Просмотр кода страницы Односторонняя функция

{{unsolved|информатики|'''''Существуют ли односторонние функции ?'''''}}
'''Односторонняя функция''' — [[Функция (математика)|математическая функция]], которая легко вычисляется для любого входного значения, но трудно найти аргумент по заданному значению функции. Здесь «легко» и «трудно» должны пониматься с точки зрения [[Теория сложности вычислений|теории сложности вычислений]]. Разрыв между сложностью прямого и обратного преобразований определяет криптографическую эффективность односторонней функции. [[Инъекция (математика)|Неинъективность функции]] не является достаточным условием для того, чтобы называть её односторонней. Односторонние функции могут называться также трудно обратимыми или необратимыми.

Ни для одной функции, используемой как односторонняя на практике, не доказано, что она истинно односторонняя (то есть, что не существует быстрого алгоритма решения обратной задачи). Такое доказательство докажет, что [[Равенство классов P и NP|классы сложности P и NP не равны]], попутно разрешив ряд вопросов теоретической [[Информатика|информатики]]. Современная [[асимметричная криптография]] основывается на предположении, что односторонние функции всё-таки существуют.

Односторонние функции являются фундаментальными инструментами [[Криптография|криптографии]], персональной идентификации, [[Аутентификация|аутентификации]] и других областей защиты данных. Хотя существование таких функций по-прежнему остаётся недоказанной гипотезой, существует несколько претендентов, выдержавших десятилетия пристального изучения. Многие из них являются неотъемлемой частью большинства [[Телекоммуникации|телекоммуникационных систем]], а также систем [[Электронная коммерция|электронной коммерции]] и [[интернет-банкинг]]а по всему миру.

== Определение ==
Пусть <math> \{0, 1\}^n</math> — множество всех двоичных строк длины n. Функция <math>f: \{0, 1\}^* \to \{0, 1\}^*</math> является '''односторонней функцией''', если она [[Теория сложности вычислений|эффективно]] вычисляется за полиномиальное время на детерминированной [[Машина Тьюринга|машине Тьюринга]], но не существует полиномиальной [[Вероятностная машина Тьюринга|вероятностной машины Тьюринга]], которая обращает эту функцию с более чем экспоненциально малой вероятностью. То есть для любой вероятностной полиномиальной машины <math>M</math>, для любого полинома <math>p(n)</math> и достаточно большого <math>n \in \mathbb{N}</math> выполняется

: <math>\Pr[M(f(m)) \in f^{-1}(m)] < 1/p(n),</math>

где строка <math>m</math> выбирается случайным образом на множестве <math>\{0, 1\}^n</math> в соответствии с равномерным законом распределения. Время работы машины <math>M</math> ограничено полиномом от длины искомого прообраза{{sfn|Птицын|2002|с=38—39}}.

== Существование ==
Ни для одной функции, используемой как односторонняя на практике, не доказано, что она истинно односторонняя (то есть, что не существует быстрого алгоритма решения обратной задачи). Если ''f'' является односторонней функцией, то нахождение обратной функции является трудновычислимой (по определению), но легкопроверяемой задачей (путём вычисления ''f'' на ней). Таким образом, из существования односторонней функции следует, что P ≠ NP. Однако, неизвестно, влечёт ли за собой P ≠ NP существование односторонних функций.

Существование односторонних функций повлечёт за собой существование многих других полезных криптографических объектов, в том числе:
* [[ГПСЧ|генераторов псевдослучайных чисел]];
* если существует односторонняя функция с [[Трудный бит|трудным битом]], то существует [[Схема обязательства|битовая схема обязательств]];
* {{Не переведено|Семейство псевдослучайных функций|семейства псевдослучайных функций|en|Pseudorandom function family}};
* [[Имитовставка|имитовставки]];
* [[Электронная цифровая подпись|электронной цифровой подписи]].

