Просмотр кода страницы Математика в Древнем Египте

:: ''Данная статья — часть обзора [[История математики]].''
Статья посвящена состоянию и развитию '''математики в Древнем Египте''' в период примерно с XXX по III век до н. э.

Древнейшие [[Древний Египет|древнеегипетские]] математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на [[папирус]]е, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о [[Вавилонская математика|математике Вавилона]] или [[Математика в Древней Греции|Греции]]. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно<ref>''Ван дер Варден Б. Л.'' Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Указ. соч., стр. 125: «Фалес путешествовал в Египет и привёз геометрию в Элладу» (из комментария Прокла к Евклиду).</ref>, что [[Математика в Древней Греции|греческие математики]] учились у египтян<ref>«Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // {{Книга |автор=Proclus Diadochus. |заглавие=In primum Euclidis Elementorum |год=1873 |место=Leipzig |страницы=64}}</ref>.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения [[Птолемеи|Птолемеев]] начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и [[эллинизм|греческой культур]].

== Источники ==
[[Файл:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|right|thumb|240px|Часть [[Папирус Ахмеса|папируса Ахмеса]].<br>Задачи с 49 по 55.]]
Основные сохранившиеся источники относятся к периоду [[Среднее царство|Среднего царства]], времени расцвета древнеегипетской культуры:
* Папирус Ахмеса или [[папирус Ринда]] — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.
* [[Московский математический папирус]] (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.
* Так называемый «[[Египетский математический кожаный свиток|кожаный свиток]]», 25 × 43 см.
* {{не переведено|Папирусы из Лахуна (Кахуна)||en|Lahun Mathematical Papyri}}, содержащие ряд фрагментов на математические темы.
* [[Берлинский папирус]], около 1300 года до н. э.
* Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).
* {{не переведено|Папирус Рейснера||en|Reisner Papyrus}}, примерно XIX век до н. э.
От [[Новое царство (Древний Египет)|Нового царства]] до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период [[гиксосы|гиксосов]]. Носители научных знаний тогда именовались ''писцами'' и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и [[Египетские дроби|аликвотными дробями]], пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение [[Среднее степенное|среднего арифметического]], [[Арифметическая прогрессия|арифметические прогрессии]], решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным{{sfn |История математики, том I|1970|с=21—33. }}.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий [[алгоритм]] его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём [[Индуктивное умозаключение|индуктивных обобщений]] и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни (целочисленные) и возводить в степень{{sfn |История математики, том I|1970|с=24. }}, решать уравнения, были знакомы с [[Арифметическая прогрессия|арифметической]] и [[Геометрическая прогрессия|геометрической прогрессией]] и даже владели зачатками [[алгебра|алгебры]]: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

== Нумерация (запись чисел) ==
[[Файл:Egyptian 35736.jpg|right|thumb|300px|<center>Иероглифическая запись числа 35736</center>]]
[[Египетская система счисления|Древнеегипетская нумерация]], то есть запись чисел, была похожа на [[Римские цифры|римскую]]: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне обычно писали [[Направление письма|справа налево]], и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В [[Иератическое письмо|иератическом письме]] уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч{{sfn |История математики, том I|1970|с=30}}.

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:
<hiero>Aa15:D36-D58</hiero>
или то же самое написать цифрами (три символа десятки):
<hiero>V20-V20-V20</hiero>

{| class="wikitable" border="1" cellpadding="5" align="center" | style="margin: 1em auto 1em auto; width: 75%"
|+ '''Иероглифы для изображения чисел'''
!| 1 !! 10 !! 100 !! 1000 !! 10,000 !! 100,000 !! 1,000,000
|-
| <hiero>Z1</hiero> || <hiero>V20\</hiero> || <hiero>V1</hiero> || <hiero>M12</hiero> || <hiero>D50</hiero> || <hiero>I8</hiero> || <hiero>C11</hiero>
|}

[[Файл:Neferetiabet.jpg|thumb|center|600px|Плита с гробницы царевны Неферетиабет (2590—2565 до н. э., [[Гиза]]). [[Лувр]]]]
[[Умножение]] египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали [[Рациональное число|дроби]] вида <math>\frac{1}{n}</math> и <math>\frac{2}{3}</math>. Однако общего понятия дроби <math>\frac{m}{n}</math> у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма ''[[аликвотные дроби|аликвотных дробей]]''. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

{| class="wikitable" border="1" cellpadding="5" align="center" | style="margin: 1em auto 1em auto; width: 75%"
|+ '''Примеры изображения часто встречающихся дробей'''
!| <math> 1/2 </math> !! <math> 1/3 </math> !! <math> 2/3 </math> !! <math> 1/4 </math> !! <math> 1/5</math>
|-
| <hiero>Aa13</hiero> || <hiero>r:Z2</hiero> || <hiero>D22</hiero> || <hiero>r:Z1*Z1*Z1*Z1</hiero> || <hiero>r:Z1*Z1*Z1*Z1*Z1</hiero>
|}

