Просмотр кода страницы Однородная мозаика

'''Однородная мозаика''' — [[Вершинная транзитивность|вершинно транзитивная]] [[Паркет (геометрия)|мозаика]] на плоскости с [[Правильный многоугольник|правильными многоугольными]] гранями.

Однородная мозаика может существовать как на [[Двумерное пространство|евклидовой плоскости]], так и на [[Гиперболическое пространство|гиперболической плоскости]]. Однородные мозаики связаны с конечными [[Однородный многогранник|однородными многогранниками]], которые можно считать однородными замощениями [[Сфера|сферы]].

Большинство однородных мозаик могут быть получены [[Построение Витхоффа|построением Витхоффа]] с помощью [[Группы симметрии|симметрии]], начиная с одной генерирующей точки внутри [[Фундаментальная область|фундаментальной области]]. Группа симметрии на плоскости имеет многоугольную [[Фундаментальная область|фундаментальную область]] и может быть представлена порядком зеркал в последовательности вершин.

Треугольная фундаментальная область имеет порядки зеркал (''p'' ''q'' ''r''), а прямоугольная треугольная область — (''p'' ''q'' 2), где ''p'', ''q'', ''r'' — целые числа, большие единицы. Треугольник может быть [[Сферическая тригонометрия|сферическим треугольником]], евклидовым треугольником или треугольником на гиперболической плоскости, что зависит от значений ''p'', ''q'' и ''r''.

Существует несколько символических схем для именования полученных фигур, начиная с модифицированного [[Символ Шлефли|символа Шлефли]] для фундаментальной области в виде прямоугольного треугольника (''p'' ''q'' 2) → {''p'', ''q''}. [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера — Дынкина]] является графом с помеченными значениями ''p'', ''q'', ''r'' рёбрами. Если ''r'' = 2, граф линеен, поскольку узлы порядка 2 не образуют отражений. {{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}} использует 3 целых числа с разделительной вертикальной чертой между ними (|). Если генерирующая точка не находится на зеркале, символ вершины, противоположной зеркалу, помещается до вертикальной черты.

Наконец, мозаики можно описать с помощью их [[Вершинная конфигурация|вершинной конфигурации]], то есть последовательности многоугольников вокруг каждой вершины.

Все однородные мозаики можно построить с помощью различных операций, применённых к [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости#Правильные мозаики|правильным мозаикам]]. Имена этим операциям дал американский математик [[Джонсон, Норман|Норман Джонсон]], это '''truncation''' ([[Усечение (геометрия)|усечение]], отрезание вершин), '''rectification''' ([[Полное усечение (геометрия)|полное усечение]], отрезание вершин до полного исчезновения исходных рёбер) и '''cantellation''' ([[Скашивание (геометрия)|скашивание]], срезание рёбер). '''Omnitruncation''' ({{не переведено 5|всеусечение|||Omnitruncation}}) — это операция, комбинирующая усечение и скашивание. '''Snubbing''' (отрезание носов) — это операция [[Альтернирование|альтернированного усечения]] всеусечённых форм. (См. [[Однородный многогранник|Операторы построения Витхоффа]] для подробного объяснения операций.)

== Группы Коксетера ==
[[Группа Коксетера|Группы Коксетера]] на плоскости определяют построение Витхоффа и могут быть представлены [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграммами Коксетера — Дынкина]]:

Для групп с целым числовым порядком:

