Просмотр кода страницы Малая теорема Ферма

'''Ма́лая теоре́ма Ферма́''' — теорема [[теория чисел|теории чисел]], которая утверждает, что{{sfn|Винберг|2008|с = 43}}:{{теорема|
Если <math>p</math> — [[простое число]] и <math>a</math> — [[целое число]], не делящееся на <math>p,</math> то <math> a^{p-1}-1</math> делится на <math>p.</math>
}}
На языке [[Сравнение по модулю|теории сравнений]]: <math>a^{p-1}</math> сравнимо с 1 по простому модулю <math>p</math>. Формальная запись: <math>a^{p-1}\equiv 1 \pmod p </math>

К примеру, если <math>a = 2; p = 7,</math> то <math>2^6 = 64,</math> и <math>64-1 = 63 = 7 \cdot 9.</math>

Малая теорема Ферма является частным случаем [[Теорема Эйлера (теория чисел)|теоремы Эйлера]]{{sfn|Сагалович|2014|страницы=34}}, которая, в свою очередь, является частным случаем [[Функция Кармайкла|теоремы Кармайкла]] и [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теоремы Лагранжа для групп]] для [[Конечная группа|конечных]] [[Циклическая группа|циклических групп]]. Теорему высказал без доказательства [[Пьер Ферма]], первое доказательство дали [[Леонард Эйлер]] и [[Готфрид Вильгельм Лейбниц]].

Малая теорема Ферма стала одной из главных теорем для исследований не только в теории целых чисел, но и в более широких областях<ref>Энциклопедия элементарной математики, Книга 1, Арифметика, Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я., 1961.— С. 280</ref><ref>{{книга |автор=З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич |заглавие=Теория чисел |место=М |издательство=Наука |год=1972 |страниц=175}}</ref>.

== История ==
[[Файл:Pierre de Fermat.jpg|thumb|right|Пьер Ферма]]
[[Ферма, Пьер|Пьер Ферма]] сформулировал исходное утверждение теоремы в письме [[1640 год в науке|1640 года]] к французскому математику [[Бесси, Бернар Френикль де|Бернару Френиклю]]<ref>{{книга |автор=Грасиан Э. |заглавие=Простые числа. Долгая дорога к бесконечности |серия=Мир математики |том=3 |издательство = Де Агостини |страниц=148 |год=2014 |isbn=978-5-9774-0637-6 |страницы=45}}</ref>:
{{начало цитаты}}
Каждое простое число эквивалентно [в оригинале: ''измеряет''] степени минус один с любым основанием и показателем, равным данному простому числу минус один… И это утверждение, как правило, справедливо для всех оснований и всех простых чисел. Я бы Вам прислал доказательство, если бы оно не было таким длинным.
{{oq|fr|
Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances −1 de quelque progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné −1… Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n’appréhendois d’être trop long.}}
{{конец цитаты|источник=Источник: [https://web.archive.org/web/20061222105104/http://www.cs.utexas.edu/users/wzhao/fermat2.pdf Fermat a Frenicle]}}

В качестве примера Ферма приводит прогрессию 3, 9, 27, 81, 243, 729… и простое число 13. 13 делит 27 − 1 (показатель степени для 27 равен 3, а 3 делит 13 − 1), из чего следует, что 13 также делит 729 − 1 (показатель степени для 729 равен 6 и кратен 3).

Сам Ферма оставил свою теорему без доказательства. Первым математиком, нашедшим доказательство, был Готфрид Вильгельм Лейбниц, из рукописей которого следует, что доказательство ему было известно до 1683 года. Лейбниц не знал о результате Ферма и открыл теорему независимо{{sfn|''Данциг, Т.'' Числа — язык науки|2008|с=231—234}}. Однако работа Лейбница не была опубликована, и доказательство в 1736 году обнародовал Эйлер в статье ''Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio''<ref>''David C. Marshall, Edward Odell, Michael Starbird''. [http://vault.hanover.edu/~wahl/documents/NumberTheoryText_121106.pdf Number Theory Through Inquiry] {{Wayback|url=http://vault.hanover.edu/~wahl/documents/NumberTheoryText_121106.pdf |date=20120916181053 }}. — 2006. — pp. 62—63.</ref>. В 1806 году шотландский математик [[Айвори, Джеймс (математик)|Джеймс Айвори]] опубликовал доказательство, основанное на том, что если <math>x</math> пробегает [[Сравнение по модулю|полную систему вычетов]] по модулю <math>p</math>, то для любого <math>a,</math> не кратного <math>p,</math> произведение <math>ax</math> также пробегает полную систему вычетов по модулю <math>p;</math> эта идея лежит в основе современных доказательств<ref>{{MacTutor Biography|id=Ivory|title=Sir James Ivory}}</ref>.

