Просмотр кода страницы Неравенство

{{другое значение|О неравенствах в социально-экономическом смысле см. [[Социальное неравенство]].}}
{{Похожие буквы|<}}
{{Похожие буквы|>}}
'''Нера́венство''' в [[математика|математике]] — [[бинарное отношение]], связывающее два [[Число|числа]] (или два иных [[Математический объект|математических объекта]]) с помощью одного из перечисленных ниже знаков<ref name=ME>{{книга |часть=Неравенства |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |год=1982 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=999 |archive-date=2013-10-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131016140955/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu }}</ref>.

[[Файл:Linear Programming Feasible Region.svg|frame|Область допустимых решений («''feasible region''») в задачах линейного программирования]]

'''Строгие неравенства'''
* <math>a < b</math> — означает, что <math>a</math> ''{{видимый якорь|меньше}}'', чем <math>b.</math>
* <math>a > b </math> — означает, что <math>a</math> ''{{видимый якорь|больше}}'', чем <math>b.</math>
Неравенства <math>a > b</math> и <math>b < a</math> равносильны. Говорят, что знаки <math>></math> и <math><</math> '''противоположны'''; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что <math><</math> заменено на <math>></math> или наоборот.

'''Нестрогие неравенства'''
* <math>a \leqslant b</math> — означает, что <math>a</math> ''меньше или равно'' <math>b.</math>
* <math>a \geqslant b</math> — означает, что <math>a</math> ''больше или равно'' <math>b.</math>
Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту [[ISO 80000-2]]. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки <math>\geqslant</math> и <math>\leqslant</math> также говорят, что они '''противоположны'''.

'''Другие типы неравенств'''
* <math>a \neq b </math> — означает, что <math>a</math> ''не равно'' <math>b</math>.
* <math>a \gg b</math> — означает, что величина <math>a</math> намного больше, чем <math>b.</math>
* <math>a \ll b</math> — означает, что величина <math>a</math> намного меньше, чем <math>b.</math>

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В [[Элементарная математика|элементарной математике]] изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В [[Общая алгебра|общей алгебре]], [[Анализ (раздел математики)|анализе]], [[Геометрия|геометрии]] рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

== Связанные определения ==
Неравенства с одинаковыми знаками называются '''одноимёнными''' (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

{{якорь|Двойное неравенство}}
Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:
: <math>a<b<c</math> — это краткая запись пары неравенств: <math>a<b</math> и <math>b<c.</math>

== Числовые неравенства ==
Числовые неравенства содержат [[вещественные числа]] (для [[Комплексное число|комплексных чисел]] сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных <math>(x,y,\dots).</math> Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично [[Уравнение|уравнениям]]) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство <math>18x < 414</math> — алгебраическое первой степени, неравенство <math> 2x^3-7x+6 > 0 </math> — алгебраическое третьей степени, неравенство <math>2^x > x+4 </math> — трансцендентное{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=177}}.

=== Свойства ===
Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам [[Уравнение|уравнений]]<ref name=ME/>:
* К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
* От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из <math>a+b<c</math> следует, что <math>a<c-b.</math>
* Обе части неравенства можно умножить на одно и то же ''положительное'' число.
* Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, <math>a<b</math> и <math>c<d,</math> то <math>a+c<b+d.</math> Неравенства ''с противоположными знаками'' можно аналогично почленно вычитать.
* Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
* Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также [[логарифм]]ировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

'''Другие свойства:'''
* [[Транзитивность]]: если <math>a<b</math> и <math>b<c,</math> то <math>a<c</math> и аналогично для прочих знаков.
* Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же ''отрицательное'' число, то знак неравенства изменится на противоположный: ''больше'' на ''меньше'', ''больше или равно'' на ''меньше или равно'' и т. д.

=== Решение неравенств ===
Пусть даны функции <math>f\left(x \right)</math> и <math>g\left(x \right)</math>. Если требуется найти все числа <math>\alpha</math> из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство <math>f \left(\alpha \right) > g \left(\alpha \right) </math>, то говорят, что требуется '''''решить неравенство''''' <center><math>f \left(x \right) > g \left(x \right).</math></center>


Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:
: <math>x^2<4</math> выполняется при <math>-2<x<2.</math>
: <math>x^2>4</math> выполняется, если <math>x>2</math> или <math>x<-2.</math>
: <math>x^2<-4</math> не выполняется никогда (решений нет).
: <math>x^2>-4</math> выполняется при всех <math>x</math> ([[Тождество (математика)|тождество]]).

