Просмотр кода страницы Модель Солоу

[[Файл:Robert Solow by Olaf Storbeck.jpg|thumb|250px|[[Солоу, Роберт|Роберт Мертон Солоу]] — американский экономист, автор модели Солоу]]
'''Модель Солоу''' (''модель Солоу — Свона'', {{lang-en|Solow model}}) — [[Экономическая модель|модель]] [[Экзогенность|экзогенного]] [[экономический рост|экономического роста]], основанная на экзогенной норме сбережений и неоклассической производственной функции.

Модель Солоу считают [[Теория экономического роста|отправной точкой]] для всех современных моделей экономического роста, которым она дала необходимую математическую базу для анализа темпов изменения капитала. Модель оказала влияние на всю [[Макроэкономика|макроэкономическую]] теорию.

Разработана одновременно и независимо друг от друга [[Солоу, Роберт|Робертом Солоу]] и {{нп3|Свон, Тревор|Тревором Своном|en|Trevor Swan}} в 1956 году.

Одним из недостатков модели является экзогенный характер нормы сбережений, то есть модель не учитывает оптимизационного поведения потребителей (модель, учитывающая указанное поведение, называется [[Модель Рамсея — Касса — Купманса|неоклассической моделью экономического роста]]). Также модель приводит к нереалистичной оценке [[ставка процента|ставки процента]] в [[развивающиеся страны|развивающихся странах]].

== История создания ==
До появления модели Солоу наиболее распространенным инструментом изучения экономического роста была [[Модель Харрода — Домара|модель Харрода — Домара]]. Она базировалась на [[Кейнсианство|кейнсианских]] предпосылках, оперировала исключительно данным макроуровня ([[совокупный спрос]], [[совокупное предложение]] и т. д.), игнорируя микроуровень отдельного потребителя или отдельной фирмы, и концентрировалась на возможных негативных последствиях экономического роста, в частности, на безработице. Также слабыми местами модели были отсутствие взаимозаменяемости ресурсов, поскольку в ней использовалась [[Функция Леонтьева|производственная функция Леонтьева]], и нестабильность динамического равновесия. [[Неоклассическая экономическая теория|Неоклассическая теория]] нуждалась в собственной модели, опирающейся на неоклассические предпосылки на микроуровне и демонстрирующей механизм экономического роста, и первым шагом в этом направлении стала модель Солоу{{sfn|Аджемоглу|2018|с=36}}{{sfn|Palgrave (Uzawa)|2018|с=8886—8887}}.

Модель, объединяющая неоклассическую форму производственной функции с постоянным эффектом от масштаба, убывающей отдачи факторов и положительной эластичностью замены факторов и постоянной нормой сбережения была сформулирована одновременно и независимо друг от друга будущим лауреатом [[Премия по экономике памяти Альфреда Нобеля|Нобелевской премии по экономике]] [[Солоу, Роберт|Робертом Солоу]] в изданной в феврале 1956 года статье «Вклад в теорию экономического роста» в журнале [[Quarterly Journal of Economics|The Quaterly Journal of Economics]]{{sfn|Solow|1956}} и {{нп3|Trevor Swan|Тревором Своном}} в изданной в ноябре 1956 года статье «Экономический рост и накопление капитала» в журнале The Economic Record{{sfn|Swan|1956}}. Она была дополнена предпосылкой об учёте технологического роста в производственной функции, впервые изложенной Робертом Солоу в статье «Технологические изменения и совокупная производственная функция», опубликованной в августе 1957 года в журнале {{Нп3|The Review of Economics and Statistics}}{{sfn|Solow R.|1957}}, в результате которой модель Солоу приобрела современный вид{{sfn|Нуреев|2008|с=120}}.

