Просмотр кода страницы Математика

{{другие значения}}
{{комплексная наука}}
[[Файл:Euclid.jpg|right|thumb|280px|<center>[[Евклид]]. Деталь «[[Афинская школа|Афинской школы]]» [[Рафаэль Санти|Рафаэля]]</center>]]
'''Матема́тика''' ({{lang-grc|μᾰθημᾰτικά}}<ref>{{Cite web|url=http://www.classes.ru/all-greek/dictionary-greek-russian-old-term-39609.htm|title=μαθηματικα, μαθηματικα перевод|publisher=www.classes.ru|accessdate=2017-09-20|archive-date=2018-08-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20180809211846/http://www.classes.ru/all-greek/dictionary-greek-russian-old-term-39609.htm|deadlink=no}}</ref> < {{lang-grc2|μάθημα}} «изучение; наука») — [[Точные науки|точная]] [[Формальные науки|формальная наука]]<ref>{{cite web|title=mathematics {{!}} Definition, History, & Importance {{!}} Britannica|url=https://www.britannica.com/science/mathematics|website=www.britannica.com|accessdate=2022-01-13|lang=en|archive-date=2018-01-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20180103013933/https://www.britannica.com/topic/mathematics|deadlink=no}}</ref>, первоначально исследовавшая [[Арифметика|количественные отношения]] и [[Геометрия|пространственные формы]]<ref>{{БРЭ |статья=Математика |ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2192138|архив=https://web.archive.org/web/20230103215648/https://bigenc.ru/mathematics/text/2192138|архив дата=2023-01-03}}</ref>. В более современном понимании, это наука об отношениях между [[Математический объект|объектами]], о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве [[Аксиома|аксиом]] положены в основание той или иной математической [[теории]]<ref name="burbakiDef"/>.

Математика исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов<ref>{{Cite news|title=mathematics {{!}} Definition & History|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/369194/mathematics|work=Encyclopedia Britannica|access-date=2017-09-20|language=en|archive-date=2008-07-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20080703212210/http://www.britannica.com/EBchecked/topic/369194/mathematics}}</ref>. [[Математические объекты]] создаются путём [[Идеализация|идеализации]] свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на [[Формальный язык|формальном языке]].

Математика не относится к [[Естественные науки|естественным наукам]], но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Она является [[фундаментальная наука|фундаментальной наукой]], предоставляющей (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы<ref>{{cite web
 |url         = http://ou.tsu.ru/hischool/filmatem/42.htm
 |title       = Глава 2. Математика как язык науки
 |publisher   = Сибирский открытый университет
 |accessdate  = 2010-10-05
 |deadlink    = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20120124064125/http://ou.tsu.ru/hischool/filmatem/42.htm
 |archivedate = 2012-01-24
}}</ref>.

== Основные сведения ==
Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде [[аксиома|аксиом]], либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства ([[теоремы]]). Эта [[теория]] в совокупности образует [[Математическая модель|математическую модель]] исследуемого объекта. Таким образом, первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики<ref>{{книга|автор=Панов В. Ф. |заглавие=Математика древняя и юная |издание=Изд. 2-е, исправленное |место=М. |издательство=[[МГТУ им. Баумана]] |год=2006 |страниц=648 |страницы=581—582 |isbn=5-7038-2890-2 }}</ref>.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и [[прикладная математика|прикладную]], предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, [[формальная логика]] может рассматриваться и как часть [[философия|философских наук]], и как часть математических наук; [[механика]] — и [[физика]], и математика; [[информатика]], компьютерные технологии и [[алгоритм]]ика относятся как к [[Инженерное дело|инженерии]], так и к математическим наукам и т. д.

