Просмотр кода страницы Магический квадрат

'''Маги́ческий''', или '''волше́бный квадра́т''' — квадратная таблица <math>n\times n</math>, заполненная <math>n^2</math> различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется '''полумагическим'''. '''Нормальным''' называется магический квадрат, заполненный [[натуральное число|натуральными числами]] от <math>1</math> до <math>n^2</math>. Магический квадрат называется '''ассоциативным''' или '''симметричным''', если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна <math>n^2+1</math>.

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков <math>n\ge 1</math>, за исключением <math>n=2</math>, хотя случай <math>n=1</math> тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

<div class="center">
{| style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:14em;height:10em;table-layout:fixed;"
|-
|
|
|bgcolor=#f8f8f8|2
|bgcolor=#f8f8f8|7
|bgcolor=#f8f8f8|6
|<math>\rightarrow</math>
|15
|-
|
|
|bgcolor=#f8f8f8|9
|bgcolor=#f8f8f8|5
|bgcolor=#f8f8f8|1
|<math>\rightarrow</math>
|15
|-
|
|
|bgcolor=#f8f8f8|4
|bgcolor=#f8f8f8|3
|bgcolor=#f8f8f8|8
|<math>\rightarrow</math>
|15
|-
|
|<math>\swarrow</math>
|<math>\downarrow</math>
|<math>\downarrow</math>
|<math>\downarrow</math>
|<math>\searrow</math>
|
|-
|15
|
|15
|15
|15
|
|15
|}
</div>

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, ''M''. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от '''n''' и определяется формулой
: <math>M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}</math>

{{Навигационная полоса|скрыть = скрыть|заглавие = Почему это так?|содержание =

Пусть имеется квадрат со стороной <math>n . </math> Тогда в нём будет <math>n^2</math> чисел.

С одной стороны, сумма чисел <math> S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n^2 = \cfrac {n^2} {2} ( n^2 + 1 ) . </math>

С другой стороны, <math> S = nM . </math>

Приравняв, получим искомую формулу.

}}

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице ({{OEIS|A006003}}):

{| class="wikitable"
|- align="center"
! Порядок <math>n</math>
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
|- align="center"
! <math>M (n)</math>
| 15
| 34
| 65
| 111
| 175
| 260
| 369
| 505
| 671
| 870
| 1105
|}
<math>4+5+6=15</math>

<math>7+8+9+10=34</math>

<math>11+12+13+14+15=65</math>

<math>16+17+18+19+20+21=111</math>

<math>22+23+24+25+26+27+28=175</math>

== Исторически значимые магические квадраты ==

=== Квадрат Ло Шу ===
[[Файл:Magic square Lo Shu.png|left|thumb|Изображение Ло Шу в книге эпохи [[Мин (династия)|Мин]]]]
[[Файл:Lo Shu 3x3 magic square.svg|left|thumb]]
Ло Шу ({{Китайский|洛書|洛书|luò shū}}) Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в [[Древний Китай|Древнем Китае]], первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н. э.

{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:10em;height:10em;table-layout:fixed;"
|----
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''4'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''2'''
|----
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''7'''
|----
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''6'''
|}
В Западноевропейской традиции этот квадрат называется «Печать Сатурна» (Sigillum Saturni). Параметры квадрата: 3, 9, 15, 45 (3х3, 9 ячеек, сумма по всем направлениям 15, сумма всех чисел в квадрате — 45).<ref name=":0">{{Книга|автор=Афанасий Кирхер|заглавие=Арифмология|ответственный=|издание=|место=ROMAE|издательство=Typographia Varesij|год=1665|страницы=64—72|страниц=317|isbn=|isbn2=|ссылка часть=https://play.google.com/books/reader?id=qB-pOIwtLYYC&hl=ru&printsec=frontcover&pg=GBS.PA64}}</ref>

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

=== Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия) ===
Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе [[Кхаджурахо]]:
{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:12em;height:12em;table-layout:fixed;"
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''12'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''14'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''11'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''10'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''6'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''4'''
|}

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых [[#Пандиагональный магический квадрат|«дьявольских» квадратов]]<ref>{{Cite web |url=http://telesmi.narod.ru/jupiter/magicnumbers1.htm |title=Посвящённые Юпитеру |accessdate=2011-02-08 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110208011809/http://telesmi.narod.ru/jupiter/magicnumbers1.htm |archivedate=2011-02-08 |deadlink=no }}</ref>.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

=== Магический квадрат Ян Хуэя (Китай) ===
В XIII в. математик [[Ян Хуэй]] занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37)<ref>В. Е. Еремеев ''«[http://science.rsuh.ru/eremeev/china/index.htm Традиционная наука Китая] {{Wayback|url=http://science.rsuh.ru/eremeev/china/index.htm |date=20080225060319 }}»'', Глава 5: ''Математика''.</ref>:

