Просмотр кода страницы Нормальное распределение

{{Вероятностное распределение
 |name       = Нормальное распределение
 |type       = Плотность
 |pdf_image  = [[Файл:Normal distribution pdf.png|325px|Плотность нормального распределения]]<br><small>Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению</small>
 |cdf_image  = [[Файл:Normal distribution cdf.png|325px|Функция распределения нормального распределения]]<br><small>Цвета на этом графике соответствуют графику наверху</small>
 |notation   = <math>N \left( \mu, \sigma^2 \right)</math>
 |parameters = {{math|<var>μ</var>}} — [[коэффициент сдвига]] ([[Вещественное число|вещественный]])<br>{{math|<var>σ</var> > 0}} — [[коэффициент масштаба]] (вещественный, строго положительный)
 |support    = <math>x \in \left( -\infty;+\infty \right)</math>
 |pdf        = <math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right)</math>
 |cdf        = <math>\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}} \right) \right] </math>
 |mean       = <math>\mu</math>
 |median     = <math>\mu</math>
 |mode       = <math>\mu</math>
 |variance   = <math>\sigma^2</math>
 |skewness   = <math>0</math>
 |kurtosis   = <math>0</math>
 |entropy    = <math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)</math>
 |mgf        = <math>M_X\left(t\right)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>
 |char       = <math>\phi_X\left(t\right)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>
}}

'''Норма́льное распределе́ние'''<ref>{{книга
 |автор         = [[Вентцель Е. С.]]
 |заглавие      = Теория вероятностей
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |издание       = 10-е изд., стереотипное.
 |место         = М.
 |издательство  = [[Academia]]
 |год           = 2005
 |страниц       = 576
 |серия         = 
 |isbn          = 5-7695-2311-5
 |тираж         = 
}}</ref><ref>{{книга|автор=[[Ширяев, Альберт Николаевич|Ширяев А. Н.]] |заглавие=Вероятность |страницы= |место=М. |издательство=Наука |год=1980}}</ref>, также называемое '''распределением [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]]''' или '''Гаусса — [[Лаплас, Пьер-Симон|Лапласа]]'''<ref name="ReferenceA">{{книга
|часть =
|заглавие = Математический энциклопедический словарь
|оригинал =|автор =|ссылка =https://archive.org/details/libgen_00008537|isbn = 
|страницы = [https://archive.org/details/libgen_00008537/page/n137 139]—140
|год = 1988
|место =  М.
|издательство = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]
}}</ref>, или '''колоколообразная кривая''' — непрерывное [[распределение вероятностей]] с пиком в центре и симметричными боковыми сторонами, которое в одномерном случае задаётся функцией [[плотность вероятности|плотности вероятности]], совпадающей с [[Гауссова функция|функцией Гаусса]]:

: <math>
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
</math>,

: где параметр <math>\mu</math> — [[математическое ожидание]] (среднее значение), [[медиана (статистика)|медиана]] и мода распределения, а параметр <math>\sigma</math> — [[среднеквадратическое отклонение]], <math>\sigma^2</math> — [[Дисперсия случайной величины|дисперсия]] распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений, которое принадлежит экспоненциальному классу распределений<ref>{{Книга|автор=Wasserman L.|заглавие=All of Statistics|ссылка=https://archive.org/details/allstatisticscon00wass_368|ответственный=|издание=|место=New York, NY|издательство=Springer|год=2004|страницы=[https://archive.org/details/allstatisticscon00wass_368/page/n158 142]|страниц=433|isbn=978-1-4419-2322-6}}</ref>. Многомерный случай описан в статье «[[Многомерное нормальное распределение]]».

'''Стандартным нормальным распределением''' называется нормальное распределение с математическим ожиданием <math>\mu=0</math> и стандартным отклонением <math>\sigma=1.</math>

== Общие сведения ==
Если величина является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то центрированное и нормированное распределение такой величины при достаточно большом числе слагаемых стремится к ''нормальному распределению''.

Это следует из [[Центральная предельная теорема|центральной предельной теоремы]] [[Теория вероятностей|теории вероятностей]]. В окружающем нас мире часто встречаются величины, значение которых определяется совокупностью многих независимых факторов. Этот факт, а также то, что распределение считалось типичным, обычным, привели к тому, что в конце XIX века стал использоваться термин «нормальное распределение». Нормальное распределение играет заметную роль во многих областях науки, например в [[математическая статистика|математической статистике]] и [[статистическая физика|статистической физике]].

