Просмотр кода страницы Математическая формула

{{эта статья|об обозначениях элементарной математики|Математические обозначения|Для более общего контекста}}

'''Математи́ческая фо́рмула''' (от {{lang-la|[[:wikt:formula|formula]]}} — уменьшительное от forma — образ, вид) в [[Математика|математике]], а также [[Физика|физике]] и других [[Естественные науки|естественных науках]] — символическая запись [[Высказывание (логика)|высказывания]] (которое выражает [[Суждение|логическое суждение]]{{sfn|Чупахин, Бродский|1977|с=200}}), либо [[Высказывание (логика)#Формы высказываний|формы высказывания]]{{sfn|Колмогоров, Драгилин|2006|с=13—15}}. Формула, наряду с [[Терм (логика)|термами]], является разновидностью [[Выражение (математика)|выражения]] формализованного языка.
В более широком смысле формула — всякая чисто символьная запись (см. [[#Другие разновидности «формул»|ниже]]), противопоставляемая в математике различным выразительным способам, имеющим [[геометрия|геометрическую]] коннотацию: [[чертёж|чертежам]], [[График функции|графикам]], [[диаграмма]]м, [[граф (математика)|графам]] и т. п.
[[Файл:RR5115-0023R Просвещение.gif|right|255px]]

== Основные виды (численных) формул ==
Как правило, в формулу входят [[Переменная величина|переменные]] (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое [[высказывание (логика)|суждение]]. Такое суждение может утверждать что-то о переменных, а может — о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распространённых случая:
* Формула должна сообщить, как искать значения переменной ([[#Уравнения|уравнения]] и т. п.);
* Формула (записываемая как «''искомое'' = ''выражение''») ''[[определение (логика)|определяет]]'' величину через свои параметры (аналогично [[присваивание|присваиванию]] в программировании и иногда записывается через диграф «:=» как в языке [[Pascal]], но в принципе может считаться вырожденным частным случаем уравнения);
* Формула является собственно логическим утверждением: [[#Тождества|тождеством]] (например, аксиомой), утверждением теоремы и т. п.

=== Уравнения ===
{{main|Уравнение}}
Уравнение — формула, внешняя (верхняя) связка которого представляет собой [[бинарное отношение]] [[равенство (математика)|равенства]]. Однако важная особенность уравнения заключается также в том, что входящие в него символы делятся на переменные и ''параметры'' (присутствие последних, впрочем, необязательно). Например, <math>x^2 = 1</math> является уравнением, где <var>x</var> — переменная. Значения переменной, при которых равенство истинно, называются [[корень уравнения|корнями уравнения]]: в данном случае таковыми являются два числа [[1 (число)|1]] и [[−1 (число)|−1]]. Как правило, если уравнение на одну переменную не является тождеством (см. ниже), то корни уравнения представляют собой дискретное, чаще всего [[конечное множество|конечное]] (возможно и [[пустое множество|пустое]]) множество.

Если в уравнение входят параметры, то его смысл — для заданных параметров найти корни (то есть значения переменной, при котором равенство верно). Иногда это можно сформулировать как нахождение [[неявная функция|неявной зависимости]] переменной от параметра (параметров). Например <math>x^2 = a</math> понимается как уравнение на <var>x</var> (это обычная буква для обозначения переменной, наряду с <var>y</var>, <var>z</var> и <var>t</var>). Корнями уравнения является [[квадратный корень]] из <var>a</var> (считается, что их имеется два, разных знаков).
Подобная формула, сама по себе, задаёт лишь бинарное отношение между <var>x</var> и <var>a</var> и её можно понимать в обратную сторону, как уравнение на <var>a</var> относительно <var>x</var>. В данном элементарном случае, речь может идти скорее об определении <var>a</var> через <var>x</var>: <math>a = x^2</math>.

=== Тождества ===
{{see also|Тождество}}
Тождество — суждение, верное [[квантор всеобщности|при ''любых'']] значениях переменных. Обычно, под тождеством подразумевают тождественно верное равенство, хотя снаружи тождества может стоять и неравенство или какое-либо другое отношение. Во многих случаях тождество можно понимать как некое [[свойство (логика)|свойство]] используемых в нём [[операция (математика)|операций]], например тождество <math>a+b = b+a</math> утверждает [[коммутативность]] сложения.

