Просмотр кода страницы Матричный логарифм

'''Матричный логарифм''' — [[Матрица (математика)|матрица]], для которой [[экспонента матрицы|матричная экспонента]] равна исходной матрице — обобщение [[логарифм]]а и в некотором смысле [[обратная функция]] [[экспонента матрицы|матричной экспоненты]]. Не все матрицы имеют логарифм, но те матрицы, которые имеют логарифм, могут иметь более одного логарифма. Изучение логарифмов матриц приводит к {{iw|Теория Ли|теории Ли|en|Lie theory}}, так как если матрица имеет логарифм, то она является элементом [[Группа Ли|группы Ли]], а логарифм является соответствующим элементом векторного пространства [[Алгебра Ли|алгебры Ли]].

== Определение ==
[[экспонента матрицы|Матричная экспонента]] ''A'' определяется как:
: <math>e^{A} \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \frac{A^{n}}{n!}</math>.
Дана матрица ''B'', другая матрица ''A'' называется '''матричным логарифмом''' от {{math|''B'', если ''e''<sup>''A''</sup> {{=}} ''B''}}. Поскольку экспоненциальная функция не является [[Биекция|биективной]] для комплексных чисел (например <math>e^{\pi i} = e^{3 \pi i} = -1</math>), числа могут иметь несколько комплексных логарифмов, и, как следствие этого, некоторые матрицы могут иметь более одного логарифма, как объясняется ниже.

== Выражение степенного ряда ==
Если ''B'' достаточно близка к единичной матрице, то логарифм ''B'' можно вычислить с помощью следующего степенного ряда:
: <math>\log(B)= \sum_{k=1}^\infty{(-1)^{k+1}\frac{(B-I)^k}{k}} =(B-I)-\frac{(B-I)^2}{2}+\frac{(B-I)^3}{3}-\frac{(B-I)^4}{4}+\cdots</math>.
В частности, если <math>\left\|B-I\right\|<1</math>, то предыдущий ряд сходится и <math>e^{\log(B)}=B</math><ref>{{harvnb|Hall|2015}} Theorem 2.8</ref>.

== Пример: Логарифм вращений на плоскости ==
Вращение на плоскости даёт простой пример. Вращение на угол ''α'' вокруг начала координат представляется матрицей 2×2

: <math> A =
\begin{pmatrix}
\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\
\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \\
\end{pmatrix}.
</math>

Для любого целого числа ''n'' матрица

: <math>
B_n=(\alpha+2\pi n)
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0\\
\end{pmatrix},
</math>

является логарифмом ''A''. <br>

{{Collapse top|title=Доказательство}}

<math>
\log(A) =B_n~</math><math>~~e^{B_n} =A
</math><br><br>

<math>
e^{B_n} = \sum_{k=0}^\infty{1 \over k!}B_n^k
~</math> где <br>

<math>
(B_n)^0=
1~I_2,
</math><br>

<math>
(B_n)^1=
(\alpha+2\pi n)\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
+1 & 0\\
\end{pmatrix},
</math><br>

<math>
(B_n)^2=
(\alpha+2\pi n)^2\begin{pmatrix}
-1 & 0  \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix},
</math><br>

<math>
(B_n)^3=
(\alpha+2\pi n)^3\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0\\
\end{pmatrix},
</math><br>

<math>
(B_n)^4=
(\alpha+2\pi n)^4~I_2
</math><br>
… <br>

<math>
\sum_{k=0}^\infty{1 \over k!}B_n^k =\begin{pmatrix}
\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\
\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \\
\end{pmatrix} =A~.
</math>
<br>
ч. т. д.

{{Collapse bottom}}<br>

Таким образом, матрица ''A'' имеет бесконечно много логарифмов. Это соответствует тому факту, что угол поворота определяется только до кратных 2''π''.

На языке теории Ли матрицы вращения ''A'' являются элементами группы Ли [[U(1)|SO(2)]]. Соответствующие логарифмы ''B'' являются элементами алгебры Ли SO(2), которая состоит из всех [[Кососимметричная матрица|кососимметричных матриц]]. Матрица

: <math>
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0\\
\end{pmatrix}
</math>

является генератором [[Алгебра Ли|алгебры Ли]] so(2).

