Просмотр кода страницы Натуральное число

[[Файл:Three apples.svg|right|thumb|Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока, три яблока и т. д.)]]
'''Натура́льные чи́сла''' (от {{lang-lat|[[wikt:naturalis#Латинский|naturalis]]}} «естественный») — [[число|числа]], возникающие естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее<ref>{{OEIS|A000027}}</ref>). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется '''натуральным рядом'''{{sfn|Элементарная математика|1976|с=18}}.

Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа <math>n</math> найдётся натуральное число, большее чем <math>n</math>. Натуральные числа ещё можно называть [[Целое число|целыми]] [[Положительное число|положительными]] числами. Поэтому [[Отрицательное число|отрицательные]] и нецелые (дробные) числа к натуральным не относятся.

Свойства натуральных чисел и [[Арифметические операции|операций с ними]] изучают [[арифметика]] и (более углублённо) [[теория чисел]].

== История ==

=== Древний период ===
Самый примитивный способ представления натурального числа — ставить метку при учёте каждого объекта. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток — вычеркнув отметку и удалив объект из набора.

Первым крупным достижением стало использование '''цифр''' для компактного представления натуральных чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Сейчас почти во всех случаях для записи натуральных и всех остальных чисел используются [[Арабские цифры|индо-арабские цифры]] (набор из десяти особых знаков — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). В некоторых случаях используются и [[римские цифры]] (семь заглавных латинских букв — I, V, X, L, C, D, M), которые могут обозначать только натуральные числа и где отсутствует цифра для нуля. Остальные системы сейчас очень мало распространены, однако ещё древние египтяне разработали обширную систему цифр с иероглифами для 1, 10 и всех степеней от 10 до более чем миллиона. На каменной резьбе из [[Карнак]]а, датируемой примерно 1500 лет до н.э. и ныне находящейся в [[Лувр]]е, число 276 изображено как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622<ref name="Universal History">{{cite book |first=Georges |last=Ifrah |year=2000 |title=The Universal History of Numbers |url=https://archive.org/details/universalhistory0000ifra_y2b9 |publisher=Wiley |isbn=0-471-37568-3}}</ref>.

Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что ноль можно рассматривать как число с собственной цифрой. Использование цифры 0 в обозначении места (в других числах) восходит к 700 году до н.э. вавилонянами, которые опускали такую цифру, когда она была последним символом в числе{{efn|[[Табличка из Киша|Табличка Киша]], предположительно датируемая примерно 700 годом до нашей эры, использует три крючка для обозначения пустого места в позиционном обозначении. В других таблицах, датируемых примерно тем же временем, используется единственный крючок для пустого места.<ref>{{cite web |title=A history of Zero |website=MacTutor History of Mathematics |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |url-status=live |access-date=2013-01-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130119083234/http://www-history.mcs.st--and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |archive-date=2013-01-19}}</ref>}}. [[Ноль]] использовался в качестве числа в средневековых вычислениях (вычислении даты Пасхи), начиная с Дионисия Экзигууса в 525 году нашей эры, без обозначения цифрой (стандартные римские цифры не имеют символа для 0). Вместо этого для обозначения нулевого значения использовалось {{Lang-la|nulla}} (или родительный падеж {{Lang-la|nullae}} в значении «нет»)<ref>{{cite web |first=Michael |last=Deckers |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |access-date=2012-02-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |archive-date=2019-01-15 |url-status=live }}</ref>. Использование ноля в наше время возникло у индийского математика [[Брахмагупта|Брахмагупты]] в 628 г. н.э.

Первое систематическое изучение чисел, как абстракций, обычно приписывают греческим философам [[Пифагор]]у и [[Архимед]]у. Некоторые греческие математики относились к числу 1 иначе, чем к большим числам, а иногда и вовсе не как к числу{{efn|Это положение используется, например, в «Элементах» Евклида, см. Интернет-издание Д. Джойса Книги VII.<ref name=EuclidVIIJoyce>{{cite book |author=Euclid |author-link=Euclid |editor-first=D. |editor-last=Joyce |chapter=Book VII, definitions 1 and 2 |title=[[Euclid's Elements|Elements]] |publisher=Clark University |chapter-url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20110805002110/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html |archive-date=5 August 2011}}</ref>}}. Евклид, например, сначала определил сущность единицы, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению единица не является числом, и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределённого множества единиц являются числом 2)<ref name="Mueller 2006 p. 58">{{cite book |last=Mueller |first=Ian |year=2006 |title=Philosophy of mathematics and deductive structure in [[Euclid's Elements]] |page=58 |publisher=Dover Publications |location=Mineola, New York |isbn=978-0-486-45300-2 |oclc=69792712}}</ref>.

