Просмотр кода страницы Модель Ходжкина — Хаксли

'''Модель Ходжкина — Хаксли''' — математическая модель, описывающая генерацию и распространение [[Потенциал действия|потенциалов действия]] в [[нейрон]]ах. Подобные модели были созданы впоследствии и для других электрически возбуждаемых клеток — например, для [[Кардиомиоцит|сердечных миоцитов]]; все модели такого рода описывают [[Автоволны|автоволновые]] процессы в активных средах. Точечная модель Ходжкина — Хаксли представляет собой систему [[Обыкновенное дифференциальное уравнение|обыкновенных дифференциальных уравнений]], которая, в частности, пригодна и для описания характеристик электрического сигнала.

Модель была разработана [[Ходжкин, Алан|Аланом Ллойдом Ходжкином]] и [[Хаксли, Эндрю Филдинг|Эндрю Хаксли]] в [[1952 год]]у для описания электрических механизмов, которые обусловливают генерацию и передачу нервного сигнала в {{нп5|Гигантский аксон кальмара|гигантском аксоне кальмара||Squid giant axon}}<ref>{{cite pmid|12991237}}</ref>. За это авторы модели получили [[Нобелевская премия|Нобелевскую премию]] в области физиологии и медицины за [[1963 год]].

== Основные компоненты ==
[[Файл:Hodgkin-Huxley.jpg|thumb|right|350px|Основные компоненты модели Ходжкина — Хаксли. Модель Ходжкина — Хаксли представляет собой биофизические характеристики клеточных мембран.]]
Компоненты электрической схемы, что соответствует модели Ходжкина — Хаксли, изображены на рисунке. В данной схеме каждый компонент возбуждаемой клетки имеет свой биофизический аналог. Внутреннему [[Липиды|липидному слою]] [[Клеточная мембрана|клеточной мембраны]] соответствует электроёмкость (<math>C_m</math>). Потенциал-зависимые [[ионные каналы]] отвечают за нелинейную электрическую проводимость (<math>G_n</math>, где <math>n</math> — отдельный вид ионных каналов) — это означает, что проводимость является потенциал-время-зависимой величиной. Эта составляющая системы, как было показано исследователями позже, реализуется благодаря белковым молекулам, которые образуют потенциал-зависимые ионные каналы, каждый из которых отмечен некоторой вероятностью открытия, величина которой зависит от электрического потенциала (или электрического напряжения) мембраны клетки. Каналы [[Электропорация|мембранных пор]] отвечают за пассивную проводимость (<math>G_L</math>, где индекс <math>L</math> означает {{lang-en|leak}} — «течь, утечка»). Электрохимический градиент побуждает ионы к движению через мембранные каналы, он показан с помощью источников напряжения с соответствующей электродвижущей силой (<math>E_n</math> и <math>E_L</math>), величина которой определяется {{не переведено|потенциал Нернста|реверсивным потенциалом|en|Reversal_potential}} для соответствующего вида иона. Ионные транспортёры соответствуют источникам тока (<math>I_p</math>).

Производная по времени от мембранного потенциала клеточной мембраны (<math>\dot{V}_m</math>) при описанных условиях пропорциональна сумме токов в полной электрической цепи. Она описывается следующим уравнением:
: <math>\dot{V}_m=-\frac{1}{C_m}\left(\sum\limits_i I_i\right),</math>
где <math>I_i</math> означает величину электрического тока, генерируемого отдельным видом ионов.

== Характеристики ионного тока ==
Электрический ток, проходящий через ионные каналы, может быть математически выражен следующим уравнением:
: <math>I_i(V_m,\;t)=(V_m-E_i)g_i,</math>
где <math>E_i</math> — равновесный потенциал <math>i</math>-го ионного канала. В случае потенциал-зависимых ионных каналов канальная проводимость <math>g_i</math> является функцией времени и потенциала (электрического напряжения) — <math>g_n(t,\;V)</math> на рисунке, в то время как пассивная проводимость является величиной постоянной (<math>g_L</math> на рисунке). Ток, генерируемый ионными транспортерами, зависит от вида ионов, который переносит соответствующий транспортёр. Ниже приведено более подробное описание перечисленных величин.

=== Потенциал-зависимые ионные каналы ===
В терминах модели Ходжкина — Хаксли <math>g_n(t,\;V)</math>, проводимость потенциал-зависимых каналов, описывается следующим образом:
: <math>g_n(V_m,\;t)=\bar{g}_n\varphi^\alpha\chi^\beta;</math>
: <math>\dot{\varphi}(V_m,\;t)=\frac{1}{\tau_\varphi}(\varphi_\infty-\varphi);</math>
: <math>\dot{\chi}(V_m,\;t)=\frac{1}{\tau_\chi}(\chi_\infty-\chi),</math>
где <math>\varphi</math> и <math>\chi</math> являются константами скорости реакций закрытия и открытия каналов, соответственно. Они численно равны доле от максимально возможной проводимости через данный вид каналов в каждый момент времени при каждой величине мембранного потенциала. <math>\bar{g}_n</math> является максимальным возможным значением проводимости. <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — константы, <math>\tau_\varphi</math> и <math>\tau_\chi</math> — временны́е константы процессов активации и деактивации каналов, соответственно. <math>\varphi_\infty</math> и <math>\chi_\infty</math> является стабилизированными значениями <math>\varphi</math> и <math>\chi</math> при величине времени, стремящейся к бесконечности, и обычно рассчитываются из [[Кинетическое уравнение Больцмана|уравнения Больцмана]] как функции <math>V_m</math>.

