Просмотр кода страницы Многоугольник

{{другие значения}}
[[Файл:Assorted_polygons.svg|мини|400px|Различные типы многоугольников]]
'''Многоуго́льник''' — [[геометрия|геометрическая]] фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой [[ломаная|ломаной]]. Если граничная ломаная не имеет точек [[Самопересечение (геометрия)|самопересечения]], многоугольник называется '''[[Простой многоугольник|простым]]'''<ref name=ME>{{книга |часть=Многоугольник |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |страницы=749—752 |год=1982 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |archive-date=2013-10-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131016140955/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu }}</ref>. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а [[пентаграмма]] — нет.

Точки перелома ломаной называются '''''вершинами''''' многоугольника, а её звенья — '''''сторонами''''' многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин<ref name=ZAY383/>.
[[Файл:Regular tridecagon.svg|thumb|[[Правильный многоугольник|Правильный]] тринадцатиугольник — многоугольник, у которого 13 равных сторон, углов и 13 вершин.]]
__TOC__

== Варианты определений ==
Существуют два различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым<ref name=ME/>:
* '''одномерный многоугольник''' — замкнутая ломаная (не обязательно плоская) без [[Самопересечение (геометрия)|самопересечений]], любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
* '''двумерный многоугольник''', или '''многоугольная фигура''' — часть [[Плоскость (геометрия)|плоскости]], ограниченная замкнутой плоской ломаной без самопересечений; в этом случае сама ломаная называется '''''контуром''''' многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.<ref name=ME/>

== Связанные определения ==
{{основной источник|{{sfn |Элементарная математика|1976|с=383—384|name=ZAY383}}}}
* Вершины многоугольника называются '''соседними''', если они являются концами одной из его сторон.
* Стороны многоугольника называются '''смежными''', если они прилегают к одной вершине.
* Общая длина всех сторон многоугольника называется его '''[[периметр]]ом'''.
* '''[[Диагональ|Диагоналями]]''' называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
* '''Углом''' (или '''внутренним углом''') плоского многоугольника при данной вершине называется [[угол]] между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить <math>180^\circ</math> в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов [[Простой многоугольник|простого многоугольника]] совпадает с числом его сторон или вершин.
* '''Внешним углом''' [[Выпуклый многоугольник|выпуклого многоугольника]] при данной вершине называется угол, [[Смежные углы|смежный]] внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника '''внешний угол''' — разность между <math>180^\circ</math> и внутренним углом, он может принимать значения от  <math>-180^\circ</math> до  <math>180^\circ</math>.
* Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется [[Апофема|апофемой]].

== Виды многоугольников и их свойства ==
{{основной источник|<ref name=ZAY383/>}}
* Многоугольник с тремя вершинами называется [[треугольник]]ом, с четырьмя — [[четырёхугольник]]ом, с пятью — [[пятиугольник]]ом и так далее. Многоугольник с <math>n</math> вершинами называется '''<math>n</math>-угольником'''.
[[Файл:Многоугольник, вписанный в окружность.png|thumb|right|150px|Многоугольник, вписанный в окружность]]
[[Файл:Многоугольник, описанный около окружности.png|thumb|right|150px|Многоугольник, описанный около окружности]]
* '''[[Выпуклый многоугольник]]''' — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и [[Выпуклый многоугольник#Определения|другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника]]. Выпуклый многоугольник всегда [[Простой многоугольник|простой]], то есть не имеет точек самопересечения.
* Выпуклый многоугольник называется '''[[Правильный многоугольник|правильным]]''', если у него равны все стороны и все углы, например [[равносторонний треугольник]], [[квадрат]] и [[правильный пятиугольник]].  [[Символ Шлефли]] правильного <math>n</math>-угольника равен <math>\{n\}</math>.
* Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется '''[[Звёздчатый многоугольник|правильным звёздчатым многоугольником]]''', например, [[пентаграмма]] и [[октаграмма]].
* Многоугольник называется '''[[Вписанный многоугольник|вписанным]]''' в [[окружность]], если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется [[Описанная окружность|описанной]], а её центр лежит на пересечении [[Серединный перпендикуляр|серединных перпендикуляров]] к сторонам многоугольника. Любой [[треугольник]] является вписанным в некоторую окружность.
* Многоугольник называется '''[[Описанный многоугольник|описанным]]''' около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется [[Вписанная окружность|вписанной]], а её центр лежит на пересечении [[Биссектриса|биссектрис]] углов многоугольника. Любой [[треугольник]] является описанным около некоторой окружности.
* [[Выпуклый многоугольник|Выпуклый]] [[четырёхугольник]] называется '''внеописанным''' около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.<ref>[https://kartaslov.ru/карта-знаний/Внеописанный+четырёхугольник Картаслов.ру]</ref> Окружность при этом называется [[Вневписанная окружность|вневписанной]]. Вневписанная окружность существует также и у произвольного [[треугольник]]а.

