Просмотр кода страницы Мальмстен, Карл Юхан

{{однофамильцы|Мальмстен}}
{{Учёный
 |Имя                  = Карл Юхан Мальмстен
 |Оригинал имени       = {{lang-sv|Carl Johan Malmsten}}
 |Ширина               = 
 |Изображение          = Carl Johan Malmsten.jpg
 |Описание изображения = 
 |Место рождения       = {{МР|Скара (коммуна)|в Вестра-Гёталанде}}
 |Место смерти         = {{МС|Уппсала}}
 |Гражданство          = 
 |Научная сфера        = {{Математика|Швеции|XIX века}}
 |Место работы         = 
 |Учёная степень       = {{PhD|математике}}
 |Учёное звание        = {{Учёное звание||0}}
 |Альма-матер          = [[Уппсальский университет]]
 |Научный руководитель = 
 |Знаменитые ученики   = 
 |Известен как         = 
 |Награды и премии     = 
}}
'''Карл Юхан Мальмстен''' ({{lang-sv|Carl Johan Malmsten}}; [[9 апреля]] [[1814 год]]а, [[Скара (коммуна)|коммуна Скара]], [[Швеция]] — [[11 февраля]] [[1886 год]]а, [[Уппсала]], [[Швеция]]) — шведский математик и политический деятель. Известен своими ранними работами по комплексному анализу, теории некоторых специальных функций, а также как сооснователь (вместе с [[Миттаг-Леффлер, Густав Магнус|Миттаг-Леффлером]]) математического журнала ''[[Acta Mathematica]]''<ref>[http://mcs.open.ac.uk/jebg2/Mittag-Leffler_and_Acta.html#Founding Mittag-Leffler and ''Acta'']{{Недоступная ссылка|date=2018-07|bot=InternetArchiveBot }}.</ref>.

Мальмстен получает степень доцента в 1840 г. и уже через два года становится профессором математики в [[Уппсальский университет|Университете г. Уппсала]]. В 1844 его принимают в [[Шведская королевская академия наук|Шведскую Королевскую Академию Наук]]. С 1859 по 1866 гг. он также входил в состав правительства [[Скара (коммуна)|коммуны Скара]], где занимал пост [[Министр без портфеля|министра без портфеля]], при этом параллельно продолжал заниматься математикой.

== Основной вклад ==
Долгое время имя '''Карла Мальмстена''' упоминалось в основном в связи с его ранними работами по теории функций комплексного переменного<ref name="jkwch389">«Om definita integraler mellan imaginära gränsor» (1865).</ref>. Тем не менее, он также внёс большой вклад и в другие области анализа, в частности в теорию спец. функций и дифференциальных уравнений, но, к сожалению, многие его работы были незаслуженно забыты, а результаты приписаны другим. Так, сравнительно недавно, Ярослав Благушин (Iaroslav Blagouchine)<ref name="iaroslav_06">[https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-013-9528-5 Iaroslav V. Blagouchine ''Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results.'' The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014.] {{Wayback|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-013-9528-5 |date=20171212193059 }} [https://www.researchgate.net/publication/257381156_Rediscovery_of_Malmsten's_integrals_their_evaluation_by_contour_integration_methods_and_some_related_results PDF] {{Wayback|url=https://www.researchgate.net/publication/257381156_Rediscovery_of_Malmsten%27s_integrals_their_evaluation_by_contour_integration_methods_and_some_related_results |date=20210507003503 }}</ref> показал что именно Мальмстену принадлежит ряд важнейших работ по логарифмическим интегралам и суммам тесно связанным с [[Гамма-функция|гамма-функцией]], [[Дигамма-функция|её логарифмической производной]], [[Дзета-функция Гурвица|обобщённой дзета функцией]], а также [[L-функция Дирихле|L-рядами Дирихле]]. В частности, в 1842 году, Мальмстен сумел выразить в аналитическом виде следующие логарифмические интегралы
: <math>\int\limits_0^1 \!\frac{\,\ln\ln\frac{1}{x}\,}{1+x^2}\,dx\, =
\,\int\limits_1^\infty \!\frac{\,\ln\ln{x}\,}{1+x^2}\,dx\, =
\,\frac{\pi}{\,2\,}\ln\left\{ \frac{\Gamma{(3/4)}}{\Gamma{(1/4)}}\sqrt{2\pi\,}\right\}</math>

