Просмотр кода страницы Метод Гаусса

{{другие значения|Метод Гаусса (значения)}}
'''Ме́тод Га́усса''' — классический метод решения [[система линейных алгебраических уравнений|системы линейных алгебраических уравнений]] (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика [[Гаусс, Карл Фридрих|Карла Фридриха Гаусса]]. Это метод последовательного исключения [[Переменная величина|переменных]], когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе верхнего правого или нижнего левого треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних или c первых (по номеру), находятся все переменные системы<ref>''Н. Ш. Кремер'', 2.3. «Метод Гаусса», стр. 44</ref><ref name="автоссылка1">[https://dzen.ru/a/Z9KEBNoznSfljTO9 Усовершенствование решения СЛАУ простейшим методом Гаусса. Куликов А. С.]</ref>.

== История ==
Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «[[Математика в девяти книгах]]».

== Описание метода ==
Пусть исходная система выглядит следующим образом:

:<math>\left\{\begin{array}{lcr}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\
\ldots & & \\
a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& b_m \\
\end{array}\right.
</math>
Её можно записать в [[Матрица (математика)|матричном]] виде:
:<math>Ax = b,</math>
где
:<math>A=\left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\ldots &  &  \\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}
\end{array}\right),\quad x = \left( \begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right), \quad b = \left( \begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right).\quad (1)</math>

Матрица <math>A</math> называется основной матрицей системы, <math>b</math> — столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству [[Элементарные преобразования матрицы|элементарных преобразований]] над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

:<math>\left\{\begin{array}{rcl}
\alpha_{1j_1}x_{j_1}+\alpha_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{1j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{1j_n}x_{j_n} &=& \beta_1 \\
                     \alpha_{2j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{2j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{2j_n}x_{j_n} &=& \beta_2 \\
                                                                                               &\ldots& \\
                                                 \alpha_{rj_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{rj_n}x_{j_n} &=& \beta_r \\
                                                                                                0 &=& \beta_{r+1} \\
                                                                                               &\ldots& \\
                                                                                                0 &=& \beta_m
\end{array}\right.,</math>
где <math>\alpha_{1j_1},\ldots,\alpha_{rj_r}\neq 0.</math>

При этом будем считать, что [[Минор (линейная алгебра)|базисный минор]] (ненулевой [[Минор (линейная алгебра)|минор]] максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных <math>x_{j_1},\ldots,x_{j_r}</math><ref>Такого расположения минора можно добиться перестановкой столбцов основной матрицы и соответствующей перенумерацией переменных.</ref>.

Тогда переменные <math>x_{j_1},\ldots,x_{j_r}</math> называются ''главными переменными''. Все остальные называются ''свободными''.

Если хотя бы одно число <math>\beta_i\neq 0</math>, где <math>i > r</math>, то рассматриваемая система [[Система линейных алгебраических уравнений|несовместна]], т. е. у неё нет ни одного решения.

Пусть <math>\beta_i = 0</math> для любых <math>i > r</math>.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом <math>x</math> (<math>\alpha_{ij_i},\, i=1,\ldots,r</math>, где <math>i</math> — номер строки):

:<math>\left\{\begin{array}{rcc}
x_{j_1}+\widehat{\alpha}_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{1j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_1-\widehat{\alpha}_{1j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{1j_n}x_{j_n} \\
                     x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{2j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_2-\widehat{\alpha}_{2j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{2j_n}x_{j_n} \\
                                                           &\ldots& \\
                                                       x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_r-\widehat{\alpha}_{rj_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{rj_n}x_{j_n} \\
\end{array}\right., \qquad \widehat{\beta}_i=\frac{\beta_i}{\alpha_{ij_i}},\quad \widehat{\alpha}_{ij_k}=\frac{\alpha_{ij_k}}{\alpha_{ij_i}}\quad (2)</math>,

где <math>i=1,\ldots,r,\quad k=i+1,\ldots,n.</math>

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой [[СЛАУ]]. Так как эта система получена путём [[Элементарные преобразования матрицы|элементарных преобразований]] над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

{{message box |backgroundcolor = white |image =Logo_arte.jpg |size = 50px| heading=Следствия:|message=
1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. <br>
2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.}}

=== Критерий совместности ===
Упомянутое выше условие <math>\beta_i= 0</math> для всех <math>i > r</math> может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