Число <math>\frac{a^{p-1} - 1}{p}</math> называется '''частным Ферма'''. Русский математик [[Граве, Дмитрий Александрович|Д. А. Граве]] предположил, что частное Ферма никогда не делится на <math>p.</math> Для простых чисел, не превышающих 1000, это действительно так, однако вскоре был обнаружен контрпример: для <math>p=1093, a=2</math> частное Ферма делится на 1093<ref>{{книга |автор=Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. |заглавие=За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия |ссылка=https://archive.org/details/isbn_5090065756 |место=М. |издательство=Просвещение |год=1996|страницы=[https://archive.org/details/isbn_5090065756/page/n31 30] |страниц=320 |isbn=5-09-006575-6}}</ref>.

== Альтернативная формулировка ==
Следующая формулировка отличается отсутствием требования, чтобы число <math>a</math> не делилось на <math>p</math>:

{{теорема|
Если <math>p</math> — [[простое число]] и <math>a</math> — любое [[целое число]], то <math>a^p</math> сравнимо с <math>a</math> по модулю <math>p</math>, то есть <math>a^p\equiv a \pmod p</math> .
}}

К примеру, если <math>a = 7; p = 5</math>, то <math>7^5 = 16807 = 5 \cdot 3361 + 2,</math> и <math>7 = 5 \cdot 1 + 2</math>.

Легко показать что эта формулировка сводится к изначальной. Так, если <math>a</math> делится на <math>p</math>, то <math>a\equiv 0 \pmod p</math> и <math>a^p\equiv 0 \pmod p</math>, т.е. <math>a^p\equiv a \pmod p</math>. Если же <math>a</math> не делится на <math>p</math>, то выражение <math>a^{p}\equiv a \pmod p </math> эквивалентно выражению <math>a^{p-1}\equiv 1 \pmod p </math>{{sfn|Сагалович|2014|страницы=34}}.

Как основная, так и альтернативная формулировки могут быть использованы для проверки, является ли заданное число простым (см. [[#Псевдопростые числа Ферма и тестирование на простоту|ниже]]), однако основная формулировка надёжнее в том смысле, что отбраковывает больше [[Составное число|составных чисел]]. Пример: проверим, является ли <math>6</math> простым числом. Пусть <math>a = 4.</math> В альтернативной формулировке получается <math>4^6 = 4096 = 682\times 6+4</math>, а это сравнимо с 4 mod 6. То есть число 6 не отбраковано, его простота не опровергнута. Если же вернуться к оригинальной теореме: <math>a^{p-1}\equiv 1 \pmod p</math>, то <math>4^{6-1} = 4^5 = 1024 = 170\times 6+4</math>, а это не сравнимо с 1 mod 6, как должно быть в случае, если p — простое число. Таким образом, основная формулировка более эффективна при отбраковке составных чисел.

== Доказательства ==
{{Hider|
  title = Доказательство теоремы, предложенное Лейбницем|
  hidden = 0 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
Рассмотрим [[однородный многочлен|однородный]] [[многочлен]] степени ''p'' с ''n'' переменными:
: <math>S(x,y,z,\dots,w) = (x+y+z+\dots+w)^p - (x^p+y^p+z^p+\dots+w^p).</math>
Раскрывая скобки, получим коэффициент при [[одночлен]]е <math>Mx^{\alpha}y^{\beta}z^{\gamma}\cdot \ldots \cdot w^{\nu}</math> (где хотя бы две из степеней <math>\alpha, \beta, \gamma \ldots  \nu</math> не равны нулю, а сумма всех степеней равна ''p'') называется [[мультиномиальный коэффициент|мультиномиальным коэффициентом]] и вычисляется по формуле
: <math>M = \frac{p!}{\alpha!\beta!\gamma! \dots \nu!}.</math>

Поскольку степени <math> \alpha , \beta , \gamma ... </math> меньше, чем <math>p,</math> то знаменатель мультиномиального коэффициента не содержит множителей, которые могли бы сократиться с <math>p,</math> следовательно, все коэффициенты многочлена <math>S</math> кратны <math>p.</math>
Таким образом, верно следующее тождество:
: <math>(x+y+z+\dots+w)^p - (x^p+y^p+z^p+\dots+w^p)= pH(x,y,z,\dots,w),</math>

где <math>H(x,y,z,...,w)</math> — многочлен с положительными целыми коэффициентами.