Для характеристики ионных каналов, последние два уравнения модифицируются для условий, когда на мембране поддерживается постоянная величина электрического потенциала — модификация уравнений Ходжкина — Хаксли, сделанная {{нп5|Марквардт, Дональд|Марквардтом||Donald Marquardt}}<ref>''Marquardt, D.'' (1963): An algorithm for the least-squares estimation of nonlinear parameters. ''SIAM J. Appl. Math.'' '''11''' (2):431—441.</ref> . Когда мембранный электрический потенциал поддерживается на постоянном уровне ({{lang-en|voltage-clamp}}), для каждого значения этого потенциала нелинейные уравнения, описывающие пропуск ионов через каналы, редуцируются к линейным дифференциальным уравнениям следующего вида:
: <math>\varphi(t)=\varphi_0-\left[(\varphi_0-\varphi_\infty)(1-e^{-t/\tau_\varphi})\right];</math>
: <math>\chi(t)=\chi_0-\left[(\chi_0-\chi_\infty)(1-e^{-t/\tau_\chi})\right].</math>
Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала <math>V_m</math>, величина электрического тока описывается следующим уравнением:
: <math>I_n(t)=\bar{g}_n\varphi^\alpha\chi^\beta(V_m-E_n).</math>
Для аппроксимации кривых, которые генерируют данные уравнения, до значений клеточных токов при фиксированном значении мембранного потенциала используется [[алгоритм Левенберга — Марквардта]]<ref>''Levenberg, K.'' (1944): A method for the solution of certain non-linear problems in least-squares. ''Q. Appl. Math.'' '''2''' (2):164—168.</ref><ref>''Johnston, D., and Wu, S.'' (1997): Foundations of Cellular Neurophysiology, chapter 6. MIT Press, Cambridge, MA. — ISBN 0-262-10053-3.</ref>.

=== Пассивные каналы ===
Пассивные каналы отвечают за проницаемость мембраны для ионов в спокойном состоянии (не во время проведения потенциала действия), и ток через них описывается теми же уравнениями, что и для потенциал-зависимых каналов, но при условии постоянной величины проводимости <math>g_i</math> (<math>g_i=\mathrm{const}</math>).

=== [[Ионный транспортёр|Ионные транспортёры]] ===
Мембранный электрический потенциал генерируется с помощью поддержания концентрационных градиентов ионов, присутствующих в физиологических жидкостях организма, относительно клеточной мембраны. Наиболее важными из белков-транспортёров, которые поддерживают мембранный потенциал, является натриево-кальциевый (транспортирует один ион Са<sup>2+</sup> внутрь клетки в обмен на три иона Na<sup>+</sup>, транспортируемых наружу), натриево-калиевый (транспортирует один ион Na<sup>+</sup> наружу в обмен на один ион К<sup>+</sup> внутрь) и хлорный (транспортирует из клетки наружу ионы Cl<sup>−</sup>)<ref>''Hille, B.'' (2001): Ionic Channels of Excitable Membranes. — (3rd ed.). — Sinauer Associates, Inc., Sunderland, MA. — ISBN 0-87893-321-2</ref><ref>Encyclopedia of Neuroscience. — 3rd edition. — Elsevier Science, 2004. — ISBN 0-444-51432-5</ref>.

== Модификации и альтернативные модели ==
Модель Ходжкина — Хаксли является одним из важнейших достижений в биофизике и нейрофизиологии XX века. Со временем она была модифицирована в следующих направлениях:
* Основываясь на экспериментальных данных, в неё были инкорпорированы дополнительные виды ионных каналов и транспортёров.
* Основываясь на данных микроскопии высокого разрешения, в уравнение добавлены элементы, характеризующие сложную морфологию отростков нервных клеток (аксонов и дендритов).
Также на общих принципах модели Ходжкина — Хаксли были разработаны несколько моделей, описывающих взаимную активацию и деактивацию в нейронных сетях, а также молекулярную динамику генерации потенциала действия.

== См. также ==
{{столбцы}}
{{столбец}}
* [[Синхронизация (нейробиология)]]
* [[Автоколебание]]
* [[Автоволны]]
{{столбец}}
* [[Дифференциальное уравнение в частных производных]]
* [[Параболическое уравнение]]
{{столбцы/конец}}

== Литература ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [http://thevirtualheart.org/HHindex.html Интерактивный Java-апплет модели Ходжкина — Хаксли]. Параметры модели и параметры возбуждения могут меняться; возможно построение диаграмм изменения значений переменных.
* [https://web.archive.org/web/20090206205300/http://comp.uark.edu/~jostmey/Hodgkin-Huxley%20Equations/Hodgkin-Huxley%20Applet.html Интерактивный Java-апплет уравнений Ходжкина — Хаксли] для [[Численные решение уравнений|численного решения]] дифференциальных уравнений Ходжкина — Хаксли.
* [http://www.pubmedcentral.nih.gov/picrender.fcgi?artid=1392213&blobtype=pdf Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть первая: Сurrents carried BY Sodium AND Potassium ions Through The Membrane Of The Giant AXON Of Loligo].
* [http://www.pubmedcentral.nih.gov/picrender.fcgi?artid=1392209&blobtype=pdf Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть вторая: The Components Of Membrane conductance In The Giant Axon Of Loligo].
* [http://www.pubmedcentral.nih.gov/picrender.fcgi?artid=1392212&blobtype=pdf Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть третья: The Dual Effect Of Membrane Potential On Sodium conductance In The Giant Axon Of Loligo].
* [http://www.pubmedcentral.nih.gov/picrender.fcgi?artid=1392413&blobtype=pdf Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть четвёртая: A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve].
* [http://www.demonstrations.wolfram.com/NeuralImpulsesTheActionPotentialInAction/ Neural Impulses: The Action Potential In Action]. by Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project.

[[Категория:Биофизика]]
[[Категория:Математическое моделирование]]
[[Категория:Нейробиология]]