== Описание модели ==

=== Базовые предпосылки модели ===
В модели рассматривается [[закрытая экономика]]. Фирмы максимизируют свою [[прибыль]]. Фирмы функционируют в условиях [[Совершенная конкуренция|совершенной конкуренции]]. Производится только один продукт <math>Y</math>, используемый, как для [[Потребление|потребления]] <math>C</math>, так и для [[Инвестиции|инвестиций]] <math>I</math>. Темпы [[научно-технический прогресс|технологического прогресса]] <math>g</math>, роста населения <math>n</math> и норма выбытия капитала <math>\delta</math> — постоянны и задаются [[Экзогенность|экзогенно]]. Норма [[Сбережения|сбережений]] <math>s</math> также задаётся экзогенно{{sfn|Ромер Д.|2014|c=26}}. [[Фискальная политика]] (государственные расходы и налоги) в модели отсутствует. Время <math>t</math> изменяется непрерывно{{sfn|Solow|1956}}{{sfn|Palgrave (Uzawa)|2018|с=8886—8887}}.

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: <math>S=I=sY</math>, <math>Y=C+I</math>{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=187}}.

[[Производственная функция]] <math>Y(K,L,E)</math> имеет вид <math>Y(K, LE) </math> и удовлетворяет [[Неоклассическая экономическая теория|неоклассическим]] предпосылкам{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=186}}{{sfn|Ромер Д.|2014|c=27}}:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по [[Харрод, Рой|Харроду]]): <math>Y_t=Y(K_t, L_tE_t),\ E_t=E_0e^{gt},\ g = const</math>, где <math>L_t</math> — [[труд]], <math>K_t </math> — [[капитал]], <math>E_t </math> — параметр [[научно-технический прогресс|технологического прогресса]] в момент времени <math>t</math>;

2) производственная функция обладает постоянной отдачей от масштаба: <math>Y(a K, a LE)=a Y(K, LE)</math>;

3) [[Предельный продукт|предельная производительность]] факторов положительная и убывающая: <math>\frac{\partial Y}{\partial K}>0,\ \frac{\partial^2 Y}{\partial K^2}<0,\ \frac{\partial Y}{\partial L}>0,\ \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2}<0</math>;

4) производственная функция удовлетворяет [[Условия Инады|условиям Инады]], а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: <math>\lim_{K \to 0}{\frac{\partial Y}{\partial K}}=\lim_{L \to 0}{\frac{\partial Y}{\partial L}}=+\infin,\ 
\lim_{K \to +\infin}{\frac{\partial Y}{\partial K}}=\lim_{L \to +\infin}{\frac{\partial Y}{\partial L}}=0</math>;

5) для производства необходим каждый фактор: <math>Y(K,0)=Y(0, LE)=0</math>.

Население <math>L_t</math>, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом <math>n</math>{{sfn|Solow|1956}}: <math>L_t=L_0e^{nt},\ n=const</math>.

Для поиска решения модели используются удельные показатели{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=187}}: выпуск на единицу эффективного труда <math>y=\frac{Y}{LE}</math>, запас капитала на единицу эффективного труда <math>k=\frac{K}{LE}</math>, потребление на единицу эффективного труда <math>c=\frac{C}{LE}</math>, инвестиции на единицу эффективного труда <math>i=\frac{I}{LE}</math>.

Тогда производственную функцию можно записать в следующем виде: <math>y=\frac{Y}{LE}=Y\biggl(\frac{K}{LE}, 1\biggr)=f(k)</math>.

Наиболее часто в качестве конкретного примера производственной функции, удовлетворяющей предпосылкам модели, используется производственная [[Функция Кобба — Дугласа|функция Кобба-Дугласа]]{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=186}}{{sfn|Ромер Д.|2014|c=28}}:

: <math>Y(K, LE)=K^\alpha(LE)^{1-\alpha},\ y=k^\alpha,\ 0<\alpha<1</math>,

где <math>\alpha</math> — [[Эластичность (экономика)|эластичность]] выпуска по капиталу, <math>(1-\alpha)</math> — эластичность выпуска по труду.

Поведение потребителей в явном виде в модели не рассматривается. Функция полезности отсутствует. Вместо этого имеется экзогенно задаваемая норма сбережений <math>s</math>, <math>0<s<1</math>, означающая, что домохозяйства сберегают долю своего дохода <math>s</math>, а оставшуюся долю <math>1-s</math> тратят на потребление, и это соотношение не зависит от происходящих в экономике событий{{sfn|Аджемоглу|2018|с=37}}.