{| class=wikitable
|+ Евклидова плоскость
|-
!{{не переведено 5|Орбифолдная нотация|Орбифолдная<br>симметрия||Orbifold notation}}
!colspan=3|[[Группа Коксетера]]
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма<br>Коксетера]]
!Примечания
|-
! colspan=6 | Компактные
|- valign=top align=center
| *333
| (3 3 3)
| <math>{\tilde{A}}_2</math>
| [3<sup>[3]</sup>]
| {{CDD|node|split1|branch}}
| 3 зеркальные формы, 1 плосконосая
|- valign=top align=center
| *442
| (4 4 2)
| <math>{\tilde{B}}_2</math>
| [4,4]
| {{CDD|node|4|node|4|node}}
| 5 зеркальных форм, 1 плосконосая
|- valign=top align=center
| *632
| (6 3 2)
| <math>{\tilde{G}}_2</math>
| [6,3]
| {{CDD|node|6|node|3|node}}
| 7 зеркальных форм, 1 плосконосая
|- valign=top align=center
| *2222
| (∞ 2 ∞ 2)
| <math>{\tilde{I}}_1</math> × <math>{\tilde{I}}_1</math>
| [∞,2,∞]
| {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}
| 3 зеркальные формы, 1 плосконосая
|-
! colspan=6 | Некомпактные ([[Группа бордюра|бордюр]])
|- align=center
| *∞∞
| (∞)
| <math>{\tilde{I}}_1</math>
| [∞]
| {{CDD|node|infin|node}}
|
|- align=center
| *22∞
| (2 2 ∞)
| <math>{\tilde{I}}_1</math> × <math>{\tilde{A}}_2</math>
| [∞,2]
| {{CDD|node|infin|node|2|node}}
| 2 зеркальные формы, 1 плосконосая
|}

{| class=wikitable
|+ Гиперболическая плоскость
|-
!{{не переведено 5|Орбифолдная нотация|Орбифолдная<br>симметрия||Orbifold notation}}
!colspan=2|[[Группа Коксетера]]
! [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма<br>Коксетера]]
!Примечания
|-
! colspan=5 | Компактные
|- valign=top align=center
| *pq2
| (p q 2)
| [p, q]
| {{CDD|node|p|node|q|node}}
| 2(p+q) < pq
|- valign=top align=center
| *pqr
| (p q r)
| [(p, q,r)]
| {{CDD|3|node|p|node|q|node|r}}
| pq+pr+qr < pqr
|-
! colspan=5 |Паракомпактные
|- align=center
| *∞p2
| (p ∞ 2)
| [p,∞]
| {{CDD|node|p|node|infin|node}}|| p>=3
|- align=center
| *∞pq
| (p q ∞)
| [(p, q,∞)]
| {{CDD|3|node|p|node|q|node|infin}}|| p, q>=3, p+q>6
|- align=center
| *∞∞p
| (p ∞ ∞)
| [(p,∞,∞)]
| {{CDD|3|node|p|node|infin|node|infin}}|| p>=3
|- align=center
| *∞∞∞
| (∞ ∞ ∞)
| [(∞,∞,∞)]
| {{CDD|3|node|infin|node|infin|node|infin}}||
|}

== Однородные мозаики на евклидовой плоскости ==
{{details| Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости}}

Имеются группы симметрии на евклидовой плоскости, получающиеся из фундаментальных треугольников (4 4 2), (6 3 2) и (3 3 3). Каждая из них представляется набором прямых (зеркал), делящих плоскость на фундаментальные треугольники.

Эти группы симметрии создают 3 [[Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости|правильных мозаики]] и 7 полуправильных. Число полуправильных мозаик повторяется при различных конструкциях симметрии.

Призматическая группа симметрии, представленная символом (2 2 2 2), задаётся двумя наборами параллельных зеркал, что, в общем случае, может иметь прямоугольную фундаментальную область. Группа не образует новых мозаик.

Далее — призматическая группа симметрии, представленная символом (∞ 2 2), имеет бесконечную фундаментальную область. Группа даёт две однородные мозаики, {{не переведено 5|Апейрогональная призма|бесконечноугольную призму||apeirogonal prism}} и {{не переведено 5|Апейрогональная антипризма|бесконечноугольную антипризму||apeirogonal antiprism}}.

При совмещении конечных граней этих двух призматических мозаик получим [[Построение Витхоффа|невитхоффову]] однородную мозаику на плоскости. Она называется {{не переведено 5|Изокурносый треугольный паркет|изокурносым треугольным паркетом||elongated triangular tiling}} и состоит из поочерёдных слоёв квадратов и треугольников.