== Общие свойства ==
=== Неравенство треугольника ===
[[Неравенство треугольника]] влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

=== [[Теорема о сумме углов многоугольника]] ===
Сумма внутренних углов простого плоского <math>n</math>-угольника равна{{sfn |Элементарная математика|1976|с=499}} <math>180^\circ(n-2)</math>. Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна <math>360^\circ.</math>

=== Число [[Диагональ|диагоналей]] ===
* Число диагоналей всякого <math>n</math>-угольника равно <math>\tfrac{n(n-3)}2</math>.

=== Площадь ===
Пусть <math>\{(X_i,Y_i)\}, i=1,2,...,n </math> — последовательность [[Система координат|координат]] соседних друг другу вершин <math>n</math>-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по [[Формула площади Гаусса|формуле Гаусса]]:
: <math> S = \frac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n (X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})\right|</math>, где <math>(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1)</math>.

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона <ref>''Хренов Л. С.'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=609&option_lang=rus Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона] {{Wayback|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=609&option_lang=rus |date=20200719015015 }} // Математическое просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12—15</ref>.

Площадь правильного <math>n</math>-угольника вычисляется по одной из формул{{sfn |Элементарная математика|1976|с=503—504}}:
* половина произведения периметра <math>n</math>-угольника на [[Апофема|апофему]]:
* <math>S = \frac{n}{4}\ a^2 \mathop{\mathrm{}}\, \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n}</math>.
* <math>S = \frac12 n R^2\sin\frac{360^\circ}{n};</math>
* <math>S = nr^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n}</math>

где  <math>a</math> — длина стороны многоугольника, <math>R</math> — радиус описанной окружности, <math>r</math> — радиус вписанной окружности.

=== Квадрируемость фигур ===
С помощью множества многоугольников определяется [[квадрируемость]] и [[Площадь фигуры|площадь произвольной фигуры]] на плоскости. Фигура <math>F</math> называется ''квадрируемой'', если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует пара многоугольников <math>P</math> и <math>Q</math>, таких, что <math>P\subset F\subset Q</math> и <math>S(Q)-S(P)<\varepsilon</math>, где <math>S(P)</math> обозначает площадь <math>P</math>.

== Ориентированный многоугольник ==
{{Обзорная статья|Ориентация}}
[[Файл:Closed vector addition.svg|right|thumb|250px|Выпуклый ориентированный многоугольник с отрицательной ориентацией площади]]

Рассмотрим произвольный многоугольник (не обязательно на [[Плоскость|плоскости]]), то есть замкнутую [[Ломаная|ломаную линию]]{{sfn|''Многоугольник'', 1974|loc=376}}{{sfn|''Делоне Б. Н.'' Многоугольник, 1988}}{{sfn|''Сидоров Л. А.'' Многоугольник, 1982|loc=749}}.

'''''Ориентированный многоугольник''''', или '''''замкнутый многоугольный путь''''', — многоугольник (возможно, самопересекающийся), у которого (см. рисунок справа с [[Выпуклый многоугольник|выпуклым многоугольником]]){{sfn|''Многоугольник'', 1974|loc=376}}{{sfn|''Делоне Б. Н.'' Многоугольник, 1988}}{{sfn|''Сидоров Л. А.'' Многоугольник, 1982|loc=749}}:
* на каждой [[Сторона многоугольника|стороне]] задано '''''направление''''', то есть одна из [[Вершина многоугольника|вершин]] стороны выбрана начальной, а другая — конечной;
* начало каждой стороны есть конец предыдущей.

