Просмотр кода страницы Мнимая единица

[[Файл:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|Число <math>i</math> на [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]]. [[Вещественное число|Вещественные числа]] лежат на горизонтальной оси, [[Чисто мнимое число|чисто мнимые]] — на вертикальной.]]
'''Мни́мая едини́ца''' — [[комплексное число]], квадрат которого равен <math>-1</math>. В математике и физике мнимая единица обозначается латинской буквой <math>i</math>, в [[Электротехника|электротехнике]] — буквой <math>j</math>.

Введение мнимой единицы позволяет расширить [[Поле (алгебра)|поле]] [[Вещественное число|вещественных чисел]] до поля [[Комплексное число|комплексных чисел]]. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое [[полиномиальное уравнение]] <math>f(x)=0</math> с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение <math>x^2 + 1 = 0</math> не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое [[полином]]иальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит [[основная теорема алгебры]]. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного [[кубическое уравнение|кубического уравнения]]: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них [[формула Кардано]] требовала извлечения [[Квадратный корень|квадратных корней]] из отрицательных чисел.

Вплоть до конца XIX века наряду с символом <math>i</math> использовалось обозначение <math>\sqrt{-1},</math> однако современные источники предписывают во избежание ошибок под [[Знак корня|знаком радикала]] помещать только неотрицательные выражения<ref>{{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]] |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |страницы=49}}</ref><ref>{{книга |автор=Корн Г., Корн Т. |заглавие=Справочник по математике (для научных работников и инженеров) |издание=2-е изд |страниц=720 |издательство=Наука |место=М. |год=1970 |страницы=33}}</ref>. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен <math>-1,</math> — число <math>-i,</math> в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:

* числа ''i'' и −''i'' являются одновременно [[Противоположное число|противоположными]] и [[Обратное число|обратными]]: последнее верно потому, что произведение этих чисел равно {{Math|1=1}};
* ''i'' и −''i'' [[Сопряжённые числа|комплексно сопряжены]], так что их сумма (ноль) и произведение (единица) вещественны одновременно ([[Сопряжённые числа#Определение координат числа и сопряжения|свойства]] сопряжённых чисел).

Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений{{переход|Иные мнимые единицы}}.

== Степени мнимой единицы ==
Степени <math>i</math> повторяются в цикле:
: <math>\ldots</math>
: <math>i^{-3} = i</math>
: <math>i^{-2} = -1</math>
: <math>i^{-1} = -i</math>
: <math>i^0 = 1</math>
: <math>i^1 = i</math>
: <math>i^2 = -1</math>
: <math>i^3 = -i</math>
: <math>i^4 = 1</math>
: <math>\ldots</math>

что может быть записано для любой степени в виде:
: <math>i^{4n} = 1</math>
: <math>i^{4n+1} = i</math>
: <math>i^{4n+2} = -1</math>
: <math>i^{4n+3} = -i</math>
где ''n'' — любое целое число.

Отсюда: <math>i^n = i^{n \bmod 4}</math>, где mod 4 — это [[остаток от деления]] на 4.

[[Возведение в степень#Комплексная степень|Возведение в комплексную степень]] является [[Многозначная функция|многозначной функцией]]. Например, таковой является величина <math>i^i</math>, которая представляет бесконечное множество [[Вещественное число|вещественных]] чисел (<math>i^i \subset \R</math>):
: <math>i^i = e^{-\left(\frac{\pi}2 + 2\pi k\right)},</math> где <math>k\in\Z.</math>

При <math>k = 0</math> получаем число <math>e^{-\frac{\pi}2} = 0{,}20787957635...,</math> соответствующее [[Комплексное число#Аргумент|главному значению аргумента]] (или [[Комплексный логарифм#Определение и свойства|главному значению комплексного натурального логарифма]]) мнимой единицы.

{{Hider|
  title = Доказательство |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =

* [[Возведение в степень#Комплексная степень|Представим]] основание в виде [[Экспонента#Комплексная экспонента|комплексной экспоненты]] (в этом случае её показателем будет [[комплексный логарифм]]):
: <math>z = i^i = \left ( e^{\operatorname{Ln} i} \right )^i = 
\left ( e^{\ln |i| + i \operatorname{Arg} i } \right )^i</math>

Альтернативным путём является представление основания в [[Комплексное число#Показательная форма|показательной форме]]:
: <math>z = i^i = \left ( |i| e^{i \operatorname{Arg} i } \right )^i</math>

Нетрудно убедиться, что оба полученных выражения тождественно равны.