Пусть теперь в этом тождестве <math>x = y = ... = w = 1, H(1,1,1,...,1) = N,</math> тогда <math>n^p - n = Np</math> (здесь ''n'' — число переменных в исходном полиномиальном выражении), следовательно, <math>n(n^{p-1} - 1)</math> кратно <math>p</math>. Если <math>n</math> не делится на простое число <math>p,</math> то на него делится <math>n^{p-1}-1</math>{{sfn|''Данциг, Т.'' Числа — язык науки|2008|с=231-234}}.
}}

{{Hider|
  hidden = 3 |
  title = Доказательство с помощью индукции|
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Докажем, что для любого простого {{math|''p''}} и целого неотрицательного {{math|''a''}}, {{math|''a''<sup>''p''</sup> − ''a''}} делится на {{math|''p''}}. Доказываем [[математическая индукция|индукцией]] по {{math|''a''}}.

'''База.''' Для {{math|''a'' {{=}} 0}}, {{math|''a''<sup>''p''</sup> − ''a'' {{=}} 0}} и делится на {{math|''p''}}.

'''Переход.''' Пусть утверждение верно для {{math|''a'' {{=}} ''k''}}. Докажем его для {{math|''a'' {{=}} ''k'' + 1}}.
: <math> a^p-a = (k+1)^p-(k+1) = k^p+1+\sum_{l=1}^{p-1} {p \choose l} k^l - k-1 = k^p - k + \sum_{l=1}^{p-1}k^l {p \choose l}</math>

Но {{math|''k''<sup>''p''</sup> − ''k''}} делится на {{math|''p''}} по предположению индукции. В остальных слагаемых присутствует множитель <math>{p \choose l} = {p! \over l!(p-l)!}</math>. Для <math>1 \leqslant l \leqslant p-1</math>, числитель этой дроби делится на {{math|''p''}}, а знаменатель — взаимно прост с {{math|''p''}}, следовательно, <math>{p \choose l}</math> делится на {{math|''p''}}. Так как все отдельные слагаемые делятся на {{math|''p''}}, вся сумма <math> k^p - k + \sum_{l=1}^{p-1}k^l {p \choose l}</math> также делится на {{math|''p''}}.

Для отрицательных {{math|''a''}} и нечётных {{math|''p''}} теорему легко доказать подстановкой {{math|''b'' {{=}} −''a''}}. Для отрицательных {{math|''a''}} и {{math|''p'' {{=}} 2}} истинность теоремы следует из {{math|''a''<sup>2</sup> − ''a'' {{=}} ''a''(''a'' − 1)}}{{sfn|Винберг|2008|с = 44}}.}}

{{Hider|
  title = Доказательство с помощью теории групп|
  hidden = 0 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
Одно из самых простых доказательств Малой теоремы Ферма основано на следствии [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теоремы Лагранжа]] из [[Теория групп|теории групп]], утверждающей, что порядок элемента конечной группы делит порядок группы.

Напомним, что порядком [[Конечная группа|конечной группы]] <math>G</math> называется число её элементов, а порядком элемента
<math>g\in G</math> — наименьший натуральный показатель его степени, равной единичному элементу <math>e</math> группы <math>G</math>.

Пусть <math>G</math> — конечная группа порядка <math>n</math>.
Из того, что порядок элемента <math>g\in G</math> делит <math>n</math>, следует, что <math>g^n=e</math>.

Рассмотрим поле <math>\mathbb Z_p</math> [[кольцо вычетов|вычетов по модулю]] <math>p</math>.
Вычет целого числа <math>a</math> будем обозначать через <math>a</math>.
Ненулевые элементы поля <math>\mathbb Z_p</math> образуют группу относительно умножения.

Порядок этой группы, очевидно, равен <math>p-1</math>. Её единичным элементом является <math>1</math>. Отсюда следует, что для каждого числа <math>a</math>, не делящегося на <math>p</math>, <math>a^{p-1}=1</math>, но это как раз означает сравнение <math>a^{p-1}\equiv 1\pmod p</math>{{sfn|Винберг|2008|с=43}}
}}

{{Hider|
  title = Доказательство с помощью модульной арифметики|
  hidden = 0 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =         
'''Лемма.''' Для любого простого числа <math>p</math> и целого числа <math>k</math>, не кратного <math>p</math>, произведения <math>k</math> и чисел <math>1, 2, 3, \ldots , p-1 </math> при делении на <math>p</math> в остатке дают те же самые числа <math>1, 2, 3, \ldots , p-1, </math> возможно, записанные в некотором другом порядке.

