведение|псевдоскалярное]], [[Двойное векторное произведение|двойное векторное]].

Ключевую роль в линейной алгебре играет понятие [[Линейная независимость|линейной независимости]] векторов, которое лежит в основе определений ''базиса'' и ''размерности'' векторного пространстваː число <math>n</math> называется размерностью векторного пространства, если оно содержит <math>n</math> линейно независимых векторов и любые <math>k>n</math> векторов этого пространства являются линейно зависимыми. Такое векторное пространство называется <math>n</math>-мерным, и любой его вектор представляется упорядоченной последовательностью <math>n</math> чисел (однозначно определяемых при выборе какого-либо базиса). Таким образом, векторы могут быть записаны в виде матриц размера <math>1 \times n</math> или <math>n \times 1</math> — векторов-столбцов и векторов-строк соответственно, а все операции векторной алгебры могут быть сведены к алгебре матрицː например, сложение векторов совпадает со сложением матриц, а векторное умножение векторов может быть [[Векторное произведение#Преобразование к матричной форме|выражено]] как произведение [[Кососимметричная матрица|кососимметрической матрицы]], построенной из первого сомножителя и вектора-стоблца, представляющего второй сомножитель.

=== Тензоры ===
{{Main|Тензорное исчисление}}
[[Тензор]]ы возникли как естественное развитие представлений об объектах линейной алгебры: если скаляр в <math>n</math>-мерном представляется нульмерным объектом (состоящим только из одного элемента [[Поле (математика)|поля]]), вектор — одномерным массивом (матрицей размера <math>1 \times n</math>), линейное преобразование — [[Линейное преобразование#Матрица линейного оператора|двумерной матрицей]], то тензор может быть представлен как многомерный массив элементов поля размера <math>n \times n \times \cdots \times n</math> (количество измерений массива называют [[Валентность тензора|валентностью тензора]]), а скаляры, векторы, линейные операторы оказываются частными случаями тензора (с валентностями 0, 1 и 2 соответственно). Следующее обобщение, использованное в понятии тензора, взято из возможности представления [[линейный функционал|линейного функционала]] как [[ковектор]]а и идея двойственности между пространством и его [[Сопряжённое пространство|сопряжением]] — пространством его линейных функционалов; используя эту возможность, тензор валентности <math>r</math> рассматривается как <math>l</math> раз [[Ковариантность и контравариантность (математика)|контравариантный]], то есть, рассматриваемый соответствующими компонентами в «обычном» базисе, и <math>k</math> раз [[Ковариантность и контравариантность (математика)|ковариантный]], то есть, с компонентами в сопряжённом пространстве (<math>r=k+l</math>, «тензор ранга <math>(l, k)</math>»).

В [[Тензорная алгебра|тензорной алгебре]] вводятся и изучаются линейные операции над тензорами, такие, как умножение на скаляр, сложение, [[Свёртка тензора|свёртка]]. Особую роль играет операция [[Тензорное произведение|тензорного произведения]] (<math>\otimes</math>), обобщение которой на линейные пространства позволило обобщить и определение тензора: рассматривать тензор ранга <math>(l, k)</math> в линейном пространстве <math>V</math> как элемент тензорного произведения <math>k</math> экземпляров <math>V</math> и <math>l</math> экземпляров [[Сопряжённое пространство|сопряжённого]] ему <math>V^*</math>:
: <math> \begin{matrix} \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V} & \otimes  & \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*} \\ k & & l \end{matrix}</math>.

=== Квадратичные и билинейные формы ===
{{main|Квадратичная форма|Билинейная форма}}
Алгебраические формы ([[Однородный многочлен|однородные многочлены]] на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) относятся к [[полилинейная алгебра|полилинейной алгебре]], но квадратичные, билинейные формы, и некоторые специальные виды форм ([[полуторалинейная форма|полуторалинейные]], [[Эрмитова форма|эрмитовы]]) важны также в чисто линейной алгебре. Значение билинейных и квадратичных форм заключается в том, что они выражаются матрицами, как и линейные операторы.
Наиболее детально изучены свойства симметричных <math>(B(x,y)=B(y,x))</math> и кососимметричных <math>(B(x,y)= - B(y,x))</math> билинейных форм.