== Этимология ==
Слово «математика» произошло от {{lang-grc|μάθημα}}, что означает «изучение, знание, наука», и {{lang-grc|μαθηματικός}}, первоначально означающего «восприимчивый, успевающий»<ref>{{Cite web|url=http://slovarus.info/grk.php|title=Большой древнегреческий словарь (αω)|publisher=slovarus.info|accessdate=2017-09-20|archiveurl=https://www.webcitation.org/6EMogIDHB?url=http://slovarus.info/grk.php|archivedate=2013-02-12|deadlink=yes}}</ref>, позднее — «относящийся к изучению», впоследствии ставшее «относящийся к математике». В частности, {{polytonic|μαθηματικὴ τέχνη}}, на [[Латинский язык|латыни]] — ''ars mathematica'', означает «искусство математики». Термин {{lang-grc|μᾰθημᾰτικά}} в современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах [[Аристотель|Аристотеля]] (IV век до н. э.). По мнению [[Фасмер, Макс|Фасмера]], в русский язык слово пришло либо через {{lang-pl|matematyka}}, либо через {{lang-lat|mathematica}}<ref>{{Cite web|url=http://www.classes.ru/all-russian/russian-dictionary-Vasmer-term-7485.htm|publisher=classes.ru|accessdate=2017-09-20|title=Математика|archive-date=2017-09-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20170915065225/http://www.classes.ru/all-russian/russian-dictionary-Vasmer-term-7485.htm|deadlink=no}}</ref>.

В текстах на русском языке слово «математика», или ''маѳематика'', встречается, по крайней мере, с XVII века — например, у [[Спафарий, Николай Гаврилович|Николая Спафария]] в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год)<ref>{{книга|ответственный=Гл. ред. [[Филин, Федот Петрович|Ф. П. Филин]]|заглавие=Словарь русского языка XI—XVII вв. Выпуск 9|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1982|страницы=41}}</ref>.

== Определения ==
<!-- на этот заголовок есть ссылка из текста статьи -->

[[Аристотель]] определял математику как «науку о количестве», и это определение являлось преобладающим вплоть до XVIII века.

Одно из первых определений предмета математики дал [[Декарт, Рене|Декарт]]<ref>''Декарт Р.'' Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.</ref>:
{{начало цитаты}}
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
{{oq|la|…illa omnia tantum, in quibus ordo vel mensura examinatur, ad Mathesim referri, nec interesse utrum in numeris, vel figuris, vel astris, vel sonis, aliove quovis obiecto talis mensura quaerenda sit; ac proinde generalem quamdam esse debere scientiam, quae id omne explicet, quod circa ordinem et mensuram nulli speciali materiae addicta quaeri potest, eamdemque, non ascititio vocabulo, sed iam inveterato atque usu recepto, Mathesim universalim nominari<ref>{{книга|заглавие=René Descartes' Regulae ad directionem ingenii. Nach der Original-Ausgabe von 1701 herausgegeben von Artur Buchenau|место=[[Лейпциг|Leipzig]]|год=1907|ссылка=https://archive.org/details/regulaeaddirecti00desc/page/12|pages=13}}</ref>.}}
{{конец цитаты}}
В советское время классическим считалось определение из [[Большая советская энциклопедия|БСЭ]]<ref name="Kolm">{{публикация|книга|часть=Математика|часть ответственный=[[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]]|заглавие=[[Большая Советская Энциклопедия]]|издание=2-е изд|год=1954|том=26 : Магнитка — Медуза|ответственный=гл. ред. [[Введенский, Борис Алексеевич|Б. А. Введенский]]|место=М.|издательство=Государственное научное издательство «Большая Советская Энциклопедия»|страницы=464—483|тираж=300000}}</ref>{{rp|464}}, данное [[Колмогоров Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоровым]]:
{{начало цитаты}}
Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
{{конец цитаты}}
Это определение [[Энгельс, Фридрих|Ф. Энгельса]]<ref>«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира» в источнике: {{книга|автор=Маркс К., Энгельс Ф.|заглавие=Сочинения|часть=Анти-Дюринг|том=20|издание=2-е изд|год=1961|издательство=Государственное издательство политической литературы|место=М.|тираж=130000|страницы=37}}<br>Оригинал цитаты (нем.) — «Die reine Mathematik hat zum Gegenstand die Raumformen und Quantitätsverhältnisse der wirklichen Welt» — в источнике: {{книга|1=|автор=Friedrich Engels|заглавие=Herrn Eugen Dühring's Umwälzung der Wissenschaft|место=[[Лейпциг|Leipzig]]|год=1878|ссылка=http://digital.ub.uni-duesseldorf.de/ihd/content/pageview/2573294|pages=20|archive-date=2019-05-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20190516223944/http://digital.ub.uni-duesseldorf.de/ihd/content/pageview/2573294}}</ref>; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле<ref name="Kolm"/>{{rp|476,477}}.

