Просмотр кода страницы Нётеров модуль

'''Нётеров мо́дуль''' — это [[Модуль над кольцом|модуль]], в котором выполняется [[условие обрыва возрастающих цепей]] для его [[подмодуль|подмодулей]], упорядоченных по отношению включения.

Исторически, [[Гильберт, Давид|Гильберт]] был первым математиком, исследовавшим свойства конечнопорождённости подмодулей. В частности, он доказал [[теорема Гильберта о базисе|теорему Гильберта о базисе]], согласно которой любой идеал в кольце многочленов от нескольких переменных является конечнопорождённым (это свойство эквивалентно нётеровости). Однако, [[нётеровость|свойство нётеровости]] было названо в честь [[Нётер, Эмми|Эмми Нётер]], которая первой осознала степень его важности.

== Эквивалентные определения и свойства ==
Существует несколько эквивалентных определений нётерова модуля:
* Любая последовательность подмодулей вида <math>M_1\subsetneq M_2\subsetneq M_3\subsetneq \ldots \qquad (1)</math> стабилизируется, то есть начиная с некоторого <math>n, \; M_n=M_{n+1}=\ldots .</math>
* В любом непустом множестве подмодулей ''M'' существует [[частично упорядоченное множество#Минимальный/максимальный и наименьший/наибольший элементы|максимальный элемент]]. Данное условие эквивалентно первому для любого частично упорядоченного множества (доказательство использует [[аксиома выбора|аксиому выбора]]).
* Каждый подмодуль модуля ''M'' является [[конечнопорождённый модуль|конечнопорождённым]].

Последнее определение особенно полезно, и доказательство его эквивалентности исходному определению элементарно:

# Если модуль удовлетворяет свойству из последнего определения, то он удовлетворяет и свойству из первого. В самом деле, если любой подмодуль конечно порожден, то взяв модуль, являющийся объединением всех подмодулей цепи (1) имеем, что он порожден, скажем, элементами <math>x_1,x_2, \ldots x_n</math>. Тогда существует некоторый элемент цепочки <math>M_k</math>, содержащий эти ''x''<sub>''i''</sub> и поэтому равный объединению всех ''M<sub>i</sub>''. Отсюда <math>M_k=M_{k+1}=M_{k+2}=\ldots</math>
# Обратно, если ''М'' над кольцом ''A'' удовлетворяет свойству из первого определения (эквивалентно, из второго определения) и ''N'' — его подмодуль, то во множестве всех конечнопорождённых подмодулей модуля ''N'' существует максимальный подмодуль <math>N'\subset N</math>. Если <math>N'\neq N,</math> то взяв элемент <math>x\in N/N'</math> и построив модуль <math>N+Ax</math> (или <math>N+xA</math> в некоммутативном случае для правого модуля) мы построим больший конечнопорождённый модуль против предположения. Следовательно, ''N'' конечно порождён.

Пусть <math>M</math> — некоторый модуль и <math>N</math> — его подмодуль. <math>M</math> является нётеровым тогда и только тогда, когда <math>N</math> '''и''' <math>M/N</math> являются нётеровыми.

== Примеры ==
* [[Целое число|Целые числа]], рассматриваемые как модуль на кольцом целых чисел, являются нётеровым модулем.
* Пусть <math>R=M_n(K)</math> — полное [[кольцо матриц]] над произвольным [[поле (алгебра)|полем]] <math>K</math> и <math>M</math> — множество векторов-столбцов над этим полем, то <math>M</math> можно сделать модулем над <math>R,</math> задав умножение элемента модуля на элемент кольца как умножение столбца на матрицу. Тогда <math>M</math> является нётеровым модулем.
* Каждый модуль, являющийся конечным множеством, нётеров.
* Каждый конечнопорождённый правый модуль над правым нётеровым кольцом нётеров (см. определение ниже).

== Связь с другими структурами ==

[[Ассоциативность (математика)|Ассоциативное]] [[Кольцо (алгебра)|кольцо]] с единицей называется [[Нётерово кольцо|нётеровым]], если оно является нётеровым модулем над самим собой, то есть удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для [[Идеал (алгебра)|идеалов]]. В [[Коммутативность|некоммутативном]] случае выделяют левые нётеровы и правые нётеровы кольца, если же кольцо является нётеровым слева и нётеровым справа, его называют просто нётеровым.

Условие нётеровости может быть определено также для [[бимодуль|бимодулей]]: бимодуль называется нётеровым, если он удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для своих подбимодулей. Может случиться, что бимодуль является нётеровым, тогда как структуры левого и правого модуля на нём не являются нётеровыми.

== См. также ==
* [[Артинов модуль]]

== Литература ==

* [[Атья, Майкл|Атья М.]], [[Макдональд, Иэн (математик)|Макдональд И.]] Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972
* Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
* Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968

[[Категория:Модули над кольцами]]