{{Hider|
  title = Доказательство леммы|
  hidden = 0 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
Произведение <math>k</math> и любого из чисел <math>1, 2, 3, \ldots, p-1 </math> не кратно <math>p</math>, следовательно, в остатке не может получиться <math>0</math>. Все остатки разные. Докажем последнее утверждение от противного. Пусть при <math>a,b\in \{1,2,3,\ldots, p-1\} </math> и <math>a \ne b </math> два произведения <math>ak</math> и <math>bk</math> дают при делении на <math>p</math> одинаковые остатки, тогда разность <math>ak-bk=(a-b)k</math> кратна <math>p</math>, что невозможно, поскольку <math>a-b</math> не кратно <math>p</math>. Всего существует <math>p-1</math> различных ненулевых остатков от деления на <math>p</math>.
}}

Поскольку согласно вышеприведённой лемме остатки от деления чисел {{math|''a'', 2''a'', 3''a'', ..., (''p'' − 1)''a''}} — это с точностью до перестановки числа {{math|1, 2, 3, ..., ''p'' − 1}}, то <math>a\cdot 2a\cdot 3a\ldots(p-1)a\equiv1\cdot2\cdot3\ldots(p-1) \pmod p</math>. Отсюда <math>a^{p-1}(p-1)!\equiv(p-1)! \pmod p</math>. Последнее соотношение можно сократить на {{math|(''p'' − 1)!}}, поскольку все сомножители являются числами, взаимно простыми с основанием {{math|''p''}}, в результате получаем требуемое утверждение <math>a^{p-1}\equiv1 \pmod p</math><ref>КВАНТ, 2000, № 1, Сендеров В, Спивак А. Малая теорема Ферма.</ref>.}}

== Следствия и обобщения ==
* Если <math>p</math> — простое число, то в поле <math>\mathbb Z_p</math> выполняется равенство <math>a^{-1} = a^{p-2}</math><ref>''Акритас А.'' Основы компьютерной алгебры с приложениями, стр. 83.</ref>.
* Если <math>p</math> — простое число, отличное от 2 и 5, то число <math>10^{p-1} - 1</math>, в [[Десятичная система счисления|десятичной записи]] которого присутствуют только цифры <math>9</math>, делится на <math>p</math>. Отсюда следует, что для любого целого числа <math>N</math>, которое не делится ни на 2, ни на 5, можно подобрать число, состоящее только из девяток, которое делится на <math>N</math>. Этот факт используется в теории [[Признаки делимости|признаков делимости]] и [[Десятичная дробь|периодических дробей]]{{sfn|''Данциг, Т.'' Числа — язык науки|2008|с=232-234|name=DAN}}.
* Малая теорема Ферма позволяет находить простые делители чисел вида <math>a^4+a^3+a^2+a+1</math> и <math>a^{2^n}+1</math><ref>КВАНТ, 2000, № 3, Сендеров В, Спивак А Малая теорема Ферма</ref>.
* Обобщением малой теоремы Ферма на [[алгебраическое число|алгебраические числа]] является теорема, сформулированная {{нп5|Теодор Шёнеман|Шёнеманом|de|Theodor Schönemann}} в 1839 году: пусть <math>a_1,\dots,a_d</math> — корни [[многочлен над конечным полем|нормированного многочлена]] <math>f\in \mathbb Z[x]</math> степени {{math|''d''}}, а {{math|''p''}} — простое число. Тогда <math>a_1^p + a_2^p + \dots + a_d^p \equiv a_1 + \dots + a_d\pmod p </math>{{sfn|Винберг|2008|с = 49}}.
* Из малой теоремы Ферма следует  [[теорема Вильсона]]: Натуральное число <math>p>1</math> является [[Простое число|простым]] тогда и только тогда, когда <math>(p-1)!+1</math> делится на ''p''.
{{Hider|
  title = Доказательство теоремы Вильсона|
  hidden = 0 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
[[Теорема Лагранжа (теория чисел)|Теорема Лагранжа в теории чисел]] утверждает, что если многочлен степени <math>n</math> делится на простое число <math>p</math> при более чем <math>n</math> несравнимых по модулю <math>p</math> (т. е. имеющих разные остатки при делении на <math>p</math> ) значениях переменной <math>x</math>, то он делится на <math>p</math> при любом значении <math>x</math>.