'''Прямоугольный фундаментальный треугольник (''p'' ''q'' 2)'''
{| class="wikitable"
|-
!(''p'' ''q'' 2)
!Фунд.<br>треугольники
!Родитель
!Усеченная
!Полностью усечённая
!Биусечённая
!Полностью биусечённая<br>(двойственная)
!Скошенная
!Всеусечённая
!Плосконосая
|-
![[Построение Витхоффа|Символ Витхоффа]]
!
! ''q'' &#124; ''p'' 2
! 2 ''q'' &#124; ''p''
! 2 &#124; ''p'' ''q''
! 2 ''p'' &#124; ''q''
! ''p'' &#124; ''q'' 2
! ''p'' ''q'' &#124; 2
! ''p'' ''q'' 2 &#124;
! &#124; ''p'' ''q'' 2
|-
![[Символ Шлефли]]
!
!''t''{''p'',''q''}
!''t''{''p'',''q''}
!r{p, q}
!2t{p, q}=t{q, p}
!2r{p, q}={q, p}
!rr{p, q}
!tr{p, q}
!sr{p, q}
|-
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]
!
!{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|-
![[Вершинная конфигурация|Вершинная фигура]]
!
!p<sup>q</sup>
!q.2p.2p
!(p.q)<sup>2</sup>
!p. 2q.2q
!q<sup>p</sup>
!p. 4.q.4
!4.2p.2q
!3.3.p. 3.q
|- align=center
|[[Квадратный паркет|Квадратная мозаика]]<br>(4 4 2)
|[[Файл:Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square-2-color-zoom.svg|64px]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t0.svg|64px]]<br>[[Квадратный паркет|{4,4}]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t01.png|64px]]<br>[[Усечённая квадратная мозаика|4.8.8]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t1.png|64px]]<br>[[Квадратный паркет|4.4.4.4]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t12.png|64px]]<br>[[Усечённая квадратная мозаика|4.8.8]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t2.png|64px]]<br>[[Квадратный паркет|{4,4}]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t02.svg|64px]]<br>[[Квадратный паркет|4.4.4.4]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-t012.png|64px]]<br>[[Усечённая квадратная мозаика|4.8.8]]
|[[Файл:Uniform tiling 44-snub.svg|64px]]<br>[[Плосконосая квадратная мозаика|3.3.4.3.4]]
|-align=center
|[[Шестиугольный паркет|Шестиугольная<br>мозаика (6 3 2)]]
|[[Файл:Tile V46b.svg|64px]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t0.svg|64px]]<br>[[Шестиугольный паркет|{6,3}]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t01.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Усечённая шестиугольная мозаика|3.12.12||Truncated hexagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 63-t1.png|64px]]<br>[[Тришестиугольная мозаика|3.6.3.6]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t12.svg|64px]]<br>[[Шестиугольный паркет|6.6.6]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t2-red.svg|64px]]<br>[[Треугольный паркет|{3,6}]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t02.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Малая ромботришестиугольная мозаика|3.4.6.4||Small rhombitrihexagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 63-t012.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Большая ромботришестиугольная мозаика|4.6.12||Great rhombitrihexagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 63-snub.png|65px]]<br>[[Плосконосая тришестиугольная мозаика|3.3.3.3.6]]
|}