{{message box |backgroundcolor = white |image =Logo_arte.jpg |size = 50px| heading=[[Теорема Кронекера — Капелли]].|message=
[[СЛАУ|Система]] совместна тогда и только тогда, когда [[ранг матрицы|ранг]] её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. <br>
'''Следствия:''' <br>
* Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения.
* Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.}}

=== Алгоритм ===
[[Блок-схема]] представлена на рисунке. Данный рисунок — адаптированный для написания программы на языке C/C++, где a — расширенная матрица, последний столбец в которой — столбец свободных членов. Количество строк — n. [[File:Gauss structogram.png|thumb|Алгоритм Гаусса для решения СЛАУ]]

==== Описание ====
Алгоритм решения [[СЛАУ]] методом Гаусса подразделяется на два этапа.
* На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём [[Элементарные преобразования матрицы|элементарных преобразований]] над строками систему приводят к ступенчатой или [[Треугольная матрица|треугольной форме]], либо устанавливают, что система несовместна. Для этого среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают содержащую его строку в крайнее верхнее положение, делая эту строку первой. Далее ненулевые элементы первого столбца всех нижележащих строк обнуляются путём [[Вычитание|вычитания]] из каждой строки первой строки, домноженной на отношение первого элемента этих строк к первому элементу первой строки. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают, пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
* На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить [[фундаментальная система решений|фундаментальную систему решений]], либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Метод Гаусса требует <math>O(n^{3})</math> арифметических операций.

Этот метод опирается на:
{{message box |backgroundcolor = white |image =Logo_arte.jpg |size = 50px| heading=Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду).|message= Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.}}

==== Простейший случай ====
В простейшем случае алгоритм выглядит так: <br>
: <math>
\left\{\begin{array}{lcc} 
a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n} \cdot x_n & = b_1 & (1) \\ 
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots + a_{2n} \cdot x_n & = b_2 & (2) \\ 
\ldots  & & \\
a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn} \cdot x_n & = b_m & (m) 
\end{array}\right.
</math>

* Прямой ход:
:<math>\begin{array}{ccc}
(2)\to (2)-(1) \cdot ( \frac {a_{21}}{a_{11}}) &:& a_{22}^{\prime} \cdot x_2 + a_{23}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{2n}^{\prime} \cdot x_n = b_2^{\prime} \\
(3)\to (3)-(1) \cdot ( \frac {a_{31}}{a_{11}}) &:& a_{32}^{\prime} \cdot x_2 + a_{33}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime} \\
\ldots & & \\
(m)\to (m)-(1) \cdot ( \frac {a_{m1}}{a_{11}}) &:& a_{m2}^{\prime} \cdot x_2 + a_{m3}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{mn}^{\prime} \cdot x_n = b_n^{\prime} \\
(3)\to (3)-(2) \cdot ( \frac {a_{32}^{\prime}}{a_{22}^{\prime}}) &:& a_{33}^{\prime\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime\prime} \\
\ldots & & \\
(m)\to (m)-(m-1) \cdot ( \frac {a_{m,n-1}^{(m-2)}}{a_{m-1,n-1}^{(m-2)}}) &:& a_{mm}^{(m-1)} \cdot x_m + \ldots + a_{mn}^{(m-1)} \cdot x_n = b_m^{(m-1)}
\end{array}</math>

* Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

=== Пример ===
<!-- Если у вас есть сомнения в этом примере, пишете на странице обсуждения. Правки цифер без пояснения будут откачены не глядя. — X7q -->
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
: <math>\left\{\begin{array}{ccc}2x + y - z &=& 8 \\
-3x - y + 2z &=& -11 \\
-2x + y + 2z &=& -3 \end{array}\right.</math>

Обнулим коэффициенты при <math>x</math> во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на <math>\textstyle\frac{3}{2}</math> и <math>1</math>, соответственно:
: <math>\left\{\begin{array}{rcc}
2x + y - z &=& 8 \\
\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z &=& 1 \\
2y + z &=& 5 \end{array}\right.</math>

Теперь обнулим коэффициент при <math>y</math> в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на <math>4</math>:
: <math>\left\{\begin{array}{rcc}
2x + y - z &=& 8 \\
\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z &=& 1 \\
-z &=& 1 \\ \end{array}\right.</math>

В результате мы привели исходную систему к [[треугольная матрица|треугольному виду]], тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: <br>
: <math>z = -1</math> из третьего;
: <math>y = 3</math> из второго, подставив полученное <math>z</math>
: <math>x = 2</math> из первого, подставив полученные <math>z</math> и <math>y</math>.