=== Векторные пространства ===
{{Main|Векторное пространство}}
Все математические структуры, изучаемые в линейной алгебре (векторы, тензоры, матрицы, алгебраические формы), а также операции над ними, универсализированы в [[Общая алгебра|общеалгебраическом]] понятии векторного (линейного) пространства. [[Векторное пространство]] <math>\langle V, \mathfrak F, +, \cdot \rangle</math> определяется как [[Алгебра (универсальная алгебра)|алгебра]] над произвольным множеством элементов <math>V</math>, называемых ''векторами'', и произвольным [[Поле (алгебра)|полем]] <math>\mathfrak F</math>, элементы которого называются ''скалярами'', притом векторы с операцией сложения векторов <math>\langle V, + \rangle</math> образуют [[Абелева группа|абелеву группу]], и определена операция умножения векторов на скаляр: <math>\cdot : \mathfrak F \times V \to V</math> такая, что выполнены следующие свойства (<math>1, \alpha, \beta \in \mathfrak F, \, \mathbf v, \mathbf u \in V</math>):
: <math>1 \cdot \mathbf v = \mathbf v</math>,
: <math>\alpha \cdot (\mathbf v + \mathbf u) = \alpha \cdot \mathbf v + \alpha \cdot \mathbf u</math>,
: <math>(\alpha + \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot \mathbf v + \beta \cdot \mathbf v</math>,
: <math>(\alpha \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot (\beta \cdot \mathbf v)</math>.

В качестве поля иногда специально рассматриваются поле вещественных чисел (тогда говорят о вещественном векторном пространстве) или поле [[Комплексное число|комплексных чисел]] (комплексное векторное пространство) с обычными операциями сложения и умножения, в частности, в теории [[Выпуклое множество|выпуклых множеств]] многие результаты формулируются именно для вещественных или комплексных векторных пространств<ref name="МЭ-В">{{Из|МЭ|заглавие=Векторное пространство|автор=Кадец М. И.}}</ref>. Но значительная часть утверждений и большинство конструкций действенны для произвольных полей, более того, многие результаты линейной алгебры, полученные для векторных пространств, в XX веке обобщены до [[Унитарный модуль|унитарных модулей]] над некоммутативными [[Тело (алгебра)|телами]] и даже для произвольных [[Модуль над кольцом|модулей над кольцами]] или модулей с определёнными ограничениями.

Линейные комбинации векторов — конечные суммы вида <math>\alpha_1 \mathbf v_1 + \dots + \alpha_n \mathbf v_n</math>, для совокупности векторов вводится линейной независимости (если существует нетривиальная линейная комбинация, обращающаяся в нуль абелевой группы пространства), вводится понятие [[Базис (математика)|базиса]] как максимальной линейно-независимой совокупности, показывается, что мощность базиса (называемая [[Размерность векторного пространства|размерностью векторного пространства]]) не зависит от его выбора.

Дальнейшие обобщения векторных пространств, такие, как наделение их [[полунорма]]ми, [[Норма (математика)|нормами]], [[Метрика (метрическая геометрия)|метриками]], [[Топология (семейство множеств)|топологиями]], изучаются в [[Функциональный анализ|функциональном анализе]].

=== Линейные отображения ===
{{Main|Линейное отображение}}
Подобно теориям других алгебраических структур, линейная алгебра изучает отображения между векторными пространствами, которые сохраняют структуру векторного пространства. Линейное отображение (линейное преобразование, линейный оператор) произвольных векторных пространств над одним полем <math>L: V \to U</math> — отображение, сохраняющее линейность:
: <math>L (\mathbf v_1 + \mathbf v_2) = L (\mathbf v_1) + L (\mathbf v_2)</math>,
: <math>L (\alpha \cdot \mathbf v) = \alpha \cdot L (\mathbf v)</math>.

Когда между двумя векторными пространствами существует взаимно-однозначное отображение, являющееся линейным, то эти пространства называются [[Изоморфизм|изоморфными]]; многие свойства векторных пространств сохраняются при изоморфных преобразованиях ([[Инвариант (математика)|инвариантны]] относительно изоморфизма).

Над классом всех линейных отображений данных векторных пространств можно определить структуру векторного пространства. Линейные отображения конечномерных векторных пространств могут быть записаны в матричной форме и их свойства уже изучаются средствами матриц{{Переход|#Матрицы и определители}}.