Формулировка [[Николя Бурбаки|Бурбаки]]<ref name="burbakiDef">''Бурбаки Н.'' Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.</ref>:
{{начало цитаты}}
Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.
{{конец цитаты}}

[[Герман Вейль]] пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:
{{начало цитаты}}
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным<ref>''Герман Вейль'' // {{книга|автор=Клайн М.|заглавие=Математика. Утрата определённости|издательство=Мир|место=М.|год=1984|ссылка=http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu|страницы=16|архив=https://web.archive.org/web/20070212044129/http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu|архив дата=2007-02-12|url-status=dead|archive-date=2007-02-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20070212044129/http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu}} {{Cite web |url=http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu |title=Архивированная копия |access-date=2009-01-12 |archive-date=2007-02-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070212044129/http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu |deadlink=yes }}</ref>.
{{конец цитаты}}

== Разделы математики ==
{{main|Разделы математики}}
{{also|[[Проект:Математика/Списки/Глоссарий областей математики|Глоссарий областей математики]]}}
1. Математика как ''учебная дисциплина'' подразделяется в [[Россия|Российской Федерации]] на [[элементарная математика|элементарную математику]], изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:
* [[арифметика]]
* [[элементарная алгебра]]
* [[евклидова геометрия|элементарная геометрия]]: [[планиметрия]] и [[стереометрия]]
* теория элементарных функций и элементы анализа
и [[высшая математика|высшую математику]], изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика<ref>Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 01.01.00. «Математика». Квалификация — Математик. Москва, 2000 (Составлено под руководством [[Лупанов, Олег Борисович|О. Б. Лупанова]])</ref> образована следующими учебными дисциплинами:
* [[Математический анализ]]
* [[Алгебра]]
* [[Аналитическая геометрия]]
* [[Линейная алгебра]] и [[геометрия]]
* [[Дискретная математика]]
* [[Математическая логика]]
* [[Дифференциальные уравнения]]
* [[Дифференциальная геометрия]]
* [[Топология]]
* [[Функциональный анализ]] и [[интегральные уравнения]]
* [[Теория функций комплексного переменного]]
* [[Уравнения в частных производных]] (вместо этого курса физикам читаются методы [[математическая физика|математической физики]])
* [[Теория вероятностей]]
* [[Математическая статистика]]
* [[Теория случайных процессов]]
* [[Вариационное исчисление]] и [[методы оптимизации]]
* Методы вычислений, то есть [[численные методы]]
* [[Теория чисел]]

2. Математика как ''специальность научных работников'' Министерством образования и науки Российской Федерации<ref>[https://web.archive.org/web/20111127142124/http://vak.ed.gov.ru/common/img/uploaded/files/vak/norm_doc/2010/Prilozhenie_k_prikazu_N59_ot_25.02.2009.doc Номенклатура специальностей научных работников], утверждённая приказом Минобрнауки России от 25.02.2009 № 59</ref> подразделяется на специальности:
* [[Вещественный анализ|Вещественный]], [[комплексный анализ|комплексный]] и [[функциональный анализ]]
* [[Дифференциальные уравнения]], [[динамические системы]] и [[оптимальное управление]]
* [[Математическая физика]]
* [[Геометрия]] и [[топология]]
* [[Теория вероятностей]] и [[математическая статистика]]
* [[Математическая логика]], [[алгебра]] и [[теория чисел]]
* [[Вычислительная математика]]
* [[Дискретная математика]] и математическая [[кибернетика]]