{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:16em;height:16em;table-layout:fixed;"
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''27'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''29'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''4'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''36'''
|----
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''20'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''22'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''31'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''18'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''32'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''25'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''21'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''23'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''14'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''34'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''30'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''12'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''28'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''6'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''17'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''26'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''19'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''24'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''33'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''35'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''10'''
|}
Сумма всех 36 чисел равна 666

666 : 6 = 111

=== Квадрат Альбрехта Дюрера ===
[[Файл:Albrecht Dürer - Melencolia I (detail).jpg|right|thumb|Фрагмент гравюры Дюрера «[[Меланхолия (гравюра Дюрера)|Меланхолия]]»]]
Магический квадрат 4×4, изображённый на [[гравюра|гравюре]] [[Дюрер, Альбрехт|Альбрехта Дюрера]] «[[Меланхолия (гравюра Дюрера)|Меланхолия I]]», считается самым ранним в европейском искусстве<ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/dyurer.htm Магический квадрат Дюрера] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/dyurer.htm |date=20110701231532 }}»''</ref>. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры ([[1514]]).
{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:12em;height:12em;table-layout:fixed;"
|----
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''13'''
|----
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''10'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''8'''
|----
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''6'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''12'''
|----
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''4'''
| align="center" bgcolor="#ccccaa" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#ccccaa" | '''14'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''1'''
|}

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Данный квадрат является «Печатью Юпитера» (Sigillum Iouis), имеет параметры: 4, 16, 34, 136 (размер 4х4, 16 ячеек, сумма по направлениям — 34, сумма всех чисел равна 136).<ref name=":0" />

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

=== Магические квадраты Афанасия Кирхера<ref name=":0" /> ===

==== Квадрат Марса ====
Квадрат или печать Марса (Sigillum Martis) имеет параметры: 5, 25, 65, 325 (размер 5х5, 25 ячеек, сумма по направлениям — 65, сумма всех чисел равна 325).
{| border="5" cellspacing="1" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''24'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''20'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''25'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''17'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''21'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''18'''
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''22'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''23'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''19'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''15'''

|}
350 : 5 = 70

==== Квадрат Солнца ====
Печать Солнца (Sigillum Solis) имеет параметры: 6, 36, 111, 666 (размер 6х6, 36 ячеек, сумма по направлениям — 111, сумма всех чисел равна 666).
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''32'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''34'''
| align="center" bgcolor="" | '''35'''
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''27'''
| align="center" bgcolor="" | '''28'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''30'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''19'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''23'''
| align="center" bgcolor="" | '''24'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''18'''
| align="center" bgcolor="" | '''20'''
| align="center" bgcolor="" | '''22'''
| align="center" bgcolor="" | '''21'''
| align="center" bgcolor="" | '''17'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''25'''
| align="center" bgcolor="" | '''29'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''26'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''36'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''33'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''31'''
|}
666 : 6 = 111

==== Квадрат Венеры ====
Печать Венеры (Sigillum Veneris) имеет параметры: 7, 49, 175, 1225 (размер 7х7, 49 ячеек, сумма по направлениям — 175, сумма всех чисел — 1225).
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''22'''
| align="center" bgcolor="" | '''47'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''41'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''35'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''23'''
| align="center" bgcolor="" | '''48'''
| align="center" bgcolor="" | '''17'''
| align="center" bgcolor="" | '''42'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''29'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''30'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''24'''
| align="center" bgcolor="" | '''49'''
| align="center" bgcolor="" | '''18'''
| align="center" bgcolor="" | '''36'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''31'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''25'''
| align="center" bgcolor="" | '''43'''
| align="center" bgcolor="" | '''19'''
| align="center" bgcolor="" | '''37'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''38'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''32'''
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''26'''
| align="center" bgcolor="" | '''44'''
| align="center" bgcolor="" | '''20'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''21'''
| align="center" bgcolor="" | '''39'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''33'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''27'''
| align="center" bgcolor="" | '''45'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''46'''
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''40'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''34'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''28'''
|}
1225 : 7 = 175

