Просмотр кода страницы Многочастичная функция Грина

В [[Теория многих тел|теории многих тел]] термин '''функция Грина''' (или '''функция Грина''') иногда используется как синоним [[Корреляционная функция|корреляционной функции]], но относится к корреляторам [[Каноническое квантование|операторов поля]] или [[Операторы рождения и уничтожения|операторам рождения и уничтожения]].

Название происходит от [[Функция Грина|функций Грина,]] используемых для решения неоднородных дифференциальных уравнений, с которыми они слабо связаны. В частности, только двухточечные функции Грина в случае невзаимодействующей системы являются функциями Грина в математическом смысле; линейный оператор, который они инвертируют, представляет собой [[Гамильтониан (квантовая механика)|оператор Гамильтона]], который в невзаимодействующем случае имеет квадратичный вид по отношению к полевым операторам.

== Пространственно однородный случай ==

=== Основные определения ===
Обычно рассматривают теорию многих тел с полевым оператором (оператор уничтожения, записанный в координатном базисе) <math>\psi(\mathbf{x})</math> .

Операторы [[Представление Гейзенберга|Гейзенберга]] можно записать в терминах [[Представление Шрёдингера|операторов Шредингера]] в виде

: <math>
\psi(\mathbf{x},t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i} K t} \psi(\mathbf{x}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} K t},
</math>

и оператор создания <math>\bar\psi(\mathbf{x},t) = [\psi(\mathbf{x},t)]^\dagger</math>, где <math>K = H - \mu N</math> — гамильтониан [[Большой канонический ансамбль|большого канонического ансамбля]].

Аналогично для операторов записанных в [[Мнимое время|мнимом времени]]

: <math>
\psi(\mathbf{x},\tau) = \mathrm{e}^{K \tau} \psi(\mathbf{x}) \mathrm{e}^{-K\tau}
</math>
: <math>
\bar\psi(\mathbf{x},\tau) = \mathrm{e}^{K \tau} \psi^\dagger(\mathbf{x}) \mathrm{e}^{-K\tau}.
</math>

Здесь оператор создания в мнимом времени <math>\bar\psi(\mathbf{x},\tau)</math> не является [[Сопряжённый оператор|эрмитово сопряженным]] оператором уничтожения <math>\psi(\mathbf{x},\tau)</math>.

В реальном времени <math>2n</math> -точечная функция Грина определяется как

: <math>
G^{(n)}(1 \ldots n \mid 1' \ldots n')
= i^n \langle \hat{T}\psi(1)\ldots\psi(n)\bar\psi(n')\ldots\bar\psi(1')\rangle,
</math>

где использованы сокращенные обозначения, в которых <math>j</math> означает <math>(\mathbf{x}_n, t_n)</math> а также <math>n'</math> означает <math>(\mathbf{x}_n', t_n')</math> . Оператор <math>\hat{T}</math> обозначает оператор [[Хронологическое упорядочение|упорядочивания по времени]], который указывает, что следующие за ним операторы поля должны быть упорядочены так, чтобы их аргументы времени увеличивались справа налево.

Для мнимого времени соответствующее определение:

: <math>
\mathcal{G}^{(n)}(1 \ldots n \mid 1' \ldots n')
= \langle \hat{T}\psi(1)\ldots\psi(n)\bar\psi(n')\ldots\bar\psi(1')\rangle,
</math>

где индекс <math>n</math> означает координаты и время <math>\mathbf{x}_n, \tau_n</math>. Переменные мнимого времени <math>\tau_n</math> ограничены диапазоном от <math>0</math> до обратной температуры <math>\beta=\frac{1}{k_B T}</math> .

Здесь знаки функций Грина были выбраны так, чтобы [[преобразование Фурье]] двухточечной (<math>n=1</math>) ''мацубаровская функции Грина'' для свободной частицы равна

: <math>
\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{-\mathrm{i}\omega_n + \xi_\mathbf{k}},
</math>

а ''запаздывающая функция Грина'' равна

: <math>
G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+\mathrm{i}\eta) + \xi_\mathbf{k}},
</math>

где

: <math>
\omega_n = {[2n+\theta(-\zeta)]\pi}/{\beta}\,,
</math>

где ω<sub>n</sub>— [[Частота мацубары|частоты Мацубары]].