С помощью математической формулы довольно сложные предложения могут быть записаны в компактной и удобной форме. Формулы, становящиеся истинными при любом замещении переменных конкретными объектами из некоторой области, называются тождественно-истинными в данной области. Например: «для любых <var>a</var> и <var>b</var> имеет место равенство <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>». Данное тождество можно [[логический вывод|вывести]] из [[аксиома|аксиом]] сложения и умножения в коммутативном [[кольцо (алгебра)|кольце]], которые сами по себе также имеют вид тождеств.

Тождество может и не включать в себя переменные и являться арифметическим (или каким-то ещё) равенством, как например <math>6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3</math>.

=== Приближённые равенства ===
{{see also|Приближение (математика)}}
Например:
<math>x \approx \sin(x)</math> — приближённое равенство при малых <math>x</math>;
{{Дополнить раздел|дата=2016-06-30}}

=== Неравенства ===
{{main|Неравенство}}
Формула-неравенство может пониматься в обоих описанных в начале раздела смыслах: как тождество (например, [[неравенство Коши — Буняковского]]) или же, подобно уравнению, как задача на отыскание множества (а точнее, [[подмножество|подмножества]] области определения), которому может принадлежать переменная, или переменные.
{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}

== Используемые операции ==
{{see also|Алгебраическое выражение}}
В данном разделе будут перечислены операции, используемые в [[алгебра|алгебре]], а также некоторые общеупотребительные функции из [[математический анализ|математического анализа]].

=== Сложение и вычитание ===
{{see also|Сложение|Вычитание}}
Используются знаки «[[+]]» и «[[−]]» (последний на письме довольно слабо отличим от [[дефис]]а).
Унарный минус чаще используется лишь при первом (левом) слагаемом, поскольку другие случаи, типа «''a'' + (−''b'')» и «''a'' − (−b)», ничем не отличаются по смыслу от более простых «''a'' − ''b''» и «''a'' + ''b''» соответственно.

По причине [[Ассоциативность (математика)|ассоциативности]] сложения расстановка скобок для задания порядка выполнения сложения не имеет математического<!-- вычислительный смысл оно как раз очень даже иметь может --> смысла.
В алгебре ''слагаемыми'' называют аргументы как сложения, так и вычитания. Порядок выполнения вычитания при отсутствии скобок таков, что вычитаемым оказывается лишь член, выписанный непосредственно справа от знака вычитания, а не результат выполнения операций каких-либо сложения и вычитания, записанных правее. Таким образом, со знаком минус входят в сумму лишь те «слагаемые», непосредственно слева от которых знак «−» имеется.

=== Умножение ===
{{see also|Умножение}}
Знак умножения чаще всего опускается. Это не вызывает двусмысленности, поскольку переменные обозначаются обычно одиночными буквами, а выписывать умножение записанных цифрами [[Математическая константа|констант]] друг на друга бессмысленно. В редких случаях, когда двусмысленности не избежать, умножение обозначается центрированным по вертикали символом точки «·». Символ «×» применяется лишь в школьной арифметике, в технических текстах (в особом контексте), а также некоторые системы вставляют его на месте знака умножения при [[перенос (типографика)|переносе]] формулы на другую строку (обычно перенос по знаку умножения избегается).
{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}

=== Деление ===
{{main|Дробь (математика)}}
[[Деление (математика)|Деление]] в формулах записывается при помощи дробной черты. В школьной арифметике применяется также «÷» ([[обелюс]]).
{{Дополнить раздел|дата=2016-06-30}}

=== Возведение в степень ===
{{see also|Возведение в степень}}
{{Пустой раздел|дата=2016-06-30}}

=== Элементарные функции ===
{{see also|Элементарные функции}}
{{Пустой раздел|дата=2016-06-30}}

=== Абсолютная величина, знак и т. п. ===
{{see also|Абсолютная величина|sgn(x)}}
{{Пустой раздел|дата=2016-06-30}}

=== Приоритет операций и скобки ===
{{see also|Приоритет операции}}
{{Дополнить раздел|дата=2016-06-30}}

Приоритет, ранг или старшинство операции или оператора — формальное свойство оператора/операции, влияющее на очерёдность его выполнения в выражении с несколькими различными операторами при отсутствии явного (с помощью скобок) указания на порядок их вычисления. Например, операцию умножения обычно наделяют бо́льшим приоритетом, чем операцию сложения, поэтому в выражении будет получено сначала произведение y и z, а потом уже сумма.