=== Стационарное состояние в модели ===
[[Файл:Solow(eq).jpg|350px|thumb|Модель Солоу, фазовая плоскость, равновесие]]

Исходя из предпосылок модели, в момент времени <math>t</math> капитал увеличивается на величину инвестиций, то есть на <math>sY</math>, и изнашивается на <math>\delta K</math>, таким образом, можно записать производную капитала по времени <math>\dot{K}</math> в следующем виде{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=188}}:

:<math>\dot{K}=sY_t-\delta K_t</math>.

Учитывая, что <math>k=\frac{K}{LE}</math>, производную капиталовооружённости труда с постоянной эффективностью <math>\dot{k}</math> по времени можно выразить следующим образом{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=188}}:

:<math>\dot{k}=\frac{\dot{K}}{L_tE_t}-\frac{K_t(\dot{L}E_t+L_t\dot{E})}{(L_tE_t)^2}=\frac{sY_t-\delta K_t}{L_tE_t}-\frac{K}{LE} \left(
\frac{\dot{L}}{L_t}+\frac{\dot{E}}{E_t}\right)=sf(k_t)-(n+g+\delta)k_t</math>,

где <math>\dot{L}</math> — производная размера населения по времени, <math>\dot{E}</math> — производная эффективности труда по времени. Исходя из ранее принятых предпосылок: <math>\frac{\dot{L}}{L_t}=n</math> и <math>\frac{\dot{E}}{E_t}=g</math>.

Если инвестиции на единицу эффективного труда <math>i_t=sf(k_t)</math> превышают выбытие капитала на единицу эффективного труда <math>(n+g+\delta)k_t</math>, то капиталовооружённость труда с постоянной эффективностью <math>k</math> растет, в противном случае — падает{{sfn|Аджемоглу|2018|с=72}}. В [[Стационарное состояние (математика)|стационарном состоянии]] уровень капитала на единицу эффективного труда <math>k</math> постоянен, то есть <math>\dot{k}=0</math>, а значит устойчивый уровень капиталовооружённости труда с постоянной эффективностью <math>k^*</math> находится из уравнения{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=189}}{{sfn|Аджемоглу|2018|с=92}}:

:<math>sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*</math>.

[[File:Solow(s change).jpg|350px|thumb|Модель Солоу, фазовая плоскость, изменение нормы сбережений]]

Графически достижение равновесия в модели Солоу показано на иллюстрации. В модели Солоу в стационарном состоянии темп роста производительности труда равен темпу технического прогресса, а темп экономического роста — сумме темпа технического прогресса и темпа роста населения{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=190}}.

При росте нормы сбережений инвестиции превышают выбытие капитала, <math>k</math> растет до достижения равновесия при более высоком уровне <math>k</math>. В процессе перехода к новому стационарному состоянию темп роста производительности труда будет опережать темп технического прогресса и при достижении нового равновесия они сравняются. Переход к новому стационарному состоянию при изменении нормы сбережений показан графически на иллюстрации.

В стационарном состоянии темп прироста показателей на единицу эффективного труда равен нулю{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=190}}:

:<math>\frac{\dot{y}}{y}=g_y=\frac{\dot{c}}{c}=g_c=\frac{\dot{k}}{k}=g_k=0</math>.

Показатели на единицу труда растут с темпом технологического прогресса <math>g</math>{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=190}}:

:<math>\frac{\bigl(\dot{\frac{Y}{L}}\bigr)}{\frac{Y}{L}}=g_{Y/L}=\frac{\bigl(\dot{\frac{C}{L}}\bigr)}{\frac{C}{L}}=g_{C/L}=\frac{\bigl(\dot{\frac{K}{L}}\bigr)}{\frac{K}{L}}=g_{K/L}=g</math>.

Валовые показатели растут с темпом равным сумме темпов прироста технологического прогресса <math>g</math> и населения <math>n</math>{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=190}}:

:<math>\frac{\dot{Y}}{Y}=g_Y=\frac{\dot{C}}{C}=g_C=\frac{\dot{K}}{K}=g_K=g+n</math>.

