Просмотр кода страницы Метод kp

'''k·p метод''' — метод [[Теория возмущений|теории возмущений]] в [[Физика твёрдого тела|физике твердого тела]], который позволяет приближенно рассчитать энергию и волновую функцию носителя заряда в произвольной точке [[Зона Бриллюэна|зоны Бриллюэна]] по известным значениям в другой точке, обычно в точке высокой [[Симметрия|симметрии]]. Для этого используются значения [[Запрещённая зона|ширины запрещённых зон]] и эффективные массы в точке высокой симметрии полученные из эксперимента или численного расчёта. Метод особенно эффективен при расчетах [[Эффективная масса|эффективной массы]], но, применяя высокие порядки теории возмущений, можно рассчитать [[закон дисперсии]] во всей зоне. Метод получил развитие в работах [[Бардин, Джон|Дж. Бардина]]<ref>
{{статья
 |автор       = Bardeen J.,
 |заглавие = An Improved Calculation of the Energies of Metallic Li and Na
 |ссылка     = https://www.sif.it/riviste/ncr/econtents/2011/034/08-09/article/0
 |издание   = J. Chem. Phys.
 |год           = 1938
 |том           = 6
 |страницы = 367
 |doi              = 10.1063/1.1750270
 |ref              = Bardeen
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20180119130015/https://www.sif.it/riviste/ncr/econtents/2011/034/08-09/article/0
 |archivedate      = 2018-01-19
}}
</ref> и [[Зейтц, Фредерик|Ф. Зейтца]]<ref>{{книга
 | автор         = Seitz F.
 | заглавие      = Современная теория твердых тел
 | оригинал      = The Modern Theory of Solids
 | ссылка        = https://archive.org/details/moderntheorysoli00fsei
 | издание       = 2-е изд
 | место         = New York
 | издательство  = McGraw Hill
 | год           = 1940
 | страницы      = [https://archive.org/details/moderntheorysoli00fsei/page/n364 352]
 | страниц       = 698
 | isbn          = 0070560307
 | isbn2         = 978-0070560307
}}</ref>. Своё название получил из-за возникновения возмущения в виде произведения волнового вектора обозначаемого '''k''' на оператор момента '''p'''.

=== Теорема Блоха и волновые векторы ===
{{see also|Блоховская волна}}
[[Файл:Bloch_function.svg|thumb|400px|right|Непрерывная линия: схематичное изображение блоховской волны (только реальная часть) в одномерном случае. Линия точками — вклад от экспоненциального множителя e<sup>i'''k'''·'''r'''</sup>. Круги изображают атомы.]]
Согласно [[Квантовая механика|квантовой механике]] (в одноэлектронном приближении) квазисвободные электроны в любом твердом теле характеризуются волновыми функциями, которые являются собственными состояниями следующего стационарного [[Уравнение Шрёдингера|уравнения Шредингера]]:
: <math>\left(\frac{p^2}{2m}+V\right)\psi = E\psi</math>
где '''p''' — [[оператор импульса|квантовомеханический оператор импульса]], ''V'' — [[Электростатический потенциал|потенциал]], ''m'' — масса электрона. (Это уравнение пренебрегает [[Спин-орбитальное взаимодействие|спин-орбитальным эффектом]]{{переход|#Учет спин-орбитального взаимодействия}}).

В кристаллическое твердом теле, ''V'' является периодической функцией, с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка. Теорема Блоха утверждает, что решения этого дифференциального уравнения можно записать в следующем виде:
: <math>\psi_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} u_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{x})</math>
где '''k''' — вектор (называемый волновым вектором), ''n'' — дискретный индекс (называемый [[Зонная теория|зонным]] индексом), а ''u''<sub>''n'','''k'''</sub> — функция с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка.

Для любого заданного ''n'' ассоциированные состояния называются зоной. В каждой зоне будет существует связь между волновым вектором '''k''' и энергией состояния ''E''<sub>''n'','''k'''</sub>, называемым законом дисперсии. Вычисление этой дисперсии является одним из основных применений ''k''·''p'' теории возмущений.