== Существование ==
Вопрос о том, имеет ли матрица логарифм, имеет самый простой ответ, когда рассматривается в комплексной постановке. Комплексная матрица имеет логарифм [[тогда и только тогда]], когда она является [[Невырожденная матрица|невырожденной]]<ref>{{harvtxt|Higham|2008}}, Theorem 1.27</ref>. Логарифм не является единственным, но если матрица не имеет отрицательных действительных собственных значений, то существует единственный логарифм, собственные значения которого лежат на {''z'' ∈ '''C''' | −π < Im ''z'' < π}. Этот логарифм известен как ''главный логарифм''<ref>{{harvtxt|Higham|2008}}, Theorem 1.31</ref>.

В реальных условиях ответ более сложен. Действительная матрица имеет действительный логарифм тогда и только тогда, когда она обратима и каждый [[Жорданова матрица|Жорданов блок]], относящийся к отрицательному собственному числу, встречается чётное число раз<ref>{{harvtxt|Culver|1966}}</ref>. Если обратимая вещественная матрица не удовлетворяет условию с Жордановыми блоками, то она имеет только невещественные логарифмы. Это можно увидеть в скалярном случае: ни одна ветвь логарифма не может быть вещественна при −1. Существование вещественных матричных логарифмов вещественных матриц размера 2×2 рассматривается в следующем разделе.

== Подстановка ==
Если ''A'' и ''B'' обе являются [[положительно определённая матрица|положительно определёнными матрицами]], тогда
: <math>\operatorname{tr}{\log{(AB)}} = \operatorname{tr}{\log{(A)}} + \operatorname{tr}{\log{(B)}}.</math>

Предположим, что ''A'' и ''B'' коммутируют, это означает, что ''AB'' = ''BA''. Тогда
: <math>\log{(AB)} = \log{(A)}+\log{(B)}. \, </math>
тогда и только тогда, когда <math>\operatorname{arg}(\mu_j) + \operatorname{arg}(\nu_j) \in (- \pi, \pi]</math>, где <math>\mu_j</math> является [[Собственный вектор|собственным вектором]] для <math>A</math> и <math>\nu_j</math> является соответственно [[Собственный вектор|собственным вектором]] для <math>B</math><ref>{{cite journal |last1=APRAHAMIAN |first1=MARY |last2=HIGHAM |first2=NICHOLAS J. |title=The Matrix Unwinding Function, with an Application to Computing the Matrix Exponential |journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications |year=2014 |volume=35 |issue=1 |page=97 |doi=10.1137/130920137 |url=https://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/130920137 |access-date=13 December 2022 |doi-access=free |archive-date=2022-12-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221213110451/https://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/130920137 |url-status=live }}</ref>. В частности, <math>\log(AB) = \log(A) + \log(B)</math>, когда ''A'' и ''B'' коммутируют и обе положительно определены. Подстановка ''B'' = ''A<sup>−1</sup>'' в это уравнение даёт
: <math> \log{(A^{-1})} = -\log{(A)}.</math>

Аналогично для некоммутирующих <math>A</math> и <math>B</math>, можно показать, что<ref>[https://www.ias.edu/sites/default/files/sns/files/1-matrixlog_tex(1).pdf  Unpublished memo] {{Wayback|url=https://www.ias.edu/sites/default/files/sns/files/1-matrixlog_tex(1).pdf |date=20230407111047 }} by S Adler (IAS)</ref>
: <math>\log{(A+tB)} = \log{(A)} + t\int_0^\infty dz ~\frac{I}{A+zI} B \frac{I}{A+zI} + O(t^2).</math>
В более общем случае, разложение ряда <math>\log{(A+tB)}</math> по степеням <math>t</math> можно получить, используя интегральное определение логарифма
: <math>\log{(X + \lambda I)} - \log{(X)} = \int_0^\lambda dz \frac{I}{X + zI},</math>
применимо к <math>X=A</math> и <math>X=A+tB</math> в пределе <math>\lambda\rightarrow\infty</math>.

