Просмотр кода страницы Нечёткая логика

{{Комплексная наука}}
'''Нечёткая ло́гика''' ({{lang-en|fuzzy logic}}) — раздел [[Математика|математики]], являющийся обобщением классической [[Математическая логика|логики]] и [[теория множеств|теории множеств]], базирующийся на понятии [[нечёткое множество|нечёткого множества]], впервые введённого [[Лотфи Заде]] в [[1965 год в науке|1965 году]] как объекта с [[Функция принадлежности|функцией принадлежности]] элемента ко множеству, принимающей любые значения на отрезке <math>[0, 1]</math>, а не только <math>0</math> или <math>1</math>. На основе этого понятия вводятся различные логические операции над нечёткими множествами и формулируется понятие лингвистической переменной, в качестве значений которой выступают нечёткие множества.

Предметом нечёткой логики считается исследование рассуждений в условиях нечёткости, размытости, сходных с рассуждениями в обычном смысле, и их применение в вычислительных системах<ref>В. В. Круглов, M. И. Дли, Р. Ю. Голунов. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. — М.: Физматлит, 2000. — 224 с. ISBN 5-94052-027-8. «<cite>Предметом нечёткой логики является построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах</cite>»</ref>.

== Направления исследований нечёткой логики ==
В настоящее время{{Уточнить}} существует по крайней мере два основных направления научных исследований в области нечёткой логики:
* нечёткая логика в широком смысле (теория приближённых вычислений);
* нечёткая логика в узком смысле (символическая нечёткая логика).

== Математические основы ==

=== Символическая нечёткая логика ===
Символическая нечёткая логика основывается на понятии [[t-норма|t-нормы]]. После выбора некоторой t-нормы (а её можно ввести несколькими разными способами) появляется возможность определить основные операции над [[Пропозициональная переменная (нечёткая логика)|пропозициональными переменными]]: конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, отрицание и другие.

Нетрудно доказать теорему о том, что [[дистрибутивность]], присутствующая в классической логике, выполняется только в случае, когда в качестве t-нормы выбирается [[t-норма|t-норма Гёделя]]{{Уточнить}}.

Кроме того, в силу определённых причин, в качестве импликации чаще всего выбирают операцию, называемую [[residium]] (она, вообще говоря, также зависит от выбора t-нормы).

Определение основных операций, перечисленных выше, приводит к формальному определению [[Базисная нечёткая логика|базисной нечёткой логики]], которая имеет много общего с классической булевозначной логикой (точнее, с [[Исчисление высказываний|исчислением высказываний]]).

Существуют три основных базисных нечётких логики: логика Лукасевича, логика Гёделя и [[вероятностная логика]] ({{lang-en|product logic}}). Интересно, что объединение любых двух из трёх перечисленных выше логик приводит к классической булевозначной логике.

=== Синтез функций непрерывной логики заданных таблично ===
Функция нечёткой логики Заде всегда принимает значение одного из своих аргументов либо его отрицания. Таким образом, функцию нечёткой логики можно задать таблицей выбора<ref>Волгин Л. И., Левин В. И. Непрерывная логика. Теория и применения. Таллинн : Б. и., 1990. — 210 с. </ref>, в которой перечислены все варианты упорядочения аргументов и отрицаний, и для каждого варианта указано значение функции. Например, строка таблицы функции двух аргументов может иметь следующий вид:

<math> x_1 \leq x_2 \leq \bar{x}_2\leq \bar{x}_1 : x_2</math>.