'''Фундаментальные треугольники общего вида (p q r)'''
{| class="wikitable"
![[Построение Витхоффа|символ Витхоффа]]<br>(p q r)
!Фунд.<br>треугольники
! q &#124; p r
! r q &#124; p
! r &#124; p q
! r p &#124; q
! p &#124; q r
! p q &#124; r
! p q r &#124;
! &#124; p q r
|-
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]
!
!{{CDD|3|node_1|p|node|q|node|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|3|node|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|3|node|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_h|p|node_h|q|node_h|r}}
|-
![[Вершинная конфигурация]]
!
!(p.q)<sup>r</sup>
!r.2p.q.2p
!(p.r)<sup>q</sup>
!q.2r.p. 2r
!(q.r)<sup>p</sup>
!q.2r.p. 2r
!r.2q.p. 2q
!3.r.3.q.3.p
|-align=center
|Треугольная<br>(3 3 3)
|[[Файл:Tiling Regular 3-6 Triangular.svg|64px]]
|[[Файл:Uniform tiling 333-t0.png|64px]]<br>[[Треугольный паркет|(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-63-t1-1.svg|64px]]<br>[[Тришестиугольная мозаика|3.6.3.6]]
|[[Файл:Uniform tiling 333-t1.svg|64px]]<br>[[Треугольный паркет|(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[Файл:Uniform tiling 333-t12.svg|64px]]<br>[[Тришестиугольная мозаика|3.6.3.6]]
|[[Файл:Uniform tiling 333-t2.svg|64px]]<br>[[Треугольный паркет|(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[Файл:Uniform tiling 333-t02.svg|64px]]<br>[[Тришестиугольная мозаика|3.6.3.6]]
|[[Файл:Uniform tiling 333-t012.png|64px]]<br>[[Шестиугольный паркет|6.6.6]]
|[[Файл:Uniform tiling 333-snub.svg|64px]]<br>[[Треугольный паркет|3.3.3.3.3.3]]
|}

'''Несимплициальные фундаментальные области'''

Единственной возможной фундаментальной областью в евклидовом пространстве, не являющейся [[симплекс]]ом, является прямоугольник (∞ 2 ∞ 2) с [[Диаграммы Коксетера — Дынкина|диаграммой Коксетера]] {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}. Из этой области становятся получаются только [[Квадратный паркет|квадратные паркеты]].

== Однородные мозаики на гиперболической плоскости ==
{{details|Однородные мозаики на гиперболической плоскости }}

Существует бесконечно много однородных мозаик из выпуклых правильных многоугольников на [[Гиперболическое пространство|гиперболической плоскости]], каждая из которых основана на различных группах зеркальной симметрии (p q r).

Примеры, показанные здесь, даны в проекции на [[Модель Пуанкаре|диск Пуанкаре]].

[[Диаграммы Коксетера — Дынкина]] даны в линейной форме, хотя, на самом деле, это треугольники, в которых конечный сегмент r соединён с первым узлом.

Кроме того, на гиперболической плоскости существуют четырёхугольные фундаментальные области, начиная с (2 2 2 3), которые могут образовать новые формы. Также существуют фундаментальные области с вершинами на бесконечности, такие как (∞ 2 3).