Таким образом, исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, ответ будет записываться в виде [[Фундаментальная система решений|фундаментальной системы решений]].

== Реализация алгоритма на языке программирования C# ==
<syntaxhighlight lang="c#" line="1">
namespace Gauss_Method
{
    class Maths
    {
        /// <summary>
        /// Метод Гаусса (Решение СЛАУ)
        /// </summary>
        /// <param name="Matrix">Начальная матрица</param>
        /// <returns></returns>
        public static double[] Gauss(double[,] Matrix)
        {
            int n = Matrix.GetLength(0); //Размерность начальной матрицы (строки)
            double[,] Matrix_Clone = new double[n, n + 1]; //Матрица-дублер
            for (int i = 0; i < n; i++)
                for (int j = 0; j < n + 1; j++)
                    Matrix_Clone[i, j] = Matrix[i, j];

            // Прямой ход (Зануление нижнего левого угла)
            for (int k = 0; k < n; k++) //k-номер строки
            {
                for (int i = 0; i < n + 1; i++) //i-номер столбца
                    Matrix_Clone[k, i] = Matrix_Clone[k, i] / Matrix[k, k]; //Деление k-строки на первый член !=0 для преобразования его в единицу
                for (int i = k + 1; i < n; i++) //i-номер следующей строки после k
                {
                    double K = Matrix_Clone[i, k] / Matrix_Clone[k, k]; //Коэффициент
                    for (int j = 0; j < n + 1; j++) //j-номер столбца следующей строки после k
                        Matrix_Clone[i, j] = Matrix_Clone[i, j] - Matrix_Clone[k, j] * K; //Зануление элементов матрицы ниже первого члена, преобразованного в единицу
                }
                for (int i = 0; i < n; i++) //Обновление, внесение изменений в начальную матрицу
                    for (int j = 0; j < n + 1; j++)
                        Matrix[i, j] = Matrix_Clone[i, j];
            }

            // Обратный ход (Зануление верхнего правого угла)
            for (int k = n - 1; k > -1; k--) //k-номер строки
            {
                for (int i = n; i > -1; i--) //i-номер столбца
                    Matrix_Clone[k, i] = Matrix_Clone[k, i] / Matrix[k, k];
                for (int i = k - 1; i > -1; i--) //i-номер следующей строки после k
                {
                    double K = Matrix_Clone[i, k] / Matrix_Clone[k, k];
                    for (int j = n; j > -1; j--) //j-номер столбца следующей строки после k
                        Matrix_Clone[i, j] = Matrix_Clone[i, j] - Matrix_Clone[k, j] * K;
                }
            }

            // Отделяем от общей матрицы ответы
            double[] Answer = new double[n];
            for (int i = 0; i < n; i++)
                Answer[i] = Matrix_Clone[i, n];

            return Answer;
        }
    }
}
</syntaxhighlight>
== Реализация алгоритма на языке программирования Borland [[Turbo Basic]] ==
С приведением матрицы коэффициентов к верхнему правому треугольному виду и вычислением корней в обратном порядке, от X[N] до X[1]<ref>[https://dzen.ru/a/Z82ESvB08Xl9cnMl Решение систем линейных уравнений простейшим методом Гаусса. Куликов А. С.]</ref>:
<source lang="basic">
CLS
COLOR 10

DATA 3
DATA 4.00,  0.24, -0.08,   8
DATA 0.09,  3.00, -0.15,   9
DATA 0.04, -0.08,  4.00,  20
'X[1]=1.909198, X[2]=3.194954, X[3]=5.044807

05 PRINT "Reshenie sistemy iz N lineynyh uravneniy metodom Gaussa"
10 'INPUT "Chislo uravneniy N=";N
   READ N
20 DIM A[N,N],B[N],X[N]

'1. Vvod
30 FOR I=1 TO N
     'PRINT USING "## Vvod koef. uravneniya ";I
40   FOR J=1 TO N
       'INPUT A[I,J]
       READ A[I,J]
       PRINT USING "##.##  ";A[I,J],
50   NEXT J
     'INPUT B[I]
     READ B[I]
     PRINT USING "##.##";B[I]
   NEXT I

