Просмотр кода страницы Множество Смита — Вольтерры — Кантора

[[Файл:Smith-Volterra set.png|thumb|right|256px|После того, как чёрные промежутки будут удалены, белые точки образуют нигде не плотное множество меры 1/2.]]
'''Множество Смита — Вольтерры — Кантора''' (''СВК'', ''толстое множество Кантора'', ''<math>\varepsilon</math>-множество Кантора''{{sfn|Aliprantis, Burkinshaw|1981}}) — пример множества точек на [[Вещественное число|вещественной оси]] <math>\R</math>, которое [[Нигде не плотное множество|нигде не плотно]] (в частности, оно не содержит какого-либо [[Промежуток (математика)|интервала]]), но, однако, имеет положительную [[Мера множества|меру]]. [[Гомеоморфизм|Топологически эквивалентно]] классическому [[Канторово множество|канторову множеству]]. Названо по именам [[математик]]ов [[Смит, Генри Джон Стивен|Генри Смита]], [[Вольтерра, Вито|Вито Вольтерры]] и [[Кантор, Георг|Георга Кантора]].

== Построение ==
Аналогично построению [[Канторово множество|канторова множества]], множество Смита — Вольтерры — Кантора строится путём удаления определённых интервалов из [[Единичный отрезок|единичного отрезка]] <math>[0, 1]</math>.

Процесс начинается с удаления средней части длины <math>\tfrac{1}{4}</math> из интервала <math>[0, 1]</math> (что эквивалентно удалению <math>\tfrac{1}{8}</math> отрезка с обеих сторон от средней точки <math>\tfrac{1}{2}</math>), так что оставшееся множество равно:

: <math>\left[0, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, 1\right]</math>.

Следующие шаги состоят из удаления подынтервалов длины <math>(\tfrac{1}{4})^n</math> из середины каждого из оставшихся <math>2^{n-1}</math> интервалов. Так что на втором шаге удаляются интервалы <math>(\tfrac{5}{32}, \tfrac{7}{32})</math> и <math>(\tfrac{25}{32}, \tfrac{27}{32})</math>, оставляя:

: <math>\left[0, \frac{5}{32}\right] \cup \left[\frac{7}{32}, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, \frac{25}{32}\right] \cup \left[\frac{27}{32}, 1\right]</math>.

Процесс удалений продолжается бесконечно, множество Смита — Вольтерры — Кантора составляется из оставшихся точек.
[[Файл:Smith-Volterra-Cantor set.svg|мини|Первые пять итераций процесса построения множества Смита — Вольтерры — Кантора]]
Каждая последующая итерация в построении множества удаляет пропорционально меньше из оставшихся интервалов. Этот процесс отличается от построения [[Канторово множество|канторова множества]], где пропорция удаляемой части на каждом интервале остаётся постоянной. В результате множество Смита — Вольтерры — Кантора имеет положительную меру, в то время как канторово множество имеет меру нуль.

== Свойства ==
По построению, множество Смита — Вольтерры — Кантора не содержит интервалов, а потому имеет пустую внутренность. Множество является также пересечением последовательности замкнутых множеств, что означает, что множество замкнуто.
В течение процесса построения множества из отрезка <math>[0, 1]</math> удаляются интервалы с общей длиной:

: <math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{2^{2n + 2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{1}{2}</math>,

что показывает, что оставшиеся точки имеют положительную меру <math>\tfrac{1}{2}</math>. Это делает множество Смита — Вольтерры — Кантора примером замкнутого множества, [[Граница (топология)|граница]] которого имеет положительную [[Мера Лебега|меру Лебега]]. Также множество является примером [[Компактное пространство|компактного множества]], неизмеримого [[Мера Жордана|по Жордану]]. [[Индикатор (математика)|Характеристическая функция]] множества является примером ограниченной функции, не интегрируемой [[Интеграл Римана|по Риману]] на отрезке <math>(0,1)</math>.

Множество Смита — Вольтерры — Кантора используется при построении {{не переведено 5|Функция Вольтерры|функции Вольтерры||Volterra's function}}.

== Другие толстые множества Кантора ==
В общем случае можно удалить <math>r_b</math> из каждого оставшегося подынтервала на <math>n</math>-ом шаге алгоритма, что приводит к множествам, подобным множествам Кантора. Полученное множество будет иметь положительную меру тогда и только тогда, когда сумма последовательности меньше меры исходного интервала. Если середина интервала длины <math> (a)^n </math> удаляется из <math> [0, 1] </math> на каждой <math>n</math>-й итерации, где <math> a \in \R</math>, мера Лебега оставшейся части равна:

: <math> \sum _{n=0}^{\infty } 2^n a ^ {n+1} = a \sum _{n=0}^{\infty }  (2a) ^ {n} = a \dfrac{1}{1 - 2a}  </math>.

Таким образом, множество будет иметь положительную меру тогда и только тогда, когда:

: <math> 1 - \dfrac{a}{1 - 2a} > 0 \equiv a < \dfrac{1}{3} </math>.

[[Прямое произведение]] множеств Смита — Вольтерры — Кантора может быть использовано для поиска имеющих ненулевую меру [[Вполне несвязное пространство|вполне несвязных множеств]] в пространствах более высоких размерностей. Применяя {{не переведено 5|Теорема Данжуа – Риса|теоремы Данжуа – Риса||Denjoy–Riesz theorem}} к двумерным множествам этого типа можно найти [[Теорема Жордана|жорданову кривую]], имеющую положительную площадь {{sfn|Balcerzak, Kharazishvili|1999|с=201–212}}.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор=Aliprantis,  Burkinshaw
|ref=Aliprantis, Burkinshaw
|год=1981
|заглавие=Principles of Real Analysis
|издательство=Academic press
|место=San Diego, Lonlon, Boston, New York, Sydney, Tokyo, Toronto
|isbn=0-12-050257-7
}}
* {{статья
|автор=M. Balcerzak, A. Kharazishvili
|ref=Balcerzak, Kharazishvili
|doi=10.1023/A:1022102312024
|выпуск=3
|издание=Georgian Mathematical Journal
|mr=1679442
|заглавие=On uncountable unions and intersections of measurable sets
|том=6
|год=1999
}}
{{refend}}

== Ссылки ==
* [http://www.macalester.edu/~bressoud/talks/AlleghenyCollege/Wrestling.pdf ''Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra’s function], talk by David Marius Bressoud

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Теория меры]]
[[Категория:Топологические пространства]]
[[Категория:Фракталы]]
[[Категория:Числовые множества]]