: <math>\int\limits_0^{1}\frac{\ln\ln\frac{1}{x}}{(1+x)^2}\,dx = \int\limits_1^{\infty}
\!\frac{\ln\ln{x}}{(1+x)^2}\,dx = 
\frac{1}{2} \bigl(\ln\pi - \ln2 -\gamma\bigr),
</math>

: <math>\int\limits_0^{1}\! \frac{\ln\ln\frac{1}{x}}{1-x+x^2}\,dx =
\int\limits_1^{\infty}\! \frac{\ln\ln{x}}{1-x+x^2}\,dx = 
\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\ln \biggl\{ \frac{\sqrt[6]{32\pi^5
}}{\Gamma{(1/6)}} \biggr\}
</math>

: <math>\int\limits_0^{1}\! \frac{\ln\ln\frac{1}{x}}{1+x+x^2}\,dx =
\int\limits_1^{\infty}\! \frac{\ln\ln{x}}{1+x+x^2}\,dx =
\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln \biggl\{ \frac{\Gamma{(2/3)}}{\Gamma
{(1/3)}}\sqrt[3]{2\pi}
\biggr\}
</math>

: <math>
 \int\limits_0^1 \!\frac{\ln\ln\frac{1}{x}}{1+2x\cos
\varphi+x^2}
\,dx \,=\int\limits_1^{\infty}\!\frac{\ln\ln{x}}{1+2x\cos\varphi+x^2}\,dx
 =
\frac{\pi}{2\sin\varphi}\ln \left\{\frac{(2\pi)^{\frac{\scriptstyle\varphi}{\scriptstyle\pi}}
\,\Gamma\!\left(\!\displaystyle\frac{1}{\,2\,}+\frac{\varphi}{\,2\pi\,}\!\right)}
{\Gamma\!\left(\!\displaystyle\frac{1}{\,2\,}-\frac{\varphi}{\,2\pi\,}\!\right)}\right\}  ,
\qquad  -\pi<\varphi<\pi.
</math>

: <math>\int\limits_0^{1} \!\frac{x^{n-2}\ln\ln\frac{1}{x}}{1-x^2+x^4-\cdots
+x^{2n-2}}\,dx\, = \int\limits_1^{\infty}\!\frac{x^{n-2}\ln\ln{x}}{1-x^2+x^4-\cdots
+x^{2n-2}}\,dx =
</math>

: <math>\quad =\, \frac{\pi}{\,2n\,}\sec\frac{\,\pi\,}{2n}\!\cdot\ln \pi  +
 \frac{\pi}{\,n\,}\cdot\!\!\!\!\!\!\sum_{l=1}^{\;\;\frac{1}{2}(n-1)} 
\!\!\!\! (-1)^{l-1} \cos\frac{\,(2l-1)\pi\,}{2n}\cdot 
\ln\left\{\!\frac{\Gamma\!\left(1-\displaystyle\frac{2l-1}{2n}\right) }
{\Gamma\!\left(\displaystyle\frac{2l-1}{2n}\right)}\right\} ,\qquad n=3,5,7,\ldots 
</math>

: <math>\int\limits_0^{1} \!\frac{x^{n-2}  \ln\ln\frac{1}{x}}{
1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n-2}}\,dx \, =
\int\limits_1^{\infty}\!\frac{x^{n-2}  \ln\ln{x}}{1+x^2+x^4+\cdots
+x^{2n-2}}\,dx =
</math>