Однако произвольная таблица выбора не всегда задаёт функцию нечёткой логики. В работе<ref>{{статья |заглавие=Синтез функций непрерывной логики заданных таблично |издание=Кибернетика и системный анализ |том=34 |номер=2 |страницы=47—56 |doi=10.1007/BF02742068 |язык=ru |тип=журнал |автор=Зайцев, Д.А.; Сарбей, В.Г.; Слепцовб А.И. |год=1998}}</ref>
был сформулирован критерий, позволяющий установить является ли функция, заданная таблицей выбора, функцией нечёткой логики и предложен простой алгоритм синтеза, основанный на введённых концепциях конституент минимума и максимума. Функция нечёткой логики представляет собой дизъюнкцию конституент минимума, где конституента максимума — это конъюнкция переменных текущей области больших либо равных значению функции в этой области (справа от значения функции в неравенстве, включая значение функции). Например, для указанной строки таблицы конституента минимума имеет вид <math> x_2\bar{x}_2\bar{x}_1</math>.

=== Теория приближённых вычислений ===
Основное понятие нечёткой логики в широком смысле — [[нечёткое множество]], определяемое при помощи обобщённого понятия [[Нечёткое множество|характеристической функции]]. Затем вводятся понятия объединения, пересечения и дополнения множеств (через характеристическую функцию; задать можно различными способами), понятие нечёткого отношения, а также одно из важнейших понятий — понятие [[Лингвистическая переменная|лингвистической переменной]].

Вообще говоря, даже такой минимальный набор определений позволяет использовать нечёткую логику в некоторых приложениях, для большинства же необходимо задать ещё и [[правило вывода]] (и оператор импликации).

=== Нечёткая логика и нейронные сети ===
Поскольку нечёткие множества описываются функциями принадлежности, а t-нормы и k-нормы обычными математическими операциями, можно представить нечёткие логические рассуждения в виде нейронной сети. Для этого функции принадлежности надо интерпретировать как функции активации нейронов, передачу сигналов как связи, а логические t-нормы и k-нормы, как специальные виды нейронов, выполняющие математические соответствующие операции.
Существует большое разнообразие подобных [[Нейро-нечёткие системы|нейро-нечётких сетей]].
Например, [[ANFIS]] (Adaptive Neuro fuzzy Inference System) — адаптивная нейро-нечеткая система вывода.<ref>Jang, J.-S. R., "ANFIS: Adaptive-Network-based Fuzzy Inference Systems, " IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 23, No. 3, pp. 665—685, May 1993.</ref>{{ref-en}}

Она может быть описана в [[Теорема Цыбенко|универсальной форме аппроксиматоров]] как

<math> y(x)=\sum^{N}_{i=1} \phi_i(x)*\theta_i </math>,

кроме того, этой формулой могут быть описаны также некоторые виды нейронных сетей, такие как [[Искусственная нейронная сеть|радиально базисные сети]] (RBF), [[Персептрон|многослойные персептроны]] (MLP), а также [[вейвлет]]ы и [[сплайн]]ы.

=== Примеры ===

==== Нечёткое множество, содержащее число 5 ====
[[Нечёткое множество]], содержащее число 5, можно задать, например, такой [[Функция принадлежности|характеристической функцией]]:
<math>\mu_A \left( x \right) = \left( 1+\left| x - 5 \right| ^ n \right) ^{-1}</math>

==== Пример определения лингвистической переменной ====
В обозначениях, принятых для [[Лингвистическая переменная|лингвистической переменной]]:
* X = «Температура в комнате»
* U = [5, 35]
* T = {«холодно», «тепло», «жарко»}
[[Файл:Fuzzy logic temperature en.svg|center]]
Характеристические функции:
* <math>\mu_{cold} \left( u \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{u-10}{7} \right) ^{12} } </math>
* <math>\mu_{ok} \left( u \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{u-20}{3} \right)^{6} } </math>
* <math>\mu_{hot} \left( u \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{u-30}{6} \right)^{10} } </math>
Правило G порождает новые термы с использованием союзов «и», «или», «не», «очень», «более или менее».
* не A: <math>1 - \mu_A \left( u \right)</math>
* очень A: <math>\left( \mu_A \left( u \right) \right) ^ 2</math>
* более или менее A: <math>\sqrt { \mu_A \left( u \right)}</math>
* A или B: <math>\max \left( \mu_A \left( x \right), \mu_B \left( x \right) \right)</math>
* A и B: <math>\min \left( \mu_A \left( x \right), \mu_B \left( x \right) \right)</math>