Случайная величина, имеющая нормальное распределение, называется нормальной, или гауссовской, случайной величиной.

== Определения ==

=== Стандартное нормальное распределение ===
Наиболее простой случай нормального распределения — ''стандартное нормальное распределение'' — частный случай, когда <math>\mu=0</math> и <math>\sigma = 1.</math> Его [[плотность вероятности]] равна:

: <math>\varphi(x) = \frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac 12 x^2}.</math>

Множитель <math>\frac {1}{\sqrt{2\pi}}</math> в выражении обеспечивает условие нормировки интеграла <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x)\,dx = 1</math><ref>Доказательство см. [[Гауссов интеграл]]</ref>. Поскольку множитель <math>\frac 12</math> в экспоненте обеспечивает дисперсию равную единице, то и стандартное отклонение равно 1. Функция симметрична в точке <math>x=0,</math> её значение в ней максимально и равно <math>\frac {1}{\sqrt{2\pi}}.</math> [[Точка перегиба|Точки перегиба]] функции: <math>x=+1</math> и <math>x=-1.</math>

[[Карл Фридрих Гаусс|Гаусс]] называл стандартным нормальным распределение с <math>\sigma^2 = 1/2,</math> то есть:

: <math>\varphi(x) = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt\pi}.</math>

=== Нормальное распределение с параметрами μ, σ ===
Каждое нормальное распределение — это вариант стандартного нормального распределения, область значений которого растягивается множителем <math>\sigma</math> (стандартное отклонение) и переносится на <math>\mu</math> (математическое ожидание):

: <math>f(x \mid \mu, \sigma^2) =\frac 1 \sigma \varphi\left(\frac{x-\mu} \sigma \right).</math>

<math>\mu, \sigma</math> являются параметрами нормального распределения. Плотность вероятности должна нормироваться <math>\frac {1}{\sigma},</math> так что интеграл равен 1.

Если <math>Z</math> — стандартная нормальная случайная величина, то величина <math>X=\sigma Z + \mu</math> будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием <math>\mu</math> и стандартным отклонением <math>\sigma.</math> Наоборот, если <math>X</math> — нормальная величина с параметрами <math>\mu</math> и <math>\sigma^2,</math> то <math>Z=\frac{X-\mu}{\sigma}</math> будет иметь стандартное нормальное распределение.

Если в экспоненте плотности вероятности раскрыть скобки и учитывать, что <math>1 = \ln e</math>, то:

: <math>f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}=e^{-\frac{1}{2}\left(2 \ln \sigma + \ln2\pi +\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)}=e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{\sigma^2} - 2\frac{\mu x}{\sigma^2}+ 2\ln\sigma + \ln2\pi + \frac{\mu^2}{\sigma^2} \right)}.</math>

Таким образом, плотность вероятности каждого нормального распределения представляет собой экспоненту [[квадратичная функция|квадратичной функции]]:

: <math>f(x) = e^{a x^2 + b x + c},</math>

: где <math>a=-\frac{1}{2\sigma^2},\  b=\frac{\mu}{\sigma^2},\ c=-\left( \ln\sigma +\frac{1}{2}\ln2\pi  +\frac{1}{2}\frac{\mu^2}{\sigma^2} \right) .</math>

Отсюда можно выразить среднее значение как <math>\mu = -\frac{b}{2a},</math> а дисперсию как <math>\sigma^2=-\frac{1}{2a}.</math> Для стандартного нормального распределения <math>a=-1/2,</math> <math>b=0</math> и <math>c=-\frac{1}{2}\ln2\pi.</math>

=== Обозначение ===
Плотность вероятности стандартного нормального распределения (с нулевым средним и единичной дисперсией) часто обозначается греческой буквой <math>\phi</math> ([[фи (буква)|фи]]){{sfn|Halperin, Hartley & Hoel|1965 |loc=item 7}}. Также достаточно часто используется альтернативное начертание греческой буквы фи <math>\varphi</math>.