=== Оптимальный уровень нормы сбережений (Золотое правило) ===
[[Файл:Solow(golden rule).jpg|350px|thumb|Модель Солоу, фазовая плоскость, «Золотое правило»]]
[[Файл:Solow(golden rule, path1).jpg|350px|thumb|Модель Солоу, переход к «Золотому правилу», {{s|вариант 1}}]]
[[Файл:Solow(golden rule, path2).jpg|350px|thumb|Модель Солоу, переход к «Золотому правилу», {{s|вариант 2}}]]
После нахождения устойчивого уровня <math>k^*</math> следующей задачей является нахождение такого значения нормы сбережений <math>s^*</math>, при котором в устойчивом состоянии потребление на единицу эффективного труда <math>c</math> максимально. То есть, необходимо решить задачу{{sfn|Аджемоглу|2018|с=58}}{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=191}}:

: <math>\max_s{c[k(s)]}</math>

при условии:

: <math>\dot{k}=0</math>.

Выразив <math>c</math> через <math>k</math>, получим{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=192}}:

: <math>c[k(s)]=(1-s)y=f[k(s)]-(n+g+\delta)k(s)</math>.

Производная <math>\frac{\partial c}{\partial s}</math> равна{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=192}}:

: <math>\frac{\partial c}{\partial s}=\biggl(\frac{\partial f}{\partial k}-(n+g+\delta) \biggr)\frac{\partial k}
{\partial s}</math>.

В точке максимума <math>\frac{\partial c}{\partial s}=0</math>. С ростом нормы сбережений капиталовооружённость на единицу эффективного труда растет, потому <math>\frac{\partial k}{\partial s}>0</math>. Значит, в точке максимума должно выполняться равенство{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=192}}:
: <math>\frac{\partial f(k^{**})}{\partial k}=n+g+\delta</math>,
где <math>k^{**}</math> — устойчивый уровень капиталовооружённости на единицу эффективного труда, соответствующий максимальному потреблению.

Таким образом, норма сбережений <math>s^*</math>, максимизирующая потребление <math>c</math>, находится из решения системы уравнений{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=192}}:

: <math>\begin{cases}
s^*f(k^{**})=(n+g+\delta)k^{**}, \\
\frac{\partial f(k^{**})}{\partial k}=n+g+\delta.
\end{cases}</math>

В результате решения этой системы оптимальная норма сбережения, соответствующие «Золотому правилу», равна эластичности выпуска по капиталу{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=193}}:

: <math>s^*=\frac{k^{**}}{f(k^{**})}\times \frac{\partial f(k^{**})}{\partial k}</math>.

Графически «Золотое правило» нормы сбережения в модели Солоу показано на иллюстрации. Выбирается такая норма сбережений, при которой наклон кривой <math>f(k)</math> равен <math>n+g+\delta</math>, поскольку именно в этой точке превышение кривой <math>f(k)</math> над кривой <math>(n+g+\delta)k</math>, которое и составляет потребление <math>c</math>, максимально. Таким образом, норма сбережений, обеспечивающая максимальный устойчивый уровень потребления, равна [[Эластичность (экономика)|эластичности]] выпуска по капиталу в устойчивом состоянии, соответствующему этой норме сбережений. Полученное значение <math>s^*</math> называют «Золотым правилом» нормы сбережения, а <math>k^{**}</math> — капиталовооружённостью на единицу эффективного труда, соответствующей «Золотому правилу»{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=193}}.

Если норма сбережений <math>s</math> выше «Золотого правила», то при её снижении до уровня «Золотого правила» потребление <math>c</math> сначала резко растет, затем снижается, но в итоге стабилизируется на уровне выше исходного{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=194}}. Изменение показателей с течением времени при таком переходе к «Золотому правилу» представлено на иллюстрации вариант 1.

Если норма сбережений <math>s</math> ниже «Золотого правила», то при её росте до уровня «Золотого правила» потребление <math>c</math> сначала снижается, но затем растет и превышает исходный уровень{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=193}}. Изменение показателей с течением времени при таком переходе к «Золотому правилу» представлено на иллюстрации вариант 2.

Если в качестве производственной функции в модели используется [[Функция Кобба — Дугласа|функция Кобба-Дугласа]] <math>Y(K,LE)=K^\alpha(LE)^{1-\alpha}</math>, у которой эластичность выпуска по капиталу постоянна, то <math>s^*=\alpha</math>{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=193}}.