=== Нечёткая логика в информатике ===
Нечёткая логика — набор нестрогих правил, в которых для достижения поставленной цели могут использоваться радикальные идеи, [[Интуиция|интуитивные]] догадки, а также опыт специалистов, накопленный в соответствующей области. Нечёткой логике свойственно отсутствие строгих стандартов. Чаще всего она применяется в [[Экспертные системы|экспертных системах]], [[Нейронная сеть|нейронных сетях]] и системах [[Искусственный интеллект|искусственного интеллекта]]. Вместо традиционных значений '''''Истина''''' и '''''Ложь''''' в нечёткой логике используется более широкий диапазон значений, среди которых '''''Истина''''', '''''Ложь''''', '''''Возможно''''', '''''Иногда''''', '''''Не помню''''' ('''''Как бы Да''''', '''''Почему бы и Нет''''', '''''Ещё не решил''''', '''''Не скажу'''''…). Нечёткая логика просто незаменима в тех случаях, когда на поставленный вопрос нет чёткого ответа (''да'' или ''нет''; «0» или «1») или наперёд неизвестны все возможные ситуации. Например, в нечёткой логике высказывание вида «X есть большое число» интерпретируется как имеющее неточное значение, характеризуемое некоторым нечётким [[множество]]м. «Искусственный интеллект и нейронные сети — это попытка смоделировать на компьютере поведение человека. А так как люди редко видят окружающий мир лишь в чёрно-белом цвете, возникает необходимость в использовании нечёткой логики».<ref>Illustrated Computer Dictionary for Dummies, 4th Edition —
by Sandra Hardin Gookin & [[:en:Dan Gookin|Dan Gookin]] —
IDG Books Worldwide/John Wiley & Sons Inc (Computers) (February 2000) —
ISBN 978-0764581250</ref>

== Байесовская вероятность ==

Нечёткая логика и [[байесовская вероятность]] связаны между собой с помощью байесовской логико-вероятностной модели нечёткого вывода. Данная модель предлагает способ трансформировать набор нечётких продукций в набор вероятностных функций, которые используются для определения апостериорного распределения на множестве гипотез, соответствующих значениям выходной лингвистической переменной. Апостериорное распределение затем используется для дефаззификации, то есть получения чёткого значения выходной переменной.

Нечёткие продукции — правила вида «ЕСЛИ ... ТО ...», где посылка и заключение содержат лингвистические переменные, описывающие качественные характеристики объектов или явлений. Например, «ЕСЛИ температура НИЗКАЯ ТО скорость ВЫСОКАЯ». Лингвистические переменные имеют терм-множества, состоящие из нечётких множеств, которые задаются функциями принадлежности. Например, терм-множество переменной температура может состоять из нечётких множеств «НИЗКАЯ, СРЕДНЯЯ и ВЫСОКАЯ», каждое из которых имеет свою функцию принадлежности на числовой шкале температуры.<ref>{{Cite web|url=https://scm.etu.ru/assets/files/2019/scm2019/papers/1/035.pdf|title=Байесовская логико-вероятностная модель нечеткого вывода|access-date=2023-08-06|archive-date=2023-08-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230806081502/https://scm.etu.ru/assets/files/2019/scm2019/papers/1/035.pdf|deadlink=no}}</ref>

Байесовская логико-вероятностная модель нечёткого вывода предполагает, что каждое значение выходной лингвистической переменной рассматривается как гипотеза о том, что эта переменная принимает это значение. Например, если выходная переменная — скорость, то её терм-множество может состоять из гипотез «НИЗКАЯ, СРЕДНЯЯ и ВЫСОКАЯ». Для каждой гипотезы можно определить априорную вероятность, отражающую степень уверенности в её истинности до получения новой информации. Например, если знать, что скорость обычно бывает средней, то можно задать априорную вероятность для гипотезы «СРЕДНЯЯ» больше, чем для других гипотез.<ref name="автоссылка1">{{Cite web|url=https://scm.etu.ru/assets/files/2019/scm2019/papers/1/039.pdf|title=Этап дефаззификации нечёткого вывода: традиционный и байесовский|access-date=2023-08-06|archive-date=2023-08-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230806081507/https://scm.etu.ru/assets/files/2019/scm2019/papers/1/039.pdf|deadlink=no}}</ref>