Нормальное распределение часто обозначается <math>N(\mu,\sigma^2),</math> или <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math><ref>{{harvtxt |McPherson |1990 |с=110 }}</ref>. Если случайная величина <math>X</math> распределена по нормальному закону со средним <math>\mu</math> и вариацией <math>\sigma^2,</math> то пишут:

: <math>X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).</math>

=== Функция распределения ===
{{якорь|нормальное интегральное распределение}}
[[Функция распределения]] стандартного нормального распределения (нормальное интегральное распределение) обычно обозначается заглавной греческой буквой <math>\Phi</math> ([[фи (буква)|фи]]), в России называется функцией [[Лаплас, Пьер-Симон|Лапласа]] и представляет собой интеграл:

: <math>\Phi(x) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2} \, dt.</math>

С ней связана [[функция ошибок|функция ошибок (интеграл вероятности)]] <math>\operatorname{erf}(x),</math> дающий вероятность того, что нормальная случайная величина со средним 0 и вариацией 1/2 попадёт в отрезок <math>[-x, x]</math>:

: <math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2 {\sqrt\pi} \int\limits_0^x e^{-t^2} \, dt.</math>

Эти интегралы не выражаются в элементарных функциях и называются [[специальные функции|специальными функциями]]. Многие их численные приближения известны. См. [[#Численные приближения нормальных функций распределения|ниже]].

Функции связаны, в частности, соотношением:

: <math> \Phi(x) = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac x {\sqrt 2} \right) \right]</math>.

Нормальное распределение с плотностью <math>f,</math> средним <math>\mu</math> и отклонением <math>\sigma</math> имеет следующую функцию распределения:

: <math>F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu} \sigma \right) = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2 }\right)\right] .</math>

Можно использовать функцию <math>Q(x) = 1 - \Phi(x)</math> — она даст вероятность того, что значение стандартной нормальной случайной величины <math>X</math> превысит <math>x</math>:

: <math>P(X>x)</math>.

[[График функции|График]] стандартной нормальной функции распределения <math>\Phi</math> имеет 2-кратную вращательную [[симметрия|симметрию]] относительно точки (0;1/2), то есть <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x).</math> Её неопределенный интеграл равен:

: <math>\int \Phi(x)\, dx = x\Phi(x) + \varphi(x) + C.</math>

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины может быть разложена с помощью метода [[интегрирование по частям|интегрирования по частям]] в ряд:

: <math>\Phi(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2} \left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3\cdot 5} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!} + \cdots\right] ,</math>

где знак <math>!!</math> означает [[двойной факториал]].

[[Асимптотическое разложение]] функции распределения для больших <math>x</math> может быть также произведено интегрированием по частям.

==== Стандартное отклонение ====
{{См. также|Интервальная оценка|}}
[[Файл:68–95–99.7-stddev-ru.svg |thumb|350px|Правило 68-95-99,7.<br>
Для нормального распределения количество значений, отличающихся от среднего на число, меньшее чем одно стандартное отклонение, составляют 68,27 % выборок. В то же время количество значений, отличающиеся от среднего на два стандартных отклонения, составляют 95,45 %, а на три стандартных отклонения — 99,73 %.]]
Около 68 % значений из нормального распределения находятся на расстоянии не более одного стандартного отклонения ''σ'' от среднего; около 95 % значений лежат расстоянии не более двух стандартных отклонений; и 99,7 % не более трёх. Этот факт является частным случаем ''правила 3 сигм'' для нормальной выборки.

Более точно, вероятность получить нормальное число в интервале между <math>\mu-n\sigma</math> и <math>\mu+n\sigma</math> равна:

: <math>F(\mu+n\sigma) - F(\mu-n\sigma) =</math>
:: <math>\Phi(n)-\Phi(-n) = \operatorname{erf} \left(\frac{n}{\sqrt{2}}\right).</math>