'''Внимание''': если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство <math>x>3</math> возвести в квадрат: <math>x^2>9,</math> то появится ошибочное решение <math>x<-3,</math> не удовлетворяющее исходному неравенству. 
Проверить все полученные таким образом решения подстановкой в исходное неравенство бывает затруднительно (как правило, это бесконечные множества чисел), поэтому неравенства обычно решают равносильными преобразованиями, а не переходами к неравенству-следствию.

==== Неравенства первой степени ====
Неравенство первой степени имеет общий формат: <math>ax>b</math> или <math>ax<b,</math> где <math>a \ne 0</math> (работа со знаками <math>\geqslant</math> и <math>\leqslant</math> аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на <math>a</math> и, если <math>a<0,</math> измените знак неравенства на противоположный{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=178}}. Пример:
: <math>5x-11>8x+1.</math> Приведём подобные члены: <math>-3x>12,</math> или <math>x<-4.</math>

==== Системы неравенств первой степени ====
Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

'''Пример 1'''. Из системы <math>\begin{cases} 4x-3>5x-5 \\ 2x+4<8x\end{cases}</math> получаем два решения: для первого неравенства <math>x<2,</math> для второго: <math>x>{2\over 3}.</math> Соединяя их, получаем ответ: <math>{2\over 3}<x<2.</math>

'''Пример 2'''. <math>\begin{cases} 2x-3>3x-5 \\ 2x+4>8x\end{cases}</math> Решения: <math>x<2</math> и <math>x<{2\over 3}.</math> Второе решение поглощает первое, так что ответ: <math>x<{2\over 3}.</math>

'''Пример 3'''. <math>\begin{cases} 2x-3<3x-5 \\ 2x+4>8x\end{cases}</math> Решения: <math>x>2</math> и <math>x<{2\over 3},</math> они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

==== Неравенства второй степени ====
Общий вид неравенства второй степени (называемого также ''квадратным неравенством''):
: <math>x^2+px+q>0</math> или <math>x^2+px+q<0.</math>
Если [[квадратное уравнение]] <math>x^2+px+q=0</math> имеет вещественные корни <math>x_1, x_2,</math> то неравенство можно привести к виду соответственно:
: <math>(x-x_1)(x-x_2)>0</math> или <math>(x-x_1)(x-x_2)<0.</math>
В первом случае <math>x-x_1</math> и <math>x-x_2</math> должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило{{sfn |Элементарная математика|1976|с=217—222}}.
{{рамка}}
[[Квадратный трёхчлен]] <math>x^2+px+q</math> с разными вещественными корнями ''отрицателен'' в интервале между корнями и ''положителен'' вне этого интервала.
|}

Если оказалось, что у уравнения <math>x^2+px+q=0</math> вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех <math>x.</math> Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=180—181}}).

'''Пример 1'''. <math>-2x^2+14x-20>0.</math> Разделив на <math>-2,</math> приведём неравенство к виду: <math>x^2-7x+10<0.</math> Решив квадратное уравнение <math>x^2-7x+10=0,</math> получаем корни <math>x_1=2; x_2=5,</math> поэтому исходное неравенство равносильно такому: <math>(x-2)(x-5)<0.</math> Согласно приведенному выше правилу, <math>2<x<5,</math> что и является ответом.

'''Пример 2'''. <math>-2x^2+14x-20<0.</math> Аналогично получаем, что <math>x-2</math> и <math>x-5</math> имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, <math>x<2,</math> или <math>x>5.</math>

'''Пример 3'''. <math>x^2+6x+15>0.</math> Уравнение <math>x^2+6x+15=0</math> не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех <math>x.</math> При <math>x=0</math> левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех <math>x</math>).

'''Пример 4'''. <math>x^2+6x+15<0.</math> Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах{{sfn |Элементарная математика|1976|с=212—213, 219—222}}.