Новая информация поступает в виде значений входных лингвистических переменных, которые являются свидетельствами в пользу или против гипотез. Например, если измерить температуру и получить значение 15 градусов, то это свидетельство в пользу гипотезы НИЗКАЯ для переменной температура. Степень принадлежности этого значения нечёткому множеству «НИЗКАЯ» определяется функцией принадлежности этого множества. Например, если функция принадлежности имеет вид треугольника с вершиной в точке 10 градусов и основанием от 0 до 20 градусов, то степень принадлежности значения 15 градусов будет равна 0.25.<ref name="автоссылка1" />

Для каждой нечёткой продукции можно определить условную вероятность заключения при данной посылке, используя функции принадлежности нечётких множеств, входящих в посылку и заключение. Например, если продукция имеет вид «ЕСЛИ температура НИЗКАЯ ТО скорость ВЫСОКАЯ», то условная вероятность заключения при данной посылке будет равна степени принадлежности значения температуры нечёткому множеству НИЗКАЯ, умноженной на некоторый коэффициент, отражающий силу связи между температурой и скоростью.<ref name="автоссылка1" />

Используя [[Теорема Байеса|теорему Байеса]], можно обновить априорные вероятности гипотез по выходной лингвистической переменной, учитывая новую информацию в виде значений входных лингвистических переменных и условных вероятностей заключений при данных посылках. Таким образом, получается апостериорное распределение вероятностей на множестве гипотез, которое отражает степень уверенности в истинности каждой гипотезы после получения новой информации.<ref name="автоссылка1" />