: <math> 
\qquad =\begin{cases}
\displaystyle \frac{\,\pi\,}{2n}\tan\frac{\,\pi\,}{2n}\ln2\pi  + \frac{\pi}{n}\sum_{l=1}^{n-1} (-1)^{l-1}  
\sin\frac{\,\pi l\,}{n}\cdot 
\ln\left\{\!\frac{\Gamma\!\left(\!\displaystyle\frac{1}{\,2\,}+\displaystyle\frac{l}{\,2n}\!\right) }{\Gamma\!\left(\!\displaystyle\frac{l}{\,2n}\!\right)}\right\}
,\quad n=2,4,6,\ldots   \\[10mm]
\displaystyle \frac{\,\pi\,}{2n}\tan\frac{\,\pi\,}{2n}\ln\pi +  \frac{\pi}{n}\!\!\!\!\!
\sum_{l=1}^{\;\;\;\frac{1}{2}(n-1)} \!\!\!\! (-1)^{l-1} \sin\frac{\,\pi l\,}{n}\cdot 
\ln\left\{\!\frac{\Gamma\!\left(1-\displaystyle\frac{\,l}{n}\!\right) }{\Gamma\!\left(\!\displaystyle\frac{\,l}{n}\!\right)}\right\} ,\qquad n=3,5,7,\ldots 
\end{cases}
</math>
Детали вычислений, а также интересный исторический анализ, приводятся в работах Я. Благушина<ref name="iaroslav_06" /><ref name="iaroslav_07">[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X14002820 Iaroslav V. Blagouchine ''A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations'' Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537—592, 2015.] {{Wayback|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X14002820 |date=20150924154252 }} [http://arxiv.org/abs/1401.3724 arXiv PDF] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/1401.3724 |date=20171214073406 }}</ref>. Многие из этих интегралов были вновь открыты и заново изучены лишь в 20-м веке. В частности, они, без единого упоминания о Мальмстене, периодически появлялись в работах Илана Варди (Ilan Vardi), Виктора Адамчика (Victor Adamchiк), Виктора Молля (Victor Moll), [[Вайсстайн, Эрик|Эрика Вайсстайна]] и некоторых других<ref name="vrdi">I. Vardi ''Integrals, an introduction to analytic number theory.'' American Mathematical Monthly, vol. 95, pp. 308—315, 1988.</ref><ref name="adm">V. Adamchik ''A class of logarithmic integrals.'' Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 1-8, 1997.</ref><ref name="mdn">L. A. Medina and V. H. Moll ''A class of logarithmic integrals.'' The Ramanujan Journal, vol. 20, no. 1, pp. 91-126, 2009.</ref><ref>V. H. Moll ''Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals.'' MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006.</ref><ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/VardisIntegral.html |title=Eric W. Weisstein ''Vardi’s Integral''. From MathWorld-A Wolfram Web Resource. |access-date=2014-06-29 |archive-date=2014-03-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140324190858/http://mathworld.wolfram.com/VardisIntegral.html |deadlink=no }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://oeis.org/A115252 |title=N. J. A. Sloane ''Sequence A115252 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''. |access-date=2014-06-29 |archive-date=2014-12-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141205032507/http://oeis.org/A115252 |deadlink=no }}</ref>. Более того, заблуждения, касающиеся авторства этих формул, зашли так далеко, что во многих современных источниках первый из этих интегралов называется ''интегралом Варди'' (''Vardi’s integral''), хотя он вычислил его на 146 лет позже Мальмстена. Мальмстен получил эти формулы, пользуясь различными достаточно громоздкими разложениями в ряды, почленным интегрированием, а также ловко применяя элементарные преобразования. Методы современного анализа позволяют получить их и менее трудоёмкими способами, такими как методы контурного интегрирования<ref name="iaroslav_06" />, с помощью [[Дзета-функция Гурвица|дзета-функции Гурвица]]<ref name="adm" />, через [[полилогарифм]]ы<ref name="mdn" /> и с помощью
[[L-функция Дирихле|L-рядов Дирихле]]<ref name="vrdi" />. Эти же методы позволяют подсчитать и более сложные интегралы Мальмстена<ref>Более правильно называть интегралы такого типа ''интегралами Мальмстена'', а не интегралами Варди.</ref>, большое количество которых рассматривалось в работах В. Адамчика<ref name="adm" />, и особенно, Я. Благушина<ref name="iaroslav_06" /> (около 80 интегралов). Вот несколько примеров подобных интегралов
: <math> 
 \int\limits_0^1 \frac{\ln\ln\frac{1}{x}}{1+x^3}\,dx 
=\int\limits_1^\infty \frac{x\ln\ln x}{1+x^3}\,dx 
=\frac{\ln2}{6}\ln\frac{3}{2}-\frac{\pi}{6\sqrt3}
\left\{\ln54-8\ln2\pi+12\ln\Gamma\left(\frac{1}{3}\right) \right\}
</math>