3. Для ''систематизации научных работ'' используется раздел «Математика»<ref>{{Cite web |url=http://www.teacode.com/online/udc/51/51.html |title=УДК 51 Математика<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2009-09-07 |archive-date=2009-08-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090826035648/http://teacode.com/online/udc/51/51.html |deadlink=no }}</ref> [[Универсальная десятичная классификация|универсальной десятичной классификации]] (УДК).

4. Американское математическое общество ([http://www.ams.org/home/page AMS]) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется [http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html Mathematics Subject Classification]. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это [http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2020.html MSC 2020]. Предыдущая версия — [http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html MSC 2010].

== Обозначения ==
{{main|Математические обозначения}}
{{also|История математических обозначений}}
Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна. Современная система записи [[математическая формула|формул]] сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также потребностей возникших позднее разделов математики — [[Математический анализ|математического анализа]], [[Математическая логика|математической логики]], [[Теория множеств|теории множеств]] и др. Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, [[коммутативная диаграмма|коммутативные диаграммы]]), нередко также применяются обозначения на основе [[граф (математика)|графов]].

== Краткая история ==
{{main|История математики}}
[[Файл:Cyr8.gif|справа|мини|[[Кирик Новгородец]]. «Наставление, как человеку познать счисление лет». Рукопись. Лист 345 (оборот). Содержит [[Кириллическая система счисления|древнерусские числа]] ]]
[[Файл:Quipu.png|thumb|[[Кипу]], использовались [[Инки|инками]] для записи чисел]]
Академиком [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоровым]] предложена такая структура истории математики:

# Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
# Период элементарной математики, начинающийся в [[VI век до н. э.|VI]]—[[V век до н. э.|V веках до н. э.]] и завершающийся в конце [[XVI век]]а («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала [[XVII век]]а, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
# Период математики переменных величин, охватывающий [[XVII век|XVII]]—[[XVIII век]]а, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
# Период современной математики — математики [[XIX век|XIX]]—[[XX век]]а, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

[[Файл:maya.svg|thumb|слева|Цифры майя]]
Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать [[Абстракция|абстракции]] сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — [[Число|числа]]; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как [[время]]: [[День|дни]], [[Времена года|сезоны]], [[год]]а. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться [[арифметика]]: [[сложение]], [[вычитание]], [[умножение]] и [[Деление (математика)|деление]] чисел.

Развитие математики опирается на [[письменность]] и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние [[инки]], не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые [[кипу]]. Существовало множество различных [[Система счисления|систем счисления]]. Первые известные записи чисел были найдены в [[Папирус Ахмеса|папирусе Ахмеса]], созданном [[Древний Египет|египтянами]] [[Среднее царство (Древний Египет)|Среднего царства]]. [[Индская цивилизация]] разработала современную [[Десятичная система счисления|десятичную систему счисления]], включающую концепцию [[0 (число)|нуля]].

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания [[Астрономия|астрономических]] явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении [[Математическая структура|структур]], [[Пространство (математика)|пространств]] и изменений.

== Философия математики ==
{{main|Философия математики}}

=== Цели и методы ===
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать [[Математическая модель|математическую модель]], достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. [[Модель]] объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. [[Абстракция]] и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — [[обобщение]]. Например, обобщая понятие «[[Пространство (математика)|пространство]]» до пространства n-измерений. «''Пространство <math>\R^n</math>, при <math>n>3</math> является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях''»<ref>Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.</ref>.

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи [[аксиоматический метод|аксиоматического метода]]: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и [[аксиома|аксиом]], а затем из аксиом с помощью [[Дедуктивная теория|правил вывода]] получают содержательные [[теорема|теоремы]], в совокупности образующие математическую модель.