Для дефаззификации, то есть получения чёткого значения выходной переменной, можно использовать различные методы, основанные на апостериорном распределении вероятностей. Например, можно выбрать ту гипотезу, которая имеет максимальную апостериорную вероятность, и присвоить выходной переменной значение, соответствующее центру или вершине нечёткого множества, связанного с этой гипотезой. Это называется методом максимума апостериорной вероятности (MAP). Альтернативно, можно вычислить математическое ожидание выходной переменной по апостериорному распределению вероятностей и присвоить ей это значение. Это называется методом среднего значения апостериорной вероятности (MEP).<ref>{{Cite web|url=https://scm.etu.ru/assets/files/2021/scm21/papers/061-064.pdf|title=Опыт программной реализации авторских вероятностных моделей|access-date=2023-08-06|archive-date=2023-08-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230806081505/https://scm.etu.ru/assets/files/2021/scm21/papers/061-064.pdf|deadlink=no}}</ref>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
'''на русском языке'''
* {{книга
 | автор         = Бочарников В. П.
 | заглавие      = Fuzzy-технология: Математические основы. Практика моделирования в экономике.
 | место         = М.
 | издательство  = Мир
 | год           = 2001
 | страниц       = 328
 | isbn          = 966-521-082-3
 | ref           = 
 |ссылка         = 
}}
* ''Дьяконов В. П., Круглов В. В.'' MATLAB. Математические пакеты расширения. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001. 480с (имеются главы по нечёткой логике и нейронным сетям).
* ''Дьяконов В. П., Абраменкова И. В., Круглов В. В.'' MATLAB 5 с пакетами расширений. Под редакцией проф. В. П. Дьяконова. М.: Нолидж, 2001. 880с (имеются главы по нечёткой логике и нейронным сетям).
* ''Дьяконов В. П., Круглов В. В.'' MATLAB 6.5 SP1/7/7 SP1/7 SP2+Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. М.: СОЛОН-Пресс, 2006. 456с.
* {{книга
 | автор         = [[Лотфи Заде|Заде Л.]]
 | заглавие      = Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений
 | место         = М.
 | издательство  = Мир
 | год           = 1976
 | страниц       = 166
 | isbn          = 
 | ref           = Заде
 |ссылка         = http://www.raai.org/library/books/other/Zadeh.djvu
}}
* {{книга
 | автор         = Зак Ю.А.
 | заглавие      = Принятие решений в условиях нечетких и размытых данных: Fuzzy-технологии
 | место         = М.
 | издательство  = «ЛИБРОКОМ»
 | год           = 2013
 | страниц       = 352
 | isbn          = 978-5-397-03451-7
 | ref           = 
 |ссылка         = 
}}
* ''Круглов В. В. Дли М. И. Голунов Р. Ю.'' Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. 221с.
* Леоненков А. В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. — СПб.: БХВ Петербурr, 2005. — 736 с.: ил.
* {{книга
 |автор = Новак В., Перфильева И., Мочкрож И.
 |оригинал = Mathematical Principles of Fuzzy Logic
 |заглавие = Математические принципы нечёткой логики
 |год = 2006
 |издательство = [[Физматлит]]
 |страниц = 352
 |isbn = 0-7923-8595-0
 |ref = Новак, Перфильева, Мочкрож 
}}
* ''[[Орлов, Александр Иванович (учёный)|Орлов А. И.]]'' Задачи [[Оптимизация (математика)|оптимизации]] и [[теория нечетких множеств|нечеткие переменные]]. — М.: Знание, 1980. — 64 с.
* ''Орлов А. И., Луценко Е. В.'' Системная нечеткая интервальная математика. — Монография (научное издание). — Краснодар, КубГАУ. 2014. — 600 с.[http://elibrary.ru/item.asp?id=21358220]
* ''Орлов А. И., Луценко Е. В.'' Анализ данных, информации и знаний в системной нечеткой интервальной математике: научная монография. — Краснодар: КубГАУ, 2022. — 405 с. [https://www.elibrary.ru/item.asp?id=48067531]
* {{книга | автор = Орловский С. А. | заглавие = Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации | место = М. | издательство  = Наука | год = 1981 | isbn = | страниц = 208 | тираж = 7600 | ref = Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации}}
* ''Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л.'' Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. М.: Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с. ISBN 5-93517-103-1
* {{книга
|заглавие = Искусственные нейронные сети. Теория и практика	 
|оригинал =	 
|автор = Рутковский Л.	 
|ссылка = 	 
|isbn = 978-5-9912-0105-6 
|страниц = 520	 
|год = 2010	 
|место = М.	 
|издательство = Горячая линия - Телеком	 
}}
* {{книга
 | автор         = Тэрано, Т., Асаи, К., Сугэно, М.
 | заглавие      = Прикладные нечёткие системы
 | место         = М.
 | издательство  = Мир
 | год           = 1993
 | страниц       = 368
 | isbn          = 
 | ref           = Тэрано, Асаи, Сугэно
 | ссылка        = http://www.r-5.org/files/books/computers/T_Terano_K_Asai_M_Sugeno-Fuzzy_Logic-RU.djvu
}}
* Усков А. А., Кузьмин А. В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. — М.: Горячая Линия — Телеком, 2004. — 143 с.
* Штовба С. Д. Проектирование нечетких систем средствами MATLAB. М.: Горячая линия — Телеком. 2007. 288 c.
'''на других языках'''
* ''Uziel Sandler, Lev Tsitolovsky'' Neural Cell Behavior and Fuzzy Logic. Springer, 2008. — 478 с. ISBN 978-0-387-09542-4