'''Пример записи дробей из [[Папирус Ахмеса|Папируса Ринда]]'''<ref>''Gardiner Alan H.'' Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.</ref>

<hiero>Z2:Z1*Z1 Aa16 r:Z1*Z1*Z1*Z1:Z2 r:10 Z1-Z1-Z1-Z1</hiero>
5 + {{frac|1|2}} + {{frac|1|7}} + {{frac|1|14}} (= 5 {{frac|5|7}})

== Арифметика ==

=== Знаки сложения и вычитания ===
В [[Папирус Ахмеса|Папирусе Ахмеса]] (ок. 1550 г. до н.э.) для обозначения сложения или вычитания использовался иероглиф 
{| align="center"
||<hiero>D54</hiero> или <hiero>D55</hiero>
|}
Если направление «ног» у этого иероглифа совпадало с направлением письма (как уже упоминалось, египтяне обычно писали справа налево), тогда он означал «сложение», в противном случае — «вычитание». Однако, в [[Московский математический папирус|Московском математическом папирусе]] (ок. 1850 г. до н.э.) пара ног, направленная к концу строки, означала возведение числа  в квадрат<ref name="historyOfMathematicalNotations">{{Книга |ref=Cajori |автор=[[Кэджори, Флориан|Florian Cajori]] |заглавие=A History of Mathematical Notations |ссылка=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0 |год=1993 |издательство=[[Dover Publications]] |страницы=''pp.'' 229—230 |isbn=0486677664}}</ref><ref>{{статья |jstor=2973180 |автор=Karpinski, Louis C. |заглавие=Algebraical Developments Among the Egyptians and Babylonians |год=1917 |язык=en |издание=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] |тип=journal |том=24 |номер=6 |страницы=259 |doi=10.2307/2973180 |mr=1518824 |jstor=2973180}}</ref>.

=== Сложение ===
Если при сложении получается число, большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

'''Например''': 2343 + 1671

<hiero>M12-M12-V1*V1:V1-V20*V20:V20*V20-Z1:Z1:Z1</hiero> +
<hiero>M12-V1*V1*V1:V1*V1*V1-V20*V20*V20*V20:V20*V20*V20*Z1</hiero>

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

<hiero>M12-M12-M12-V1*V1*V1*V1*V1:V1*V1*V1*V1*V20-V20*V20*V20*V20*V20:V20*V20*V20*V20*V20-Z1*Z1:Z1*Z1</hiero>

Преобразуем:

<hiero>M12-M12-M12-V1*V1*V1*V1*V1:V1*V1*V1*V1*V1-V20-Z1*Z1:Z1*Z1</hiero>

Окончательный результат (4014) выглядит вот так:

<hiero>M12*M12:M12*M12-V20-Z1*Z1:Z1*Z1</hiero>
=== Умножение ===
{{другое значение|Основная статья: [[Умножение в Древнем Египте]]}}
Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель

=== Разложение ===
Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

'''1''' x 2 = ''2''

'''2''' x 2 = ''4''

'''4''' x 2 = ''8''

'''8''' x 2 = ''16''

'''16''' x 2 = ''32''

Пример разложения числа 25:

* Кратный множитель для числа «25» — это 16.
* 25 — 16 = 9,
* Кратный множитель для числа «9» — это 8,
* 9 — 8 = 1,
* Кратный множитель для числа «1» — это 1,
* 1 — 1 = 0

Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример: умножим «13» на «238»:

{| border="0"
|-----
| ✔ || 1 х 238 ||= 238
|-----
|-----
| ✔ || 4 х 238 ||= 952
|-----
| ✔ || 8 х 238 ||= 1904
|-----
| colspan="8" | <hr />
|-----
|
 || 13 х 238 ||= 3094
|}

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Древние египтяне отличали деление на два от деления на другие числа, поскольку их алгоритм умножения использовал деление на два как один из промежуточных этапов<ref>{{Книга |ссылка=https://books.google.ru/books?id=GjZSngEACAAJ&dq=isbn:9783540633693&hl=ru&sa=X&ved=0ahUKEwib1Kve4szgAhXLo4sKHe-MAWcQ6AEIKDAA |автор=Jean-Luc Chabert |заглавие=A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip |год=1999 |издательство=Springer Berlin Heidelberg |страниц=524 |isbn=9783540633693 |archivedate=2019-02-21 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20190221165635/https://books.google.ru/books?id=GjZSngEACAAJ&dq=isbn:9783540633693&hl=ru&sa=X&ved=0ahUKEwib1Kve4szgAhXLo4sKHe-MAWcQ6AEIKDAA }}</ref>.

=== Уравнения ===
[[Файл:Egypt equation.gif|right|thumb|320px|<center>Иероглифическая запись уравнения <math>x\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+1\right)=37</math></center>]]
Пример задачи из [[Папирус Ахмеса|папируса Ахмеса]]:
: ''Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10''.