'''Прямоугольные фундаментальные треугольники (''p'' ''q'' 2)'''
{| class="wikitable"
|-
!(p q 2)
!Фунд.<br>треугольники
!Родитель
!Усечённая
!Полностью усечённая
!Биусечённая
!Полностью биусечённая<br>(двойственная)
!Скошенная
!Всеусечённая
!Плосконосая
|-
![[Построение Витхоффа|Символ Витхоффа]]
!
! q &#124; p 2
! 2 q &#124; p
! 2 &#124; p q
! 2 p &#124; q
! p &#124; q 2
! p q &#124; 2
! p q 2 &#124;
! &#124; p q 2
|-
![[Символ Шлефли]]
!
!t{p, q}
!t{p, q}
!r{p, q}
!2t{p, q}=t{q, p}
!2r{p, q}={q, p}
!rr{p, q}
!tr{p, q}
!sr{p, q}
|-
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера — Дынкина]]
!
!{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|-
![[Вершинная конфигурация|Вершинная фигура]]
!
!p<sup>q</sup>
!(q.2p.2p)
!(p.q.p.q)
!(p. 2q.2q)
!q<sup>p</sup>
!(p. 4.q.4)
!(4.2p.2q)
!(3.3.p. 3.q)
|-
|(Гиперболическая плоскость)<br>(5 4 2)
|[[Файл:Order-4 bisected pentagonal tiling.png|72px]]<br>V4.8.10
|[[Файл:Uniform tiling 54-t0.png|64px]]<br>{5,4}
|[[Файл:Uniform tiling 54-t01.png|64px]]<br>4.10.10
|[[Файл:Uniform tiling 54-t1.png|64px]]<br>4.5.4.5
|[[Файл:Uniform tiling 54-t12.png|64px]]<br>5.8.8
|[[Файл:Uniform tiling 54-t2.png|64px]]<br>{4,5}
|[[Файл:Uniform tiling 54-t02.png|64px]]<br>4.4.5.4
|[[Файл:Uniform tiling 54-t012.png|64px]]<br>4.8.10
|[[Файл:Uniform tiling 54-snub.png|64px]]<br>3.3.4.3.5
|-
|(Гиперболическая плоскость)<br>(5 5 2)
|[[Файл:Order-5 bisected pentagonal tiling.png|72px]]<br>V4.10.10
|[[Файл:Uniform tiling 552-t0.png|64px]]<br>{5,5}
|[[Файл:Uniform tiling 552-t01.png|64px]]<br>5.10.10
|[[Файл:Uniform tiling 552-t1.png|64px]]<br>5.5.5.5
|[[Файл:Uniform tiling 552-t12.png|64px]]<br>5.10.10
|[[Файл:Uniform tiling 552-t2.png|64px]]<br>{5,5}
|[[Файл:Uniform tiling 552-t02.png|64px]]<br>5.4.5.4
|[[Файл:Uniform tiling 552-t012.png|64px]]<br>4.10.10
|[[Файл:Uniform tiling 552-snub.png|64px]]<br>3.3.5.3.5
|-
|(Гиперболическая плоскость)<br>(7 3 2)
|[[Файл:Order-3 heptakis heptagonal tiling.png|72px]]<br>V4.6.14
|[[Файл:Uniform tiling 73-t0.png|64px]]<br>[[Семиугольная мозаика|{7,3}]]
|[[Файл:Uniform tiling 73-t01.png|64px]]<br>3.14.14
|[[Файл:Uniform tiling 73-t1.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Трисемиугольная мозаика|3.7.3.7||Triheptagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 73-t12.png|64px]]<br>7.6.6
|[[Файл:Uniform tiling 73-t2.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Треугольная мозаика порядка 7|{3,7}||Order-7 triangular tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 73-t02.png|64px]]<br>3.4.7.4
|[[Файл:Uniform tiling 73-t012.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Большая ромботришестиугольная мозаика|4.6.14||Great rhombitriheptagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 73-snub.png|65px]]<br>3.3.3.3.7
|-
|(Гиперболическая плоскость)<br>(8 3 2)
|[[Файл:Order-3 octakis octagonal tiling.png|72px]]<br>V4.6.16
|[[Файл:Uniform tiling 83-t0.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Восьмиугольная мозаика|{8,3}||Order-3 octagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 83-t01.png|64px]]<br>3.16.16
|[[Файл:Uniform tiling 83-t1.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Тривосьмиугольная мозаика|3.8.3.8||Trioctagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 83-t12.png|64px]]<br>8.6.6
|[[Файл:Uniform tiling 83-t2.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Треугольная мозаика порядка 8|{3,8}||Order-8 triangular tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 83-t02.png|64px]]<br>3.4.8.4
|[[Файл:Uniform tiling 83-t012.png|64px]]<br>{{не переведено 5|Большая ромботривосьмиугольная мозаика|4.6.16||Great rhombitrioctagonal tiling}}
|[[Файл:Uniform tiling 83-snub.png|65px]]<br>3.3.3.3.8
|}

