Просмотр кода страницы Матрица плотности

'''Матрица плотности''' (оператор плотности, оператор матрица плотности, статистический оператор) — один из способов описания состояния [[квантовая механика|квантовомеханической]] системы. В отличие от [[волновая функция|волновой функции]], пригодной лишь для описания [[чистое состояние|чистых состояний]], оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так и [[Смешанное состояние|смешанные состояния]]. Основанный на понятии оператора плотности формализм был предложен независимо [[Ландау, Лев Давидович|Л.&nbsp;Д.&nbsp;Ландау]]<ref>''Ландау Л. Д.'', Ztshr. Phys. Bd. 45. S. 430 (1927) // ''Ландау Л. Д.'' «Проблема затухания в волновой механике» в книге «Ландау Л. Д. Собрание трудов.» Том 1. М.: Наука, 1969. стр 19-31.</ref> и  [[фон Нейман, Джон|Дж.&nbsp;фон Нейманом]]<ref>''J. von Neumann'', Göttingen Nachr., 245-272 (1927). См. также 
''Дж. фон Нейман''. Математические основы квантовой механики, — {{М}}: Наука 1964.</ref> в [[1927 год]]у<ref>Ландау ввёл в квантовую механику понятие матрицы плотности на несколько месяцев раньше фон Неймана, но более систематически формализм был развит фон Нейманом.</ref> и [[Блох, Феликс|Ф.&nbsp;Блохом]]<ref> ''F. Bloch'', Nuclear induction. Phys. Rev. 70, 460 (1946).</ref> в [[1946 год]]у.

== Определение ==
Оператор плотности — это [[Положительно определённая матрица|неотрицательный]] [[самосопряженный оператор]] с единичным следом, действующий в [[Сепарабельное пространство|сепарабельном]] [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]. Равенство следа единице соответствует единичной нормировке полной вероятности на данном пространстве состояний.

В качестве стандартного обозначения для оператора плотности применяется буква <math>\rho</math>. Оператором плотности, отвечающим чистому состоянию <math>|\psi\rang,</math> является ортогональный [[Проектор (математика)|проектор]]
: <math>\rho^2 = \rho ,</math>
что позволяет его представить в виде
: <math>\rho = |\psi\rang \lang \psi|</math>.

Смешанное состояние, отвечающее случаю, когда система находится в каждом из состояний <math> |\psi_j \rang </math> с вероятностью <math>p_j</math>, описывается оператором плотности вида
: <math> \rho = \sum_j p_j |\psi_j \rang \lang \psi_j| , </math>
где
: <math> \sum_j p_j =1,\qquad \lang \psi_j|\psi_j \rang = 1 </math>.

Среднее значение наблюдаемой <math>A</math> для состояния, заданного матрицей плотности <math>\rho</math>, представляет собой [[След оператора|след]] произведения операторов <math>A</math> и <math>\rho</math>:
: <math> \lang A\rang = \operatorname{Tr} (A\rho)</math>.

Несложно видеть{{Обтекаемые выражения}}, что обычное правило нахождения средней от наблюдаемой для чистых состояний представляет собой [[Частный случай формулы|частный случай]] этой формулы.

== Свойства ==
* Производная по времени от оператора плотности гамильтоновой квантовой системы выражается через [[Коммутатор операторов|коммутатор]] с [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтонианом]] в виде уравнения
*: <math> \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{1}{i \hbar} [ \mathcal{H}, \rho ]</math>
: Это уравнение часто называется квантовым уравнением Лиувилля и [[уравнение фон Неймана|уравнением фон Неймана]].

* След матрицы плотности равен единице в силу нормировки полной вероятности:
*: <math>\operatorname{Tr}(\rho) = 1</math>
* След квадрата матрицы плотности равен единице для чистых состояний и всегда меньше единицы для смешанных:
*:<math>\operatorname{Tr}(\rho^2)\leq1</math> &nbsp; и &nbsp; <math>\operatorname{Tr}(\rho^2) = 1 \iff  \exists |\psi\rang  :  \rho = |\psi\rang \lang \psi|</math>

== Применение ==

Использование оператора плотности становится необходимым, если состояние квантовомеханической системы по тем или иным причинам не может быть рассмотрено как чистое. Такое положение имеет место, в частности, в [[квантовая статистика|квантовой статистике]]. При этом оператор плотности оказывается естественным аналогом фигурирующей в классической статистической механике [[функция распределения (статистическая механика)|функции распределения]] плотности в фазовом пространстве. Кроме того, существует трактовка квантовомеханической процедуры измерения как перехода из исходного [[чистое состояние|чистого состояния]] <math>|\psi\rang</math> в смешанное состояние

: <math>\rho = \sum_j | e_j \rang |\lang e_j | \psi\rang|^2 \lang e_j |</math>,

где <math>| e_j\rang</math> суть отвечающие выбранному полному набору измеряемых величин базисные векторы.