=== Теория возмущений ===
{{see also|Теория возмущений (квантовая механика)}}

Современный вид теория приобрела в работах {{не переведено 3|Кейн, Эван О'Нил|Кейна|en|Evan O'Neill Kane (physicist)}} который рассмотрел теорию возмущений для узкозонных полупроводников<ref>{{книга
 |автор        = Kane E. O.
 |заглавие     = Зонная структура узкозонных полупроводников
 |оригинал     = Band structure of narrow gap semiconductors
 |ссылка       = https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10261-2_33
 |место        = Berlin
 |издательство = Springer
 |год          = 1980
 |страницы     = 13—31
 |doi          = 10.1007/3-540-10261-2
 |isbn         = 978-3-540-10261-8
 |ref          = Kane
 |archivedate  = 2018-01-22
 |archiveurl   = https://web.archive.org/web/20180122071753/https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10261-2_33
}}</ref>. Периодическая функция ''u''<sub>''n'','''k'''</sub> удовлетворяет следующему уравнению типа Шредингера:<ref name=Yu2.6>{{cite book
 |author=P. Yu, M. Cardona
 |year=2005
 |title=Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties
 |url=https://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA244&dq=isbn=3540254706#PPA68,M1
 |edition=3rd
 |page=Section 2.6, pp. 68 ''ff'
 |nopp=yes
 |publisher=[[Springer (publisher)|Springer]]
 |isbn=3-540-25470-6
 }} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA244&dq=isbn=3540254706#PPA68,M1 |date=20170421012354 }}</ref>
: <math>H_{\mathbf{k}} u_{n,\mathbf{k}}=E_{n,\mathbf{k}}u_{n,\mathbf{k}}</math>
где гамильтониан равен
: <math>H_{\mathbf{k}} = \frac{p^2}{2m} + \frac{\hbar \mathbf{k}\cdot\mathbf{p}}{m} + \frac{\hbar^2 k^2}{2m}  + V </math>
Заметим, что '''k''' — вектор, состоящий из трех вещественных чисел с размерностью обратной длины, а '''p''' — вектор состоящий из операторов. В явном виде,
: <math>\mathbf{k}\cdot\mathbf{p} = k_x (-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}) + k_y (-i\hbar \frac{\partial}{\partial y}) + k_z (-i\hbar \frac{\partial}{\partial z})</math>
В любом случае этот гамильтониан записывается в виде суммы двух слагаемых:
: <math>H=H_0+H_{\mathbf{k}}', \;\; H_0 = \frac{p^2}{2m}+V, \;\; H_{\mathbf{k}}' = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \frac{\hbar \mathbf{k}\cdot\mathbf{p}}{m}</math>
Это выражение является основой для теории возмущений. «Невозмущенный гамильтониан» равен ''H''<sub>0</sub>, что фактически равен точному гамильтониану при '''k''' = 0 (то есть в точке Гамма). «Возмущение» <math>H_{\mathbf{k}}'</math>. Анализ этих результатов называется «k · p теорией возмущений» из-за члена, пропорционального k · p. Результатом этого анализа является выражение для ''E''<sub>''n'','''k'''</sub> и ''u''<sub>''n'','''k'''</sub> в терминах энергий и волновых функций при '''k''' = 0.

Заметим, что вклад «возмущения» <math>H_{\mathbf{k}}'</math> становится все меньше, когда '''k''' приближается к нулю. Поэтому k · p теория возмущений наиболее точна при малых значениях '''k'''. Однако, если в разложение теоории возмущений включено достаточное количество членов, то теория может быть достаточно точна для любого значения '''k''', то есть во всей зоне Бриллюэна. Если минимум зоны проводимости находится в другой точке, например '''k'''<sub>0</sub>, то выражение для гамильтониана можно модифицировать для этого случая<ref>
{{статья
 |автор       = Marconcini P., Macucci M.
 |заглавие = The k p method and its application to graphene, carbon nanotubes and graphene nanoribbons: the Dirac equation
 |ссылка     = https://www.sif.it/riviste/ncr/econtents/2011/034/08-09/article/0
 |издание   = La Rivista del Nuovo Cimento
 |год           = 2011
 |том           = 34
 |страницы = 489—584
 |doi              = 10.1393/ncr/i2011-10068-1
 |arxiv            = 1105.1351
 |ref              = Marconcini
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20180119130015/https://www.sif.it/riviste/ncr/econtents/2011/034/08-09/article/0
 |archivedate      = 2018-01-19
}}
</ref>:
: <math>H_{\mathbf{k}} = H_{\mathbf{k}_0} +\left[\frac{\hbar}{m_e}(\mathbf{k}-\mathbf{k}_0)\cdot(\hbar\mathbf{k}_0-i\hbar\mathbf{\nabla})+\frac{\hbar^2}{2m_e}|\mathbf{k}-\mathbf{k}_0|^2\right],</math>
где
: <math>H_{\mathbf{k}_0} = H_{0} +\frac{i\hbar^2}{2m_e}\mathbf{k}_0\cdot\mathbf{\nabla}+\frac{\hbar^2k_0^2}{2m_e}.</math>
Слагаемые содержащие '''k'''-'''k'''<sub>0</sub>в этом случае малые поправки, которые являются возмущением.