=== Конвергенция ===
Для оценки скорости приближения к устойчивому состоянию, нужно оценить величину <math>\frac{\dot{k}}{k}</math>. Для этого нужно разделить уравнение <math>\dot{k}=0</math> на <math>k</math> (с учетом того, что в стационарном состоянии<math>sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*</math>){{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=201—202}}:

:<math>\frac{\dot{k}}{k}=\frac{sf(k)}{k}-(n+g+\delta)=(n+g+\delta)\biggl(\frac{f(k)k^*}{f(k^*)k}-1\biggr)</math>

Таким образом, при условии <math>k_0<k^*</math>, чем дальше страна находится от равновесного состояния, тем выше темпы роста. Линейная аппроксимация <math>\dot{k}</math> в зависимости от <math>k</math> при помощи разложения в [[ряд Тейлора]] вокруг точки <math>k=k^*</math> выглядит следующим образом{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=202}}:

:<math>\dot{k} \approx \frac{\partial \dot{k}}{\partial k}\vert_{k=k^*}(k-k^*)</math>,

:где <math>\frac{\partial \dot{k}}{\partial k}\vert_{k=k^*}=s\frac{\partial f(k^*)}{\partial k}-(n+g+\delta)=(n+g+\delta)\biggl(
\frac{k^*}{f(k^*)}\times \frac{\partial f(k^*)}{\partial k}-1\biggr)=(n+g+\delta)(\epsilon_{fk}^*-1)</math>,

:где <math>\epsilon_{fk}^*</math> — эластичность выпуска по капиталу в устойчивом состоянии.

Это уравнение можно представить в следующем виде{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=202}}:

:<math>k_t-k^*=e^{-\lambda t}(k_0-k^*)</math>,

:где <math>\lambda</math> — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции.

Таким образом, модель Солоу предполагает условную [[Конвергенция в экономике|конвергенцию]], то есть, что бедные страны будут расти быстрее богатых и в конце концов достигнут их уровня благосостояния при условии, что структурные параметры их экономик одинаковы{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=200}}.

== Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели ==
Модель Солоу дала необходимую математическую базу (построение [[Фазовая плоскость|фазовой плоскости]]) для анализа темпов изменения капитала и экономического эффекта экономического прогресса{{sfn|Аджемоглу|2018|с=96}}, на которой в дальнейшем исследователи создали множество более сложных моделей{{sfn|Аджемоглу|2018|с=35}}, потому её считают отправной точкой для всех современных [[Теория экономического роста|исследований экономического роста]]{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=185}}{{sfn|Ромер Д.|2014|с=24}}. Модель оказала влияние на всю [[Макроэкономика|макроэкономическую теорию]]{{sfn|Аджемоглу|2018|с=35}}.

Но вместе с тем модель не могла дать объяснение многим проблемам, связанным с экономическим ростом. С теоретической точки зрения, модель не показывает, каким образом решения домохозяйств влияют на норму [[сбережения]] и, вместе с решениями фирм, на темпы экономического роста. Параметры нормы сбережений и темпов [[научно-технический прогресс|научно-технического прогресса]] в модели просто задаются [[экзогенность|экзогенно]], решения экономических агентов на них никак не влияют, что не устраивало исследователей{{sfn|Аджемоглу|2018|с=96}}{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=206}}. Более того, даже сильная сторона модели — процесс накопления капитала — по сути представляет собой «[[чёрный ящик]]», механизм влияния на который экономических агентов в модели не раскрыт{{sfn|Аджемоглу|2018|с=96}}.

Модель Солоу была подвергнута всестороннему критическому анализу в ходе [[Кембриджский спор о капитале|теоретической дискуссии двух Кембриджей о капитале]]. Было показано, что в рамках модели обязательно должны выполняться допущения, малореальные для практических условий, и лишь при их выполнении выводы из моделей могут что-то действительно сказать о реальном мире. Примером таких допущений может служить то, что модель Солоу предполагает непрерывно достигаемое равновесие с «полной занятостью» всех ресурсов. Модель также противоречит [[Кейнсианство|кейнсианскому подходу]], в котором сбережения определяют размер инвестиций, а не наоборот{{Нет АИ|2021|12|14}}.