==== Квадрат Меркурия ====
Печать Меркурия (Sigillum Mercurio) имеет параметры: 8, 64, 260, 2080 (размер 8х8, 64 ячейки, сумма по направлениям — 260, сумма всех чисел — 2080).
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''58'''
| align="center" bgcolor="" | '''59'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''62'''
| align="center" bgcolor="" | '''63'''
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''49'''
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''52'''
| align="center" bgcolor="" | '''53'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''56'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''41'''
| align="center" bgcolor="" | '''23'''
| align="center" bgcolor="" | '''22'''
| align="center" bgcolor="" | '''44'''
| align="center" bgcolor="" | '''45'''
| align="center" bgcolor="" | '''19'''
| align="center" bgcolor="" | '''18'''
| align="center" bgcolor="" | '''48'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''32'''
| align="center" bgcolor="" | '''34'''
| align="center" bgcolor="" | '''35'''
| align="center" bgcolor="" | '''29'''
| align="center" bgcolor="" | '''28'''
| align="center" bgcolor="" | '''38'''
| align="center" bgcolor="" | '''39'''
| align="center" bgcolor="" | '''25'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''40'''
| align="center" bgcolor="" | '''26'''
| align="center" bgcolor="" | '''27'''
| align="center" bgcolor="" | '''37'''
| align="center" bgcolor="" | '''36'''
| align="center" bgcolor="" | '''30'''
| align="center" bgcolor="" | '''31'''
| align="center" bgcolor="" | '''33'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''17'''
| align="center" bgcolor="" | '''47'''
| align="center" bgcolor="" | '''46'''
| align="center" bgcolor="" | '''20'''
| align="center" bgcolor="" | '''21'''
| align="center" bgcolor="" | '''43'''
| align="center" bgcolor="" | '''42'''
| align="center" bgcolor="" | '''24'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''55'''
| align="center" bgcolor="" | '''54'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''51'''
| align="center" bgcolor="" | '''50'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''64'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''61'''
| align="center" bgcolor="" | '''60'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''57'''
|}
2080 : 8 =  260

==== Квадрат Луны ====
Печать Луны (Sigillum Lune) имеет параметры : 9, 81, 369, 3321 (размер 9х9, 81 ячейка, сумма по направлениям — 369, сумма всех чисел — 3321).
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''37'''
| align="center" bgcolor="" | '''78'''
| align="center" bgcolor="" | '''29'''
| align="center" bgcolor="" | '''70'''
| align="center" bgcolor="" | '''21'''
| align="center" bgcolor="" | '''62'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''54'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''38'''
| align="center" bgcolor="" | '''79'''
| align="center" bgcolor="" | '''30'''
| align="center" bgcolor="" | '''71'''
| align="center" bgcolor="" | '''22'''
| align="center" bgcolor="" | '''63'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''46'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''47'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''39'''
| align="center" bgcolor="" | '''80'''
| align="center" bgcolor="" | '''31'''
| align="center" bgcolor="" | '''72'''
| align="center" bgcolor="" | '''23'''
| align="center" bgcolor="" | '''55'''
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''48'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''40'''
| align="center" bgcolor="" | '''81'''
| align="center" bgcolor="" | '''32'''
| align="center" bgcolor="" | '''64'''
| align="center" bgcolor="" | '''24'''
| align="center" bgcolor="" | '''56'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''57'''
| align="center" bgcolor="" | '''17'''
| align="center" bgcolor="" | '''49'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''41'''
| align="center" bgcolor="" | '''73'''
| align="center" bgcolor="" | '''33'''
| align="center" bgcolor="" | '''65'''
| align="center" bgcolor="" | '''25'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''26'''
| align="center" bgcolor="" | '''58'''
| align="center" bgcolor="" | '''18'''
| align="center" bgcolor="" | '''50'''
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''42'''
| align="center" bgcolor="" | '''74'''
| align="center" bgcolor="" | '''34'''
| align="center" bgcolor="" | '''66'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''67'''
| align="center" bgcolor="" | '''27'''
| align="center" bgcolor="" | '''59'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''51'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''43'''
| align="center" bgcolor="" | '''75'''
| align="center" bgcolor="" | '''35'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''36'''
| align="center" bgcolor="" | '''68'''
| align="center" bgcolor="" | '''19'''
| align="center" bgcolor="" | '''60'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''52'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''44'''
| align="center" bgcolor="" | '''76'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''77'''
| align="center" bgcolor="" | '''28'''
| align="center" bgcolor="" | '''69'''
| align="center" bgcolor="" | '''20'''
| align="center" bgcolor="" | '''61'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''53'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''45'''
|}
3321 : 9 = 369

=== Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл. ===
Если в квадратную матрицу '''n''' × '''n''' заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — '''нетрадиционный'''. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные [[Простое число|простыми числами]] (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок '''n=3''' (квадрат Дьюдени); второй (размером '''4x4''') — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия<ref>А. К. Дьюдени ''«[http://www.codenet.ru/progr/alg/chis.php Просеивание числового песка в поисках простых чисел] {{Wayback|url=http://www.codenet.ru/progr/alg/chis.php |date=20080921042833 }}»''</ref>:

{| align="center"
|-
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:8em;height:8em"
|----
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''67'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''43'''
|----
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''37'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''61'''
|----
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''31'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''73'''
| align="center" bgcolor="#aaff00" | '''7'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:8em"
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''3'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''61'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''19'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''37'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''43'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''31'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''41'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''73'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''29'''
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''67'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''17'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''23'''
| align="center" bgcolor="#ffc111" | '''13'''
|}
|}

Есть еще несколько подобных примеров:

{| align="left" border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:8em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
| 17 || 89 || 71
|-
| 113 || 59 || 5
|-
| 47 || 29 || 101
|}
{| align="center" border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:30em;height:8em;table-layout:fixed;"
|-
|1||823||821||809||811||797||19||29||313||31||23||37
|-
|89||83||211||79||641||631||619||709||617||53||43||739
|-
|97||227||103||107||193||557||719||727||607||139||757||281
|-
|223||653||499||197||109||113||563||479||173||761||587||157
|-
|367||379||521||383||241||467||257||263||269||167||601||599
|-
|349||359||353||647||389||331||317||311||409||307||293||449
|-
|503||523||233||337||547||397||421||17||401||271||431||433
|-
|229||491||373||487||461||251||443||463||137||439||457||283
|-
|509||199||73||541||347||191||181||569||577||571||163||593
|-
|661||101||643||239||691||701||127||131||179||613||277||151
|-
|659||673||677||683||71||67||61||47||59||743||733||41
|-
|827||3||7||5||13||11||787||769||773||419||149||751
|}

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

== Квадраты с дополнительными свойствами ==

=== Пандиагональный магический квадрат ===
'''Пандиагональный''' или '''дьявольский квадрат''' — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по {{не переведено|ломаная диагональ|ломаным диагоналям|en|Broken diagonal}} (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в [[тор (поверхность)|тор]]) в обоих направлениях.

Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 в {{iw|Cстандартная форма Френикля| стандартной форме Френикля |fr| forme standard de Frénicle }} — с точностью до поворотов и отражений. Пандиагональный квадрат сохраняет свойства при [[Параллельный перенос|параллельном переносе]] строк или столбцов. Поэтому единицу можно переместить в левый верхний угол. Таких пандиагональных квадратов на плоскости 12. Они приведены ниже:
{| align="center"
|-
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''

|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
|}
|}
{| align="center"
|-
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
|}
|}
{| align="center"
|-
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
|}
| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
|}

| style="padding:0 1em" |
{| border="5" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:9em;height:9em"
|----
| align="center" bgcolor="" | '''1'''
| align="center" bgcolor="" | '''12'''
| align="center" bgcolor="" | '''6'''
| align="center" bgcolor="" | '''15'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''14'''
| align="center" bgcolor="" | '''7'''
| align="center" bgcolor="" | '''9'''
| align="center" bgcolor="" | '''4'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''11'''
| align="center" bgcolor="" | '''2'''
| align="center" bgcolor="" | '''16'''
| align="center" bgcolor="" | '''5'''
|----
| align="center" bgcolor="" | '''8'''
| align="center" bgcolor="" | '''13'''
| align="center" bgcolor="" | '''3'''
| align="center" bgcolor="" | '''10'''
|}
|}

На торе каждой четвёрке таких квадратов соответствует один квадрат. Это происходит потому, что если разрезать тор, начиная с единичной клетки как угловой, то это можно сделать четырьмя способами, сопоставляя каждому из четырёх углов единичной клетки угол плоского квадрата. Поэтому пандиагональных квадратов на торе всего 3. Для изображения торического квадрата на плоскости можно использовать любой из соответствующей ему четвёрки.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности <math>n=4k+2</math> (<math>k=1,2,3,\dots</math>).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют '''совершенными'''. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные<ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh.htm Совершенные магические квадраты] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh.htm |date=20110428082728 }}»''</ref>.

<!-- Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600{{Нет АИ|27|05|2019}}.-->С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:13em;height:13em;table-layout:fixed;"
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''1'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''15'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''24'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''8'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''17'''
|----
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''9'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''18'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''2'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''25'''
|----
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''12'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''21'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''10'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''19'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''3'''
|----
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''20'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''4'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''13'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''22'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''6'''
|----
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''23'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''7'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''16'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''5'''
| align="center" bgcolor="#ccaaaa" | '''14'''
|}

[[Файл:Համաանկյունագծային քառակուսու կոտրված անկյունագծեր.JPG|centre|thumb|Разломанные диагонали пандиагонального квадрата]]

Если пандиагональный квадрат ещё и ассоциативный, то он носит название '''идеальный'''<ref name="9p18k">Г.Александров ''«[http://renuar911.narod.ru/Ideal_9_plus_18k.htm Идеальные магические квадраты порядка <math>n = 9 + 18 k</math>, где <math>k=2,3,4,\dots</math>] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/Ideal_9_plus_18k.htm |date=20121120085756 }}»''</ref>. Пример идеального магического квадрата:

{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:20em;height:12em;table-layout:fixed;"
|-----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 21
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 32
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 70
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 26
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 28
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 69
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 22
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 36
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 65
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 40
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 81
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 2
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 39
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 77
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 7
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 44
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 73
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 6
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 62
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 10
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 51
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 58
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 18
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 47
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 57
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 14
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 52
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 66
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 23
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 34
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 71
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 19
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 33
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 67
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 27
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 29
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 4
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 45
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 74
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 3
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 41
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 79
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 8
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 37
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 78
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 53
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 55
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 15
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 49
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 63
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 11
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 48
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 59
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 16
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 30
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 68
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 25
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 35
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 64
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 24
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 31
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 72
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 20
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 76
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 9
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 38
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 75
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 5
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 43
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 80
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 1
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 42
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 17
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 46
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 60
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 13
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 54
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 56
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 12
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 50
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 61
|----
|}

Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка '''n = 4k+2''' и квадрата порядка '''n = 4'''. В то же время существуют идеальные квадраты порядка '''n = 8'''.
Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка '''n = 8k, k=5,7,9…'''и порядка '''n = 8^p, p=2,3,4…''' В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка '''n = 4k, k = 2, 3, 4,…'''

== Построение магических квадратов ==

=== Метод террас ===
''Описан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц»''.

Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером n на n. Пристроим к этой таблице со
всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.

{| cellpadding="10" align="center"
|-
|
{| style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:18em;height:18em;table-layout:fixed;"
|-
|bgcolor=#f8f8f8|<math>Y</math>
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|4
||
||
||
||
||
|bgcolor=#eeeegg|5
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|3
||
||
||
||
|bgcolor=#ddddff|4
||
|bgcolor=#ddddff|10
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|2
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|3
||
|bgcolor=#f8f8f8|9
||
|bgcolor=#f8f8f8|15
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|1
||
||
|bgcolor=#ffffdd|2
||
|bgcolor=#f8f8f8|8
||
|bgcolor=#f8f8f8|14
||
|bgcolor=#ddffdd|20
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|0
||
|bgcolor=#ffffdd|1
||
|bgcolor=#f8f8f8|7
||
|bgcolor=#f8f8f8|13
||
|bgcolor=#f8f8f8|19
||
|bgcolor=#ddffdd|25
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-1
||
||
|bgcolor=#ffffdd|6
||
|bgcolor=#f8f8f8|12
||
|bgcolor=#f8f8f8|18
||
|bgcolor=#ddffdd|24
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-2
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|11
||
|bgcolor=#f8f8f8|17
||
|bgcolor=#f8f8f8|23
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-3
||
||
||
||
|bgcolor=#ffdddd|16
||
|bgcolor=#ffdddd|22
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-4
||
||
||
||
||
|bgcolor=#ffdddd|21
||
||
||
||
|-
||<font color=#ffffff>.</font>
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
||
|bgcolor=#f8f8f8|<math>X</math>
|bgcolor=#f8f8f8|4
|bgcolor=#f8f8f8|3
|bgcolor=#f8f8f8|2
|bgcolor=#f8f8f8|1
|bgcolor=#f8f8f8|0
|bgcolor=#f8f8f8|1
|bgcolor=#f8f8f8|2
|bgcolor=#f8f8f8|3
|bgcolor=#f8f8f8|4
|}
|}

Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним её диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до <math>N^2</math>.

После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.