=== Основания ===
{{main|Основания математики}}
Вопрос сущности и [[Основания математики|оснований математики]] обсуждался со времён [[платонизм|Платона]]. Начиная с [[XX век]]а наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим [[математическое доказательство|математическим доказательством]], однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах [[аксиома]]тики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе [[формальная логика|логических систем]], которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

==== Теоретико-множественный подход ====
{{main|Теория множеств}}
Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с [[Аксиоматика теории множеств|аксиоматикой Цермело — Френкеля]] (хотя существует множество других, равносильных ей).
Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

==== Логицизм ====
{{main|Логицизм}}
Данный подход предполагает строгую [[теория типов|типизацию]] математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

==== Формализм ====
{{main|Формализм (математика)}}
Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе [[классическая логика|классической логики]].

==== Интуиционизм ====
{{main|Интуиционизм}}
Интуиционизм предполагает в основании математики [[интуиционистское исчисление высказываний|интуиционистскую логику]], более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает [[доказательство от противного]], многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).

==== Конструктивная математика ====
<!-- на этот заголовок есть ссылка из текста статьи. Но зачем? -->
{{main|Конструктивная математика}}
Конструктивная математика — близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения{{Прояснить}}. Согласно критерию конструктивности — «''существовать — значит быть построенным''»<ref>Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.</ref>. Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости<ref>{{Книга|автор=Г. И. Рузавин|заглавие=О природе математического знания|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=|год=1968|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>.

== Основные темы ==

=== Число (количество) ===
{{main|Число}}
Основной раздел, рассматривающий абстракцию количества — [[алгебра]]. Понятие «число» первоначально зародилось из [[Арифметика|арифметических]] представлений и относилось к [[натуральные числа|натуральным числам]]. В дальнейшем оно, с помощью алгебры, было постепенно распространено на [[целые числа|целые]], [[рациональные числа|рациональные]], [[действительные числа|действительные]], [[комплексные числа|комплексные]] и другие числа.

{| class="simple" style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20" width="70%"
 | colspan="2" |
 {| class="simple" style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20" width="100%"
  | colspan="2" |
  {| class="simple" style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20" width="100%"
   | colspan="2" |
   {| class="simple" style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20" width="100%"
    | colspan="2" |
    {| class="simple" style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20" width="100%"
     | width="50%" | <math>1,\;2,\;\ldots</math> || width="50%" | [[Натуральное число|Натуральные числа]]
     |}
    |-
    | width="50%" | <math>0,\;1,\;-1,\;\ldots</math> || width="50%" | [[Целое число|Целые числа]]
    |}
   |-
   | width="50%" | <math>1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots</math> || width="50%" | [[Рациональное число|Рациональные числа]]
   |}
  |-
  | width="50%" | <math>1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> || width="50%" | [[Вещественное число|Вещественные числа]]
  |}
 |-
 | width="50%" | <math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> || width="50%" | <math>1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math>
 |-
 | width="50%" | [[Комплексное число|Комплексные числа]] || width="50%" | [[Кватернион]]ы
 |}

[[Число|Числа]] — [[Натуральное число|Натуральные числа]] — [[Целое число|Целые числа]] — [[Рациональное число|Рациональные числа]] — [[Иррациональное число|Иррациональные числа]] — [[Алгебраическое число|Алгебраические числа]] — [[Трансцендентное число|Трансцендентные числа]] — [[Вещественное число|Вещественные числа]] — [[Комплексное число|Комплексные числа]] — [[гиперкомплексное число|Гиперкомплексные числа]] — [[Кватернион]]ы — [[Октонион]]ы — [[Седенион]]ы — [[Гиперреальное число|Гиперреальные числа]] — [[Сюрреальные числа]] — [[p-адическое число|'''p'''-адические числа]] — [[Математическая константа|Математические постоянные]] — [[Названия чисел]] — [[Бесконечность]] — [[База (математическая)|Базы]]