Эмпирическая проверка ряда положений модели показала, что они не находят подтверждения на практике. Модель предполагает наличие условной [[конвергенция (экономика)|конвергенции]], что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования [[Холл, Роберт Эрнест|Р. Холла]] и [[Джонс, Чарльз Ирвинг|Ч. Джонса]]{{sfn|Hall, Jones|1996}}, Дж. Де Лонга{{sfn|De Long|1988}}, [[Пол Майкл Ромер|П. Ромера]]{{sfn|Romer P. M.|1989}}. Есть лишь единичные примеры ([[японское экономическое чудо]], [[Чудо на реке Ханган|корейское экономическое чудо]]), когда бедные страны смогли догнать богатые по уровню ВВП на душу населения, в большинстве своём сближения уровня развития не происходит{{sfn|Аджемоглу|2018|с=698}}. Модель не объясняет, почему бедные страны в большинстве случаев остаются бедными и не могут догнать богатые{{sfn|Аджемоглу|2018|с=96}}.

Но все же подробные исследования по конвергенции появились существенно позже публикации работ Роберта Солоу и Тревора Свона, когда после [[Вторая мировая война|Второй Мировой войны]] прошло несколько десятков лет, данные за которые и анализировались исследователями. После появления модели исследователи пытались с её помощью сравнивать [[ставка процента|ставки процента]] в разных странах, и это сравнение сразу показало несоответствие модели реальным данным{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=206}}.

=== Соответствие модели эмпирическим данным ===
Сомнения в том, что модель Солоу адекватно описывает экономические показатели, появились уже в 1960-х годах, когда исследователи пытались объяснить [[японское экономическое чудо]]. В 1950 году размер [[Валовой внутренний продукт|ВВП]] на душу населения (в терминах модели <math>\frac{Y}{L}</math>) в [[Япония|Японии]] был в 5 раз меньше размера ВВП на душу населения [[Соединённые Штаты Америки|США]]<ref>{{Cite web|url=https://www.rug.nl/ggdc/historicaldevelopment/maddison/|title=Maddison Historical Statistics|date=2017-11-10|publisher=University of Groningen|lang=en|accessdate=2019-11-30|archive-date=2020-08-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20200813020000/https://www.rug.nl/ggdc/historicaldevelopment/maddison/|deadlink=no}}</ref>. Исходя из модели и предполагая одинаковую технологическую структуру экономик США и Японии, получим{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=206—207}}:

: <math>\frac{Y}{L}=A \biggl(\frac{K}{L}\biggr)^{\alpha}</math>,

: <math>\frac{\partial f(k)}{\partial k}=\frac{\partial (AK^\alpha L^{1-\alpha})}{\partial K}=\alpha A\biggl(\frac{K}{L}\biggr)^{\alpha-1}=\alpha A^{\frac{1}{\alpha}}
\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)^{-\frac{1-\alpha}{\alpha}}</math>,

: <math>r = \frac{\partial f(k)}{\partial k}-\delta</math>,

: <math>\frac{r_{JPN}+\delta}{r_{USA}+\delta}=\frac{\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)_{USA}^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}}
{\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)_{JPN}^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}}=5^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}</math>,

где <math>r_{JPN}</math> — [[Процентная ставка|ставка процента]] в Японии, <math>r_{USA}</math> — ставка процента в США, <math>\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)_{JPN}</math> — ВВП на душу населения в Японии, <math>\biggl(\frac{Y}{L}\biggr)_{USA}</math> — ВВП на душу населения в США.

Используя обычно применяемые в расчетах <math>\alpha = \frac{1}{3}</math> , <math>\delta = 0,1</math>, а также оценку <math>r_{USA}</math> на начало 1950-х годов, равную 0,065, мы получим, что <math>r_{JPN}=4,025</math>, то есть, что ставка процента в Японии в 1950 году по модели должна быть равна 402,5 %. Что, очевидно, очень далеко от реальных значений. Таким образом, уже в 1960-х годах стало понятно, что модель Солоу — только начальный этап в понимании природы экономического роста{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=207}}.