{| cellpadding="10" align="center"
|-
|
{| style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:18em;height:18em;table-layout:fixed;"
|-
|bgcolor=#f8f8f8|<math>Y</math>
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|4
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|3
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|2
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|3
|bgcolor=#ffdddd|16
|bgcolor=#f8f8f8|9
|bgcolor=#ffdddd|22
|bgcolor=#f8f8f8|15
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|1
||
||
||
|bgcolor=#ddffdd|20
|bgcolor=#f8f8f8|8
|bgcolor=#ffdddd|21
|bgcolor=#f8f8f8|14
|bgcolor=#ffffdd|2
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|0
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|7
|bgcolor=#ddffdd|25
|bgcolor=#f8f8f8|13
|bgcolor=#ffffdd|1
|bgcolor=#f8f8f8|19
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-1
||
||
||
|bgcolor=#ddffdd|24
|bgcolor=#f8f8f8|12
|bgcolor=#ddddff|5
|bgcolor=#f8f8f8|18
|bgcolor=#ffffdd|6
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-2
||
||
||
|bgcolor=#f8f8f8|11
|bgcolor=#ddddff|4
|bgcolor=#f8f8f8|17
|bgcolor=#ddddff|10
|bgcolor=#f8f8f8|23
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-3
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
|bgcolor=#f8f8f8|-4
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
||<font color=#ffffff>.</font>
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|-
||
|bgcolor=#f8f8f8|<math>X</math>
|bgcolor=#f8f8f8|-4
|bgcolor=#f8f8f8|-3
|bgcolor=#f8f8f8|-2
|bgcolor=#f8f8f8|-1
|bgcolor=#f8f8f8|0
|bgcolor=#f8f8f8|1
|bgcolor=#f8f8f8|2
|bgcolor=#f8f8f8|3
|bgcolor=#f8f8f8|4
|}
|}
<br>
{| cellpadding="10" align="center"
|-
|
{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:10em;height:10em;table-layout:fixed;"
|-
|3||16||9||22||15
|-
|20||8||21||14||2
|-
|7||25||13||1||19
|-
|24||12||5||18||6
|-
|11||4||17||10||23
|}
|}
Кроме того, данный способ является верным и в том случае, если магический квадрат нужно составить не из чисел от 1 до N, но и от K до N, где 1 <= K< N.

=== Прочие способы ===
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.<ref>{{Cite web|work=Энциклопедия «Кругосвет»|url=http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm |title= Магический квадрат|archiveurl=https://web.archive.org/web/20020112102843/http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm|archivedate=2002-01-12}}</ref><ref>Н. Макарова ''«[http://www.natalimak1.narod.ru/metody1.htm Методы построения магических квадратов (обзорная статья)] {{Wayback|url=http://www.natalimak1.narod.ru/metody1.htm |date=20090425105539 }}»''</ref>
Найти все магические квадраты порядка <math>n</math> удается только для <math>n\le 4</math>, поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при <math>n>4</math>. Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами <math>(i,j)</math> (где <math>i</math> и <math>j</math> меняются от 1 до <math>n</math>) поставить число (Примечание: данная формула верна для всех квадратов нечётного порядка, кроме квадратов вида <math>n = 6k+3, k = 0, 1, 2...</math>. <!-- В этих квадратах сумма чисел на главной диагонали на N больше магической константы.)
: <math>1+((i+j-1+(n-1)/2)\bmod n)n+((i+2j+2)\bmod n).</math>{{нет АИ|29|11|2010}}-->

Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n x n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; нижняя левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1.

Также разработаны алгоритмы построения пандиагональных квадратов<ref>Г.Александров ''«[http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html Метод построения идеального магического квадрата нечётного порядка] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html |date=20080129060402 }}»''</ref><ref>Г.Александров
* ''«[http://renuar911.narod.ru/1.htm Идеальный panmagic] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/1.htm |date=20121103223011 }}»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/MS4k_pan.html Пандиагональный квадрат порядка 4k] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/MS4k_pan.html |date=20121103223025 }}»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/Pan_4k.htm Программа на Yabasic для построения пандиагонального квадрата порядка n = 4] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/Pan_4k.htm |date=20121103223030 }}»''</ref>
и идеальных магических квадратов 9x9.<ref>Г.Александров
* ''«[http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html Идеальный магический квадрат 9 x 9] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html |date=20121103223015 }}»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9_2.html Еще один идеальный квадрат 9 x 9] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9_2.html |date=20121103223020 }}»''</ref>
<ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm Магические квадраты девятого порядка] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm |date=20110414165912 }}»''</ref> Эти результаты позволяют строить идеальные магические квадраты порядков <math>n = 9 (2k + 1)</math> для <math>k=0,1,2,3,\dots</math>.<ref name="9p18k"/><ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal9.htm Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных девяти] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal9.htm |date=20110428081002 }}»''</ref> Существуют также общие методы компоновки идеальных магических квадратов нечётного порядка <math>n>3</math>.<ref>Г.Александров
* ''«[http://renuar911.narod.ru/IMSb.html Идеальные магические квадраты] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/IMSb.html |date=20080229074544 }}»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/IMS21_5.html Пять примеров идеальных магических квадратов 21x21] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/IMS21_5.html |date=20121120085827 }}»''
* ''«[http://renuar911.narod.ru/IMS-D.html Идеальные магические квадраты любого нечётного порядка n>3] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/IMS-D.html |date=20100712113937 }}»''</ref>
<ref>Н. Макарова
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm Идеальные магические квадраты. Метод качелей] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm |date=20110428081529 }}»''
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm Метод построения идеальных магических квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm |date=20110427192751 }}»''</ref>
Разработаны методы построения идеальных магических квадратов порядка '''n=8k, k=1,2,3…'''<ref>Н.Макарова ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm Метод построения идеальных квадратов порядка n = 8k] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm |date=20110427190357 }}»''</ref> и совершенных магических квадратов.<ref>Н. Макарова
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm Метод построения совершенных магических квадратов из обратимых] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm |date=20110427190457 }}»''
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/latsov.htm Метод построения совершенных магических квадратов с помощью обобщённых латинских квадратов] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/latsov.htm |date=20110427183456 }}»''
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh1.htm Построение совершенных магических квадратов методом качелей] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh1.htm |date=20110428082741 }}»''</ref>
Пандиагональные и идеальные квадраты четно-нечётного порядка удаётся скомпоновать лишь в том случае, если они нетрадиционные.<ref>Е.Слкуни ''«[http://www.iatp.am/slkuni/gre-la.htm Нетрадиционные пандиагональные магические квадраты 6-го порядка] {{Wayback|url=http://www.iatp.am/slkuni/gre-la.htm |date=20071102085841 }}»''</ref><ref>Н.Макарова
* ''«[http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm Нетрадиционные магические квадраты] {{Wayback|url=http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm |date=20080219005415 }}»''
* ''«[http://www.natalimak1.narod.ru/netradic1.htm Метод построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n=4k+2] {{Wayback|url=http://www.natalimak1.narod.ru/netradic1.htm |date=20110428084805 }}»''.</ref>
<ref>Г.Александров ''«[http://renuar911.narod.ru/ideal_netra.html Идеальный нетрадиционный магический квадрат порядка n=4k+2] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/ideal_netra.html |date=20121120090020 }}</ref> Тем не менее, можно находить почти пандиагональные квадраты<ref>Г.Александров ''»[http://renuar911.narod.ru/magicProstChetn.mht Почти пандиагональные магические квадраты порядка 4k+2] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/magicProstChetn.mht |date=20121120090033 }}"''</ref> Найдена особая группа идеально-совершенных магических квадратов (традиционных и нетрадиционных)<ref>Г.Александров ''«[http://renuar911.narod.ru/ideal_sov.html Идеальный совершенный магический квадрат четного порядка] {{Wayback|url=http://renuar911.narod.ru/ideal_sov.html |date=20121120085912 }}</ref>.