== Геометрия ==

=== Вычисление площадей ===
В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как <math>S = \frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2}</math>; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Египтяне предполагали, что площадь круга ''S'' диаметром ''d'' равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра: <math>S =\left(d - \frac {d} {9} \right)^2 = \left( \frac {8} {9} d \right)^2.</math> Это правило соответствует приближению <math>\pi \approx 4\cdot\left( \frac {8} {9} \right)^2</math> ≈ 3,1605 (погрешность менее 1 %){{sfn |История математики, том I|1970|с=30—32. }}..

Некоторые исследователи<ref>{{Книга |автор=W. W. Struve |заглавие=Mathematischer Papyrus des Museum in Moskau |год=1930 |издание=Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A |место=Berlin |издательство=Springer |страницы=157}}</ref> на основании [[Московский математический папирус#Задача № M10 Московского математического папируса|10-й задачи Московского математического папируса]] считали, что египтяне знали точную формулу для вычисления площади сферы, однако другие учёные с этим не согласны{{sfn |История математики, том I|1970|с=31—32. }}<ref>''Ван дер Варден Б. Л.'' Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, стр. 44-45</ref>.

=== Вычисление объёмов ===
[[Файл:Clepsydre-oxyrhynchus-borchardt.jpg|thumb|right|Реконструкция водяных часов по чертежам из [[Оксиринх]]а]]
Египтяне могли высчитывать объёмы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид.
Для вычисления объёма усечённой пирамиды египтяне пользовались следующим правилом (Задача № M14 [[Московский математический папирус|Московского математического папируса]]): пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания ''a'', верхнего ''b'' и высотой ''h''; тогда объём вычислялся по следующей (правильной) формуле:
:<math>V = (a^2+ab+b^2)\cdot\frac {h} {3}.</math>

Древний свиток папируса, найденный в [[Оксиринх]]е, свидетельствует, что египтяне могли вычислять также объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения [[водяные часы|водяных часов]]. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены [[водяные часы в Карнаке]]{{Нет АИ|19|4|2015}}.

=== Египетский треугольник ===
{{main|Египетский треугольник}}
Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. [[Плутарх]] в первом веке об этом треугольнике в сочинении «Об [[Исида|Исиде]] и [[Осирис]]е» писал: «видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников». Возможно, именно из-за этого этот треугольник получил название египетского<ref>{{Книга |ссылка=http://vvprasolov.livejournal.com/67259.html |автор=[[Прасолов В. В.]] |заглавие=История математики |год=2013 |часть=Глава 1. Древний Египет и Вавилон |ссылка часть=https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/glava1_print.pdf |издательство=(не публиковалась) |страницы=5 |archivedate=2015-04-18 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150418014633/http://vvprasolov.livejournal.com/67259.html }}</ref>. Действительно, греческие учёные сообщали, что в Египте для построения прямого угла использовалась верёвка, разделённая на 12 частей.

Египетский треугольник активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Историк [[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден]] попытался поставить этот факт под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили<ref>Ван дер Варден Б. Л. ''Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции''. М.: Физматлит, 1959, С. 13, подстрочное примечание</ref>.
В любом случае, нет никаких свидетельств, что в Древнем Египте была известна [[теорема Пифагора]] в общем случае (в отличие от [[Вавилонская математика|Древнего Вавилона]]){{sfn |История математики, том I|1970|с=31. }}.

== См. также ==
* [[Папирус Ахмеса]] (Ринда)
* [[Московский математический папирус]]
* [[Египетская система счисления]]
* [[Египетские дроби]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{Книга |ref=Ван дер Варден |ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Person/Modern/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm |автор=Ван дер Варден. |заглавие=Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции |год=1959 |место=М. |издательство=Наука |страниц=456}}
* ''Веселовский И. Н.'' Египетская наука и Греция. Труды ИИЕ, 2, 1948, с. 426—498.
* {{Книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |заглавие=Арифметика и алгебра в древнем мире |год=1967 |место=М. |издательство=Наука}}
* {{Книга |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm |автор=Депман И. Я. |заглавие=История арифметики. Пособие для учителей |год=1965 |издание=Изд. второе |место=М. |издательство=Просвещение |страниц=416}}
* {{Книга |ref=История математики, том I |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах |год=1970 |часть=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени |место=М. |издательство=Наука |том=I}}
* {{Книга |ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Person/Modern/Neigebauer/N_Lek_Ogl.htm |автор=Нейгебауер О. |заглавие=Лекции по истории античных математических наук |год=1937 |место=Москва-Ленинград}}
* {{Статья |автор=Раик А. Е. |заглавие=Две лекции о египетской и вавилонской математике |год=1959 |место=М. |издание=[[Историко-математические исследования]] |издательство=[[Физматгиз]] |номер=12 |страницы=271—320}}
* ''Раик А. Е.'' Очерки по истории математики в древности. Саранск: Мордовское гос. изд-во, 1977.
* ''Gillings R. J.'' Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge: MIT Press, 1972.
* ''Rossi C.'' Architecture and mathematics in Ancient Egypt. Cambridge (UK): Cambridge UP, 2004.
* ''Vogel K.'' Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrödel, 1958.

== Ссылки ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Математика}}
{{вс}}
{{-}}{{История математики}}

[[Категория:Математика в Древнем Египте|*]]