<math>\zeta</math> равно <math>+1</math> для [[бозон]]ов и <math>-1</math> для [[фермион]]ов и <math>[\ldots,\ldots]=[\ldots,\ldots]_{-\zeta}</math> обозначает [[Коммутатор (алгебра)|коммутатор]] или антикоммутатор в зависимости от [[Теорема о связи спина со статистикой|статистики]].

=== Двухточечные функции ===
Функция Грина с одной парой аргументов (<math>n=1</math>) называется двухточечной функцией или [[пропагатор]]ом. При наличии как пространственной, так и временной трансляционной симметрии она зависит только от разницы её аргументов. Преобразование Фурье по пространству и времени дает

: <math>
\mathcal{G}(\mathbf{x}\tau\mid\mathbf{x}'\tau') = \int_\mathbf{k} d\mathbf{k} \frac{1}{\beta}\sum_{\omega_n} \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}')-\mathrm{i}\omega_n (\tau-\tau')},
</math>

где сумма по соответствующим частотам Мацубары (а интеграл включает неявный множитель <math>(L/2\pi)^{d}</math>).

В реальном времени указывают упорядоченную по времени функцию с надстрочным индексом T:

: <math>
G^{\mathrm{T}}(\mathbf{x} t\mid\mathbf{x}' t') = \int_\mathbf{k} d \mathbf{k} \int \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} G^{\mathrm{T}}(\mathbf{k},\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} -\mathbf{x} ')-\mathrm{i}\omega(t-t')}.
</math>

Двухточечную функцию Грина в реальном времени можно записать в терминах «запаздывающих» и «опережающих» функций Грина, которые, как оказывается, обладают более простыми свойствами аналитичности. Запаздывающие и опережающие функции Грина определяются как

: <math>
G^{\mathrm{R}}(\mathbf{x} t\mid\mathbf{x} 't') = -\mathrm{i}\langle[\psi(\mathbf{x} ,t),\bar\psi(\mathbf{x} ',t')]_{\zeta}\rangle\Theta(t-t')
</math>

: <math>
G^{\mathrm{A}}(\mathbf{x} t\mid\mathbf{x} 't') = \mathrm{i}\langle[\psi(\mathbf{x} ,t),\bar\psi(\mathbf{x} ',t')]_{\zeta}\rangle\Theta(t'-t),
</math>

соответственно.

Они связаны с упорядоченной по времени функцией Грина соотношением

: <math>
G^{\mathrm{T}}(\mathbf{k},\omega) = [1+\zeta n(\omega)]G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) - \zeta n(\omega) G^{\mathrm{A}}(\mathbf{k},\omega),
</math>

где

: <math>
n(\omega) = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta \omega}-\zeta}
</math>

— функция распределения [[Статистика Бозе — Эйнштейна|Бозе — Эйнштейна]] или [[Статистика Ферми — Дирака|Ферми — Дирака.]]

==== Упорядочение в мнимом времени и ''β'' периодичность ====
''Мацубаровские''функции Грина определяются только тогда, когда оба аргумента мнимого времени находятся в пределах диапазона <math>0</math> до <math>\beta</math> . Двухточечная функция Грина обладает следующими свойствами. (Координаты и импульс в этом разделе опущены.)

Во-первых, функция Грина зависит только от разницы мнимых времен:

: <math>
\mathcal{G}(\tau,\tau') = \mathcal{G}(\tau - \tau').
</math>

Аргумент <math>\tau - \tau'</math> меняется в пределах от <math>-\beta</math> к <math>\beta</math> .

Во-вторых, <math>\mathcal{G}(\tau)</math> -

это (анти) периодическая относительно сдвигов <math>\beta</math> функция. Из-за небольшого размера области, в которой определяется функция, это означает, что

: <math>
\mathcal{G}(\tau - \beta) = \zeta \mathcal{G}(\tau),
</math>

для <math>0 < \tau < \beta</math> . Упорядочение по времени имеет решающее значение для этого свойства, что можно напрямую доказать, используя цикличность операции взятия следа.

Эти два свойства учитываются в представлении прямого и обратного преобразования Фурье,

: <math>
\mathcal{G}(\omega_n) = \int_0^\beta \mathrm{d}\tau \, \mathcal{G}(\tau)\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n \tau}.
</math>

<math>\mathcal{G}(\tau)</math> имеет разрыв при <math>\tau = 0</math> ; это согласуется с поведением на больших расстояниях <math>\mathcal{G}(\omega_n) \sim 1/|\omega_n|</math>.