С точностью до 12 значащих цифр значения для <math>n=1,2,\ldots , 6</math> приведены в таблице<ref>{{cite web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5B{N(Erf(n/Sqrt(2)),+12),+N(1-Erf(n/Sqrt(2)),+12),+N(1/(1-Erf(n/Sqrt(2))),+12)},+{n,1,6}%5D |title=Wolfram&#124;Alpha: Computational Knowledge Engine |website=Wolframalpha.com |date= |accessdate=2017-03-03}}</ref>:
{| class="wikitable" style="text-align:center;margin-left:24pt"
|- "
! <math>n</math> !! <math>p= F(\mu+n\sigma) - F(\mu-n\sigma)</math> !! <math>1-p</math>!! <math>\frac{1}{1-p}</math> !! [[Энциклопедия целочисленных последовательностей|OEIS]]
|-
|1 || 0,682689492137 || 0,317310507863 ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | 3,15148718753
|}
|| {{OEIS2C|A178647}}
|-
|2 || 0,954499736104 || 0,045500263896 ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | 21,9778945080
|}
|| {{OEIS2C|A110894}}
|-
|3 || 0,997300203937 || 0,002699796063 ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | 370,398347345
|}
|| {{OEIS2C|A270712}}
|-
|4 || 0,999936657516 || 0,000063342484 ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | 15787.1927673
|}
|-
|5 || 0,999999426697 || 0,000000573303 ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | 1744277,89362
|}
|-
|6 || 0,999999998027 || 0,000000001973 ||
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 16em;"
| style="text-align: right; width: 7em;" | 506797345,897
|}
|}

== Свойства ==

=== Моменты ===
[[Моменты случайной величины|Моментами и абсолютными моментами]] случайной величины <math>X</math> называются математические ожидания случайных величин <math>X^p</math> и <math>\left|X\right|^p,</math> соответственно. Если математическое ожидание случайной величины <math>\mu=0,</math> то эти параметры называются ''центральными моментами''. В большинстве случаев представляют интерес моменты для целых <math>p.</math>

Если <math>X</math> имеет нормальное распределение, то для неё существуют (конечные) моменты при всех <math>p</math> с действительной частью больше −1. Для неотрицательных целых <math>p</math> центральные моменты таковы:

: <math> 
   \mathbb{E}\left[X^p\right] =
      \begin{cases}
        0 & p=2n+1, \\
        \sigma^p\,\left( p-1 \right)!! & p=2n.
      \end{cases}
  </math>

Здесь <math>n</math> — натуральное число, а запись <math>(p-1)!!</math> означает [[двойной факториал]] числа <math>p-1,</math> то есть (поскольку <math>p-1</math> в данном случае нечётно) произведение всех нечётных чисел от{{nbsp|1}}{{math|1}} до <math>p-1.</math>

Центральные абсолютные моменты для неотрицательных целых <math>p</math> таковы:

: <math>
    \mathbb{E}\left[\left|X\right|^p\right] =
      \sigma^p\,\left(p-1\right)!! \cdot \left.\begin{cases}
        \sqrt{\frac{2}{\pi}} & p=2n+1, \\
        1 & p=2n.
      \end{cases}\right\}
    = \sigma^p \cdot \frac{2^{\frac{p}{2}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}}.
  </math>

Последняя формула справедлива также для произвольных <math>p > -1</math>.

=== Преобразование Фурье и характеристическая функция ===
[[Преобразование Фурье]] нормальной плотности вероятности <math>f</math> с математическим ожиданием <math>\mu</math> стандартным отклонением <math>\sigma</math> равно<ref>{{harvtxt |Bryc |1995 |p=23 }}</ref>:

: <math>\hat f(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)e^{-itx} \, dx = e^{i\mu t- \frac12\sigma^2 t^2},</math>

: где <math>i</math> есть [[мнимая единица]].

Если математическое ожидание <math>\mu=0,</math> то первый множитель равен 1, и преобразование Фурье, с точностью до константы есть нормальная плотность вероятности на частотных интервалах, с математическим ожиданием равным 0 и стандартным отклонением <math>1/\sigma.</math> В частности, стандартное нормальное распределение <math>\varphi</math> есть [[собственная функция]] от преобразования Фурье.

В теории вероятности, преобразование Фурье плотности распределения действительной случайной величины <math>X</math> близко связано с [[характеристическая функция случайной величины|характеристической функцией]] <math>\varphi_X(t)</math> этой величины, которая определена как [[математическое ожидание]] от <math>e^{itX}</math> и является функцией вещественной переменной <math>t</math> (частотный параметр преобразования Фурье). Определение может быть распространено и на комплексную переменную <math>t</math><ref>{{harvtxt |Bryc |1995 |p=24 }}</ref>. Соотношение записывается так:

: <math>\varphi_X(t) = \hat f(-t).</math>

=== Бесконечная делимость ===
Нормальное распределение является [[Бесконечно делимое распределение|бесконечно делимым]].