'2. Pryamoy hod
60 FOR I=1 TO N-1
     FOR J=I+1 TO N
70     A[J,I]=-A[J,I]/A[I,I]
       FOR K=I+1 TO N
80       A[J,K]=A[J,K]+A[J,I]*A[I,K]
       NEXT K
90     B[J]=B[J]+A[J,I]*B[I]
     NEXT J
   NEXT I
100 X[N]=B[N]/A[N,N]

'3. Obratnyi hod
110 FOR I=N-1 TO 1 STEP -1
      H=B[I]
120   FOR J=I+1 TO N
        H=H-X[J]*A[I,J]
      NEXT J
130   X[I]=H/A[I,I]
    NEXT I

'4. Vyvod
140 PRINT "Korni sistemy uravneniy"
150 FOR I=1 TO N
      PRINT USING "X[##]=##.######";I,X[I]
160 NEXT I
    END
�
</source>
С приведением матрицы коэффициентов к нижнему левому треугольному виду и вычислением корней в прямом порядке, от X[1] до X[N]<ref name="автоссылка1" />:
<source lang="basic">
CLS
COLOR 10

DATA 3
DATA 3,  2, -1,  4
DATA 2, -1,  5, 23
DATA 1,  7, -1,  5
'X[1]=2.0, X[2]=1.0, X[3]=4.0

PRINT "Reshenie sistemy iz N lineynyh uravneniy prosteishim metodom Gaussa"
PRINT "s nigney levoy treugolxnoy matricey"

READ N 'Chislo uravneniy
DIM A[N,N+1],X[N]
PRINT

'1. Vvod -------------------------
PRINT "Koefficienty sistemy uravneniy"
FOR I=1 TO N
  FOR J=1 TO N+1
    READ A[I,J]
    PRINT USING "###.##  ";A[I,J],
  NEXT J
  PRINT
NEXT I
PRINT

'2. Pryamoy hod i vyvod X[1]
FOR L=0 TO N-2
  FOR I=1 TO N-1-L
    K=A[I,N-L]/A[N-L,N-L]
    FOR J=1 TO N+1
      A[I,J]=A[I,J]-A[N-L,J]*K
    NEXT J,I,L
PRINT "Nignyaya levaya treugolxnaya matrica"
GOSUB MATVYV
PRINT
PRINT "Korny sistemy uravneniy"
X[1]=A[1,N+1]/A[1,1]
PRINT USING "X[ 1]=###.######";X[1]

'3. Obratnyi hod i vyvod X[I], I>1
FOR I=2 TO N
  H=A[I,N+1]
  FOR J=1 TO I-1
    H=H-A[I,J]*X[J]
  NEXT J
  X[I]=H/A[I,I]
  PRINT USING "X[##]=###.######";I,X[I]
NEXT I
END

MATVYV:
FOR I=1 TO N
  FOR J=1 TO N+1
    PRINT USING "###.######  ";A[I,J];
  NEXT J
  PRINT
NEXT I
RETURN
�
</source>

== Применение и модификации ==
Помимо аналитического решения [[СЛАУ]], метод Гаусса также применяется для:
* нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается [[единичная матрица|единичная]] такого же размера, что и исходная: <math>[A|E]</math>, после чего <math>A</math> приводится к виду единичной матрицы [[метод Гаусса — Жордана|методом Гаусса—Жордана]]; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается [[обратная матрица|обратная]] к исходной матрица: <math>[E|A^{-1}]</math>);
* определения [[Ранг матрицы|ранга матрицы]] (согласно следствию из [[теорема Кронекера-Капелли|теоремы Кронекера — Капелли]] [[ранг матрицы]] равен числу её главных переменных);
* численного решения СЛАУ в технических приложениях (для уменьшения погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).

== Достоинства метода ==
* Для матриц ограниченного размера — менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
* Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
* Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — [[ранг матрицы]] системы<ref>''Н. Ш. Кремер'', 2.4. «Система ''m'' линейных уравнений с ''n'' переменными», стр. 49</ref>.