Рассмотрим многочлен
: <math> G(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)... (x - (p - 1)) - (x^{p-1}- 1),</math> где <math>p</math> — простое число.
Тогда мы находим:
: <math>G(1) = 0,G(2) = 1-2^{p-1}, G(3) = 1-3^{p-1}, ..., G(p-1) =1- (p-1)^{p-1}.</math>
В силу малой теоремы Ферма все эти числа делятся на простое число <math>p</math>, поэтому сравнение <math>G(x) \equiv 0\pmod p</math> имеет <math>p-1</math> неконгруэнтных решений. С другой стороны, степень многочлена равна всего лишь <math>p-2;</math> отсюда следует, что многочлен <math>G(x)</math> делится на <math>p</math> при всех значениях <math>x,</math> и в частности при <math>x = 0.</math>

Значит <math>G(0) = [(p- 1)! + 1] \equiv 0\pmod p.</math>

А если в дополнение к этому доказать, что для всех непростых натуральных <math>n</math>, кроме <math>n=4</math>, <math>(n-1)! \equiv 0 \pmod n</math>, то получим доказательство теоремы.{{sfn|''Данциг, Т.'' Числа — язык науки|2008|p = 234-238}}
}}

== Приложения ==

=== Псевдопростые числа Ферма и тестирование на простоту ===
{{main|Псевдопростые числа Ферма}}
{{main|Тест простоты}}

Малая теорема Ферма может быть использована для тестирования числа на простоту: если <math>(a^p-a)</math> не делится на <math>p</math>, то <math>p</math> — [[составное число]]. Однако обращение малой теоремы Ферма в общем случае неверно: если <math>a</math> и <math>p</math> — [[взаимно простые числа]] и <math>a^{p-1} - 1</math> делится на <math>p</math>, то число <math>p</math> может быть как простым, так и составным. В случае, когда <math>p</math> является составным, оно называется [[псевдопростое число|псевдопростым Ферма]] по ''основанию <math>a</math>''.

К примеру, [[китайская гипотеза]] утверждает, что <math>p</math> является простым числом тогда и только тогда, когда  <math>2^p \equiv 2 \pmod{p}</math><ref name=":2">''Ribenboim, P.'' (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer-Verlag, pp. 103—105, ISBN 0-387-94457-5.</ref>. Здесь прямое утверждение о том, что если <math>p</math> простое, то <math>2^p \equiv 2 \pmod{p}</math>, является частным случаем малой теоремы Ферма. Обратное же утверждение о том, что если <math>2^p \equiv 2 \pmod{p}</math>, то <math>p</math> простое, есть частный случай обращения малой теоремы Ферма. Это обращение ложно: [[Саррюс, Пьер Фредерик|Саррус]] в 1820 году нашёл, что число <math>N = 2^{341-1} - 1</math> делится на <math>341</math>, так как <math>N</math> делится на <math>2^{10}-1=3 \cdot 341</math>. Однако <math>341</math> — [[составное число]]: <math>341 = 11 \cdot 31</math>. Таким образом,  <math>341</math> — псевдопростое число по основанию 2<ref name=":0">{{Статья|автор = Weisstein E. W.|заглавие = Fermat Pseudoprime.|ссылка = |язык = |издание = |тип = |год = 2005.|месяц = |число = |том = |номер = |страницы = |issn = }}</ref>.

В общем случае обращение малой теоремы Ферма также не выполняется. [[Контрпример]]ом в общем случае являются [[числа Кармайкла]]: это числа <math>p</math>, являющиеся псевдопростыми по основанию <math>a</math> для всех <math>a</math>, взаимно простых с <math>p</math>. Наименьшим из чисел Кармайкла является 561.

Ввиду того, что обращение малой теоремы Ферма неверно, выполнение её условия не гарантирует что <math>p</math> — [[простое число]]. Тем не менее малая теорема Ферма лежит в основе [[Тест Ферма|теста Ферма]] на простоту<ref>{{Книга|автор = Габидулин Э. М., Кшевецкий А. С., Колыбельников А. И.|заглавие = Защита информации: учебное пособие|ответственный = |издание = |место = |издательство = М.: МФТИ|год = 2011|страницы = 236-237|страниц = 262 с.|isbn = 978-5-7417-0377-9}}</ref>. Тест Ферма является вероятностным тестом на простоту: если теорема не выполняется, то число точно составное, а если выполняется — то число простое с некоторой [[вероятность]]ю. Среди других вероятностных методов можно отметить: [[тест Соловея — Штрассена]] и [[тест Миллера — Рабина]], последний в некоторой степени опирается на малую теорему Ферма<ref>{{Статья|автор = Williams H. C.|заглавие = Primality testing on a computer|ссылка = |язык = en|издание = Ars Combin|тип = |год = 1978|месяц = |число = |том = Т. 5|номер = №. 12|страницы = 127-185|issn = }}</ref>. Также существует и [[Детерминированность|детерминированный]] алгоритм: [[Тест Агравала — Каяла — Саксены]].