Если случайные величины <math>X_1</math> и <math>X_2</math> независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями <math>\mu_1</math> и <math>\mu_2</math> и дисперсиями <math>\sigma_1^2</math> и <math>\sigma_2^2</math> соответственно, то <math>X_1+X_2</math> также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием <math>\mu_1+\mu_2</math> и дисперсией <math>\sigma_1^2+\sigma_2^2.</math>

Отсюда вытекает, что нормальная случайная величина представима как сумма произвольного числа независимых нормальных случайных величин.

=== Максимальная энтропия ===
Нормальное распределение имеет максимальную [[Дифференциальная энтропия|дифференциальную энтропию]] среди всех непрерывных распределений, дисперсия которых не превышает заданную величину<ref>{{книга |год=2006 |заглавие=Elements of Information Theory |издательство=[[John Wiley & Sons|John Wiley and Sons]] |страницы=254 |ref=Cover |автор=Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Maximum Entropy Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model |издание={{Нп3|Journal of Econometrics}} |страницы=219—230 |издательство=Elsevier |ссылка=http://www.wise.xmu.edu.cn/Master/Download/..%5C..%5CUploadFiles%5Cpaper-masterdownload%5C2009519932327055475115776.pdf |accessdate=2011-06-02 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160307144515/http://wise.xmu.edu.cn/uploadfiles/paper-masterdownload/2009519932327055475115776.pdf |archivedate=2016-03-07 |deadlink=yes |язык=en |тип=journal |автор=Park, Sung Y.; Bera, Anil K. |год=2009}}</ref>.

=== Правило трёх сигм для гауссовской случайной величины ===
{{Основная статья|Правило трёх сигм}}
[[Файл:standard deviation diagram (decimal comma).svg|325px|thumb|График [[Плотность вероятности|плотности вероятности]] нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.]]
'''Правило трёх сигм''' (<math>3\sigma</math>) — практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале:

: <math>\left(\mu-3\sigma;\mu+3\sigma\right),</math>

: где <math>\mu=\mathbb{E}\xi</math> — математическое ожидание и параметр нормальной случайной величины.

Более точно — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале.

== Моделирование нормальных псевдослучайных величин ==
При компьютерном моделировании, особенно при применении [[Метод Монте-Карло|метода Монте-Карло]], желательно использовать величины, распределенные по нормальному закону. Многие алгоритмы дают стандартные нормальные величины, так как нормальную величину <math>X \sim N(\mu, \sigma^2)</math> можно получить как:

: <math>X = \mu + \sigma Z,</math>

: где Z — стандартная нормальная величина.

Алгоритмы также используют различные преобразования равномерных величин.
Простейшие приближённые методы моделирования основываются на [[центральная предельная теорема|центральной предельной теореме]]. Если сложить достаточно большое количество независимых одинаково распределённых величин с конечной [[Дисперсия случайной величины|дисперсией]], то сумма будет иметь распределение, близкое к нормальному. Например, если сложить {{num|100|независимых}} [[Непрерывное равномерное распределение|стандартно ''равномерно'' распределённых]] случайных величин, то распределение суммы будет приближённо ''нормальным''.

Для программного генерирования нормально распределённых псевдослучайных величин предпочтительнее использовать [[преобразование Бокса — Мюллера]]. Оно позволяет генерировать одну нормально распределённую величину на базе одной равномерно распределённой.

Также существует [[алгоритм Зиккурат]], который работает даже быстрее преобразования Бокса — Мюллера. Он сложнее в реализации, но его применение оправдано в случаях, когда требуется генерирование очень большого числа неравномерно распределённых случайных чисел.

== Нормальное распределение в природе и приложениях ==
Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:
* отклонение при стрельбе;
* [[Погрешность измерения|погрешности измерений]] (однако погрешности некоторых измерительных приборов имеют иное распределение);
* некоторые характеристики живых организмов в популяции.
Такое широкое распространение этого распределения связано с тем, что оно является [[Бесконечно делимое распределение|бесконечно делимым]] непрерывным распределением с конечной дисперсией. Поэтому к нему в пределе приближаются некоторые другие, например [[биномиальное распределение|биномиальное]] и [[Распределение Пуассона|пуассоновское]]. Этим распределением моделируются многие недетерминированные физические процессы<ref>{{книга|автор=[[Талеб, Нассим Николас|Талеб Н. Н.]]|заглавие=[[Чёрный лебедь. Под знаком непредсказуемости]] |оригинал=The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable|издательство=КоЛибри|год=2012|страниц=525|isbn=978-5-389-00573-0}}</ref>.