=== Невырожденная зона ===
Для невырожденной зоны (то есть, для зоны, энергия которой в точке '''k'''=0 отличается от энергии любой другой зоны) с экстремумом в '''k'''=0, и при отсутствии [[Спин-орбитальное взаимодействие|спин-орбитального взаимодействия]], k · p метод в первом нетривиальном порядке теории возмущений дает<ref name="Yu2.6" />:
: <math>u_{n,\mathbf{k}} = u_{n,0}+\frac{\hbar}{m}\sum_{n' \neq n}\frac{\langle u_{n,0} | \mathbf{k}\cdot\mathbf{p} | u_{n',0} \rangle}{E_{n,0}-E_{n',0}} u_{n',0},</math>
: <math>E_{n,\mathbf{k}} = E_{n,0}+\frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \frac{\hbar^2}{m^2} \sum_{n'\neq n} \frac{|\langle u_{n,0} | \mathbf{k}\cdot\mathbf{p} | u_{n',0} \rangle |^2}{E_{n,0}-E_{n',0}},</math>
где <math>u_{n,\mathbf{k}}</math> и <math>E_{n,\mathbf{k}}</math> — волновая функция и энергия квазичастицы в ''n''-й зоне с волновым вектором '''k''', соответственно, а <math>u_{n,0}</math> и <math>E_{n,0}</math> — аналогичные значения для квазичастицы с нулевым [[квазиимпульс]]ом.

Поскольку '''k''' — действительный вектор, то есть набор чисел, а не оператор, матричные элементы переписываются как:
: <math>\langle u_{n,0} | \mathbf{k}\cdot\mathbf{p} | u_{n',0} \rangle = \mathbf{k} \cdot \langle u_{n,0} | \mathbf{p} | u_{n',0} \rangle.</math>
Так можно вычислить энергию при любом '''k''', используя только несколько неизвестных параметров: ''E<sub>n</sub>''<sub>,0</sub> и <math>\langle u_{n,0} | \mathbf{p} | u_{n',0} \rangle</math>. [[Матричный элемент|Матричные элементы]], заданые последним выражением, родственны дипольным моментам перехода. Их называют оптическими матричным элементами и обычно получают из анализа экспериментальных данных, таких как оптическое поглощение{{sfn|Kane|1980|страницы=13}}.

Практически сумма по ''n''' часто ограничивается только двумя соседними зонами, поскольку их вклад важнейший (учитывая знаменатель). Однако, для повышения точности, особенно при больших '''k''', необходимо учитывать несколько зон, а кроме того еще и дополнительные порядки теории возмущений.

==== Эффективная масса ====
Выписанный выше закон дисперсии можно использовать для вычисления эффективной массы электронов проводимости в [[Полупроводники|полупроводнике]]<ref name="Harrison">{{книга |год=1989 |заглавие=Electronic Structure and the Properties of Solids |ссылка=https://archive.org/details/electronicstruct00harr |издание=Reprint |страницы=[https://archive.org/details/electronicstruct00harr/page/n93 158]''ff'' |издательство=[[Dover Publications]] |isbn=0-486-66021-4 |язык=en |автор=W.P. Harrison}}</ref>. Для вычисления закона дисперсии в случае зоны проводимости берется энергия ''E<sub>n0</sub>'' дна зоны проводимости ''E<sub>c0</sub>'' и только те члены в сумме, связанные с верхом ближайшей валентной зоны, для которой разница в знаменателе наименьшая поскольку вклад этих членов в сумму самый большой. Тогда знаменатель равен ширине [[Запрещённая зона|запрещенной зоны]] ''E<sub>g</sub>'', что дает следующее выражение для энергии электрона проводимости:
: <math>E_c(\boldsymbol k ) \approx E_{c0} +\frac{(\hbar k)^2}{2m} +\frac{\hbar ^2}{{E_g}m^2}\sum_n  {|\langle u_{c,0}|\mathbf{k}\cdot\mathbf{p}| u_{n,0} \rangle |^2}. </math>
Тогда эффективная масса в направлении ℓ равна:
: <math> \frac{1} {m}_{\ell} = {{1} \over {\hbar^2}} \sum_{ m} \cdot {{\partial^{\ 2} E_{c} (\boldsymbol{k})} \over {\partial k_{\ell} \partial k_ m}} \approx \frac{1}{m}+\frac{2}{E_gm^2}\sum_{m,\ n} {\langle u_{c,0}|p_{\ell}| u_{n,0} \rangle }{\langle u_{n,0}|p_{m}| u_{c,0} \rangle }.  </math>
Не рассматривая подробно матричные элементы, можно сделать важный вывод, что эффективная масса зависит от ширины запрещенной зоны, и становится нулевой, когда ширина запрещенной зоны нулевая<ref name="Harrison" /><ref name="valence">See Yu & Cardona, ''op. cit.'' pp. 75-82</ref>.