== Примеры более сложных квадратов ==
Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности.<ref>http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf{{Недоступная ссылка|date=2018-07|bot=InternetArchiveBot }}</ref> Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее, что иллюстрируют следующие схемы:

{| align="center"
| style="padding:0 1em" |
{| border="3" cellspacing="0" cellpadding="2" style="text-align:center;width:11em;height:8em"
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 18
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 24
| align="center" bgcolor="#fff000" | 5
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 6
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 12
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 22
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 3
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 9
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 15
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 16
|-----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 1
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 7
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 13
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 19
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 25
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 10
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''11'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''17'''
| align="center" bgcolor="#ffc000" | '''23'''
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 4
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 14
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 20
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 21
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 2
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 8
|}
| style="padding:1 2em" |
{| border="3" cellspacing="1" cellpadding="2" style="text-align:center;width:17em;height:8em"
|-----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 64
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 2
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 3
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 61
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 60
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 6
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 7
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 57
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 9
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 55
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 54
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 12
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 13
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 51
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 50
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 16
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 17
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 47
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 46
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 20
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 21
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 43
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 42
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 24
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 40
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 26
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 27
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 37
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 36
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 30
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 31
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 33
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 32
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 34
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 35
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 29
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 28
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 38
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 39
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 25
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 41
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 23
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 22
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 44
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 45
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 19
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 18
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 48
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 49
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 15
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 14
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 52
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 53
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 11
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 10
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 56
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 8
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 58
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 59
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 5
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 4
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 62
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 63
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 1
|}
| style="padding:0 2em" |
{| align="center" border="5" style="text-align:center;width:23em;height:12em;table-layout:fixed;"
|-----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 100
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 99
| align="center" bgcolor="#afff00" | 93
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 7
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 5
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 6
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 4
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 8
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 92
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 91
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 11
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 89
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 88
| align="center" bgcolor="#afff00" | 84
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 16
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 15
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 17
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 83
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 82
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 20
|----
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 30
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 22
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 78
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 77
| align="center" bgcolor="#afff00" | 75
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 26
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 74
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 73
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 29
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 21
|----
| align="center" bgcolor="#afff00" | 61
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 39
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 33
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 67
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 66
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 65
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 64
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 38
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 32
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 40
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 60
| align="center" bgcolor="#afff00" | 52
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 48
| align="center" bgcolor="#fc" | 44
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 56
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 55
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 47
| align="center" bgcolor="#fc0000" | 43
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 49
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 51
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 50
| align="center" bgcolor="#afff00" | 42
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 53
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 54
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 46
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 45
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 57
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 58
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 59
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 41
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 31
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 62
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 63
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 37
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 36
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 35
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 34
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 68
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 69
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 70
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 71
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 72
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 28
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 27
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 25
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 76
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 24
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 23
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 79
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 80
|----
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 81
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 19
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 18
| align="center" bgcolor="#afff00" | 14
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 85
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 86
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 87
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 13
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 12
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 90
|----
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 10
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 9
| align="center" bgcolor="#afff00" | 3
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 94
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 95
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 96
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 97
| align="center" bgcolor="#ffffcc" | 98
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 2
| align="center" bgcolor="#ffc000" | 1
|}
|}
Существуют несколько десятков других методов построения магических квадратов