{{Числа|state=collapsed}}

=== Преобразования ===
{{main|Преобразование (математика)}}
Явления преобразований и изменений в самом общем виде рассматривает [[Анализ (раздел математики)|анализ]].
{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20"
| <math>36 \div 9 = 4</math> || [[Файл:Integral as region under curve.svg|96px]] || [[Файл:Vector field.svg|96px]] || <math>\int 1_S\,d\mu=\mu(S)</math>
|-
| [[Арифметика]] || [[Дифференциальное исчисление|Дифференциальное]] и [[интегральное исчисление]] || [[Векторный анализ]] || [[Математический анализ|Анализ]]
|-
| <math>\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c</math> || [[Файл:Limitcycle.svg|96px]] || [[Файл:LorenzAttractor.png|96px]]
|-
| [[Дифференциальное уравнение|Дифференциальные уравнения]] || [[Динамическая система|Динамические системы]] || [[Теория хаоса]]
|}

[[Арифметика]] — [[Векторный анализ]] — [[Математический анализ|Анализ]] — [[Теория меры]] — [[Дифференциальное уравнение|Дифференциальные уравнения]] — [[Динамическая система|Динамические системы]] — [[Теория хаоса]]

=== Структуры ===
{{main|Математическая структура}}
[[Теория множеств]] — [[Линейная алгебра]] — [[Общая алгебра]] (включает, в частности, [[Теория групп|теорию групп]], [[Универсальная алгебра|универсальную алгебру]], [[Теория категорий|теорию категорий]]) — [[Алгебраическая геометрия]] — [[Теория чисел]] — [[Топология]].

=== Пространственные отношения ===
Основы пространственных отношений рассматривает [[геометрия]]. [[Тригонометрия]] рассматривает свойства [[Тригонометрические функции|тригонометрических функций]]. Изучением геометрических объектов посредством [[Анализ (раздел математики)|математического анализа]] занимается [[Дифференциальная геометрия и топология|дифференциальная геометрия]]. Свойства пространств, остающихся неизменными при непрерывных деформациях и само явление непрерывности изучает [[топология]].
{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="15"
| [[Файл:Pythagorean.svg|128px]] || [[Файл:Sinusvåg 400px.png|100px]] || [[Файл:Hyperbolic triangle.svg|128px]] || [[Файл:Torus.jpg|128px]] || [[Файл:Mandel zoom 07 satellite.jpg|128px]] || [[Файл:Measure illustration.png|80px]]
|-
| [[Геометрия]] || [[Тригонометрия]] || [[Дифференциальная геометрия]] || [[Топология]] || [[Фрактал]]ы || [[Теория меры]]
|}

[[Геометрия]] — [[Тригонометрия]] — [[Алгебраическая геометрия]] — [[Топология]] — [[Дифференциальная геометрия]] — [[Алгебраическая топология]] — [[Линейная алгебра]] — [[Фрактал]]ы — [[Теория меры]].

=== Дискретная математика ===
{{main|Дискретная математика}}
Дискретная математика включает средства исследования объектов, способных принимать только отдельные (дискретные) значения (то есть объектов, не способных изменяться плавно)<ref>{{MathWorld |title=Discrete Mathematics |urlname=DiscreteMathematics|author=Renze, John; Weisstein, Eric W.}}</ref>.

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="15"
| <math>\forall x (P(x) \Rightarrow P(x'))</math> || [[Файл:DFAexample.svg|128px]] || [[Файл:Caesar3.svg|128px]] || [[Файл:6n-graf.svg|128px]]
|-
| [[Математическая логика]] || [[Теория вычислимости]] || [[Криптография]] || [[Теория графов]]
|}

[[Комбинаторика]] — [[Теория множеств]] — [[Решётка (теория множеств)|Теория решёток]] — [[Математическая логика]] — [[Теория вычислимости]]— [[Криптография]] — [[Теория функциональных систем (дискретная математика)|Теория функциональных систем]] — [[Теория графов]] — [[Теория алгоритмов]] — [[Логическое исчисление|Логические исчисления]]
— [[Информатика]].