=== Спектральное представление ===
[[Пропагатор]]ы в реальном и мнимом времени связаны со спектральной плотностью (или спектральным весом) формулой

: <math>
\rho(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} 2\pi \delta(E_\alpha-E_{\alpha'}-\omega) |\langle \alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger\mid \alpha'\rangle|^2 \left(\mathrm{e}^{-\beta E_{\alpha'}} - \zeta\mathrm{e}^{-\beta E_{\alpha}}\right),
</math>

где | {{Mvar|α}} ⟩ относится к многочастичному собственному состоянию гамильтониана большого канонического ансамбля {{Math|''H''&nbsp;−&nbsp;''μN''}} с собственным значением {{Math|''E<sub>α</sub>''}} .

[[Пропагатор|Тогда пропагатор]] в мнимом времени определяется выражением

: <math>
\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}
\frac{\rho(\mathbf{k},\omega')}{-\mathrm{i}\omega_n+\omega'}~,
</math>

а запаздывающий [[пропагатор]] -

: <math>
G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}
\frac{\rho(\mathbf{k},\omega')}{-(\omega+\mathrm{i}\eta)+\omega'},
</math>

где предел подразумевается при <math>\eta\rightarrow 0^+</math>.

Опережающий пропагатор задается тем же выражением, но с членом <math>-\mathrm{i}\eta</math> в знаменателе.

Упорядоченную по времени функцию можно выразить в терминах <math>G^{\mathrm{R}}</math> и <math>G^{\mathrm{A}}</math>. Как утверждалось выше, <math>G^{\mathrm{R}}(\omega)</math> и <math>G^{\mathrm{A}}(\omega)</math> обладают простыми свойствами аналитичности: первая (последняя) имеет все полюса и разрывы в нижней (верхней) полуплоскости.

''Мацубаровский'' пропагатор <math>\mathcal{G}(\omega_n)</math> имеет все полюса и разрывы на воображаемых <math>\omega_n</math> осях.

Спектральную плотность можно найти из <math>G^{\mathrm{R}}</math>, используя [[Теорема Сохоцкого — Племеля|теорему Сохацкого — Вейерштрасса]] для обобщённых функций

: <math>
\lim_{\eta\rightarrow 0^+}\frac{1}{x\pm\mathrm{i}\eta} = P\frac{1}{x}\mp i\pi\delta(x),
</math>

где {{Mvar|P}} обозначает [[главное значение интеграла по Коши]]. Что приводит к

: <math>
\rho(\mathbf{k},\omega) = 2\operatorname{Im}\, G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega).
</math>

Кроме этого <math>G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega)</math> подчиняется следующему соотношению между его реальной и мнимой частями:

: <math>
\operatorname{Re} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = -2 P \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}
\frac{\operatorname{Im}\, G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega')}{\omega-\omega'},
</math>

где <math>P</math> обозначает главное значение интеграла.

Спектральная плотность подчиняется правилу сумм,

: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi} \rho(\mathbf{k},\omega) = 1,
</math>

которая задает асимптотику в виде

: <math>
G^{\mathrm{R}}(\omega)\sim\frac{1}{|\omega|}
</math>

при <math>|\omega| \rightarrow \infty</math> .

==== Преобразование Гильберта ====
Сходство спектральных представлений функций Грина от мнимого и действительного времени позволяет определить функцию

: <math>
G(\mathbf{k},z) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d} x}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},x)}{-z+x},
</math>

которая относится к <math>\mathcal{G}</math> и <math>G^{\mathrm{R}}</math> как

: <math>
\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = G(\mathbf{k},\mathrm{i}\omega_n)
</math>

а также

: <math>
G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = G(\mathbf{k},\omega + \mathrm{i}\eta).
</math>

Аналогичное выражение справедливо для <math>G^{\mathrm{A}}</math> .

Связь между <math>G(\mathbf{k},z)</math> и <math>\rho(\mathbf{k},x)</math> называется [[Преобразование Гильберта|преобразованием Гильберта]].