Найдем модуль и аргумент числа <math>i</math>:
: <math>i = 0 + 1i = x + yi \quad \Rightarrow \quad x = 0, y = 1</math>
: <math>|i| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1</math>
: <math>\operatorname{Arg} i = \varphi + 2 \pi k</math>, где <math>k \in \Z</math>
: <math>\varphi = \lim_{x \to +0} \left ( \operatorname{arctg} \frac{y}{x} \right ) = 
\lim_{x \to +0} \left ( \operatorname{arctg} \frac{1}{x} \right ) = 
\left [{ \color{white} \vdots } \operatorname{arctg} (+\infty) { \color{white} \vdots } \right ] = \frac{\pi}{2}</math>
: <math>\operatorname{Arg} i = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k</math>

Подставим полученные значения для модуля и аргумента в выражение для <math>z</math>:
: <math>z = \left ( e^{\ln 1 + i \left( \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \right ) } \right )^i = 
\left ( e^{i \left( \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \right ) } \right )^i = 
e^{i^2 \left( \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \right ) } = 
e^{- \left( \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \right ) }</math>

Таким образом, получаем:
: <math>i^i = e^{- \left( \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \right )}</math>, где <math>k \in \Z</math> [[Символ конца доказательства|<span style="color:#000;">∎</span>]]

И очевидно, что:
: <math>i^i \subset \R</math>

* Теперь докажем, что число <math>e^{-\frac{\pi}{2}}</math> является частным значением <math>i^i</math>, которое соответствует [[Комплексное число#Аргумент|главному значению аргумента]] (или [[Комплексный логарифм#Определение и свойства|главному значению комплексного натурального логарифма]]) мнимой единицы.

Ранее было найдено главное значение аргумента мнимой единицы (т.е. такое, что попадает в промежуток <math>(-\pi, \pi]</math>):
: <math>\varphi = \frac{\pi}{2} \in (-\pi, \pi]</math>

Подставляя его вместо <math>\operatorname{Arg} i</math> в выражение для <math>z</math>, получим искомое частное значение:
: <math>e^{-\varphi} = e^{-\frac{\pi}{2}} = 0{,}20787957635\ldots</math> [[Символ конца доказательства|<span style="color:#000;">∎</span>]]

}}

Также верно, что <math>(-i)^{(-i)}=i^i</math>.

== Факториал ==
[[Факториал]] мнимой единицы {{math|''i''}} можно определить как значение [[Гамма-функция|гамма-функции]] от аргумента {{math|1 + ''i''}}:
:<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math>

Также
:<math>|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564...,</math><ref>"[http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(i!) abs(i!)] {{Wayback|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(i!) |date=20150706045535 }}", ''WolframAlpha''.</ref>
потому что {{Math|1={{!}}''i''!{{!}}<sup>2</sup> = ''i''! {{overline|''i''!}} = ''i''! {{overline|(''i'')}}! = Γ(1 + ''i'') Γ(1 − ''i'')}}, что по рекуррентному соотношению гамма-функции можно переписать как {{Math|''i'' Γ(''i'') Γ(1 − ''i'')}}, а затем по [[Гамма-функция#Свойства|формуле дополнения Эйлера]] — как {{Math|1={{sfrac|''i''π|sin π''i''}} = {{sfrac|π|sinh π}}}}.

== Корни из мнимой единицы ==
: {{Основная статья|Корень (математика)}}
[[Файл:Imaginary2Root.svg|thumb|Корни квадратные из мнимой единицы]]
[[Файл:Корни кубические из мнимой единицы.svg|thumb|Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)]]
В поле комплексных чисел корень ''n''-й степени имеет ''n'' значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах [[правильный многоугольник|правильного ''n''-угольника]], вписанного в окружность с единичным радиусом.
:<math>u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1</math>

В частности, <math>\{\sqrt i\} = \left\{\frac{1+i}\sqrt2; ~\frac{-1-i}\sqrt2 \right\}</math> и <math>\{\sqrt[3]i\} = \left\{-i;~\frac{i+\sqrt3}2;~ \frac{i-\sqrt3}2\right\}.</math>

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:
:<math>u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1.</math>

== Иные мнимые единицы ==
В [[процедура Кэли — Диксона|конструкции удвоения по Кэли — Диксону]] или в рамках [[Алгебра Клиффорда|алгебры по Клиффорду]] «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать [[делители нуля]] и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i».
Например, в [[Тело (алгебра)|теле]] [[кватернион]]ов три [[антикоммутативность|антикоммутативных]] мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения <math>x^2 = -1</math>.

== К вопросу об интерпретации и названии ==
{{цитата|Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и {{sqrt|−1}} назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввёл термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения {{sqrt|−1}} символ {{math|i}}. |автор=[[Морис Клайн]], «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.}}

== Обозначения ==
Обычное обозначение — <math>i</math>, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать <math>j</math>, чтобы не путать с обозначением мгновенной [[Сила тока|силы тока]]: <math>i = i (t)</math><ref>{{БРЭ|статья=Комплексное число|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2087169|архив=https://web.archive.org/web/20221208040518/https://bigenc.ru/mathematics/text/2087169|архив дата=2022-12-08}}</ref><ref>{{книга|заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах)|год=1982|часть=Мнимая единица|место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]|том=3|страницы=708}}</ref>.

В языке программирования [[Python]] мнимая единица записывается как <code lang="python">1j</code>.

В языке программирования [[Wolfram (язык программирования)|Wolfram Language]] мнимая единица записывается как <code>𝕚</code>.

== См.также ==
* [[Дуальные числа]] и [[двойные числа]]
* [[Комплексный анализ]]
* [[Кватернион]]
* [[Гиперкомплексное число]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{БСЭ3|заглавие=Мнимая единица}}

{{Числа с собственными именами}}

[[Категория:Числа с собственными именами]]
[[Категория:Комплексные числа]]