: <math> 
 \int\limits_0^1 \!\frac{x\ln\ln\frac{1}{x}}{(1-x+x^2)^2}\,dx 
=\int\limits_1^\infty \!\frac{x\ln\ln x}{(1-x+x^2)^2}\,dx 
=-\frac{\gamma}{3}-\frac{1}{3}\ln\frac{6\sqrt3}{\pi} + \frac{\pi\sqrt3}{27}
\left\{5\ln2\pi-6\ln\Gamma\left(\frac{1}{6}\right) \right\}
</math>

: <math> 
\int\limits_0^1   \frac{\left(x^4-6x^2+1\right)\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^3\,}\, dx=
\int\limits_1^\infty \frac{\left(x^4-6x^2+1\right)\ln\ln{x}}{\,(1+x^2)^3\,}\, dx = \frac{2 \,\mathrm{G}}{\pi}
</math>

: <math> 
\int\limits_0^1  \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx =
\int\limits_1^\infty \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx = \frac{7 \zeta(3)}{8\pi^2}
</math>

: <math> 
\begin{array}{ll}
\displaystyle
\int\limits_0^1  \frac{x\!\left(x^{\frac{m}{n}}-x^{-\frac{m}{n}}\right)^{\!2}\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1-x^2)^2\,}\, dx =
\int\limits_1^\infty \frac{x\!\left(x^{\frac{m}{n}}-x^{-\frac{m}{n}}\right)^{\!2}\ln\ln{x}}{\,(1-x^2)^2\,}\, dx =  \!\!\!&\displaystyle
\frac{\,m\pi\,}{\,n\,} \sum_{l=1}^{n-1} \sin\dfrac{2\pi m l}{n}\cdot\ln\Gamma\!\left(\!\frac{l}{n}\!\right) 
- \,\frac{\pi m}{\,2n\,}\mathrm{ctg}\frac{\pi m}{n}\cdot\ln\pi n \\[3mm]
 &\displaystyle
- \,\frac{\,1\,}{2}\ln\!\left(\!\frac{\,2\,}{\pi}\sin\frac{\,m\pi\,}{n}\!\right)  
- \,\frac{\gamma}{2}
\end{array}
</math>