==== Доказательство спектрального представления ====
Для доказательства спектрального представления пропагатора мацубаровской функции Грина, определяют как

: <math>
\mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau\mid\mathbf{x} ',\tau') = \langle T\psi(\mathbf{x} ,\tau)\bar\psi(\mathbf{x} ',\tau')\rangle.
</math>

Из-за трансляционной симметрии необходимо учитывать только <math>\mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau\mid\mathbf{0},0)</math> для <math>\tau > 0</math>, заданную в виде

: <math>
\mathcal{G}(\mathbf{x},\tau\mid\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha'} \mathrm{e}^{-\beta E_{\alpha'}}
\langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x},\tau)\bar\psi(\mathbf{0},0) \mid \alpha' \rangle.
</math>

Подставление полного набора собственных состояний приводит к

: <math>
\mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau\mid\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} \mathrm{e}^{-\beta E_{\alpha'}}
\langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x} ,\tau)\mid\alpha \rangle\langle\alpha \mid \bar\psi(\mathbf{0},0) \mid \alpha' \rangle.
</math>

поскольку <math>|\alpha \rangle</math> и <math>|\alpha' \rangle</math> являются собственными состояниями <math>H-\mu N</math>, то операторы Гейзенберга можно переписать в терминах операторов Шредингера

: <math>
\mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau|\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} \mathrm{e}^{-\beta E_{\alpha'}}
\mathrm{e}^{\tau(E_{\alpha'} - E_\alpha)}\langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x} )\mid\alpha \rangle\langle\alpha \mid \psi^\dagger(\mathbf{0}) \mid \alpha' \rangle.
</math>

После преобразования Фурье получается

: <math>
\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} \mathrm{e}^{-\beta E_{\alpha'}} \frac{1-\zeta \mathrm{e}^{\beta(E_{\alpha'} - E_\alpha)}}{-\mathrm{i}\omega_n + E_\alpha - E_{\alpha'}} \int_{\mathbf{k}'} d\mathbf{k}' \langle\alpha \mid \psi(\mathbf{k}) \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi^\dagger(\mathbf{k}')\mid\alpha \rangle.
</math>

Сохранение импульса позволяет записать последний член в виде (с точностью до возможных объемных коэффициентов)

: <math>
|\langle\alpha' \mid\psi^\dagger(\mathbf{k})\mid\alpha \rangle|^2,
</math>

что подтверждает выражения для функций Грина в спектральном представлении.

Правило сумм можно доказать, рассматривая математическое ожидание коммутатора,

: <math>
1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_\alpha \langle\alpha \mid \mathrm{e}^{-\beta(H-\mu N)}[\psi_\mathbf{k},\psi_\mathbf{k}^\dagger]_{-\zeta} \mid \alpha \rangle,
</math>

а затем подставляя полный набор собственных состояний в оба члена коммутатора:

: <math>
1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} \mathrm{e}^{-\beta E_\alpha} \left(
\langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k} \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha \rangle - \zeta \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}\mid\alpha \rangle
\right).
</math>

Замена меток в первом слагаемом дает

: <math>
1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'}
\left(\mathrm{e}^{-\beta E_{\alpha'}} - \zeta \mathrm{e}^{-\beta E_\alpha} \right)
|\langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha' \rangle|^2 ~,
</math>

что и есть результат интегрирования {{Mvar|ρ}} .

==== Случай без взаимодействия ====
Для невзаимодействующих частиц <math>\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle</math> является собственным состоянием (большого канонического ансамбля) с энергией <math>E_{\alpha'} + \xi_\mathbf{k}</math>, где <math>\xi_\mathbf{k} = \epsilon_\mathbf{k} - \mu</math> — одночастичное дисперсионное соотношение, измеренное по отношению к химическому потенциалу. Таким образом, спектральная плотность

: <math>
\rho_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\,2\pi\delta(\xi_\mathbf{k} - \omega) \sum_{\alpha'}\langle\alpha' \mid\psi_\mathbf{k}\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle(1-\zeta \mathrm{e}^{-\beta\xi_\mathbf{k}})\mathrm{e}^{-\beta E_{\alpha'}}.
</math>

Из коммутационных соотношений

: <math>
\langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle =
\langle\alpha' \mid(1+\zeta\psi_\mathbf{k}^\dagger\psi_\mathbf{k})\mid\alpha' \rangle,
</math>