=== Современный период ===
В Европе XIX века велись математические и философские дискуссии о точной природе натуральных чисел. [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]] был одним из защитников такой концепции, как и [[Кронекер, Леопольд|Леопольд Кронекер]], который резюмировал свою веру так: «'''Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека'''». Такая концепция была определена, как '''натуралистическая'''{{efn|Английский перевод — от Грея. В сноске Грей указывает источник немецкой цитаты: «''Weber 1891–1892, 19, цитата из лекции Кронекера 1886 года''».<ref>{{cite book |last=Gray |first=Jeremy |author-link=Jeremy Gray |year=2008 |title=Plato's Ghost: The modernist transformation of mathematics |page=153 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-1-4008-2904-0 |via=Google Books |url=https://books.google.com/books?id=ldzseiuZbsIC&q=%22God+made+the+integers%2C+all+else+is+the+work+of+man.%22 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170329150904/https://books.google.com/books?id=ldzseiuZbsIC&q=%22God+made+the+integers%2C+all+else+is+the+work+of+man.%22#v=snippet&q=%22God%20made%20the%20integers%2C%20all%20else%20is%20the%20work%20of%20man.%22&f=false |archive-date=29 March 2017 }} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=ldzseiuZbsIC&q=%22God+made+the+integers%2C+all+else+is+the+work+of+man.%22 |date=20170329150904 }}</ref>}}.

В противовес натуралистам '''конструктивисты''' видели необходимость совершенствовать логическую основу в основах математики. В 1860-х годах [[Грассман, Герман Гюнтер|Герман Грассманн]] предложил рекурсивное определение натуральных чисел, таким образом заявив, что они не совсем естественные, а являются следствием определений. Далее было построены два класса таких формальных определений; позднее было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге. Первоначально он определил натуральное число, как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определённым множеством. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе к [[Парадокс Рассела|парадоксу Рассела]]. Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменён таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который можно поставить во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов<ref>{{harvnb|Eves|1990|loc=Chapter 15}}</ref>.

Второй класс определений был введён [[Пирс, Чарльз Сандерс|Чарльзом Сандерсом Пирсом]], уточнён Ричардом Дедекиндом и исследован [[Пеано, Джузеппе|Джузеппе Пеано]] — этот подход теперь называется [[Аксиомы Пеано|аксиомами Пеано]]. Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел: каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равнозначна нескольким слабым системам теории множеств. Одной из таких систем является система Цермело — Френкеля (ZFC), в которой аксиома бесконечности заменена её отрицанием. Среди теорем, которые могут быть доказаны в [[Система Цермело — Френкеля|ZFC]], но не могут быть доказаны с помощью [[Аксиомы Пеано|аксиом Пеано]],— [[Теорема Париса — Харрингтона]], [[Теорема Гудстейна]] и другие<ref>{{cite journal | last=Kirby | first=Laurie | last2=Paris | first2=Jeff | title=Accessible Independence Results for Peano Arithmetic | journal=Bulletin of the London Mathematical Society | publisher=Wiley | volume=14 | issue=4 | year=1982 | issn=0024-6093 | doi=10.1112/blms/14.4.285 | pages=285–293}}</ref>.

На основании такого базиса определений удобно включать ноль (соответствующий пустому набору) как натуральное число. Включение ноля в настоящее время является обычным явлением среди теории множеств<ref>{{cite book |last1=Bagaria |first1=Joan |title=Set Theory |url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ |publisher=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |edition=Winter 2014 |year=2017 |access-date=13 February 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150314173026/http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ |archive-date=14 March 2015 |url-status=live }} {{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ |date=20150314173026 }}</ref> и [[Математическая логика|логических]] построений<ref>{{cite book |last1=Goldrei |first1=Derek |title=Classic Set Theory: A guided independent study |url=https://archive.org/details/classicsettheory00gold |url-access=limited |date=1998 |publisher=Chapman & Hall/CRC |location=Boca Raton, Fla. [u.a.] |isbn=978-0-412-60610-6 |page=[https://archive.org/details/classicsettheory00gold/page/n39 33] |edition=1. ed., 1. print|chapter=3}}</ref>.