=== Собственные векторы и собственные числа ===
[[Файл:Eigenvectors.gif|thumb|Синие и сиреневые векторы, сохраняющие направление при линейном преобразовании — собственные, красные — нет]]
{{main|Собственный вектор}}
В общем случае действие линейных отображений может быть довольно сложным. Важной и распространённой задачей является нахождение такого базиса векторного пространства <math>V</math>, в котором матрица данного линейного отображения <math>L : V \rightarrow V</math> имеет наиболее простой вид. При решении этой задачи ключевую роль играют [[инвариантное подпространство|инвариантные подпространства]] линейного отображения <math>L</math> — подпространства, [[Образ (математика)|образ]] которых при отображении <math>L</math> вложен в себя. Если найдены инвариантные подпространства ненулевой размерности <math>W_1, \ldots, W_k</math> (то есть, выполнено <math>L(W_i) \subset W_i</math>), [[Прямая сумма#Прямая сумма конечного числа подпространств|прямая сумма]] которых составляет всё пространство <math>V</math>, то матрица отображения <math>L</math> имеет блочно-диагональный вид с блоками порядков <math>n_1, \ldots, n_k</math>, <math>n_i = \dim W_i</math>, на главной диагонали, если выбрать базис состоящим из <math>k</math> групп векторов, где <math>i</math>-ая группа является базисом в подпространстве <math>W_i</math>.

Простейшим случаем инвариантного подпространства является одномерное инвариантное подпространство <math>W</math>, которое можно задать с помощью одного (любого) ненулевого вектора <math>x \in W</math>. В этом случае условие вложенности образа подпространства в себя принимает вид <math>L(x) {=} \lambda x</math> с некоторым числом <math>\lambda</math>; такая конструкция приводит к определению собственного вектора и собственного числа: если для некоторого вектора <math>x \neq 0</math> и числа <math>\lambda</math> выполнено равенство <math>L(x) {=} \lambda x</math>, то <math>\lambda</math> называется ''собственным числом'' отображения <math>L</math>, а вектор <math>x</math> называется его ''собственным вектором''. Собственные числа линейного отображения определены однозначно, а собственные векторы — с точностью до пропорциональности, то есть до умножения на произвольное ненулевое число.

В случае, если отображение имеет набор <math>n</math> линейно независимых собственных векторов, число которых <math>n</math> равно размерности пространства <math>V</math>, из них можно составить базис (называемый ''собственным базисом'' данного отображения), в котором матрица отображения диагональна, при этом на главной диагонали стоят собственные числа. Такие линейные отображения называются ''диагонализируемыми''. Достаточным (но не необходимым) условием диагонализируемости является наличие <math>n</math> различных собственных чисел.

=== Жорданова нормальная форма ===
{{Main|Жорданова матрица}}
{{Пустой раздел|дата=2016-10-31}}

== Применение ==

=== Решение систем линейных алгебраических уравнений ===
{{main|Система линейных алгебраических уравнений}}
[[Файл:Secretsharing-3-point.png|thumb|right|200px|Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор [[Плоскость (геометрия)|плоскостей]]. Точка пересечения является решением.]]
Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными — это система уравнений вида
: <math>
\begin{cases}
    a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
    a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\
    \dots\\
    a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
</math>

Она может быть представлена [[Матрица (математика)#Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений|в матричной форме]] как:
: <math>
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix} 
</math>
или:
: <math>Ax = b</math>.
{{Дополнить раздел|дата=2013-04-30}}

=== Теория представлений ===
{{Main|Теория представлений}}
{{Пустой раздел|дата=2016-10-31}}

=== Линейное программирование ===
{{Main|Линейное программирование}}
{{Пустой раздел|дата=2016-10-31}}

=== Эконометрика ===
{{В планах|дата=2016-10-31}}

=== Квантовая механика ===
{{Дополнить раздел|дата=2016-10-31}}

<!--== Приложения ==
Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности с теорией линейных представлений групп<ref name="МЭ"/>.

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа<ref name="БСЭ"/>.

== См. также ==
* [[Собственные векторы, значения и пространства]]
* [[Матрица перехода]]
* [[Симплекс-метод]]
* [[Линейная регрессия]]
* [[Аналитическая геометрия]]
-->