== Шахматный подход ==
Известно, что [[шахматы]], как и магические квадраты, появились десятки веков назад в [[Индия|Индии]]. Поэтому не случайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал [[Эйлер, Леонард|Эйлер]]. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек. [[Файл:MKWik.jpg|centre|thumb|Изображение схем построения магических квадратов]]

== См. также ==
* [[Небесная магия|Математическая магия]]
* [[Латинский квадрат]]
* [[Магический граф]]
* [[Магический куб]]
* [[Магический шестиугольник]]
* [[Чисугвимундо]]
* [[Палиндром]]
* [[Рамочный магический квадрат]]
* [[Судоку]]
* [[Супермагический квадрат]]
* [[Супермагический куб]]

== Примечания ==
{{примечания|colwidth=30em}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Я. В. Успенский |заглавие=Избранные математические развлечения |издательство=Сеятель |год=1924}}
* {{книга |автор=Б. А. Кордемский |заглавие=Математическая смекалка |издательство=ГИФМЛ |место=М. |год=1958 |страниц=576 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/smekalka.htm}}
* {{книга |автор=М. М. Постников |заглавие=Магические квадраты |место=М. |издательство=Наука |год=1964}}
* {{книга |автор=Н. М. Рудин |заглавие=От магического квадрата к шахматам |место=М. |издательство=Физкультура и спорт |год=1969}}
* {{книга |автор=Е. Я. Гуревич |заглавие=Тайна древнего талисмана |место=М. |издательство=Наука |год=1969}}
* {{книга |автор=М. Гарднер |заглавие=Математические досуги |место=М. |издательство=Мир |год=1972}}
* {{Книга:Энциклопедический словарь юного математика}}
* {{книга |автор=[[Чебраков, Юрий Владимирович|Ю. В. Чебраков]] |заглавие=Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ |место=СПб. |издательство=СПб гос. техн. ун-т |год=1995}}
* {{книга |автор=Ю. В. Чебраков |заглавие=Теория магических матриц |место=СПб. |год=2008 |ссылка=http://chebrakov.narod.ru/}}
* {{книга |автор=М. Гарднер |заглавие=Путешествие во времени |часть=Глава 17. Магические квадраты и кубы |место=М. |издательство=Мир |год=1990 |ссылка=http://publ.lib.ru/ARCHIVES/G/GARDNER_Martin/Puteshestvie_vo_vremeni.%20%5bdjv%5D.zip }}{{Недоступная ссылка|date=2018-10|bot=InternetArchiveBot }}
* [http://web.snauka.ru/issues/2012/11/18331 Чирказов Д. Буквенные магические квадраты как симметричные текстовые массивы. // Современные научные исследования и инновации. — № 11 Ноябрь 2012]

== Ссылки ==
{{Викиучебник|Программные реализации построения магических квадратов|Программные реализации построения магических квадратов}}
* [http://www.rodurago.de/en/index.php?site=details&link=3x3 Магические квадраты]{{Недоступная ссылка|date=2019-12|bot=InternetArchiveBot }}{{ref-en}}
* {{OEIS|A164843}}
* М. Гарднер ''»[http://vadda.livejournal.com/45317.html Рецензия на книгу Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри]"''
* H. Heinz [https://web.archive.org/web/20010426154801/http://www.geocities.com/~harveyh/transform.htm Magic Squares, Magic Stars & Other Patterns]{{ref-en}}
* Н. Скрябина, В.Дубовской [http://www.dubovskoy.net/MAGIC/magic%20SQ.doc Магические квадраты]
* [http://chess7.narod.ru/ Шахматный подход]
* [http://www.natalimak1.narod.ru/netrpr.htm Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел]
* [http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin1.htm Наименьшие магические квадраты из простых чисел]
* «[https://web.archive.org/web/20110428084619/http://www.natalimak1.narod.ru/formul.htm Общие формулы магических квадратов.]»
* {{ВТ-ЭСБЕ|Магические квадраты}}

{{ВС}}

[[Категория:Магические квадраты]]
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Теория алгоритмов]]