Кроме того, справедливы следующие два утверждения. Если пара <math>(2, n)</math> удовлетворяют сравнению <math>a^{n-1}\equiv1\pmod{n}</math>, то и пара чисел <math>(2, 2^{n}-1)</math> также ему удовлетворяют. Для любого простого числа <math>n</math> и любого <math>a > 2</math> такого, что <math>(a^{2}-1, n)=1</math>, значение <math>\frac{a^{2n}-1}{a^{2}-1}</math> является псевдопростым числом Ферма по основанию <math>a</math><ref>Шитов Ю. А. Теоретико-численные методы в криптографии.</ref>.

=== Алгоритм RSA ===
Малая теорема Ферма также используется при доказательстве корректности алгоритма шифрования [[RSA]]{{sfn|Сагалович|2014|страницы=34}}.

== См. также ==
* [[Великая теорема Ферма]]
* [[Теорема Эйлера (теория чисел)|Теорема Эйлера]]
* [[Сильное псевдопростое число]]
* [[RSA]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор         = Александров П. C., Маркушевич А.И., Хинчин А. Я.
 |заглавие      = Энциклопедия элементарной математики. Том I: арифметика
 |год           = 1951
}}
* {{книга
 |автор               = Боревич З. И., Шафаревич И. Р.
 |заглавие         = Теория чисел
 |место               = М.
 |издательство = Наука
 |год                   = 1972
 |страниц           = 510
 |ссылка             = http://lib.org.by/info/M_Mathematics/MT_Number%20theory/Borevich%20Z.I.,%20Shafarevich%20I.R.%20Teorija%20chisel%20(3e%20izd.)(ru)(T)(510s).djvu
}} {{Wayback|url=http://lib.org.by/info/M_Mathematics/MT_Number%20theory/Borevich%20Z.I.,%20Shafarevich%20I.R.%20Teorija%20chisel%20(3e%20izd.)(ru)(T)(510s).djvu |date=20110108124653 }}
* {{source|Q21789820|ref=Винберг}} <!-- Малая теорема Ферма и её обобщения // Математическое просвещение — 2008 -->
* {{статья
 |автор               = [[Гиндикин, Семён Григорьевич|Гиндикин С. Г.]]
 |заглавие         = "Малая теорема Ферма"
 |издательство = [[Квант (журнал)|Квант]]
 |номер               = 10
 |год                   = 1972
 |ссылка             = http://kvant.mccme.ru/1972/10/malaya_teorema_ferma.htm}
}}{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{статья
 |автор         = Данциг, Т.
 |заглавие      = Числа — язык науки
 |ссылка        = http://www.vixri.ru/d/Dancig%20T.%20%20_Chisla%20-%20jazyk%20nauki.pdf 
 |место         = М.
 |издательство  = Техносфера
 |год           = 2008
 |isbn          = 978-5-94836-172-7
 |ref           = ''Данциг, Т.'' Числа — язык науки
}}
* {{статья
 |автор         = Нестеренко Ю. В.
 |заглавие      = Алгоритмические проблемы теории чисел
 |номер         = третья серия 
 |выпуск        = 2
 |год           = 1997
 |ссылка        = http://www.mccme.ru/free-books/matpros3.html
}}
* {{source|Q21789632|ref=Сагалович}} <!-- Введение в алгебраические коды: учебное пособие для вузов — 2014 -->
* {{статья
 |автор         = Сендеров В, Спивак А.
 |заглавие      = Малая теорема Ферма
 |издание       = Квант
 |номер         = 1
 |год           = 2000
 |ссылка        = http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/kv0100senderov.pdf
}}
* {{статья
 |автор         = Сендеров В, Спивак А.
 |заглавие      = Малая теорема Ферма
 |издание       = Квант
 |номер         = 3
 |год           = 2000
 |ссылка        = http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/kv0300senderov.pdf
}}

{{Добротная статья|Математика}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Теоремы о простых числах|Ферма малая]]
[[Категория:Теоремы теории чисел]]
[[Категория:1640 год в науке]]