== Место нуля ==
Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

* 
числа, возникающие при ''подсчёте (нумерации)'' предметов: ''первый'', ''второй'', ''третий'', ''четвёртый'', ''пятый''…;

* 
числа, возникающие при ''обозначении количества'' предметов: ''0 предметов'', ''1 предмет'', ''2 предмета'', ''3 предмета'', '' 4 предмета'', ''5 предметов''…

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с [[1 (число)|единицы]], во втором — с [[0 (число)|нуля]]. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход<ref name=POTAP9>{{книга |автор=Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. |заглавие=Алгебра и анализ элементарных функций |место={{М.}} |издательство=Наука |год=2001 |страниц=560 |страницы=8}}</ref>. Второй подход, например, применяется в трудах [[Николя Бурбаки]], где натуральные числа определяются как [[мощность множества|мощности]] [[конечное множество|конечных множеств]]. Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие ''расширенного натурального ряда'', включающего ноль<ref name=POTAP9/>.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом <math>\mathbb{N}</math>. Международные стандарты [[ISO 31-11]] (1992 год) и [[ISO 80000-2]] (2009 год) устанавливают следующие обозначения<ref>{{cite web|title=International standard 80000-2:2009. Part 2|url=https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf|website=NCSU COE People|accessdate=2019-08-12|archive-date=2019-02-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20190228003440/https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf|deadlink=no}}</ref>:
* <math>\mathbb{N}</math> — натуральные числа, включая ноль: <math>\{0,1,2,3,4\dots\}.</math>
* <math>\mathbb{N^*}</math> — натуральные числа без нуля: <math>\{1,2,3,4\dots\}.</math>
Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р&nbsp;54521-2011, таблица 6.1<ref>{{Cite web|url=https://docs.cntd.ru/document/1200088826|title=ГОСТ Р 54521-2011 Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах (Переиздание) от 24 ноября 2011 - docs.cntd.ru|website=docs.cntd.ru|access-date=2022-01-14|archive-date=2021-07-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210709185144/https://docs.cntd.ru/document/1200088826|deadlink=no}}</ref>. Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ <math>\mathbb{N}</math> обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается <math>\mathbb{Z}_0, \mathbb{Z}_+, \Z_{\geqslant 0}</math> {{итд}}<ref name=POTAP9/>

== Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел ==

=== Аксиомы Пеано для натуральных чисел ===
{{Основная статья|Аксиомы Пеано}}

Множество <math>\mathbb N</math> будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент '''1''' (единица), функция <math>S</math> c [[область определения|областью определения]] <math>\mathbb N</math>, называемая функцией следования (<math>S \colon \mathbb N</math>), и выполнены следующие условия:
# элемент единица принадлежит этому множеству (<math>1\in\mathbb{N}</math>), то есть является натуральным числом;
# число, следующее за натуральным, также является натуральным (если <math>x \in \mathbb{N}</math>, то <math>S(x) \in \mathbb{N}</math> или, в более короткой записи, <math>S \colon \mathbb N \to \mathbb N</math>);
# единица не следует ни за каким натуральным числом (<math>\nexists x \in \mathbb{N} \ (S(x) = 1)</math>);
# если натуральное число <math>a</math> непосредственно следует как за натуральным числом <math>b</math>, так и за натуральным числом <math>c</math>, то <math>b</math> и <math>c</math> — это одно и то же число (если <math>S(b)=a</math> и <math>S(c)=a</math>, то <math>b=c</math>);
# ([[аксиома индукции]]) если какое-либо предложение (высказывание) <math>P</math> доказано для натурального числа <math>n=1</math> (''база индукции'') и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа <math>n</math>, вытекает, что оно верно для следующего за <math>n</math> натурального числа (''индукционное предположение''), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть <math>P(n)</math> — некоторый одноместный (унарный) [[предикат]], параметром которого является натуральное число <math>n</math>. Тогда, если <math>P(1)</math> и <math>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</math>, то <math>\forall n\;P(n)</math>).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и [[Числовая линия|числовой линии]].

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.<ref>{{книга|автор=Феферман С. |заглавие=Числовые системы. Основания алгебры и анализа|год=1971|страниц=445}}</ref>, а также краткое доказательство<ref>{{cite web|title=Доказательство единственности натуральных чисел|url=http://www.apronus.com/provenmath/naturalaxioms.htm|accessdate=2011-02-04|archiveurl=https://www.webcitation.org/617hzARNB?url=http://www.apronus.com/provenmath/naturalaxioms.htm|archivedate=2011-08-22|deadlink=no}}</ref>), что если <math>(\mathbb N, 1, S)</math> и <math>(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)</math> — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо [[Изоморфизм|изоморфны]], то есть существует обратимое отображение ([[биекция]]) <math>f \colon\mathbb N\to\tilde{\mathbb N}</math> такая, что <math>f(1) = \tilde 1</math> и <math>f(S(x)) = \tilde S(f(x))</math> для всех <math>x\in\mathbb N</math>.