Полезные оценки для матричных элементов прямозонных полупроводников дают:<ref name="DirectGap">Прямозонний полупроводник имеет верх валентной зоны и дно зоны проводимости при одинаковом значение '''k''', обычно в Γ-точке, где '''k''' = 0.</ref>
: <math>\frac{2}{E_gm^2}\sum_{m,\ n} {|\langle u_{c,0}|p_{\ell}| u_{n,0} \rangle |}{|\langle u_{c,0}|p_{m}| u_{n,0} \rangle |} \approx 20</math> еВ <math>\frac{1}{mE_{g}} \ , </math>
что справедливо с точностью около 15 % или лучше для большинства полупроводников группы IV, III—V и II—VI.<ref name="Table2.22">Смотрите [https://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA244&dq=isbn:3540254706#PPA71,M1 Table 2.22] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA244&dq=isbn:3540254706#PPA71,M1 |date=20170421012028 }} in Yu & Cardona, ''op. cit.''</ref>

Мобильными носителя заряда в валентной зоне называются дырками. Оказывается существует два типа дырок с различными эффективными массами. Их называют тяжелыми и легкими. Их эффективные массы анизотропные.

=== Учет спин-орбитального взаимодействия ===
С учетом спин-орбитального взаимодействия уравнения Шредингера для ''u'' принимает вид<ref name="Kittel">{{книга |год=1987 |заглавие=Quantum Theory of Solids |ссылка=https://archive.org/details/quantumtheorysol00kitt |издание=Second Revised Printing |страницы=[https://archive.org/details/quantumtheorysol00kitt/page/n200 186]—190 |isbn=0-471-62412-8 |издательство=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |место=New York |автор=C. Kittel }}</ref>:
: <math>H_{\mathbf{k}} u_{n,\mathbf{k}}=E_{n,\mathbf{k}}u_{n,\mathbf{k}},</math>
где<ref name="автоссылка1">{{статья |заглавие=Band Structure of Indium Antimonide |издание={{Нп3|Journal of Physics and Chemistry of Solids}} |том=1 |страницы=249 |doi=10.1016/0022-3697(57)90013-6 |bibcode=1957JPCS....1..249K |автор=Evan O. Kane |год=1957 }}</ref>
: <math>H_{\mathbf{k}} = \frac{p^2}{2m} + \frac{\hbar}{m}\mathbf{k}\cdot\mathbf{p} + \frac{\hbar^2 k^2}{2m}  + V + \frac{\hbar}{4 m^2 c^2} (\nabla V \times (\mathbf{p}+\hbar\mathbf{k}))\cdot \vec \sigma. </math>
здесь <math>\vec \sigma=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)</math> [[матрицы Паули]]. С этим гамильтонианом можно работать аналогично изложенному выше.

=== Вырожденные зоны ===
Для вычисления вырожденных или близких зон, в частности для валентной зоны в материалах вроде арсенида галлия, уравнение можно анализировать, используя подходящий вариант теории возмущений<ref name="Yu2.6" /><ref name="Kittel" />. К моделям этого типа относятся ''модель Латтиджера-Кона''<ref>{{статья |заглавие=Motion of Electrons and Holes in Perturbed Periodic Fields |ссылка=https://archive.org/details/sim_physical-review_1955-02-15_97_4/page/n27 |издание=[[Physical Review]] |том=97 |страницы=869 |doi=10.1103/PhysRev.97.869 |bibcode=1955PhRv...97..869L |язык=en |тип=journal |автор=J. M. Luttinger, W. Kohn |год=1955}}</ref> и ''модель Кейна''.<ref name="автоссылка1" />.

== Примечания ==
{{примечания|2}}
{{Численные методы в зонной теории}}

[[Категория:Физика полупроводников]]