'''''Ориентация площади простого многоугольника''''' — площадь области плоскости, ограниченной ориентированным [[Простой многоугольник|простым]] (то есть не самопересекающимся) плоским многоугольником, назначается '''''положительной''''', если [[Направление обхода|обход]] многоугольника по направлению его сторон происходит [[По часовой стрелке и против часовой стрелки|против часовой стрелки]], то есть эта область плоскости остаётся слева при обходе, и '''''отрицательной''''' в противоположном случае (см. рисунок справа с отрицательной ориентацией площади){{sfn|''Многоугольник'', 1974|loc=376}}{{sfn|''Делоне Б. Н.'' Многоугольник, 1988}}{{sfn|''Сидоров Л. А.'' Многоугольник, 1982|loc=749}}.

Определим площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника, который делит плоскость на фиксированное количество [[Связное пространство|связных]] кусков{{sfn|''Многоугольник'', 1974|loc=376}}{{sfn|''Делоне Б. Н.'' Многоугольник, 1988}}.

'''''Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника''''' — разность <math>p - q</math>, где числа <math>p</math> и <math>q</math> получаются следующим образом{{sfn|''Многоугольник'', 1974|loc=376}}{{sfn|''Делоне Б. Н.'' Многоугольник, 1988}}:
* точка, внешняя по отношению к многоугольнику части плоскости, соединяется отрезком с внутренней точкой выбранного куска;
* направленный многоугольник пересекает этот отрезок <math>p</math> раз слева направо и <math>q</math> справа налево.

'''Утверждение 1.''' ''Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника не зависит от положения внешней точки многоугольника и может быть равен положительному или отрицательному целому числу или нулю{{sfn|''Многоугольник'', 1974|loc=376}}{{sfn|''Делоне Б. Н.'' Многоугольник, 1988}}.''

'''''Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника''''' — взвешенная сумма обычных площадей всех кусков самопересекающегося многоугольника, в которой обычная площадь куска умножается на его коэффициент{{sfn|''Многоугольник'', 1974|loc=376}}{{sfn|''Делоне Б. Н.'' Многоугольник, 1988}}.

'''Практическое применение.''' Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника важна для теории {{iw|Математический прибор|математических приборов|en|Mathematical instrument}}, в частности, для теории [[планиметр]]а. В этом случае площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника равна следующим величинам:
* <math>\oint\frac{\rho^2dw}2</math> в [[Полярная система координат|полярных координатах]] <math>(\rho, w)</math>;
* <math>\oint ydx</math> в [[Прямоугольная система координат|декартовых координатах]] <math>(x, y)</math>,
где соответственно конец [[радиус-вектор]]а <math>\rho</math> или [[ордината]] <math>y</math> один раз пробегают данный замкнутый многоугольный путь{{sfn|''Многоугольник'', 1974|loc=376}}.

== Вариации и обобщения ==
* [[Многогранник]] — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Делоне Б. Н.'' Многоугольник, 1988|3=
''[[Делоне, Борис Николаевич|Делоне Б. Н.]]'' Многоугольник // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 378—379.
}}
* {{h|''Многоугольник'', 1974|3=
''Многоугольник'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1974. Т. 16. Мёзия — Моршанск. 1974. 616 с. с илл., 28 л. илл., 4 л. карт. С. 376—377. [http://bse.uaio.ru/BSE/1602.htm Многоугольник] // [http://bse.uaio.ru/BSE/bse30.htm#x000 БСЭ 3-е издание. Основной вариант] {{Wayback|http://bse.uaio.ru/BSE/1602.htm |date=20230407}}
}}
* {{h|''Сидоров Л. А.'' Многоугольник, 1982|3=
''Сидоров Л. А.'' Многоугольник // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 749—752.
}}

== Литература ==
{{Викисловарь|многоугольник}}
{{Навигация}}
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
  |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
  |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}

== Ссылки ==
* {{h|MathWorld|3={{mathworld|title=Polygon|urlname=Polygon}}}}

{{Многоугольники}}
{{Символ Шлефли}}

{{ВС}}

[[Категория:Многоугольники|*]]