Просмотр кода страницы Многочлен Кауфмана

{{К переименованию|2023-02-02|Многочлен Кауффмана}}
'''Многочлен Кауфмана''' — [[многочлен узла]] от двух переменных, предложенный {{нп2|Кауфман, Луис Хирш|Луисом Кауфманом|en|Louis Kauffman}}. Первоначально был определён на диаграмме [[Зацепление (теория узлов)|зацеплений]] как:
: <math>F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)</math>,

где <math>w(K)</math> — [[Число закрученности|закрученность]] диаграммы зацепления и <math>L(K)</math> — многочлен, определённый на диаграмме зацепления со следующими свойствами:

* <math>L(O) = 1</math> (<math>O</math> — тривиальный узел);
* <math>L(s_r)=aL(s), \qquad L(s_\ell)=a^{-1}L(s)</math>;
* <math>L</math> не меняется при применении [[Движение Рейдемейстера|движений Рейдемейстера]] типа II и III.

Здесь <math>s</math> — нить, а <math>s_r</math> (соответственно, <math>s_\ell</math>) — та же нить с добавлением правого (соответственно, левого) витка (используя движение Рейдемейстера типа I).

Кроме того, <math>L</math> должно удовлетворять [[Скейн-соотношение|скейн-соотношению]] Кауфмана:

: [[Файл:Kauffman poly.png|400px]]

Рисунки представляют многочлен <math>L</math> диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовне{{Уточнить}}<!--нечитаемо-->.

Кауфман показал, что <math>L</math> существует и является {{не переведено 5|Регулярная изотопия|регулярно-изотопическим||regular isotopy}} инвариантом неориентированных зацеплений, откуда следует, что <math>F</math> является [[Объемлющая изотопия|объемлюще-изотопическим]] инвариантом ориентированных зацеплений.

[[Полином Джонса|Многочлен Джонса]] — специальный вид многочлена Кауфмана, когда <math>L</math> сужается до [[Скобка Кауфмана|скобок Кауфмана]]. Многочлен Кауфмана связан с [[Теория Черна — Саймонса|калибровочной теорией Черна — Саймонса]] для [[Специальная ортогональная группа|<math>\mathrm{SO}(N)</math>]] так же, как [[многочлен HOMFLY]] связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для [[Специальная унитарная группа|<math>\mathrm{SU}(N)</math>]]<ref>Witten. «Quantum field theory and the Jones polynomial» // Commun. Math. Phys.</ref>.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор=Louis Kauffman
|заглавие=On Knots
|год=1987
|ISBN=0-691-08435-1
|ref=Kauffman
}}

== Ссылки ==
* [http://eom.springer.de/k/k120040.htm Springer EoM entry for Kauffman polynomial]
* [http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Kauffman_Polynomial The_Kauffman_Polynomial], the Knot Atlas

{{rq|checktranslate|style|topic=math}}
{{Теория узлов|state=collapsed}}

[[Категория:Теория узлов]]
[[Категория:Многочлены]]