== Дополнительный пример: Логарифм вращений в трёхмерном пространстве ==
Вращение {{mvar|R}} ∈ SO(3) в ℝ³ задается с помощью [[Ортогональная матрица|ортогональной матрицы]] размерности 3×3.

Логарифм такой матрицы вращения {{mvar|R}} можно легко вычислить из антисимметричной части [[Формула поворота Родрига|формулы поворота Родрига]], явно выраженной с помощью угла поворота вокруг оси. Таким образом, получим логарифм с минимальной [[Норма Фробениуса|нормой Фробениуса]], но это не работает, когда {{mvar|R}} имеет собственные значения, равные −1, где это не уникально.

Далее заметим, что, учитывая матрицы вращения ''A'' и ''B'', геодезическое расстояние на трёхмерном многообразии матриц вращения
: <math> d_g(A,B) := \| \log(A^\top B)\|_F </math>.

== Вычисление логарифма диагонализируемой матрицы ==
Метод нахождения ln ''A'' для [[Диагонализируемая матрица|диагонализируемой матрицы]] ''A'' заключается в следующем:
: Найдём матрицу ''V'' [[Собственный вектор|собственных векторов]] ''A'' (каждый столбец ''V'' является собственным вектором ''A'').
: Найдём [[Невырожденная матрица|невырожденную матрицу]] ''V''<sup>−1</sup> от ''V''.
: Пусть
:: <math> A' = V^{-1}  A  V.\, </math>
: Тогда ''A'' будет диагональной матрицей, диагональные элементы которой являются собственными значениями ''A''.
: Заменим каждый диагональный элемент ''A'' на его (натуральный) логарифм, чтобы получить <math> \log  A' </math>.
: Тогда
:: <math> \log A = V ( \log A' ) V^{-1}. \, </math>

То, что логарифм ''A'' может быть комплексной матрицей, даже если ''A'' вещественная, следует из того, что матрица с вещественными и положительными элементами может иметь отрицательные или даже комплексные собственные значения (это верно, например, для [[Матрица поворота|матрицы поворота]]). Неединственность логарифма матрицы следует из неединственности логарифма комплексного числа.

== Логарифм недиагонализуемой матрицы ==
Алгоритм, проиллюстрированный выше, не работает для недиагонализуемых матриц, таких как

: <math>\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}. </math>

Для таких матриц нужно найти её [[Жорданова матрица|нормальную форму Жордана]] и вместо вычисления логарифма диагональных элементов, как указано выше, можно было бы вычислить логарифм [[Жорданова матрица|Жордановой матрицы]].

Последнее достигается, если заметить, что можно записать жорданов блок в виде
: <math>B=\begin{pmatrix}
\lambda & 1       & 0       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & \lambda & 1       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & 0       & \lambda & 1      & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0       & 0       & 0       & 0      & \lambda & 1       \\
0       & 0       & 0       & 0      & 0       & \lambda \\\end{pmatrix}
=
\lambda \begin{pmatrix}
1 & \lambda^{-1}       & 0       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & 1 & \lambda^{-1}       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & 0       & 1 & \lambda^{-1}      & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0       & 0       & 0       & 0      & 1 & \lambda^{-1}       \\
0       & 0       & 0       & 0      & 0       & 1 \\\end{pmatrix}=\lambda(I+K)</math>
где ''K'' — матрица с нулями на главной диагонали и под ней. (Число является ненулевым в предположении, что матрица, логарифм которой пытаются взять, невырождена.)

Затем, по [[Ряд Меркатора|ряду Меркатора]]

: <math> \log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math>

получаем

: <math>\log B=\log \big(\lambda(I+K)\big)=\log (\lambda I) +\log (I+K)= (\log \lambda) I + K-\frac{K^2}{2}+\frac{K^3}{3}-\frac{K^4}{4}+\cdots </math>

Этот [[Ряд (математика)|ряд]] имеет конечное число членов (''K''<sup>''m''</sup> равен нулю, если ''m'' — размерность ''K''), и поэтому ряд сходится.