== Ссылки ==
* {{cite web|title=Статьи и доклады Лотфи Заде|url=http://zadeh.narod.ru/zadeh_papers.html|deadlink=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20051215003423/http://zadeh.narod.ru/zadeh_papers.html|archivedate=2005-12-15|accessdate=2010-01-18}}
* {{cite web|title=Нечеткая логика, мягкие вычисления и вычислительный интеллект|url=http://fuzzyset.narod.ru/index.html|access-date=2010-01-18|archive-date=2010-03-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20100306054844/http://fuzzyset.narod.ru/index.html|deadlink=no}}
* {{cite web
 |author        = 
 |last          = 
 |first         = 
 |authorlink    = 
 |coauthors     = 
 |datepublished = 
 |url           = http://univ2.omsk.su/~guts/logic.htm
 |title         = Учебник по математической логике, содержащий и главу о нечеткой логике
 |format        = 
 |work          = 
 |publisher     = 
 |accessdate    = 2009-01-08
 |lang          = ru
 |description   = 
 |archiveurl    = https://web.archive.org/web/20070927184555/http://univ2.omsk.su/~guts/logic.htm
 |archivedate   = 2007-09-27
 |deadlink      = yes
}}
* {{cite web
 |author        = 
 |last          = 
 |first         = 
 |authorlink    = 
 |coauthors     = 
 |datepublished = 
 |url           = http://www.fuzzy.kstu.ru/
 |title         = Информационно-методический портал кафедры ИПМ (Информатика и прикладная математика)
 |format        = 
 |work          = 
 |publisher     = 
 |accessdate    = 2009-01-08
 |lang          = ru
 |description   = Ранее "Сайт, посвященный нечеткой логике". Разделы доступны только для зарегистрированных пользователей
 |archiveurl    = https://www.webcitation.org/65PyadZBT?url=http://ipm.kstu.ru/
 |archivedate   = 2012-02-13
 |deadlink      = no
}}
* {{cite web
 |url           = http://old.computerra.ru/2001/415/198010/
 |title         = Нечеткая логика в системах управления
 |author        = Сергей Гриняев
 |first         = 
 |last          = 
 |authorlink    = 
 |coauthors     = 
 |work          = 
 |description   = Статья в журнале [[Компьютерра]]
 |date          = 
 |format        = html
 |publisher     = [[Компьютерра–Онлайн]]
 |lang          = ru
 |accessdate    = 2009-01-08
 |datepublished = 2001-10-08
 |archive-date  = 2016-09-19
 |archive-url   = https://web.archive.org/web/20160919132612/http://old.computerra.ru/2001/415/198010/
 |deadlink      = no
}}
* {{cite web
 |author        = 
 |last          = 
 |first         = 
 |authorlink    = 
 |coauthors     = 
 |datepublished = 
 |url           = http://www.mathworks.com/products/fuzzylogic/?BB=1
 |title         = Fuzzy Logic Toolbox
 |format        = 
 |work          = 
 |publisher     = 
 |accessdate    = 2009-01-08
 |lang          = en
 |description   = Дополнение к [[MATLAB]] для моделирования систем с нечёткой логикой
 |archiveurl    = https://www.webcitation.org/65PybVtD9?url=http://www.mathworks.com/products/fuzzy-logic/index.html?BB=1
 |archivedate   = 2012-02-13
 |deadlink      = no
}}
* {{cite web
 |author        = 
 |last          = 
 |first         = 
 |authorlink    = 
 |coauthors     = 
 |datepublished = 
 |url           = http://matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/index.php
 |title         = Fuzzy Logic Toolbox - Проектирование систем управления
 |format        = html
 |work          = 
 |publisher     = [[Экспонента.ру]]
 |accessdate    = 2009-01-08
 |lang          = ru
 |description   = 
 |archiveurl    = https://web.archive.org/web/20070527184140/http://matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/index.php
 |archivedate   = 2007-05-27
 |deadlink      = no
}}
* [http://www.scholar.ru/catalog.php?topic_id=202] {{Wayback|url=http://www.scholar.ru/catalog.php?topic_id=202 |date=20150211153110 }} Научные статьи по нечёткой логике.
{{rq|refless|isbn}}
{{внешние ссылки}}
{{Инженерия знаний}}
{{Искусственный интеллект}}
{{Логика}}

[[Категория:Нечёткая логика| ]]
[[Категория:Неклассическая логика]]