== Устойчивость метода Гаусса ==
Метод Гаусса для [[Число обусловленности|плохо обусловленных]] матриц коэффициентов является [[Вычислительная устойчивость|вычислительно неустойчивым]]. Например, для  [[Матрица Гильберта|матриц Гильберта]] метод приводит к очень большим ошибкам даже при небольшой размерности этих матриц. Уменьшить вычислительную ошибку можно с помощью метода Гаусса с выделением главного элемента, который является условно устойчивым<ref>[http://hghltd.yandex.net/yandbtm?fmode=envelope&url=http%3A%2F%2Fwww.rfe.bsu.by%2Fmedia%2Fkafedry%2Fkaf4%2Fpublication%2Fchis-met%2Flekcija03.pdf&lr=213&tld=ru&lang=ru&text=устойчив%20ли%20метод%20Гаусса&l10n=ru&mime=pdf&sign=7c21439bc3dee522d702a1400a92485c&keyno=0 УСТОЙЧИВОСТЬ И ТОЧНОСТЬ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ]{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>. Широкое применение метода Гаусса связано с тем, что плохо обусловленные матрицы встречаются на практике относительно редко.

== Неоптимальность метода Гаусса ==
В [[1969 год]]у [[Штрассен, Фолькер|Штрассен]] доказал, что большие матрицы можно перемножить за время <math>O(n^{\log_2{7}}) \approx O(n^{2{,}81})</math>{{source-ref|Q21694537}}. Отсюда вытекает, что обращение матриц и решение СЛАУ можно осуществлять алгоритмами асимптотически более быстрыми по порядку, чем метод Гаусса. Таким образом, для больших СЛАУ метод Гаусса не оптимален по скорости.

== См. также ==
* [[Метод Гаусса — Жордана]]
* [[Метод Крамера]]
* [[Система линейных алгебраических уравнений]]
* [[Теорема Кронекера — Капелли]]
* [[Фундаментальная система решений]]
* [[Элементарные преобразования матрицы]]
* [[Метод Гаусса (оптимизация)]]
* [[Метод покоординатного спуска|Метод покоординатного спуска (Гаусса — Зейделя)]]
* [[Метод Якоби]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |заглавие=Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия |часть=Гаусса метод |год=1977—1985 |автор=И. М. Виноградов |язык=ru }}
* {{книга |автор=Ильин В. А., Позняк Э. Г. |название=''Линейная алгебра: Учебник для вузов'' |издание=6-е изд., стер |место=М. |издательство=ФИЗМАТЛИТ |год=2004 |страниц=280 }}
* {{книга|автор=Амосов А. А.,  Дубинский Ю. А., Копченова Н. П.|заглавие=Вычислительные методы для инженеров|оригинал=|ссылка|издание=|место=М.|издательство=Мир|год=1998|страницы=|isbn=}}
* {{книга |автор=Бахвалов Н. С., [[Жидков, Николай Петрович|Жидков Н. П.]], Кобельков Г. Г. |заглавие=Численные методы |оригинал= |ссылка= |издание=8-е изд |место =  М. |издательство = Лаборатория Базовых Знаний |год = 2000 |страницы = |isbn =}}
* {{книга|автор = Волков Е. А. |заглавие = Численные методы |оригинал = |ссылка = |издание = |место =  М. |издательство = Физматлит |год = 2003 |страницы = |isbn =}}
* {{книга|автор = Корн Г., Корн Т. |заглавие = Справочник по математике для научных работников и инженеров |оригинал = |ссылка = |издание = |место =  М. |издательство = Наука |год = 1970 |страницы = 575—576 |isbn =}}
* {{книга |автор=Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. |часть= |заглавие=Высшая математика для экономистов |оригинал= |ссылка= |издание=3-е изд |ответственный=Под ред. Н. Ш. Кремера |место=М. |издательство=ЮНИТИ-ДАНА |год=2007 |том= |страницы= |страниц=479 |isbn=5-238-00991-7 }}
* {{книга |автор=Дьяконов В. П. |название=Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: Справочник |место = М. |издательство = Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит |год = 1989 |страниц = 240 |isbn = 5-02-014530-0}}

== Ссылки ==
* {{Citation|last1=Press|first1=WH|last2=Teukolsky|first2=SA|last3=Vetterling|first3=WT|last4=Flannery|first4=BP|year=2007|title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press| publication-place=New York|isbn=978-0-521-88068-8|chapter=Section 2.2|chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=46}}

{{ВС}}
{{Методы решения СЛАУ}}

[[Категория:Методы решения СЛАУ]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса]]