Используя этот подход, можно найти
: <math>\log \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}.</math>

== Перспектива функционального анализа ==
Квадратная матрица представляет собой [[линейное отображение]] на [[евклидово пространство]] '''R'''<sup>''n''</sup>, где ''n'' — это размерность матрицы. Поскольку такое пространство является конечномерным, этот оператор фактически является [[Ограниченный оператор|ограниченным]].

Используя инструменты {{iw|голоморфное функциональное исчисление|голоморфного функционального исчисления||Holomorphic functional calculus}}, учитывая что [[голоморфная функция]] ''f'' определена на [[Открытое множество|открытом множестве]] в [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] и линейный оператор ''T'' ограничен, можно рассчитать ''f''(''T'') до тех пор, пока ''f'' определена на [[Спектр оператора|спектре]] ''T''.

Функция ''f''(''z'')=log ''z'' может быть определена на любом [[Односвязное пространство|односвязном пространстве]] открытого множества в комплексной плоскости, не содержащем начало координат, и она голоморфна на такой области. Это означает, что можно определить ln ''T'' до тех пор, пока спектр ''T'' не содержит начало координат и существует путь из начала координат в бесконечность, не пересекающий спектр ''T'' (например, если спектр ''T'' представляет собой круг с началом координат внутри него, то невозможно определить ln ''T'').

Спектр линейного оператора на '''R'''<sup>''n''</sup> — это множество собственных значений его матрицы, и поэтому является конечным множеством. Пока начало координат не находится в спектре (матрица невырождена), условие пути из предыдущего раздела выполняется, и ln ''T'' однозначно определено. Неединственность матричного логарифма следует из того, что можно выбрать более одной ветви логарифма, который определён на множестве собственных значений матрицы.

== Перспектива теории групп Ли ==
В теории [[Группа Ли|групп Ли]] существует {{iw|Экспоненциальное отображение (теория Ли)|экспоненциальное отображение||Exponential map (Lie theory)}} из [[Алгебра Ли|алгебры Ли]] <math>\mathfrak{g}</math> к соответствующей группе Ли ''G''

: <math> \exp : \mathfrak{g} \rightarrow G. </math>

Для матричных групп Ли элементы <math>\mathfrak{g}</math> и ''G'' являются квадратными матрицами, а экспоненциальное отображение задаётся как [[экспонента матрицы]]. Обратное отображение <math> \log=\exp^{-1} </math> является многозначным и совпадает с обсуждаемым здесь матричным логарифмом. Отображение логарифма отображается из группы Ли ''G'' в алгебру Ли <math>\mathfrak{g}</math>.
Обратите внимание, что экспоненциальное отображение является локальным диффеоморфизмом между окрестностью ''U'' нулевой матрицы <math> \underline{0} \in \mathfrak{g}</math> и окрестностью ''V'' для единичной матрицы <math>\underline{1}\in G</math><ref>{{harvnb|Hall|2015}} Theorem 3.42</ref>.
Таким образом, (матричный) логарифм однозначно определён как отображение,
: <math> \log: G\supset V \rightarrow U\subset \mathfrak{g}.</math>

Важным следствием [[Формула Якоби|формулы Якоби]] является
: <math>\log (\det(A)) = \mathrm{tr}(\log A)~. </math>

== Ограничения в случае 2 × 2 ==
Если вещественная матрица 2 × 2 имеет отрицательный [[определитель]], она не имеет действительного логарифма. Прежде всего заметим, что любую вещественную матрицу 2 × 2 можно рассматривать как один из трёх типов комплексного числа ''z'' = ''x'' + ''y'' ε, где ε² ∈ { −1, 0, +1 }. ''z'' является точкой на комплексной подплоскости [[Кольцо (математика)|кольца]] матриц<ref>{{Wikibooks-inline|Abstract Algebra/2x2 real matrices}}</ref>.