с возможными объёмными множителями. Сумма, которая включает в себя термическое среднее оператора числа частиц, тогда равняется <math>[1 + \zeta n(\xi_\mathbf{k})]\mathcal{Z}</math>, приводя к

: <math>
\rho_0(\mathbf{k},\omega) = 2\pi\delta(\xi_\mathbf{k} - \omega).
</math>

Таким образом, пропагатор от мнимого времени

: <math>
\mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-\mathrm{i}\omega_n + \xi_\mathbf{k}}
</math>

а запаздывающий пропагатор

: <math>
G_0^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+\mathrm{i} \eta) + \xi_\mathbf{k}}.
</math>

==== Предел нулевой температуры ====
При {{Mvar|β}} → ∞ спектральная плотность принимает вид

: <math>
\rho(\mathbf{k},\omega) = 2\pi\sum_{\alpha} \left[ \delta(E_\alpha - E_0 - \omega)
|\langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger\mid 0 \rangle|^2
- \zeta \delta(E_0 - E_{\alpha} - \omega)
|\langle0 \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha \rangle|^2\right]
</math>

где {{Mvar|α}} = 0 соответствует основному состоянию. Здесь только первый (второй) член даёт вклад, когда ω положительно (отрицательно).

== Общий случай ==

=== Основные определения ===
Для общего случая используются «полевые операторы», как указано выше, или операторы рождения и уничтожения, связанные с другими одночастичными состояниями, возможно, собственными состояниями (невзаимодействующей) кинетической энергии. Используются

: <math>
\psi(\mathbf{x} ,\tau) = \varphi_\alpha(\mathbf{x} ) \psi_\alpha(\tau),
</math>

где <math>\psi_\alpha</math> — оператор уничтожения одночастичного состояния <math>\alpha</math>, а <math>\varphi_\alpha(\mathbf{x} )</math> — волновая функция этого состояния в координатном представлении. Это дает

: <math>
\mathcal{G}^{(n)}_{\alpha_1\ldots\alpha_n|\beta_1\ldots\beta_n}(\tau_1 \ldots \tau_n | \tau_1' \ldots \tau_n')
= \langle T\psi_{\alpha_1}(\tau_1)\ldots\psi_{\alpha_n}(\tau_n)\bar\psi_{\beta_n}(\tau_n')\ldots\bar\psi_{\beta_1}(\tau_1')\rangle
</math>

с аналогичным выражением для <math>G^{(n)}</math> .

=== Двухточечные функции ===
Двухточечные функции Грина зависят только от разницы их временных аргументов, так что

: <math>
\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau\mid \tau') = \frac{1}{\beta}\sum_{\omega_n}
\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n (\tau-\tau')}
</math>

и

: <math>
G_{\alpha\beta}(t\mid t') = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\,
G_{\alpha\beta}(\omega)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(t-t')}.
</math>

Можно очевидным образом определять запаздывающие и опережающие функции грина; они связаны с упорядочиванием по времени так же, как указано выше.

Те же свойства периодичности, что описаны выше, применимы к <math>\mathcal{G}_{\alpha\beta}</math> . Конкретно,

: <math>
\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau\mid\tau') = \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau-\tau')
</math>

и

: <math>
\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau) = \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau + \beta),
</math>

для <math>\tau < 0</math> .

=== Спектральное представление ===
В этом случае,

: <math>
\rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{m,n} 2\pi \delta(E_n-E_m-\omega)\;
\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle
\left(\mathrm{e}^{-\beta E_m} - \zeta \mathrm{e}^{-\beta E_n}\right) ,
</math>

где <math>m</math> а также <math>n</math> — многочастичные состояния.

Выражения для функций Грина видоизменяются очевидным образом:

: <math>
\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}
\frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-\mathrm{i}\omega_n+\omega'}
</math>

и

: <math>
G^{\mathrm{R}}_{\alpha\beta}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}
\frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-(\omega+\mathrm{i}\eta)+\omega'}.
</math>

Их свойства аналитичности идентичны. Доказательство проводится точно так же, за исключением того, что эти два матричных элемента больше не являются комплексно сопряженными.