'''Фундаментальные треугольники (p q r) общего вида'''
{| class="wikitable"
![[Построение Витхоффа|Символ Витхоффа]]<br>(p q r)
!Фундам.<br>треугольники
! q &#124; p r
! r q &#124; p
! r &#124; p q
! r p &#124; q
! p &#124; q r
! p q &#124; r
! p q r &#124;
! &#124; p q r
|-
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера — Дынкина]]
!
!{{CDD|node_1|p|node|q|node|r}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h|r}}
|-
![[Вершинная конфигурация|Вершинная фигура]]
!
!(p.r)<sup>q</sup>
!(r.2p.q.2p)
!(p.q)<sup>r</sup>
!(q.2r.p. 2r)
!(q.r)<sup>p</sup>
!(r.2q.p. 2q)
!(2p.2q.2r)
!(3.r.3.q.3.p)
|-
|Гиперболические<br>(4 3 3)
|[[Файл:Uniform dual tiling 433-t012.png|72px]]<br>V6.6.8
|[[Файл:Uniform tiling 433-t0.png|64px]]<br>(3.4)<sup>3</sup>
|[[Файл:Uniform tiling 433-t01.png|64px]]<br>3.8.3.8
|[[Файл:Uniform tiling 433-t1.png|64px]]<br>(3.4)<sup>3</sup>
|[[Файл:Uniform tiling 433-t12.png|64px]]<br>3.6.4.6
|[[Файл:Uniform tiling 433-t2.png|64px]]<br>(3.3)<sup>4</sup>
|[[Файл:Uniform tiling 433-t02.png|64px]]<br>3.6.4.6
|[[Файл:Uniform tiling 433-t012.png|64px]]<br>6.6.8
|[[Файл:Uniform tiling 433-snub2.png|64px]]<br>3.3.3.3.3.4
|-
|Гиперболические <br>(4 4 3)
|[[Файл:Uniform dual tiling 443-t012.png|72px]]<br>V6.8.8
|[[Файл:Uniform tiling 443-t0.png|64px]]<br>(3.4)<sup>4</sup>
|[[Файл:Uniform tiling 443-t01.png|64px]]<br>3.8.4.8
|[[Файл:Uniform tiling 443-t1.png|64px]]<br>(4.4)<sup>3</sup>
|[[Файл:Uniform tiling 443-t12.png|64px]]<br>3.6.4.6
|[[Файл:Uniform tiling 443-t2.png|64px]]<br>(3.4)<sup>4</sup>
|[[Файл:Uniform tiling 443-t02.png|64px]]<br>4.6.4.6
|[[Файл:Uniform tiling 443-t012.png|64px]]<br>6.8.8
|[[Файл:Uniform tiling 443-snub1.png|64px]]<br>3.3.3.4.3.4
|-
|Гиперболические<br>(4 4 4)
|[[Файл:Uniform dual tiling 444-t012.png|72px]]<br>V8.8.8
|[[Файл:Uniform tiling 444-t0.png|64px]]<br>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Файл:Uniform tiling 444-t01.png|64px]]<br>4.8.4.8
|[[Файл:Uniform tiling 444-t1.png|64px]]<br>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Файл:Uniform tiling 444-t12.png|64px]]<br>4.8.4.8
|[[Файл:Uniform tiling 444-t2.png|64px]]<br>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Файл:Uniform tiling 444-t02.png|64px]]<br>4.8.4.8
|[[Файл:Uniform tiling 444-t012.png|64px]]<br>8.8.8
|[[Файл:Uniform tiling 444-snub.png|64px]]<br>3.4.3.4.3.4
|}

== Расширенный список однородных мозаик ==
Существует несколько путей расширения списка однородных мозаик:
# Вершинные фигуры могут иметь вырожденные грани и оборачиваться вокруг вершины более одного раза.
# Можно включить мозаики со [[Звёздчатый многоугольник|звёздчатыми многоугольниками]].
# В качестве граней мозаик могут использоваться [[апейрогон]]ы, {∞}.
# Может быть отброшено ограничение, что грани мозаики соприкасаются ребро-к-ребру, что даёт дополнительные мозаики, такие как [[пифагорова мозаика]].

Треугольники групп симметрии с вырожденными гранями включают:
: (4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)
Треугольники групп симметрии с бесконечностями включают:
: (4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)

[[Грюнбаум, Бранко|Бранко Грюнбаум]] в книге 1987 года ''Tilings and patterns'' (Мозаики и узоры) в секции 12.3 приводит список 25 однородных мозаик, включающих 11 выпуклых и ещё 14, которые он называет ''мозаиками с впадинами''. Среди последних включены первые две расширенные мозаики, указанные выше, мозаики со звёздчатыми многоугольными гранями и вершинными фигурами.