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве <math>\mathbb N</math> какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом <math>\N</math> образует [[моноид]]. Как уже упоминалось [[#Место нуля|выше]], в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.

=== Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела) ===
[[Файл:Venn Diagram of Numbers.svg|мини|300px|{{center|Положение натуральных чисел в иерархии числовых множеств}}]]
Согласно [[Теория множеств|теории множеств]], единственным объектом конструирования любых математических систем является [[множество]].

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
* <math>0 = \varnothing;</math>
* <math>S(n) = n \cup \left\{ n \right\}.</math>
Числа, заданные таким образом, называются [[Ординальные числа|ординальными]].

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:
* <math>0 = \varnothing;</math>
* <math>1 = \varnothing \cup \left\{ 0 \right\} = \left\{ \varnothing \right\};</math>
* <math>2 = 1 \cup \left\{ 1 \right\} = \big\{ \varnothing, \;\left\{ \varnothing \right\} \big\};</math>
* <math>3 = 2 \cup \left\{ 2\right\} = \Big\{ \varnothing, \; \left\{ \varnothing \right\}, \; \big\{ \varnothing, \; \left\{ \varnothing \right \} \big\} \Big\}.</math>

== Мощность множества натуральных чисел ==
Обобщение числа элементов конечного множества на бесконечные множества характеризуется понятием «[[мощность множества]]». По мощности множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого [[Промежуток (математика)|интервала]], например, <math>(0,1)</math>. Множество натуральных чисел равномощно множеству [[Рациональное число|рациональных чисел]]. Всякое множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется [[Счётное множество|счётным множеством]]. Так, множество членов любой [[последовательность|последовательности]] счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное [[объединение множеств|объединение]] непересекающихся счётных множеств (например<ref>{{книга|часть=Задача №48|автор=Виноградова И. А., Олехник С. Н., [[Садовничий, Виктор Антонович|Садовничий В. А.]]|
заглавие=Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1|издание=2-е изд|место=М.|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|страницы=146 (формулировка), 163 (ответ)|год=2000|}}</ref>, <math>\N=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}\left(\bigcup\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)2^k\right)</math>).

== Операции над натуральными числами ==
К [[Замкнутая операция|замкнутым операциям]] (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:
* '''[[сложение]]''': слагаемое + слагаемое = сумма;
* '''[[умножение]]''': множитель × множитель = произведение;
* '''[[возведение в степень]]''': <math>a^b</math>, где <math>a</math> — основание степени, <math>b</math> — показатель степени. Если <math>a</math> и <math>b</math> — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для '''всех''' пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):
* '''[[вычитание]]''': уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом);
* '''[[деление с остатком]]''': делимое / делитель = (частное, остаток). Частное <math>p</math> и остаток <math>r</math> от деления <math>a</math> на <math>b</math> определяются так: <math>a = p \cdot b + r</math>, причём <math> r < b </math>. Заметим, что при обобщении определения на множество неотрицательных целых чисел последнее условие запрещает деление на нуль, так как в этом множестве не существует <math> r < 0 </math>.

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, [[кольцо (алгебра)|кольцо]] [[целое число|целых чисел]] определяется именно через [[бинарная операция|бинарные операции]] сложения и умножения.

=== Основные свойства ===
* [[Коммутативность]] сложения:
: <math>a + b = b + a. </math>

* Коммутативность умножения:
: <math>a \cdot b = b \cdot a.</math>

* [[Ассоциативность (математика)|Ассоциативность]] сложения:
: <math>(a + b) + c = a + (b + c).</math>

* Ассоциативность умножения:
: <math>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).</math>

* [[Дистрибутивность]] умножения относительно сложения:
: <math>\begin{cases} a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \\ (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a \end{cases}.</math>

=== Алгебраическая структура ===
Сложение превращает множество натуральных чисел в [[полугруппа|полугруппу]] с единицей, роль единицы выполняет '''0'''. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является '''1'''. С помощью [[Замыкание (алгебра)|замыкания]] относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел <math>\mathbb Z</math> и рациональных положительных чисел <math>\mathbb Q^*_+</math> соответственно.