[[Многомерное нормальное распределение]] используется при исследовании многомерных случайных величин (случайных векторов). Одним из многочисленных примеров таких приложений является исследование параметров личности человека в [[Психология|психологии]] и [[Психиатрия|психиатрии]].

== Связь с другими распределениями ==
* Нормальное распределение является [[распределение Пирсона|распределением Пирсона]] типа XI{{sfn|Королюк|с=135|1985}}.
* Отношение пары независимых стандартных нормально распределенных случайных величин имеет [[распределение Коши]]<ref>{{публикация |1=статья |автор=Галкин{{nbsp}}В.{{nbsp}}М., Ерофеева{{nbsp}}Л.{{nbsp}}Н., Лещева{{nbsp}}С.{{nbsp}}В. |заглавие=Оценки параметра распределения Коши |ссылка=http://www.nntu.ru/trudy/2014/02/314-319.pdf |оригинал= |вид= |соавторы= |ответственный= |издание=Труды [[Нижегородский государственный технический университет имени Р. Е. Алексеева|Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева]] |издание ответственный= |тип= |год=2014 |месяц= |день= |номер=2(104) |том= |выпуск= |страницы=314—319 |язык= |issn= |удк=513.015.2 |ref= |архив дата=2017-07-30 |архив=https://web.archive.org/web/20170730110151/http://www.nntu.ru/trudy/2014/02/314-319.pdf }}</ref>. То есть, если случайная величина <math>X</math> представляет собой отношение <math>X = Y/Z</math> (где <math>Y</math> и <math>Z</math> — независимые стандартные нормальные случайные величины), то она будет обладать распределением Коши.
* Если <math>z_1, \ldots, z_k</math> — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть <math>z_i \sim N \left( 0, 1 \right),</math> то случайная величина <math>x = z_1^2 + \ldots + z_k^2</math> имеет [[распределение хи-квадрат]] с {{math|<var>k</var>}}{{nbsp}}степенями свободы.
* Если случайная величина <math>X</math> подчинена [[Логнормальное распределение|логнормальному распределению]], то её натуральный логарифм имеет нормальное распределение. То есть, если <math>X \sim \mathrm{LogN} \left( \mu, \sigma^2 \right),</math> то <math>Y = \ln \left( X \right) \sim \mathrm{N} \left( \mu, \sigma^2 \right).</math> И наоборот, если <math>Y \sim \mathrm{N} \left( \mu, \sigma^2 \right),</math> то <math>X = \exp \left( Y \right) \sim \mathrm{LogN} \left( \mu, \sigma^2 \right).</math>
* Если <math>X_1, X_2, ..., X_n</math> независимые нормально распределенные случайные величины с математическими ожиданиями <math>\mu</math> и дисперсиями <math>\sigma^2,</math> то их [[выборочное среднее]] независимо от выборочного [[стандартное отклонение|стандартного отклонения]]<ref>{{статья |заглавие=A Characterization of the Normal Distribution |издание={{Нп3|Annals of Mathematical Statistics|The Annals of Mathematical Statistics||Annals of Mathematical Statistics}} |issn=0003-4851 |том=13 |номер=1 |страницы=91—3 |jstor=2236166 |doi=10.1214/aoms/1177731647 |язык=en |автор=Lukacs, Eugene |год=1942 |тип=journal}}</ref>, а отношение следующих двух величин будет иметь [[t-распределение]] с <math>\text{n}-1</math>степенями свободы:
: <math>t = \frac{\overline X - \mu}{S/\sqrt{n}} = \frac{\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n) - \mu}{\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\left[(X_1-\overline X)^2+\cdots+(X_n-\overline X)^2\right]}} \sim t_{n-1}.</math>
* Если <math>X_1, X_2, ..., X_n,</math> <math>Y_1, Y_2, ..., Y_n</math> независимые стандартные нормальные случайные величины, то отношение нормированных сумм квадратов будет иметь [[распределение Фишера]] с (<math>\text{n},</math> <math>\text{m}</math>) степенями свободы<ref>{{книга |заглавие=Testing Statistical Hypotheses |ссылка=https://archive.org/details/testingstatistic0000lehm_a7b0 |издание=2nd |издательство={{Нп3|Springer Publishing|Springer|en|Springer Publishing}} |год=1997 |isbn=978-0-387-94919-2 |страницы=[https://archive.org/details/testingstatistic0000lehm_a7b0/page/199 199] |ref=Lehmann |автор={{нп4|Леман, Эрих Лео|Lehmann, E. L.||Erich Leo Lehmann}} }}</ref>:
: <math>F = \frac{\left(X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2\right)/n}{\left(Y_1^2+Y_2^2+\cdots+Y_m^2\right)/m} \sim F_{n,m}.</math>
* Отношение квадратов двух стандартных нормальных случайных величин имеет [[распределение Фишера]] со степенями свободы <math>\left( 1, 1 \right).</math>