[[Коксетер, Гарольд|Гарольд Коксетер]] и др. в статье 1954 года 'Uniform polyhedra' (Однородные многогранники) в ''Таблице 8 '''Однородные замощения''''' указывает первые три расширения и приводит список из 38 однородных мозаик.

Наконец, если считать мозаики с 2 бесконечноугольниками, можно насчитать, в общей сложности, 39 однородных мозаик.

[[Файл:Six uniform tiling vertex figures.png|320px|thumb|[[Вершинная фигура|Вершинные фигуры]] для шести мозаик с выпуклыми [[Правильный многоугольник|правильными многоугольниками]] и [[Апейрогон|бесконечноугольными]] гранями. ({{не переведено 5|символ Витхоффа|||Wythoff symbol}} указан красным цветом)]]
7 новых мозаик с {∞} гранями с [[Вершинная фигура|вершинными фигурами]] и {{не переведено 5|Символ Витхоффа|символами Витхоффа||Wythoff symbol}}:
# ∞.∞ (две грани в виде полуплоскостей, бесконечный [[диэдр]])
# 4.4.∞ — '''∞ 2 | 2''' ({{не переведено 5|бесконечноугольная призма|||Apeirogonal prism}})
# 3.3.3.∞ — '''| 2 2 ∞''' ({{не переведено 5|бесконечноугольная антипризма|||Apeirogonal antiprism}})
# 4.∞.4/3.∞ — '''4/3 4 | ∞''' (альтернированный квадратный паркет)
# 3.∞.3.∞.3.∞ — '''3/2 | 3 ∞''' (альтернированный треугольный паркет)
# 6.∞.6/5.∞ — '''6/5 6 | ∞''' (альтернированная тришестиугольная мозаика, только с шестиугольниками)
# ∞.3.∞.3/2 — '''3/2 3 | ∞''' (альтернированная тришестиугольная мозаика, только с треугольниками)

Оставшийся список включает 21 мозаику с 7 {∞} гранями (бесконечноугольники). Если нарисовать мозаики как графы, останется только 14 уникальных мозаик, и первая идентична мозаике ''3.4.6.4''.
[[Файл:Twenty one uniform tiling vertex figures.png|320px|thumb|Вершинные фигуры 21 однородной мозаики.]]
21 мозаик, сгруппированных по общим графам с указанием вершинной фигуры и символа Витхоффа:
{| class=wikitable
!Тип
!Вершинная<br>конфигурация
!Символ Витхоффа
|- align=center
!rowspan=2|1
||3/2.12.6.12|| '''3/2 6 &#124; 6'''
|- align=center
||4.12.4/3.12/11 || '''2 6 (3/2 3) &#124;'''
|- align=center
!rowspan=3|2
|| 8/3.4.8/3.∞ || '''4 ∞ &#124; 4/3'''
|- align=center
|| 8/3.8.8/5.8/7 || '''4/3 4 (2 ∞) &#124;'''
|- align=center
|| 8.4/3.8.∞ || '''4/3 ∞ &#124; 4'''
|- align=center
!rowspan=3|3
|| 12/5.6.12/5.∞ || '''6 ∞ &#124; 6/5'''
|- align=center
|| 12/5.12.12/7.12/11 || '''6/5 6 (3 ∞) &#124;'''
|- align=center
|| 12.6/5.12.∞ || '''6/5 ∞ &#124; 6'''
|- align=center
!rowspan=3|4
|| 12/5.3.12/5.6/5 || '''3 6 &#124; 6/5'''
|- align=center
|| 12/5.4.12/7.4/3 || '''2 6/5 (3/2 3) &#124;'''
|- align=center
|| 4.3/2.4.6/5 || '''3/2 6 &#124; 2'''
|- align=center
!5
|| 8.8/3.∞ || '''4/3 4 ∞ &#124;'''
|- align=center
!6
|| 12.12/5.∞ || '''6/5 6 ∞ &#124;'''
|- align=center
!7
|| 8.4/3.8/5 || 2 '''4/3 4 &#124;'''
|- align=center
!8
|| 6.4/3.12/7 || '''2 3 6/5 &#124;'''
|- align=center
!9
|| 12.6/5.12/7 || '''3 6/5 6 &#124;'''
|- align=center
!10
|| 4.8/5.8/5 || '''2 4 &#124; 4/3'''
|- align=center
!11
|| 12/5.12/5.3/2 || '''2 3 &#124; 6/5'''
|- align=center
!12
|| 4.4.3/2.3/2.3/2 || [[Построение Витхоффа|невитхоффова]]
|- align=center
!13
|| 4.3/2.4.3/2.3/2 || '''&#124; 2 4/3 4/3''' (плосконосая)
|- align=center
!14
|| 3.4.3.4/3.3.∞ || '''&#124; 4/3 4 ∞''' (плосконосая)
|}