== Примеры ==
Например:

<math>2 + 2 = 5
</math> — пример формулы, имеющей значение «ложь»;

<math> y = \ln(x)+\sin(x)</math> — функция одного действительного аргумента;

<math>z=\frac{y^3}{y^2+x^2}</math> — функция нескольких аргументов (график кривой — [[Верзиера|верзиеры]]);

<math>y = 1 - | 1 - x |</math> — не дифференцируемая функция в точке <math> x = 1</math> (непрерывная ломаная линия не имеет касательной);

<math>x^3 + y^3 = 3axy</math> — уравнение, то есть неявная функция (график кривой «[[декартов лист]]»);

<math> t_n=n!</math> — [[целые числа|целочисленная]] функция;

<math> y =y^3 \sin(nx)</math> — [[чётная функция]];

<math> y = \operatorname{tg}(x)</math> — [[нечётная функция]];

<math> f(P) = \sqrt {x^2+y^2+z^2}</math> — функция точки, расстояние от точки до начала (декартовых) координат;

<math> y = \frac{1}{x - 3}</math> — разрывная функция в точке <math>x = 3</math>;

<math> x=a[t-\sin(t)]\,;\ y=a[1-\cos(t)]</math> — параметрически заданная функция (график [[циклоида|циклоиды]]);

<math>y=\ln(x),\ x=e^y</math> — прямая и обратная функции;

<math>f(x) = \int\limits_{-\infty}^x |f(t)|\,dt</math> — интегральное уравнение.

== В филателии ==
{{main|Десять математических формул, изменивших облик Земли (серия марок)}}
Математические формулы нередко изображаются на [[почтовая марка|почтовых марках]] разных стран, например, на посвящённых известным учёным, представляя открытые ими закономерности. Примечательна серия почтовых марок, посвящённая самим математическим формулам. Это [[история почты и почтовых марок Никарагуа|почтовый выпуск]] [[Никарагуа]] 1971 года — серия из 10 почтовых марок под названием  «10 математических формул, которые изменили лик Земли» ({{lang-es|Las 10 formulas matematicas que cambiaron la faz de la Tierra}}). На них представлены [[теорема Пифагора]], [[рычаг|закон Архимеда]], [[Классическая теория тяготения Ньютона|закон Ньютона]], [[формула Циолковского]], [[Волна де Бройля|формула де Бройля]], [[формула Эйнштейна]] и др. На обратной стороне каждой марки помещено описание соответствующей формулы{{Скотт|877-881,C761-C765}}.

== См. также ==
* [[Алгебраическое выражение]] — математическое обозначение, не выражающее законченной мысли.
* [[Выражение (математика)]]
* [[Интерполяционные формулы]]
* [[Рекуррентная формула]]
* [[Трансцендентная функция]]
* [[Формула Симпсона]]
* [[Формула Эйлера]]
* [[ISO 31]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор= Чупахин И.Я., [[Бродский, Иосиф Нусимович|Бродский И.Н.]]|часть= |ссылка часть= |заглавие= Формальная логика|оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= |издание= |место= Ленинград|издательство= Издательство Ленинградского университета|год= 1977|том= |страницы= |столбцы= |страниц= 357|серия= |isbn= |тираж= |ref= Чупахин, Бродский}}
* {{книга |автор= [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А.Н.]], [[Драгилин, Альберт Григорьевич|Драгилин А.Г.]]|часть= |ссылка часть= |заглавие= Математическа логика|оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= |издание= |место= М.|издательство= КомКнига|год= 2006|том= |страницы= |столбцы= |страниц= 240|серия= |isbn= 5-484-00520-5|тираж= |ref= Колмогоров, Драгилин}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20071011072037/http://philipp-bittner.com/Bse/STRU-YA/2728.htm Большая советская энциклопедия]{{недоступная ссылка|число=28|месяц=08|год=13}}
* [http://lesovikov.livejournal.com/1054316.html Самые красивые физические и математические формулы]
* [https://web.archive.org/web/20120204231410/http://gabriel-solodova.narod.ru/form.htm Красивые формулы элементарной математики]{{недоступная ссылка|число=28|месяц=08|год=13}}
* [http://www.yugzone.ru/x/spravochnik-po-vyssheiy-matematike/ М. Я. Выгодский. Справочник по высшей математике]{{Недоступная ссылка|date=Июль 2018 |bot=InternetArchiveBot }}
* [ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logic/sets/part1pdf.zip]{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}

[[Категория:Элементарная математика]]