=== Дальнейшее развитие модели ===
Столь сильное отклонение реальных значений ставки процента от теоретических стало причиной развития более сложных моделей, предположения которых относительно процентной ставки были бы более реалистичными. Одни исследователи пошли путём расширения понятия [[капитал]] за счет включения в него [[Человеческий капитал|человеческого капитала]]. При таком подходе значение <math>\alpha</math> повышалось с примерно ⅓ до примерно ⅔ (если считать сумму человеческого и физического), и в результате разница в процентной ставке у развитой и догоняющей страны становится намного меньше, чем предсказанная по модели Солоу. Результатом такого подхода стала [[Модель Мэнкью — Ромера — Вейла|модель Менкью — Ромера — Вейла]]{{sfn|Mankiw, Romer, Weil|1992}}. Другие исследователи стали разрабатывать модели, в которых сначала норма сбережений, а потом и темпы экономического роста не задавались бы экзогенно, а являлись бы следствием решений экономических агентов. Первым шагом в этом направлении стала [[модель Рамсея — Касса — Купманса]], затем дополненная [[AK-модель|АК-моделями]]{{sfn|Туманова, Шагас|2004|с=208}}.

В 1987 году [[Шведская королевская академия наук]] наградила Роберта Солоу [[Список лауреатов премии по экономике памяти Альфреда Нобеля|Нобелевской премией по экономике]] за «вклад в теорию экономического роста», который связан с разработкой данной модели<ref>{{Cite web|url=https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1987/summary/|title=The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1987|publisher=NobelPrize.org|lang=en|accessdate=2019-12-06|archive-date=2020-05-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20200522192309/https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1987/summary/|deadlink=no}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания|30em}}