: <math> 
\begin{array}{l}
\displaystyle
\int\limits_0^1  \frac{x^2\!\left(x^{\frac{m}{n}}+x^{-\frac{m}{n}}\right)\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^3\,}\, dx =
\int\limits_1^\infty \frac{x^2\!\left(x^{\frac{m}{n}}+x^{-\frac{m}{n}}\right)\ln\ln{x}}{\,(1+x^2)^3\,}\, dx = 
-\frac{\,\pi\left(n^2-m^2\right)\,}{8n^2}\!\sum_{l=0}^{2n-1} \! (-1)^l
\cos\dfrac{(2l+1)m\pi}{2n} \cdot\ln\Gamma\!\left(\!\frac{2l+1}{4n}\right) \\[3mm]
\displaystyle \,\,
+\frac{\,m\,}{\,8n^2\,}\! \sum_{l=0}^{2n-1} \! (-1)^l \sin\dfrac{(2l+1)m\pi}{2n}\cdot \Psi\!\left(\!\frac{2l+1}{4n}\right) 
-\frac{\,1\,}{\,32\pi n^2\,} \!\sum_{l=0}^{2n-1}(-1)^l \cos\dfrac{(2l+1)m\pi}{2n}\cdot \Psi_1\!\left(\!\frac{2l+1}{4n}\right) 
+ \,\frac{\,\pi (n^2-m^2)\,}{16n^2}\sec\dfrac{m \pi}{2n}\cdot\ln2\pi n
\end{array}
</math>
где ''m'' и ''n'' целые положительные числа такие что ''m''<''n'', G — [[постоянная Каталана]], ζ — [[дзета-функция Римана]], Ψ — [[дигамма-функция]], Ψ<sub>1</sub> — тригамма-функция; см. соответственно ур. (43), (47) и (48) в<ref name="adm" /> для первых трёх интегралов, и упр. 36-a, 36-b, 11-b и 13-b в<ref name="iaroslav_06" /> для последних четырёх (третий интеграл фигурирует в обеих работах). Интересно что некоторые интегралы Мальмстена приводят к гамма- и [[полигамма-функция]]м комплексного аргумента, которые не очень часто встречаются в анализе. Так, например,
: <math> 
 \int\limits_0^1 \!\frac{x\ln\ln\frac{1}{x}}{1+4x^2+x^4}\,dx 
=\int\limits_1^{\infty}\!\frac{x\ln\ln{x}}{1+4x^2+x^4}\,dx
= \frac{\,\pi\,}{\,2\sqrt{3\,}\,}
\mathrm{Im}\!\left[\ln\Gamma\!\left(\!\frac{1}{2}-\frac{\ln(2+\sqrt{3\,})}{2\pi i}\right)\!\right] +\,
\frac{\ln(2+\sqrt{3\,})}{\,4\sqrt{3\,}\,}\ln\pi
</math>
а также,
: <math> 
\int\limits_{0}^{1} \!\frac{\,x \ln\ln\frac{1}{x}\,}{\,x^4-2x^2\mathrm{ch}{2}+1\,}\,dx =
\int\limits_{1}^{\infty} \!\frac{\,x \ln\ln{x}\,}{\,x^4-2x^2\mathrm{ch}{2}+1\,}\,dx
=-\frac{\,\pi\,}{2\,\mathrm{sh}{2}\,}
\mathrm{Im}\!\left[\ln\Gamma\!\left(\!\frac{i}{2\pi}\right) 
- \ln\Gamma\!\left(\!\frac{1}{2}-\frac{i}{2\pi}\right)\!\right]
-\frac{\,\pi^2}{8\,\mathrm{sh}{2}\,}-\frac{\,\ln2\pi\,}{2\,\mathrm{sh}{2}\,} 
</math>
см. Ярослав Благушин<ref name="iaroslav_06" />, упр. 7-а и 37 соответственно.
Также установлено что интегралы Мальмстена тесно связаны с обобщёнными постоянными Стилтьеса<ref name="iaroslav_06" /><ref name="iaroslav_07" /><ref>{{Cite web |url=http://math.stackexchange.com/questions/703923/integral-int-01-frac-ln-ln-1-x1x2p-dx-definite-integral. |title=Math StackExchange: evualuation of a particular integral (created: March 8, 2014) |access-date=2014-07-09 |archive-date=2016-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304061558/http://math.stackexchange.com/questions/703923/integral-int-01-frac-ln-ln-1-x1x2p-dx-definite-integral. |deadlink=no }}</ref>, которые на данный момент ещё слабо изучены.

В 1842 году, Мальмстену также удалось подсчитать несколько важнейших логарифмических рядов, среди которых наиболее выделяются следующие два:
: <math>
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\ln(2n+1)}{2n+1} \,=\,\frac{\pi}{4}\big(\ln\pi - \gamma) -\pi\ln\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)
</math>
и
: <math>
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}
\frac{\sin a n \cdot\ln{n}}{n} \,=\,\pi\ln\left\{\frac{\pi^{\frac{1}{2}-\frac{a}{2\pi}}}{\Gamma\left(\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{a}{2\pi}\right)}\right\} - \frac{a}{2}\big(\gamma+\ln2 \big)  -\frac{\pi}{2}\ln\cos\frac{a}{2}\,,
\qquad -\pi<a<\pi.
</math>
Последний результат особенно важен так как он представляет собой разложение в ряд Фурье логарифма [[Гамма-функция|Гамма-функции]], результат, который обычно, и как показано в<ref name="iaroslav_06" />, ошибочно приписывается [[Куммер, Эрнст Эдуард|Ернсту Куммеру]], который получил похожую формулу
: <math>
\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 2\pi n x \cdot\ln{n}}{n} =
\ln\Gamma(x) - \frac{1}{2}\ln(2\pi) + \frac{1}{2}\ln(2\sin\pi x) - \frac{1}{2}(\gamma+\ln2\pi)(1-2x)\,, \qquad 0<x<1,
</math>
лишь в 1847 году (строго говоря, результат Куммера получается из результата Мальмстена полагая a=π(2x-1)).