== Награды ==
{{also|Категория:Математические награды}}
Самой престижной наградой за достижения в области математики, иногда называемой «Нобелевской премией для математиков», является [[Филдсовская премия]], основанная в 1924 году и присуждаемая каждые четыре года вместе с денежным вознаграждением в размере {{число|15000}} [[Канадский доллар|канадских долларов]]. На церемонии открытия [[Международный конгресс математиков|Международного конгресса математиков]] сообщаются имена лауреатов четырёх премий за достижения в математике:
* Премия Филдса.
* [[Премия Неванлинны]], с 1982 года.
* [[Премия Гаусса]], с 2006 года.
* [[Премия Черна]], с 2010 года.
Кроме того, с 2010 года на церемонии закрытия конгресса вручается [[премия Лилавати]] за популяризацию математики.

В 2000 году [[Математический институт Клэя]] объявил [[Задачи тысячелетия|список из семи математических задач]], за решение каждой из которых назначен приз в размере 1 млн [[доллар США|долларов США]]<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/MathematicsPrizes.html|title=Mathematics Prizes|website=Wolfram MathWorld|access-date=2019-07-07|archive-date=2019-06-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20190602202333/http://mathworld.wolfram.com/MathematicsPrizes.html|deadlink=no}}</ref>.

== Коды в системах классификации знаний ==
* [[Универсальная десятичная классификация|УДК]] 51
* [[Государственный рубрикатор научно-технической информации]] (ГРНТИ) (по состоянию на 2001 год): 27<ref>{{Cite web|url=http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm|title=Электронная библиотека LibOk.Net - читать онлайн и скачать книги бесплатно|publisher=www.gsnti-norms.ru|accessdate=2017-09-20}}{{Недоступная ссылка|date=Август 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>
* [[Библиотечно-библиографическая классификация|ББК]] В1 или 22.1
* [[Математическая предметная классификация]]

== Программное обеспечение ==
Математическое программное обеспечение многогранно:

* Пакеты, ориентированные на набор математических текстов и на их последующую вёрстку ([[TeX]]).
* Пакеты, ориентированные на решение математических задач, численное моделирование и построение графиков ([[GNU Octave]], [[Maple]], [[Mathcad]], [[MATLAB]], [[Scilab]]).
* [[Электронные таблицы]].
* Отдельные программы или пакеты программ, активно использующие математические методы ([[калькулятор]]ы, архиваторы, протоколы шифрования/дешифрования, системы распознавания образов, кодирование аудио и видео).

{{Математическое ПО}}
{{Системы компьютерной алгебры}}

== См. также ==
* [[Международный конгресс математиков]]
* [[Открытые математические проблемы]]
* [[Философия математики]]
* [[(454) Матезида]] — астероид, названный в честь математики.
; Популяризаторы науки
* [[Перельман, Яков Исидорович]]
* [[Гарднер, Мартин]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{refbegin|2}}
;Энциклопедии
* {{ВТ-ЭСБЕ|Математика}}
* {{ВТ-ЭСБЕ|Россия/Русская наука/Математика}}
* Математическая энциклопедия : в 5 т. / гл. ред. И. М. Виноградов. — {{М.}} : Советская энциклопедия, 1977—85. — (Энциклопедии. Словари. Справочники).
* {{Книга|автор=Кондаков Н. И.|заглавие=Логический словарь-справочник|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=Наука|год=1975|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}
* [http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D183743 Энциклопедия математических наук и их приложений]{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}{{ref-de}} 1899—1934 гг. (крупнейший обзор литературы XIX века)