== Самодвойственные мозаики ==
 [[Файл:Self-dual square tiling.png|right|The {4,4} [[Квадратный паркет]] (чёрный) с двойственной ему мозакой (красная).]]

Мозаики могут быть '''самодвойственными'''. Квадратный паркет с [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {4,4} является самодвойственным. На рисунке показаны два квадратных паркета (красный и чёрный), двойственных друг другу.

== См. также ==
* {{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}}
* {{не переведено 5|Список однородных мозаик|||List of uniform tilings}}
* [[Однородные мозаики на гиперболической плоскости]]
* [[Однородный многогранник]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* [[Джонсон, Норман|Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** [[Джонсон, Норман|N.W. Johnson]]: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
* {{книга
|заглавие=Tilings and Patterns
|ссылка=https://archive.org/details/isbn_0716711931
|издательство={{Нп3|W. H. Freeman and Company}}
|год=1987
|isbn=0-7167-1193-1
|язык=und
|автор=[[Грюнбаум, Бранко|Grünbaum, Branko]], G.C. Shephard
}} (Star tilings section 12.3)
* [[Коксетер, Гарольд|H. S. M. Coxeter]], M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, ''Uniform polyhedra'', '''Phil. Trans.''' 1954, 246 A, 401-50 [[JSTOR]]: [http://links.jstor.org/sici?sici=0080-4614%2819540513%29246%3A916%3C401%3AUP%3E2.0.CO%3B2-4] (Table 8)

== Ссылки ==
* {{MathWorld | urlname=UniformTessellation | title=Uniform tessellation}}
* [http://www2u.biglobe.ne.jp/~hsaka/mandara/ue2 Uniform Tessellations on the Euclid plane] {{Wayback|url=http://www2u.biglobe.ne.jp/~hsaka/mandara/ue2 |date=20160604031441 }}
* [http://www.orchidpalms.com/polyhedra/tessellations/tessel.htm Tessellations of the Plane] {{Wayback|url=http://www.orchidpalms.com/polyhedra/tessellations/tessel.htm |date=20200224164749 }}
* [http://www.tess-elation.co.uk/ David Bailey’s World of Tessellations] {{Wayback|url=http://www.tess-elation.co.uk/ |date=20160402225543 }}
* [https://web.archive.org/web/20060909053826/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/uniftil.htm k-uniform tilings]
* [http://probabilitysports.com/tilings.html n-uniform tilings] {{Wayback|url=http://probabilitysports.com/tilings.html |date=20160521034020 }}
* Richard Klitzing, 4D, [http://www.bendwavy.org/klitzing/dimensions/flat.htm Euclidean tilings] {{Wayback|url=http://www.bendwavy.org/klitzing/dimensions/flat.htm |date=20160304114838 }}
{{Геометрические соты|state=collapsed}}
{{Геометрические мозаики|state=collapsed}}

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Однородные мозаики]]