=== Теоретико-множественные определения ===
Воспользуемся определением натуральных чисел как [[Классы эквивалентности|классов эквивалентности]] конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества ''A'', порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [''A''], основные арифметические операции определятся следующим образом:
* <math>[A] + [B] = [A \sqcup B];</math>
* <math>[A] \cdot [B] = [A \times B];</math>
* <math>{[A]}^{[B]} = [ A^B ],</math>
где:
* <math>A \sqcup B</math> — [[Дизъюнктное объединение|дизъюнктное объединение множеств]];
* <math>A \times B</math> — [[прямое произведение]];
* <math>A ^ B</math> — множество [[отображение|отображений]] из ''B'' в ''A''.
Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

== См. также ==

* [[Число]]
* [[Целые числа]]
* [[Рациональные числа]]
* [[Действительные числа]]
* [[Комплексные числа]]
==Комментарии==
{{Комментарии}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{refbegin|2}}
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=Наука |год=1978 |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu }}
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]] |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика }}
* {{Citation |last=Eves |first=Howard |authorlink=Howard Eves |year=1990 |title=An Introduction to the History of Mathematics |edition=6th |publisher=Thomson |location= |page= |isbn=978-0-03-029558-4 |url=https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ |accessdate= }}
* {{Citation |last=Halmos |first=Paul |author-link=Paul Halmos |year=1960 |title=Naive Set Theory |edition= |publisher=Springer Science & Business Media |location= |page= |url=https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q=peano%20axioms&f=false |accessdate= |isbn=978-0-387-90092-6 }}
* {{Citation |last=Hamilton |first=A. G. |year=1988 |title=Logic for Mathematicians |edition=Revised |publisher=Cambridge University Press |location= |page= |url=https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano%27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false |accessdate= |isbn=978-0-521-36865-0 }}
* {{Citation |last=James |first=Robert C. |last2=James |first2=Glenn |year=1992 |title=Mathematics Dictionary |edition=Fifth |publisher=Chapman & Hall |location= |page= |url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC |accessdate= |isbn=978-0-412-99041-0 }}
* {{Citation |last=Landau |first=Edmund |authorlink=Edmund Landau |year=1966 |title=Foundations of Analysis |edition=Third |publisher=Chelsea Pub Co |location= |page= |url=https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ |isbn=978-0-8218-2693-5|accessdate= }}
* {{Citation |last=Mac Lane |first=Saunders | author-link=Saunders Mac Lane |last2=Birkhoff |first2=Garrett |author-link2=Garrett Birkhoff |year=1999 |title=Algebra |edition=3rd |publisher=American Mathematical Society |location= |page= |url=https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg=PA15&vq=natural%20numbers&pg=PA15#v=onepage&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false |accessdate= |isbn=978-0-8218-1646-2 }}
* {{Citation |last=Mendelson |first=Elliott |authorlink=Elliott Mendelson |year=2008 |origyear=1973 |title=Number Systems and the Foundations of Analysis |publisher=Dover Publications |location= |page= |url=https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC |accessdate= |isbn=978-0-486-45792-5 }}
* {{Citation |last=Morash |first=Ronald P. |year=1991 |title=Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures |edition=Second |publisher=Mcgraw-Hill College |location= |page= |url=https://books.google.com/books?id=fH9YAAAAYAAJ |accessdate= |isbn=978-0-07-043043-3 }}
* {{Citation |last=Musser |first=Gary L. |last2=Peterson |first2=Blake E. |last3=Burger |first3=William F. |year=2013 |title=Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach |edition=10th |publisher=[[Wiley Global Education]] |location= |page= |isbn=978-1-118-45744-3 |url=https://books.google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ |accessdate= }}
{{refend}}

== Ссылки ==
{{Навигация
|Портал = Математика
}}
* {{springer|title=Natural number|id=p/n066090}}
* {{Citation |last=Szczepanski |first=Amy F. |last2=Kositsky |first2=Andrew P. |year=2008 |title=The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra |publisher=Penguin Group |location= |page= |url=https://books.google.com/books?id=wLA2tlR_LYYC |accessdate= |isbn=978-1-59257-772-9 }}
* {{Citation |last=Thomson |first=Brian S. |last2=Bruckner |first2=Judith B. |last3=Bruckner |first3=Andrew M. |year=2008 |title=Elementary Real Analysis |publisher=ClassicalRealAnalysis.com |edition=Second |location= |page= |isbn=978-1-4348-4367-8 |url=https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC |accessdate= }}

{{Нет источников |дата=2024-10-20}}
{{ВС}}
{{Числа}}{{Натуральные числа до 100|nocat=1}}

[[Категория:Натуральные числа|*]]