=== Прочие неравенства ===
Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

== Некоторые известные неравенства ==
Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=174—176}}.
* <math>a+{1\over a} \geqslant 2,</math> где <math>a>0.</math> Равенство имеет место только при <math>a=1.</math>
* <math>\sqrt{ab}\leqslant {a+b\over 2},</math> где <math>a,b>0.</math> Смысл: [[среднее геометрическое]] двух чисел не превосходит их [[среднее арифметическое]]. Равенство имеет место только при <math>a=b.</math>
* [[Неравенство о средних]]
* [[Неравенство Бернулли]]:
: <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx,</math> где <math>x> -1, n</math> — положительное число, большее 1
* [[Неравенство Коши — Буняковского]].
* [[Неравенство Йенсена]]
* [[Неравенство треугольника]]:
: <math>|a+b|\leqslant |a|+|b|</math>
: См. следствия этого неравенства в статье [[Абсолютная величина]].

== Знаки неравенства в языках программирования ==
Символ «не равно» в разных [[Язык программирования|языках программирования]] записывается по-разному.

{| class="wikitable"
|-
! Символ
! Языки
|-
| !=
| [[Си (язык программирования)|C]], [[C++]], [[C Sharp|C#]], [[Java]], [[JavaScript]], [[Perl]], [[PHP]], [[Python]], [[Wolfram (язык программирования)|Wolfram Language]]
|-
| <>
| [[Basic]], [[Pascal]], 1С
|-
| ~=
| [[Lua]]
|-
| /=
| [[Haskell]], [[Fortran]], [[Ада (язык программирования)|Ada]]
|-
| #
| [[Modula-2]], [[Оберон (язык программирования)|Oberon]]
|}

== Коды знаков неравенств ==
{| class="wikitable"
|-
! rowspan=2 | Символ
! rowspan=2 | Изображение
! colspan=2 | Юникод
! rowspan=2 | Русское название
! colspan=3 | HTML
! rowspan=2 | LaTeX
|-
! Код
! Название
! Шестнадцатеричное
! Десятичное
! [[HTML-мнемоника|Мнемоника]]
|-
| <
| <math><</math>
| U+003C
|  {{sc|Less-than sign}}
|  Меньше
| &amp;#x3C;
| &amp;#60;
| &amp;lt;
| <, \textless
|-
| >
| <math>></math>
| U+003E
|  {{sc|Greater-than sign}}
|  Больше
| &amp;#x3E;
| &amp;#62;
| &amp;gt;
| >, \textgreater
|-
| ⩽
| <math>\leqslant</math>
| U+2A7D
|  {{sc|Less-than or slanted equal to}}
|  Меньше или равно
| &amp;#x2A7D;
| &amp;#10877;
| нет
| \leqslant
|-
| ⩾
| <math>\geqslant</math>
| U+2A7E
|  {{sc|Greater-than or slanted equal to}}
|  Больше или равно
| &amp;#x2A7E;
| &amp;#10878;
| нет
| \geqslant
|-
| ≤
| <math>\le</math>
| U+2264
|  {{sc|Less-than or equal to}}
|  Меньше или равно
| &amp;#x2264;
| &amp;#8804;
| &amp;le;
| \le, \leq
|-
| ≥
| <math>\ge</math>
| U+2265
|  {{sc|Greater-than or equal to}}
|  Больше или равно
| &amp;#x2265;
| &amp;#8805;
| &amp;ge;
| \ge, \geq
|-
| ≪
| <math>\ll</math>
| U+226A
|  {{sc|Much less-than}}
|  Много меньше
| &amp;#x226A;
| &amp;#8810;
| нет
| \ll
|-
| ≫
| <math>\gg</math>
| U+226B
|  {{sc|Much greater-than}}
|  Много больше
| &amp;#x226B;
| &amp;#8811;
| нет
| \gg
|}

== См. также ==
* [[Сравнение (программирование)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Беккенбах Э. Ф. |заглавие=Неравенства |место=М. |издательство=Мир |год=1965 }}
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=Наука |год=1978
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
  |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu }}
** Переиздание: М.: [[АСТ (издательство)|АСТ]], 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
  |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
  |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}
* {{книга |автор=Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. |заглавие=Неравенства |место=М.
  |издательство=Иностранная литература |год=1948 }}

{{Математические знаки}}
{{ASCII}}

[[Категория:Элементарная математика]]
[[Категория:Числовые неравенства]]
[[Категория:Неравенства|*]]