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор         = [[Николя Бурбаки|Бурбаки]].
 |часть         = Линейная и полилинейная алгебра
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Очерки по истории математики
 |оригинал      = 
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = [[Башмакова, Изабелла Григорьевна|И. Г. Башмакова]] (перевод с французского) 
 |издание       = 
 |место         = М
 |издательство  = Издательство иностранной литературы
 |год           = 1963
 |страницы      = 73—86
 |страниц       = 292
 |серия         = Элементы математики
 |тираж         = 
 |ref           = Бурбаки
}}
* {{книга
|автор=[[Гантмахер, Феликс Рувимович|Гантмахер Ф. Р.]]
|заглавие=Теория матриц 
|издательство=М.: Наука
|год=1966
|ref = Гантмахер
}}
* {{книга
 |автор         = [[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]] 
 |заглавие      = Лекции по линейной алгебре
 |ссылка        =https://www.mccme.ru/free-books/linalg/gelfand.pdf 
 |викитека      = 
 |ответственный=|издание       = 5-е, исправленное
 |место         = [[Москва|М.]]
 |издательство  = Добросвет, [[МЦНМО]]
 |год           = 1998 
 |страницы=|страниц       = 320 
 |isbn          = 5-7913-0015-8
 |isbn2=|тираж         =5000 экз. 
 |ref           = Гельфанд 
}}
* {{книга
 |автор         = Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж.
 |часть         = Линейные структуры
 |заглавие      = Пути и лабиринты. Очерки по истории математики
 |оригинал      = Routes et dédales
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = Перевод с французского А. А. Брядинской под редакцией И. Г. Башмаковой
 |место         = М. 
 |издательство  = Мир
 |год           = 1986
 |страницы      = 394—402
 |страниц       = 432
 |серия         = Современная математика. Популярная серия
 |тираж         = 50000
 |ref           = Даан-Дальмедико
}}
* {{книга
 |автор         = Israel Kleiner
 |часть         = History of Linear Algebra
 |ссылка часть  = https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-8176-4685-1/page/1#page-1
 |заглавие      = A History of Abstract Algebra
 |ссылка        = https://archive.org/details/historyabstracta00klei_911
 |место         = [[Бостон|Boston]]
 |издательство  = Birkhäuser
 |год           = 2007
 |pages         = [https://archive.org/details/historyabstracta00klei_911/page/n88 79]—89
 |allpages      = 168
 |isbn          = 978-0-8176-4684-4
 |doi           = 10.1007/978-0-8176-4685-1_5
 |тираж         = 
 |ref           = Клейнер
}}
* {{книга
 |автор         = [[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]], [[Манин, Юрий Иванович|Манин Ю. И.]] 
 |заглавие      = Линейная алгебра и геометрия
 |издание       = 
 |место         = М. 
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1986
 |страниц       = 304
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Кострикин, Манин
}}
* {{книга
 |автор         = [[Мальцев, Анатолий Иванович|Мальцев А. И.]] 
 |заглавие      = Основы линейной алгебры
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |издание       = 3-е
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1970
 |страниц       = 400
 |тираж         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Мальцев
}}
* {{книга
 |автор         = [[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]] 
 |заглавие      = Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II)
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |издание       = 2-е
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1986
 |страниц       = 400
 |тираж         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Постников
}}
* {{книга
 |автор         = [[Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов В. В.]]
 |заглавие      = Задачи и теоремы линейной алгебры
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1996
 |страниц       = 304
 |серия         = Физматлит
 |isbn          = 5-02-014727-3
 |тираж         = 
 |ref           = Прасолов
}}
* {{книга
 |автор         = Стренг Г.
 |заглавие      = Линейная алгебра и её применения
 |оригинал      = Linear Algebra and Its Applications
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = [[Мир (издательство)|Мир]]
 |год           = 1980
 |страниц       = 454
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Стренг
}}
* {{книга
 |автор         = [[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Фаддеев Д. К.]] 
 |заглавие      = Лекции по алгебре
 |издание       = 5-е
 |место         = СПб.
 |издательство  = [[Лань (издательство)|Лань]]
 |год           = 2007
 |страниц       = 416
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Фаддеев 
}}
* {{книга
 |автор         = [[Халмош, Пол Ричард|Халмош П.]]
 |заглавие      = Конечномерные векторные пространства
 |оригинал      = Finite-Dimensional Vector Spaces
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = [[Физматгиз]]
 |год           = 1963
 |страниц       = 263
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Халмош
}}
* {{книга
 |автор         = [[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О. 
 |заглавие      = Линейная алгебра и геометрия 
 |издание       = 
 |место         = М. 
 |издательство  = [[Физматлит]] 
 |год           = 2009 
 |страниц       = 511 
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Шафаревич, Ремизов
}}

{{Внешние ссылки}}
{{Разделы математики}}

[[Категория:Линейная алгебра|*]]