==Литература==

* {{статья | автор= [[Акаев, Аскар Акаевич|Акаев А. А.]] | заглавие= Модели инновационного экономического роста AN-типа |издание= МИР (Модернизация, Инновация, Развитие) | ссылка= https://www.mir-nayka.com/jour/article/view/32 | год= 2015 | том = 6 | номер= 2 | страницы = 70—79 | ref= Акаев | doi = 10.18184/2079-4665.2015.6.2.70.79}}
* {{книга | автор= [[Аджемоглу, Дарон|Асемоглу Д.]] |заглавие=Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 |оригинал=Introduction to Modern Economic Growth (2009) |место= {{М}} |издательство=[[Издательский дом «Дело» РАНХиГС]] |год=2018 |страниц=928 |ref = Аджемоглу | isbn=978-5-7749-1262-9}}
* {{книга | автор = [[Барро, Роберт|Барро Р. Д.]], [[Хавьер Сала-и-Мартин|Сала-и-Мартин Х.]] | заглавие=Экономический рост / Пер. с англ | ссылка = http://files.pilotlz.ru/pdf/cB790-4-ch.pdf |место= {{М}} | издательство =Бином. Лаборатория знаний | год= 2010 |страниц= 824 |ref= Барро, Сала-и-Мартин | isbn = 978-5-94774-790-4}}
* {{книга | автор=[[Бланшар, Оливье|Бланшар О. Ж.]], [[Фишер, Стэнли|Фишер С.]] |заглавие=Лекции по макроэкономике |оригинал=Lectures on macroeconomics |место= {{М}} |издательство=[[Издательский дом «Дело» РАНХиГС]] |язык = |год=2014 |страниц=680 |ref =Бланшар О., Фишер С. | isbn=978-5-7749-0829-5}}
* {{книга | автор= [[Джонс, Чарльз Ирвинг|Джонс Ч. И.]], Воллрат Д. |заглавие=Введение в теорию экономического роста |оригинал=Introduction to Economic Growth |место= {{М}} |издательство=[[Издательский дом «Дело» РАНХиГС]] |год=2018 |страниц=296 |ref =Джонс | isbn=978-5-7749-1299-5}}
* {{книга | автор = [[Нуреев, Рустем Махмутович|Нуреев Р. М.]] |заглавие= Экономика развития: модели становления рыночной экономики |ссылка = https://publications.hse.ru/books/82220049 |издательство=НОРМА |место= {{М}} |год = 2008 | |страниц = 367 |ref= Нуреев | isbn = 978-5-468-00159-2}}
* {{книга | автор= [[Ромер, Дэвид|Ромер Д.]] |заглавие=Высшая макроэкономика |оригинал=Advanced Macroeconomics |место= {{М.}} |издательство=Изд. дом ВШЭ |язык = |год=2014 |страниц=855 |ref = Ромер Д. | isbn=978-5-7568-0406-2}}
* {{книга | автор= Туманова Е. А., Шагас Н. Л. | заглавие= Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода |место= {{М}} |издательство =ИНФРА-М |ссылка=https://drive.google.com/file/d/0B6xhkmsz1gLLS1VfOE1DU1B6b0E/view | год = 2004 |страниц=400 | ref=  Туманова, Шагас | isbn = 5-1600-1864-6}}
* {{статья | автор = De Long J. B. |заглавие = Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment |jstor=1807174 |издание ={{нп3|The American Economic Review}} |тип = |год = 1988 |число = |volume =78 |номер = 5 |pages=1138—1154 | ref = De Long |doi=}}
* {{статья | автор= [[Роберт Эрнест Холл|Hall R. E.]], [[Джонс, Чарльз Ирвинг|Jones C. I.]] | заглавие= The Productivity of Nations |издание = [[NBER]] Working Paper | ссылка= https://www.nber.org/papers/w5812.pdf | год = 1996 | номер = 5812 | ref= Hall, Jones |doi=10.3386/w5812}}
* {{статья | автор = [[Мэнкью, Грегори|Mankiw G.]], [[Ромер, Дэвид|Romer D.]] , {{нп3|Weil, David|Weil D.|fr|David Weil}} |заглавие =Contribution to the Empirics of Economic Growth |ссылка = https://eml.berkeley.edu/~dromer/papers/MRW_QJE1992.pdf |издание =[[The Quarterly Journal of Economics]] |тип = |год = 1992 |число = |volume =107 |номер =2 |pages=407—437 | ref = Mankiw, Romer, Weil |doi =10.2307/2118477}}
* {{статья | автор = [[Ромер, Пол Майкл|Romer P. M.]] |заглавие = Human Capital And Growth: Theory and Evidence |ссылка = https://www.nber.org/papers/w3173.pdf |издание =[[NBER]] Working paper |тип = |год = 1989 |число = |volume = |номер =3173 |pages= | ref = Romer P. M. |doi =10.3386/w3173}}
* {{статья | автор = [[Солоу, Роберт|Solow R. M.]] |заглавие = A Contribution to the Theory of Economic Growth |ссылка = http://www.econ.nyu.edu/user/debraj/Courses/Readings/Solow.pdf |издание =[[The Quarterly Journal of Economics]] |тип = |год = 1956 |месяц = February |число = |volume =70 |номер = 1 |pages=65—94 | ref = Solow |doi =}}
* {{статья | автор = [[Солоу, Роберт|Solow R. M.]] |заглавие = Technical Change and the Aggregate Production Function |ссылка = http://www.piketty.pse.ens.fr/files/Solow1957.pdf |издание ={{нп3|The Review of Economics and Statistics}} |тип = |год = 1957 |месяц = August |число = |volume =39 |номер = 3 |pages=312—320 | ref = Solow R. |doi =}}
* {{статья | автор = {{нп3|Trevor Swan|Swan T. W.}} |заглавие = Economic growth and capital accumulation |ссылка = https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x |издание =The Economic Record |тип = |год = 1956 |месяц = November |число = |volume =32 |номер = 2 |pages=334—361 | ref = Swan |doi =10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x}}
* {{статья | автор = [[Хирофуми Удзава|Uzawa H.]] | заглавие = Models of Growth | издание =[[The New Palgrave Dictionary of Economics]]| ответственный = Macmillan Publishers Ltd |издательство =[[Palgrave Macmillan]] UK |pages= 8885—8893 | место = {{L.}} | год = 2018|isbn = 978-1-349-95188-8 | ref = Palgrave (Uzawa)}}

{{Экономический рост}}
{{Макроэкономика}}

{{хорошая статья|экономика}}

[[Категория:Экономические модели|Солоу]]
[[Категория:Неоклассическая экономика]]
[[Категория:Экономический рост]]
[[Категория:Макроэкономика]]