Мальмстен внёс большой вклад и в теорию дзета-функций, а также относящихся к ним интегралов и рядов. В частности, именно он доказал в 1842 что
: <math>L(s)\equiv\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} \qquad\qquad
L(1-s)=L(s)\Gamma(s)  2^s \pi^{-s}\sin\frac{\pi s}{2},
</math>
и
: <math>M(s)\equiv\frac{2}{\sqrt{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^s} \sin\frac{\pi n}{3} \qquad\qquad
M(1-s)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} \, M(s)\Gamma(s)  3^s (2\pi)^{-s}\sin\frac{\pi s}{2},
</math>
где ряды слева и справа сходятся при 0<s<1. Интересно что первая из этих формул была указана ещё [[Эйлер, Леонард|Леонардом Эйлером]] в 1749 году<ref name=autogenerated1>L. Euler ''Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques.'' Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, Tome 17, pp. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l’Académie Royale, 1768 [read in 1749]</ref>, однако именно Мальмстен строго доказал её. Довольно забавно что формула для ряда L(s) была дана и [[Шлёмильх, Оскар Ксавер|Оскаром Шлёмильхом]] в 1849 году, причём в качестве упражнения для студентов, однако своё доказательство он опубликовал лишь 9-ю годами спустя.<ref name="iaroslav_06" /><ref>G.H. Hardy ''Divergent series.''Oxford at the Clarendan press, 1949.</ref><ref>H. Wieleitner ''Geschichte der Mathematik [in 2 vols.]'' Berlin, 1922—1923.</ref><ref>{{Cite web |url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02327158 |title=J. Dutka ''On the summation of some divergent series of Euler and the zeta functions.'' Archive for History of Exact Sciences, Volume 50, Issue 2, pp. 187—200, Archive for History of Exact Sciences, 27.VIII.1996. |access-date=2017-10-03 |archive-date=2018-06-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180616121551/https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02327158 |deadlink=no }}</ref> Обращает на себя внимание и схожесть формулы для L(s) со знаменитой формулой отражения [[Риман, Бернхард|Римана]]
: <math>\zeta(1-s)=2\zeta(s)\Gamma(s) (2\pi)^{-s}\cos\frac{\pi s}{2}\,, \qquad\qquad\qquad s\neq0.
</math>
которую Риман вывел в 1858 году, и которая, кстати говоря, также была впервые дана, хотя и в несколько другом виде, [[Эйлер, Леонард|Леонардом Эйлером]] в 1749 году<ref name=autogenerated1 />. В 1846 году Мальмстен также вывел несколько других формул отражения, которые являются частными случаями формулы отражения Гурвица для обобщённой дзета-функции.

Говоря о вкладе Мальмстена в теорию дзета-функций, нельзя не упомянуть и о совсем недавнем открытии его авторства формулы отражения для первой обобщённой постоянной Стилтьеса
: <math>
\gamma_1 \biggl(\frac{m}{n}\biggr)- \gamma_1 \biggl(1-\frac{m}{n} 
\biggr) =2\pi\sum_{l=1}^{n-1} \sin\frac{2\pi m l}{n} \cdot\ln\Gamma \biggl(\frac{l}{n} \biggr)
-\pi(\gamma+\ln2\pi n)\mathrm{ctg}\frac{m\pi}{n}
</math>
где ''m'' и ''n'' положительные целые числа такие что ''m''<''n''. Это равенство долгое время ошибочно приписывалось Альмквисту и Меурману (Almkvist and Meurman), которые получили его на полтора века позже Мальмстена<ref name="iaroslav_07" />.

Примечательно, что работы Мальмстена написаны очень современным языком и легко читаются (несмотря на то что многие написаны по-латыни, по-французски и по-шведски). Кроме того, обозначения, принятые в работах Мальмстена, практически полностью совпадают с современными, что также сильно облегчает их прочтение.

== Ссылки ==
{{примечания|2}}

{{Authority control|VIAF=20582701}}

[[Категория:Члены Шведской королевской академии наук]]
[[Категория:Политики Швеции]]
[[Категория:Члены Гёттингенской академии наук]]
[[Категория:Преподаватели Уппсальского университета]]
[[Категория:Члены Академии деи Линчеи]]
[[Категория:Члены Датской королевской академии наук]]
[[Категория:Члены Прусской академии наук]]
[[Категория:Ректоры Уппсальского университета]]