Случай, когда определитель отрицателен, возникает только в плоскости с ε² =+1, то есть в плоскости [[Гиперболические числа|гиперболических чисел]]. Только одна четверть этой плоскости является образом экспоненциального отображения, поэтому логарифм определяется только в этой четверти (квадранте). Остальные три квадранта являются образами этого квадранта при [[Четверная группа Клейна|четверной группе Клейна]], порождённой ε и −1.

Например, пусть ''a'' = log 2 ; тогда cosh ''a'' = 5/4 и sinh ''a'' = 3/4.
Для матриц это означает, что
: <math>A=\exp \begin{pmatrix}0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}\cosh a & \sinh a \\ \sinh a & \cosh a  \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1.25 & .75\\ .75 & 1.25 \end{pmatrix}</math>.
Итак, эта последняя матрица имеет логарифм:
<math>\log A = \begin{pmatrix}0 & \log 2 \\ \log 2 & 0 \end{pmatrix}</math>.

Однако эти матрицы не имеют логарифма:
<math>\begin{pmatrix}3/4 & 5/4 \\ 5/4 & 3/4 \end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix}-3/4 & -5/4 \\ -5/4 & -3/4\end{pmatrix}, \ 
\begin{pmatrix}-5/4 & -3/4\\ -3/4 & -5/4 \end{pmatrix}</math>.
Они представляют три других сопряжения четверной группы матрицы выше, которая имеет логарифм.

Невырожденная матрица 2 x 2 не обязательно имеет логарифм, но она сопряжена по четверной группе с матрицей, которая имеет логарифм.

Из этого также следует, что, например, [[квадратный корень]] из матрицы 2x2 ''A'' можно получить непосредственно из возведения в степень (log''A'')/2,
: <math>\sqrt{A}= \begin{pmatrix}\cosh ((\log 2)/2)  & \sinh ((\log 2)/2)  \\ \sinh  ((\log 2)/2)  & \cosh ((\log 2)/2)  \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1.06 & .35\\ .35 & 1.06 \end{pmatrix}   ~.      </math>

Для лучшего примера возьмём [[Пифагорова тройка|пифагорову тройку]] (''p, q, r'')
и пусть {{math|''a'' {{=}} log(''p'' + ''r'') &minus; log ''q''}}. Тогда
: <math>e^a = \frac {p + r} {q} = \cosh a + \sinh a</math>.

Теперь
: <math>\exp \begin{pmatrix}0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}r/q & p/q \\ p/q & r/q \end{pmatrix}</math>.
И тогда
: <math>\tfrac{1}{q}\begin{pmatrix}r & p \\ p & r \end{pmatrix}</math>
имеет матричный логарифм
: <math>\begin{pmatrix}0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix}</math> ,
где {{math| ''a'' {{=}} log(''p'' + ''r'') &minus; log ''q''}}.

== См. также ==
* [[Матричная функция]]
* [[Квадратный корень из матрицы]]
* [[Экспонента матрицы]]
* [[Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Citation | last1=Gantmacher | first1=Felix R. | title=The Theory of Matrices | publisher=Chelsea | location=New York | year=1959 | volume=1 | pages=239–241}}.
* {{citation|year=2015|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|isbn= 978-3319134666}}
* {{Citation | doi=10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6 | last1=Culver | first1=Walter J. | title=On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix | year=1966 | journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9939 | volume=17 | issue=5 | pages=1146–1151| doi-access=free }}.
* {{Citation | last1=Higham | first1=Nicholas | title=Functions of Matrices. Theory and Computation | publisher=SIAM | isbn=978-0-89871-646-7 | year=2008}}.
* {{Citation
 | last=Eng
 | first=Kenth
 | author-link=
 |date=June 2001
 | title=On the BCH-formula in '''so'''(3)
 | journal=BIT Numerical Mathematics
 | volume=41
 | pages=629–632
 | issn=0006-3835
 | doi=10.1023/A:1021979515229
 | url=http://www.ii.uib.no/publikasjoner/texrap/abstract/2000-201.html
 | issue=3
 | s2cid=126053191
 }}

{{rq|tex|style|checktranslate}}
[[Категория:Матрицы]]
[[Категория:Логарифмы]]