Просмотр кода страницы Невырожденный полупроводник

'''Невы́рожденный полупроводни́к''' — полупроводник, уровень Ферми в котором расположен в запрещенной зоне на расстоянии по энергии большем <math>kT</math> от её границ (<math>k</math> — постоянная Больцмана, <math>T</math> — абсолютная температура), вследствие чего носители заряда в этом полупроводнике подчиняются статистике Максвелла-Больцмана. Если [[уровень Ферми]] лежит внутри разрешённых зон (внутри [[Зона проводимости|зоны проводимости]] в случае [[Полупроводник n-типа|полупроводника n-типа]] или [[Валентная зона|валентной зоны]] в случае [[Полупроводник p-типа|p-типа]]), то такой полупроводник называется [[Вырожденный полупроводник|вырожденным]].

== Распределение носителей в зонах ==
=== Общий случай ===
Поскольку электроны обладают полуцелым спином, они подчиняются [[Статистика Ферми — Дирака|статистике Ферми-Дирака]]
: <math>f(E)=\frac{1}{1+\exp{\frac{E-F}{kT}}}</math>,

<math>f(E)</math> — вероятность того, что квантовое состояние с энергией <math>E</math> заполнено электроном; <math>F</math> — электрохимический потенциал, или [[уровень Ферми]], который в общем случае зависит от температуры. Уровень Ферми можно также определить как энергию квантового состояния, вероятность заполнения которого при данных условиях равна 1/2.

При <math>T = 0\quad</math><math>f(E)</math> имеет вид разрывной функции:

* для <math>E < F\quad</math> <math>f(E) = 1</math>, а значит, все квантовые состояния с такими энергиями заполнены электронами;
* для <math>E > F\quad</math> <math>f(E)=0</math>, поэтому соответствующие квантовые состояния свободны.

При <math>T>0\quad</math> функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий порядка нескольких <math>kT</math> в окрестности точки <math>E = F</math> быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.

=== Случай невырожденного полупроводника ===
Вычисление статистических величин значительно упрощается, если <math>F</math> лежит в запрещённой зоне энергий и удален от края зоны проводимости <math>E_c</math> хотя бы на несколько <math>kT</math>. Тогда в формуле Ферми-Дирака можно считать <math>\exp[(E-F)/kT]\gg1</math> и выражение упрощается до 
: <math>f(E)=\exp{\frac{F-E}{kT}}</math>. 
В этом случае электронный газ не вырожден. Если последнее выражение домножить на [[плотность состояний]] <math>\rho\sim \sqrt{E-E_c}</math>, где <math>E_c</math> — [[дно зоны проводимости]], и пронормировать произведение на участке <math>0< E< \infty</math>, получится [[распределение Максвелла — Больцмана]] по энергиям, известное из классической статистики.

Аналогично в полупроводнике p-типа для отсутствия вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень Ферми <math>F</math> тоже лежал внутри запрещенной зоны и был расположен выше энергии <math>E_v</math> хотя бы на несколько <math>kT</math>.

Противоположный случай, когда уровень Ферми расположен внутри зоны проводимости или внутри валентной зоны, есть случай вырожденного электронного или, соответственно, дырочного газа. В этом случае необходимо пользоваться распределением Ферми — Дирака.

== Концентрация носителей в зонах ==
=== Общий случай ===
Концентрация электронов в зоне проводимости описывается выражением
: <math>n=\int\limits_{E_c}^{\infty} f(E)\rho_c(E) dE=N_c \Phi_{1/2} (\xi)</math>,

<math>\xi = \frac{F-E_c}{kT}</math> — химический потенциал для электронов (точнее, его безразмерная величина),

<math>\rho_c(E)= \frac{1}{V} \frac{dN}{dE}</math> — [[Плотность состояний|плотность электронных состояний]] в зоне проводимости — число состояний на единичный интервал энергий в единице объёма,

<math>N_{c} = 2\left( \frac{m_{c}k T}{2\pi \hbar^2}\right)^{3/2}</math> — эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

Значение интеграла <math>\Phi_{1/2} (\xi)</math> зависит только от химического потенциала и температуры. Этот интеграл известен как [[Интеграл Ферми — Дирака|интеграл Ферми — Дирака]] с индексом 1/2:
: <math>\Phi_{1/2} (\xi)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{1/2}}{1+\exp{(x-\xi)}}</math>.

Расчет концентрации дырок в валентной зоне проводится аналогично, отличия от предыдущего случая лишь в том, что используется плотность состояний в валентной зоне <math>\rho_v(E)</math> и учитывается не число заполненных, а число незанятых состояний <math>f_p=(1-f)</math>:
: <math>p=\int\limits_{-\infty}^{E_v} f_p(E)\rho_v(E) dE=N_v \Phi_{1/2} (\eta)</math>,
<math>N_v= 2\left( \frac{m_{v}k T}{2\pi \hbar^2}\right)^{3/2}</math> — эффективная плотность состояний в валентной зоне,

<math>\eta= \frac{E_v-F}{kT}</math> — химический потенциал для дырок — безразмерный параметр, характеризующий положение уровня Ферми относительно края валентной зоны.

=== Случай невырожденного полупроводника ===
Для невырожденных полупроводников существен только хвост распределения Ферми, который может быть аппроксимирован распределением Максвелла — Больцмана. В этом случае интеграл Ферми-Дирака принимает вид <math>\Phi_{1/2} (\xi)=\exp{\xi}</math>, и концентрации носителей в зонах определяются выражениями:
: <math>n=N_c\exp{\frac{F-E_c}{kT}}</math>,
: <math>p=N_v\exp{\frac{E_v-F}{kT}}</math>.

Множитель перед экспонентой дает вероятность заполнения электронами квантового состояния с энергией <math>E_c</math> (либо с энергией <math>E_v</math> в случае [[Дырка|дырок]]). Следовательно, для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой же, как если бы, вместо непрерывного распределения состояний в зоне, в каждой единице объёма было <math>N_c</math> состояний с одинаковой энергией <math>E_c</math>.

Рассуждая аналогично, при подсчете концентрации дырок валентную зону можно заменить совокупностью состояний с одинаковой энергией <math>E_v</math> число которых в каждой единице объёма есть <math>N_v</math>.

В невырожденных полупроводниках концентрация основных носителей мала по сравнению с эффективными плотностями состояний <math>N_v, N_c</math>. В вырожденных полупроводниках имеет место обратное. Поэтому, сопоставляя измеренные значения концентрации электронов и дырок со значениями <math>N_v, N_c</math>, можно сразу установить, является ли данный полупроводник вырожденным или нет.

Отношение <math>\frac{n}{p}</math> зависит главным образом от положения уровня Ферми относительно краев зон. Из выражений для концентраций <math>n, p</math> видно, что концентрация подвижных носителей заряда будет больше в той зоне, к которой ближе расположен уровень Ферми. Поэтому в полупроводниках n-типа уровень Ферми расположен в верхней половине запрещенной зоны, а в полупроводниках p-типа — в нижней половине. Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от положения уровня Ферми и равно <math>np =N_cN_v \exp{\frac{-E_g}{kT}}</math>.

== Литература ==
* ''[[Бонч-Бруевич, Виктор Леопольдович|Бонч-Бруевич В. Л.]], Калашников С. Г.'' Физика полупроводников. — Москва: Наука, 1977.
* [https://istina.msu.ru/publications/book/1053279/ ''Лебедев А. И.'' Физика полупроводниковых приборов]. — Физматлит Москва, 2008. — 488 с. — ISBN 978-5-9221-0995-6.

[[Категория:Физика полупроводников]]