== История ==
Впервые нормальное распределение как предел биномиального распределения при <math>p = \tfrac{1}{2}</math> появилось в 1738 году во втором издании работы [[Муавр, Абрахам де|Муавра]] {{iw|Доктрина случайностей|«Доктрина случайностей»|en|The Doctrine of Chances}}<ref>The doctrine of chances; or, a method of calculating the probability of events in play, L., 1718, 1738, 1756; L., 1967 (репродуцир. изд.); Miscellanea analytica de scriebus et quadraturis, L., 1730.</ref>. Это было первое доказательство частного случая [[Центральная предельная теорема|центральной предельной теоремы]]. В 1809 году Гаусс в сочинении «Теория движения небесных тел» ввёл это распределение как возникающее в результате многократных измерений движения небесных тел. Однако Гаусс вывел формулу для действительных случайных величин из принципа достижения максимума совместной плотности всех измерений в точке с координатами, равными среднему всех измерений. Этот принцип впоследствии подвергался критике. В 1812 году Лаплас в [[Локальная теорема Муавра — Лапласа|теореме Муавра — Лапласа]] обобщил результат Муавра для произвольного биномиального распределения, то есть для сумм одинаково распределённых независимых бинарных величин<ref name="ReferenceA"/>.

== См. также ==
* [[Аддитивный белый гауссовский шум]]
* [[Логнормальное распределение]]
* [[Равномерное распределение]]
* [[Центральная предельная теорема]]
* [[Двумерное нормальное распределение]]
* [[Многомерное нормальное распределение]]
* [[Распределение хи-квадрат]]
* [[Статистический критерий]]
* [[Частотное распределение]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Королюк, Владимир Семёнович|Королюк{{nbsp}}В.{{nbsp}}С.]], [[Портенко, Николай Иванович|Портенко{{nbsp}}Н.{{nbsp}}И.]], [[Скороход, Анатолий Владимирович|Скороход{{nbsp}}А.{{nbsp}}В.]], [[Турбин, Анатолий Федорович|Турбин{{nbsp}}А.{{nbsp}}Ф.]] |заглавие=Справочник по теории вероятностей и математической статистике |место=М. |издательство=Наука |год=1985 |страниц=640 |ref=Королюк}}
* {{статья|заглавие=Recommended Standards for Statistical Symbols and Notation. COPSS Committee on Symbols and Notation|издание={{Нп3|The American Statistician}}|число=|том=19|номер=3|страницы=12—14|issn=|doi=10.2307/2681417|jstor=2681417|ссылка=|ref=Halperin, Hartley & Hoel|язык=en|тип=journal|месяц=|автор=Halperin, Max; Hartley, Herman O.; Hoel, Paul G.|год=1965}}
* {{книга |заглавие=Statistics in Scientific Investigation: Its Basis, Application and Interpretation |ссылка=https://archive.org/details/statisticsinscie0000mcph |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |год=1990 |isbn=978-0-387-97137-7 |ref=McPherson |язык=en |автор=McPherson, Glen}}
* {{книга |заглавие=The Normal Distribution: Characterizations with Applications |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |год=1995 |isbn=978-0-387-97990-8 |ref=Bryc |язык=en |автор=Bryc, Wlodzimierz}}

== Ссылки ==
* [http://risktheory.novosyolov.com/distr_tab_normal.htm Таблица значений функции стандартного нормального распределения]
* [http://k-tree.ru/tools/statistics/normal.php Онлайн расчёт вероятности нормального распределения]

{{вс}}
{{Список вероятностных распределений}}
{{перевести|en|Normal distribution}}
{{Нет источников |дата=2024-10-20}}

[[Категория:Непрерывные распределения]]
[[Категория:Карл Фридрих Гаусс]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса]]