==== Невзаимодействующий случай ====
Если выбранные конкретные одночастичные состояния являются «собственными состояниями одночастичной энергии», то есть

: <math>
[H-\mu N,\psi_\alpha^\dagger] = \xi_\alpha\psi_\alpha^\dagger,
</math>

тогда для <math>|n \rangle</math> — собственное состояние:

: <math>
(H-\mu N)\mid n \rangle = E_n \mid n \rangle,
</math>

так это <math>\psi_\alpha \mid n \rangle</math> :

: <math>
(H-\mu N)\psi_\alpha\mid n \rangle = (E_n - \xi_\alpha) \psi_\alpha \mid n \rangle,
</math>

и аналогично для <math>\psi_\alpha^\dagger\mid n \rangle</math> :

: <math>
(H-\mu N)\psi_\alpha^\dagger \mid n \rangle = (E_n + \xi_\alpha) \psi_\alpha^\dagger \mid n \rangle.
</math>

Поэтому матричный элемент

: <math>
\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle =
\delta_{\xi_\alpha,\xi_\beta}\delta_{E_n,E_m+\xi_\alpha}\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle.
</math>

моэно переписать в виде

: <math>
\rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{m,n} 2\pi \delta(\xi_\alpha-\omega)
\delta_{\xi_\alpha,\xi_\beta}\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger \mid m \rangle
\mathrm{e}^{-\beta E_m}\left(1 - \zeta \mathrm{e}^{-\beta \xi_\alpha}\right),
</math>

следовательно

: <math>
\rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_m 2\pi \delta(\xi_\alpha-\omega)
\delta_{\xi_\alpha,\xi_\beta}\langle m \mid \psi_\alpha\psi_\beta^\dagger\mathrm{e}^{-\beta (H-\mu N)}\mid m \rangle
\left(1 - \zeta \mathrm{e}^{-\beta \xi_\alpha}\right),
</math>

используя

: <math>
\langle m \mid \psi_\alpha \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle = \delta_{\alpha,\beta}\langle m \mid \zeta \psi_\alpha^\dagger \psi_\alpha + 1 \mid m \rangle
</math>

и тот факт, что термическое среднее оператора числа частиц дает функцию распределения Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирака.

Наконец, спектральная плотность упрощается до выражения

: <math>
\rho_{\alpha\beta} = 2\pi \delta(\xi_\alpha - \omega)\delta_{\alpha\beta},
</math>

так что мацубаровская функция Грина

: <math>
\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-\mathrm{i}\omega_n + \xi_\beta}
</math>

а запаздывающая функция Грина равна

: <math>
G_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-(\omega+\mathrm{i}\eta) + \xi_\beta}.
</math>

Невзаимодействующая функция Грина диагональна, но во взаимодействующем случае это не так.

== Рекомендации ==

=== Книги ===
* Бонч-Бруевич В. Л., [[Тябликов, Сергей Владимирович|Тябликов С. В.]] (1962): ''Метод функции Грина в статистической механике.'' Издательство North Holland Publishing Co.
* Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. (1963): ''Методы квантовой теории поля в статистической физике'' Энглвудские скалы: Прентис-Холл.
* Негеле, Дж. У. и Орланд, Х. (1988): ''Квантовые системы многих частиц,'' Аддисон-Уэсли.
* [[Зубарёв, Дмитрий Николаевич|Зубарев Д. Н.]], Морозов В., Ропке Г. (1996): ''Статистическая механика неравновесных процессов: основные понятия, кинетическая теория'' (том 1). Джон Вили и сыновья.{{ISBN|3-05-501708-0}} .
* Мэттак Ричард Д. (1992), ''Руководство по диаграммам Фейнмана в проблеме многих тел'', Dover Publications,{{ISBN|0-486-67047-3}} .

=== Статьи ===
* [[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбов Н. Н.]], [[Тябликов, Сергей Владимирович|Тябликов С. В.]] Запаздывающие и опережающие функции Грина в статистической физике, Докл. '''4''', стр. 589 (1959).
* [[Зубарёв, Дмитрий Николаевич|Зубарев Д. Н.]], [https://dx.doi.org/10.1070/PU1960v003n03ABEH003275 Двухвременные функции Грина в статистической физике], УМН '''3:''' 3 (1960), 320—345.

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20160304030119/http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/pavarini.pdf Функции линейного отклика] у Евы Паварини, Эрика Коха, Дитера Фоллхардта и Александра Лихтенштейна (ред.): DMFT в 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 г. {{ISBN|978-3-89336-953-9}}

[[Категория:Физика конденсированного состояния]]