;Справочники
* {{Книга|автор=А. А. Адамов, А. П. Вилижанин, Н. М. Гюнтер, А. Н. Захаров, В. М. Мелиоранский, В. Ф. Точинский, Я. В. Успенский|заглавие=Сборник задач по высшей математике преподавателей Института Инженеров Путей Сообщения|ответственный=|издание=|место=СПб.|издательство=|год=1912|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}
* {{Книга|автор=[[Шахно, Константин Устинович|Шахно К. У.]]|заглавие=Справочник по элементарной математике|ответственный=|издание=|место=Л.|издательство=|год=1955|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}
* {{Книга|автор=Г. Корн, Т. Корн|заглавие=Справочник по математике для научных работников и инженеров|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=|год=1973|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}

;Книги
* {{книга|автор=[[Клайн, Морис|Клайн М.]]|заглавие=Математика. Утрата определённости|ссылка=http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=Мир|год=1984|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=|архив=https://web.archive.org/web/20070212044129/http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu|архив дата=2007-02-12|url-status=dead}} {{Wayback|url=http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu |date=20070212044129 }}
* {{книга |автор=[[Клайн, Морис|Клайн М.]] |заглавие=Математика. Поиск истины |ссылка=http://www.117.mhost.ru/books/science/matem_poisk_istini.zip |издательство=Мир |место=М. |год=1988 |страниц=295 |ref=Клайн М. Математика. Поиск истины }}{{Недоступная ссылка|date=Июль 2018 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{Книга|автор=Клейн Ф.|заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=|страницы=|страниц=|isbn=}}
* {{Книга|автор=[[Курант, Рихард|Р. Курант]], Г. Роббинс|заглавие=Что такое математика?|ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm|ответственный=|издание=3-e изд., испр. и доп.|место=М.|издательство=|год=2001|страницы=|страниц=568|isbn=}}
* {{книга |автор= Писаревский Б. М., Харин В. Т. |заглавие = О математике, математиках и не только |место= М. |издательство = Бином. Лаборатория знаний |год= 2012 |страниц = 302 }}
* {{Книга|автор=[[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре А.]]|заглавие=Наука и метод|оригинал=Science et methode|ссылка=http://sokolwlad.narod.ru/france/texts/philosophy/poin00.html|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=|страницы=|страниц=|isbn=}}{{ref-ru}}{{ref-fr}}

;[[Популяризация науки#Математика|Занимательная математика]]
* {{Книга|автор=Бобров С. П.|заглавие=Волшебный двурог|ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/dvurog.djvu|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=Детская литература|год=1967|страницы=|страниц=496|isbn=|isbn2=}}
* {{Книга|автор=Дьюдени Г. Э.|заглавие=Кентерберийские головоломки; 200 знаменитых головоломок мира; Пятьсот двадцать головоломок|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}
* {{Книга|автор=[[Льюис Кэрролл|Кэррол Л.]]|заглавие=История с узелками; Логическая игра|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=|страницы=|страниц=|isbn=}}
* {{Книга|автор=Таунсенд Чарлз Барри|заглавие=Звёздные головоломки; Самые весёлые головоломки; Самые трудные головоломки из старинных журналов |ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=|страницы=|страниц=|isbn=}}
* {{Книга|автор=Перельман Я. И.|заглавие=Занимательная математика|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}
{{refend}}

== Ссылки ==
{{Навигация
|Портал = Математика
|Викисловарь = математика
|Викиучебник =
|Викицитатник = Математика
|Викитека = Математика
|Викивиды =
|Метавики =
}}
* [http://www.univertv.ru/video/matematika/istoriya_matematiki/istoriya_matematiki/?mark=all История математики]
* [http://www.mccme.ru/ МЦНМО]
* [[Успенский, Владимир Андреевич|В. А. Успенский]]: [http://magazines.gorky.media/novyi_mi/2007/11/us10.html Апология математики] (+[http://magazines.gorky.media/novyi_mi/2007/12/us9.html окончание]).
* [http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/MATEMATIKI_ISTORIYA.html МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ]

{{ВС}}
{{Наука}}
{{Разделы математики}}

[[Категория:Математика| ]]
[[Категория:Формальные науки]]