Последнее является частным случаем описания [[Открытая система (квантовая механика)|открытых квантовых систем]], к которым относятся в том числе системы, подверженные наблюдению извне. Вообще говоря, формализм описания открытых систем, взаимодействующих с окружающей средой, с помощью матрицы плотности полезен при исследовании явления [[декогеренция|декогеренции]], когда состояние системы не может рассматриваться как чистое, а само явление приводит к распаду внедиагональных матричных элементов оператора плотности (в базисе собственных значений оператора взаимодействия) и, соответственно, к переходу системы в [[смешанное состояние]].

== Обобщение на случай бесконечномерного пространства ==
В случае бесконечномерных гильбертовых пространств основным объектом становится не матрица плотности <math>\rho</math>, а её ядро. Ядро матрицы плотности в координатном представлении
: <math>\rho(x, x')=\lang x|\rho|x' \rang ,</math>
где <math>|x\rang</math> — собственное состояние оператора координаты <math>x</math>.

Свойства ядра матрицы плотности:
# Эрмитовость: <math>\rho^*(x, x') =\rho(x, x')</math>.
# Диагональные элементы матрицы плотности <math>\rho(x, x) \geq 0</math>.
# След матрицы плотности <math> \textstyle{\int} dx\rho(x, x) = 1</math>.
# След квадрата матрицы плотности <math> \textstyle{\int} dx dx' |\rho(x, x')| \leq 1</math>, причём равенство достигается только для чистых состояний.
# Среднее значение наблюдаемой <math>A</math> вычисляется по формуле <math>\lang A \rang = \textstyle{\int} dx dx' A(x, x') \rho(x, x')</math>, где <math>A(x, x')=\lang x| A | x'\rang</math> — ядро оператора <math>A</math> в координатном представлении.

== Чистые и смешанные состояния ==
{{переработать раздел|дата=2011-06-21}}
В [[квантовая механика|квантовой механике]] [[квантовое состояние|состояние]] квантовой системы может быть описано вектором состояния  <math>| \psi \rangle </math>. В этом случае говорят о '''чистом состоянии'''. Однако также возможно для системы в статистическом ансамбле различных векторов состояния: например, может быть 50% вероятности того, что вектор состояния <math>| \psi_1 \rangle </math>, и 50% вероятности того, что вектор состояния <math>| \psi_2 \rangle </math>. Эта система будет в смешанном состоянии. Матрицы плотности особенно полезны для смешанных состояний, поскольку любое состояние, чистое или смешанное, можно охарактеризовать матрицей плотности.

Смешанное состояние отличается от квантовой суперпозиции. На самом деле [[квантовая суперпозиция]] чистого состояния — это другое чистое состояние, например, <math>| \psi \rangle = (| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2} </math>. С другой стороны, примером смешанного состояния <math>A</math> будет <math>A = (| \psi_1 \rangle + e^{i\theta} | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2} </math>, где <math>\theta</math> является вещественным числом, которое изменяется случайным образом между различными фотонами.

== См. также ==

* [[Теория функционала плотности]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==

* {{книга
 |автор        = Белоусов Ю. М., Манько В. И.
 |заглавие     = Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике
 |город        = М.
 |издательство = МФТИ
 |год          = 2004
 |страниц      = 163
}}
* {{книга
 |автор        = Блум К.
 |заглавие     = Теория матрицы плотности и её приложения
 |город        = М.
 |издательство = Мир
 |год          = 1983
 |страниц      = 248
}}
* {{книга
 |автор        = Бондарев Б. В.
 |заглавие     = Метод матриц плотности в квантовой теории кооперативных явлений
 |город        = М.
 |издательство = Спутник+
 |год          = 2001
 |страниц      = 250
}}
* {{книга
 |автор        = Боум А.
 |заглавие     = Квантовая механика: основы и приложения
 |город        = М.
 |издательство = Мир
 |год          = 1990
 |страниц      = 720
}}
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|1989}} — § 14.
* {{книга
 |автор        = Местечкин М. М.
 |заглавие     = Метод матрицы плотности в теории молекул
 |город        = К.
 |издательство = Наукова думка
 |год          = 1977
 |страниц      = 352
}}
* {{книга
 |автор        = фон Нейман Дж.
 |заглавие     = Математические основы квантовой механики
 |город        = М.
 |издательство = Наука
 |год          = 1964
 |страниц      = 368
}}

[[Категория:Квантовая механика]]