Просмотр кода страницы Нормаль

'''Норма́ль''' в геометрии — обобщение понятия [[перпендикуляр]]а к [[Прямая|прямой]] или [[Плоскость|плоскости]] на произвольные гладкие [[Кривая|кривые]] и [[Поверхность|поверхности]].
[[Файл:frenet.png|thumb|270px|В точке кривой построены векторы касательной (T), главной нормали (N) и бинормали (B). Показана также соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль.]]
'''Нормаль к кривой''' в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к [[Касательная прямая|касательной прямой]] в указанной точке кривой. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости. Пространственная кривая в каждой своей точке имеет бесконечное множество нормалей, формирующих так называемую [[Нормальная плоскость|нормальную плоскость]]. Две из этих нормалей выделяются особо: нормаль, лежащая в [[Соприкасающаяся плоскость|соприкасающейся плоскости]], называется [[Главная нормаль|главной нормалью]], а нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется [[бинормаль]]ю{{sfn |Математическая энциклопедия|1982|с=1049—1050|name=ME}}.

'''Нормаль к поверхности''' в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к [[Касательная плоскость|касательной плоскости]] в указанной точке поверхности. Нормаль для гладкой поверхности определяется однозначно<ref name=ME/>.

Понятие нормали может быть легко распространено на [[Многомерное пространство|многомерные многообразия]]. Кроме геометрии, нормали широко используются в [[Геометрическая оптика|геометрической оптике]], [[Механика|механике]], при создании [[Трёхмерная графика|трёхмерной компьютерной графики]], в [[Теория потенциала|теории потенциала]] и в других естественных науках<ref>{{книга |часть=Нормаль |страницы=[https://archive.org/details/libgen_00858224/page/n415 416] |заглавие=Математический энциклопедический словарь |ссылка=https://archive.org/details/libgen_00858224 |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |год=1988 |страниц=847}}</ref>.

== Вектор нормали ==
[[Файл:Normal vectors on a curved surface.svg|thumb|Векторы нормали в точках поверхности]]
'''Вектор нормали''' (или '''орт нормали''') к поверхности в данной точке — [[единичный вектор]], приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.

Поверхность называется ''двусторонней'', если на всей её протяжённости она обладает [[непрерывность (математика)|непрерывным]] [[векторное поле|полем]] векторов нормали. В противном случае поверхность называют ''односторонней'' или ''неориентируемой''. ''Ориентированной'' называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются [[бутылка Клейна]] или [[Лента Мёбиуса|лист Мёбиуса]].

== Нормаль к пространственной кривой ==
Пусть <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math> — векторное уравнение кривой. Тогда направление главной нормали может быть получено как двойное [[векторное произведение]]: <math>[[\mathbf{r}', \ \mathbf{r}''], \ \mathbf{r}'].</math>  В случае [[Естественная параметризация|естественной параметризации]] кривой (её [[Длина кривой|длиной дуги]]) орт главной нормали{{sfn |Рашевский|1956|с=146}} равен <math>\mathbf{r}''</math>.

Векторное уравнение бинормали в точке <math>t=t_0</math> имеет вид:
: <math>\boldsymbol{r}(\lambda)=\boldsymbol{r}(t_0)+\lambda [\boldsymbol{r}'(t_0),~\boldsymbol{r}''(t_0)].</math>

Уравнение нормальной плоскости{{sfn |Рашевский|1956|с=146}} в точке <math>\boldsymbol{r}(t_0) =\{x_0,y_0,z_0\}</math>:
: <math>x'_0(x-x_0) + y'_0(y-y_0) + z'_0(z-z_0) = 0</math>

== Нормаль к плоской кривой ==
Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке <math>(x_0,\ y_0)</math> имеет следующий вид.
{| class="wikitable"
|-
! Способ задания<br>плоской кривой  !! Уравнение кривой !! Уравнение нормали
|-
| Параметрическое задание || <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math> || <math>y = y_0 - \frac{x_0'}{y_0'} (x-x_0)</math>
|-
| Явное задание || <math>y=f(x)</math> || <math>y = y_0 - \frac{x-x_0}{y_0'}</math>
|-
| Неявное задание || <math>F(x,y)=0</math> || <math>y = y_0 + \frac{(F_y')_0}{(F_x')_0} (x-x_0)</math>
|}

== Нормаль к поверхности ==
В [[Дифференциальная геометрия|дифференциальной геометрии]] исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов [[Дифференциальное исчисление|дифференциального исчисления]]. Как правило, это — условия ''гладкости'' поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой [[Касательная прямая|касательной]] плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз [[дифференцируемая функция|дифференцируемыми]] или даже [[аналитические функции|аналитическими функциями]]. При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью [[Поверхность]]). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина [[конус]]а — в ней не существует касательной плоскости.

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:
{| class=standard style="text-align:center"
|width=15%|
!Координаты нормали в точке поверхности
|-
!параметрическое задание: <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)</math>
|<math>\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2}}</math>
|-
!неявное задание: <math>F(x,y,z)=0</math>
|<math>\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}</math>
|-
!явное задание: <math>z=f(x,y)</math>
|<math>\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}}</math>
|}

Здесь <math>\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}</math>. Все производные берутся в точке <math>(x_0,y_0,z_0)</math>. Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции <math>F(x,y,z)</math> совпадает с направлением её [[градиент]]а.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется '''нормальным сечением''' поверхности. [[Главная нормаль]] для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол <math>\theta</math>. Тогда кривизна <math>k</math> кривой связана с кривизной <math>k_n</math> нормального сечения (с той же касательной) [[Теорема Мёнье|формулой Мёнье]]{{sfn |Погорелов|1974|с=125—126}}:
: <math>k_n = \pm k\,\cos\,\theta</math>
Кривизна <math>k_n</math> нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых ''главными направлениями''. На сфере, на торцах [[эллипсоид]]а {{итп}} кривизна постоянна, и все направления — главные{{sfn |Погорелов|1974|с=132—133}}.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Викисловарь}}
* {{книга |часть=Нормаль |ref=Математическая энциклопедия
  |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |том=3 |место=М. |год=1982
  |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]}}
* {{книга|автор=Погорелов А. И. |название=Дифференциальная геометрия |издание=6-е изд
  |место=М.|издательство=Наука |год=1974 |страниц=176 |ref=Погорелов}}
* {{книга|автор=[[Рашевский, Пётр Константинович|Рашевский П. К.]] |ref=Рашевский
  |название=Курс дифференциальной геометрии |издание=4-е изд |место=М.|издательство=ГИТТЛ |год=1956}}

== Ссылки ==
* {{БРЭ |статья=Нормаль |автор= |год= |ref=БРЭ|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2671147|архив=https://web.archive.org/web/20230104004949/https://bigenc.ru/mathematics/text/2671147|архив дата=2023-01-04}}

{{Внешние ссылки}}
{{Векторы и матрицы}}

[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]
[[Категория:Векторный анализ]]
[[Категория:Аналитическая геометрия]]