Просмотр кода страницы Модели Осипкова — Мерритта

'''Модели Осипкова — Мерритта''' (по имени Л.П. Осипкова и Д. Мерритта) — математическое представление сферических звёздных систем 
([[Галактика|галактик]], [[Звёздное скопление|звёздных скоплений]], [[Шаровое звёздное скопление|шаровых звёздных скоплений]], и т.д.). Формула Осипкова — Мерритта создаёт однопараметрическое семейство функций распределения в фазовом пространстве, определяющих заданный профиль плотности (распределение звёзд) в заданном [[Гравитационный потенциал|гравитационном потенциале]] (в котором звёзды движутся). Плотность и потенциал не обязательно должны быть самосогласованными. Свободный параметр показывает степень анизотропии скоростей, от изотропности до почти радиального движения. Метод является обобщением [[Формула Эддингтона|формулы Эддингтона]]<ref>[[Эддингтон, Артур|Eddington, A.]] (1916), [http://adsabs.harvard.edu/abs/1916MNRAS..76..572E  The distribution of stars in globular clusters,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1916MNRAS..76..572E |date=20190602111206 }} ''Mon. Not. R. Astron. Soc.'', '''76''', 572</ref> для построения изотропных сферических моделей.

Метод был независимо разработан двумя исследователями.<ref>Osipkov, L. P. (1979), [http://adsabs.harvard.edu/abs/1979PAZh....5...77O  Spherical systems of gravitating bodies with an ellipsoidal velocity distribution,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1979PAZh....5...77O |date=20190602111211 }} ''Pis'ma v Astron. Zhur.'', '''5''', 77</ref><ref name="Merritt">[[Мерритт, Дэвид|Merritt, D.]] (1985), [http://adsabs.harvard.edu/abs/1985AJ.....90.1027M  Spherical stellar systems with spheroidal velocity distributions,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1985AJ.....90.1027M |date=20190602111209 }} ''Astron. J.'', '''90''', 1027</ref> Во второй работе включены два дополнительных семейства (тип IIa, b) с тангенциально анизотропными движениями.

== Вывод ==
Согласно [[Теорема Джинса|теореме Джинса]] фазовая плотность распределения звёзд ''f'' должна выражаться в терминах изолирующих [[Интегралы движения|интегралов движения]], в сферической системе это энергия ''E'' и угловой момент ''J''. В модели Осипкова-Мерритта

:<math>f = f(Q) = f(E+J^2/2r_a^2),</math>

где ''r<sub>a</sub>'', "радиус анизотропии", является свободным параметром. При этом ''f'' является постоянной на поверхности сфероидов в пространстве скоростей, поскольку
:<math>
2Q = v_r^2 + (1+r^2/r_a^2)v_t^2 + 2\Phi(r),
</math>
где ''v''<sub>r</sub>, ''v''<sub>t</sub> являются компонентами скорости, параллельными и перпендикулярными к радиус-вектору ''r'', а Φ(''r'') является гравитационным потенциалом.

Плотность ''ρ'' является интегралом по скоростям от ''f'':
:<math>
\rho(r) = 2\pi\int\int f(E,J) v_t dv_t dv_r,
</math>
что можно записать в виде
:<math>
\rho(r) = {2\pi\over r^2} \int_\Phi^0 dQ f(Q) \int_0^{2r^2(Q-\Phi)/(1+r^2/r_a^2)} dJ^2\left[2(Q-\Phi)-(J^2/r^2)(1+r^2/r_a^2)\right]^{-1/2}
</math>
или
:<math>
\rho(r) = {4\pi\over 1+r^2/r_a^2} \int_\Phi^0 dQ \sqrt{2(Q-\Phi)}f(Q).
</math>

Это уравнение имеет форму [[Интегральное_уравнение#Задача_Абеля|интегрального уравнения Абеля]] и может быть обращено так, что получится выражение для ''f'' относительно ''ρ'':

:<math>

f(Q) = {\sqrt{2}\over 4\pi^2} {d\over dQ} \int_Q^0 {d\Phi\over\sqrt{\Phi-Q}} {d\rho^'\over d\Phi},\ \ \ \ \ \rho^'(\Phi) = \left[1+r(\Phi)^2/r_a^2\right]\rho\left[r(\Phi)\right].
</math>

== Свойства ==

Согласно выкладкам, аналогичным представленным выше, дисперсии скоростей в модели Осипкова — Мерритта удовлетворяют соотношению

:<math>
{\sigma_r^2\over\sigma_t^2} = 1 + {r^2\over r_a^2}.
</math>

Движения являются почти радиальными (<math>\sigma_r\gg\sigma_t</math>) при <math>r\gg r_a</math> и почти изотропными (<math>\sigma_r\approx\sigma_t</math>) при <math>r\ll r_a</math>. Это полезное свойство модели, поскольку звёздные системы, сформировавшиеся при [[Гравитационный коллапс|гравитационном коллапсе]], обладают изотропными ядрами и радиально-анизотропными оболочками.<ref>van Albada, T. (1983), [http://adsabs.harvard.edu/abs/1982MNRAS.201..939V  Dissipationless galaxy formation and the R to the 1/4-power law,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1982MNRAS.201..939V |date=20190602111211 }} ''Mon. Not. R. Astron. Soc.'', '''201''', 939</ref>

Если ''r<sub>a</sub>'' принимает слишком маленькое значение, то ''f'' может быть отрицательным при некотором ''Q''. Это следствие того факта, что модели сферической массы не всегда могут быть воспроизведены только радиальными орбитами. Поскольку число звёзд на орбите не может быть отрицательным, то значения ''r<sub>a</sub>'', создающие отрицательное ''f'', не имеют физического смысла. Этот результат можно использовать для ограничения максимальной степени анизотропии в сферических моделях галактик.<ref name=Merritt/>

В работе 1985 года Мерритт определил два дополнительных семейства моделей ("тип II"), обладающих изотропными ядрами и тангенциально-анизотропными оболочками. Для обоих семейств выполняется предположение

:<math>f = f(E-J^2/2r_a^2)</math>.

В моделях типа IIa орбиты становятся круговыми при ''r=r<sub>a</sub>'' и остаются такими при всех больших радиусах.
В моделях типа IIb звёзды за  ''r<sub>a</sub>'' двигаются по круговым орбитам с различными эксцентриситетами, хотя движение всегда смещено к круговому. В обоих семействах дисперсия тангенциальных скоростей испытывает скачок при увеличении ''r'' за ''r<sub>a</sub>''.
C. M. Каролло и др. (1995)<ref>Carollo, C. M. ''et al.'' (1995), [http://adsabs.harvard.edu/abs/1995MNRAS.276.1131C  Velocity profiles of Osipkov-Merritt models,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1995MNRAS.276.1131C |date=20190602111206 }} ''Mon. Not. R. Astron. Soc.'', '''276''', 1131</ref> вывели ряд наблюдательных свойств моделей Осипкова — Мерритта I типа.

== Применение ==

Примеры применения моделей Осипкова — Мерритта включают

* моделирование звёздных скоплений,<ref>Lupton, R.'' et al.'' (1989), [http://adsabs.harvard.edu/abs/1989ApJ...347..201L  The internal velocity dispersions of three young star clusters in the Large Magellanic Cloud,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1989ApJ...347..201L |date=20190602111209 }} ''Astrophys. J.'', '''347''', 201</ref> галактик,<ref>Nolthenius, R. and [[Holland Ford|Ford, H.]] (1987), [http://adsabs.harvard.edu/abs/1986ApJ...305..600N  The mass and halo dispersion profile of M32,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1986ApJ...305..600N |date=20190602111211 }} ''Astrophys. J.'', '''305''', 600</ref> [[гало тёмной материи]] <ref>Sotnikova, N. Ya. and Rodionov, S. A. (2008), [http://adsabs.harvard.edu/abs/2008arXiv0809.3946S  Anisotropic Models of Dark Halos,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/2008arXiv0809.3946S |date=20190602111209 }} ''Astron. Lett.'', '''34''', 664-674</ref> и [[Скопление галактик|скоплений галактик]]<ref>Lokas, E. and Mamon, G. (2001), [http://adsabs.harvard.edu/abs/2001MNRAS.321..155L  Properties of spherical galaxies and clusters with an NFW density profile,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/2001MNRAS.321..155L |date=20190602111206 }} ''Mon. Not. R. Astron. Soc.'', '''321''', 155</ref>;
* построение анизотропных моделей галактик для исследования динамической неустойчивости.<ref>May, A. and [[James Binney|Binney, J.]] (1986), [http://adsabs.harvard.edu/abs/1986MNRAS.221P..13M  Testing the stability of stellar systems,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1986MNRAS.221P..13M |date=20190602111214 }} ''Mon. Not. R. Astron. Soc.'', '''221''', 13</ref><ref>Saha, P. (1991), [http://adsabs.harvard.edu/abs/1991MNRAS.248..494S  Unstable modes of a spherical stellar system,] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1991MNRAS.248..494S |date=20190602111206 }} ''Mon. Not. R. Astron. Soc.'', '''248''', 494</ref>

== Примечания ==
{{примечания}}
{{изолированная статья|дата=2019-06-02}}

[[Категория:Астрофизика]]