== Использование ==
Говорят, что односторонняя функция сохраняет длину, если битовая длина значения функции равна битовой длине аргумента. Такие функции используются, например, в псевдослучайных генераторах. Если битовая длина значения односторонней функции постоянна при любой длине аргумента, то она называется [[Криптографическая хеш-функция|хеш-функцией]]. Так, хеш-функция используется для хранения паролей или создания [[Электронная цифровая подпись|электронной подписи]]{{sfn|Птицын|2002|с=38—39}}.

Трудность задачи построения криптографических схем из односторонних функций можно пояснить на следующем примере. Пусть <math>f</math> — односторонняя функция и нам требуется построить ''криптосистему с секретным ключом''. В такой криптосистеме имеется только один ключ — секретный, который известен и отправителю, и получателю шифрованного сообщения. Алгоритмы шифрования <math>E_K</math> и дешифрования <math>D_K</math> оба зависят от этого секретного ключа <math>K</math> и таковы, что <math>D_K(E_K(m)) = m</math> для любого открытого текста <math>m</math>. Ясно, что если криптограмму <math>d</math> сообщения <math>m</math> вычислять как <math>d=f(m)</math>, то противник, перехвативший <math>d</math>, может вычислить <math>m</math> лишь с пренебрежимо малой вероятностью. Но во-первых, непонятно, каким образом сможет восстановить сообщение <math>m</math> из криптограммы законный получатель? Во-вторых, из того, что функция <math>f</math> односторонняя следует лишь, что противник не может вычислить все сообщение целиком. А это — весьма низкий уровень стойкости. Желательно, чтобы противник, знающий криптограмму <math>d</math>, не мог вычислить ни одного бита открытого текста.

Для решения первой задачи были придуманы [[Односторонняя функция с потайным входом|односторонние функции с потайным входом]]. Это специальный тип односторонней функции для которой легко вычислить <math>f(m)</math> по заданному <math>m</math>, но трудно по известному <math>f(m)</math> вычислить <math>m</math>. Однако существует некоторая дополнительная секретная информация <math>y</math>, позволяющая при знании <math>f(m)</math> и <math>y</math> легко вычислить <math>m</math>.

Ещё одним примером использования односторонних функций в криптографических схемах является следующая схема аутентификации:

Абонент <math>A</math> вырабатывает следующую последовательность сообщений: <math>m_0, m_1=f(m_0), m_2=f(m_1)</math> и т. д. <math>m_{100}=f(m_{99})</math>, где <math>f(m)</math> — односторонняя функция. Затем <math>m_{100}</math> передаётся по секретному каналу (или при встрече) абоненту <math>B</math>. Когда <math>A</math> необходимо подтвердить свою личность, он передаёт <math>B</math> по открытому каналу сообщение <math>m_{99}</math>. <math>B</math> проверяет: <math>f(m_{99}) =? m_{100}</math>. В следующий раз <math>A</math> передаст <math>m_{98}</math>, и <math>B</math> проверит: <math>f(m_{98}) =? m_{99}</math> и т. д. Перехват сообщений на i-ом этапе в открытом канале ничего не даст злоумышленнику, так как он не сможет получить соответствующее значение <math>m_{i-1}</math>, чтобы в следующий раз идентифицировать себя как абонента <math>A</math>. Такие схемы применяются для идентификации «свой/чужой»{{sfn|Схема аутентификации}}.

=== Доказательство выполнения работы ===
{{основная|Proof-of-work}}
Для защиты компьютерных систем от злоупотребления услугами запрашивающей стороне предлагается решить задачу, на поиск решения которой тратится достаточно много времени, а результат легко и быстро проверяется обслуживающей стороной. Примером такой защиты от [[спам]]а может служить система [[Hashcash]]<ref>[ftp://sunsite.icm.edu.pl/site/replay.old/programs/hashcash/hashcash.pdf  Hashcash — A Denial of Service Counter-Measure] (2002)</ref>, которая запрашивает [[хеширование|хеш]] частичной инверсии у отправляющей электронную почту стороне.

В системе «[[Биткойн]]» требуется, чтобы получаемая [[хеш-сумма]] была меньше специального параметра. Для поиска нужной хеш-суммы требуется её многократный пересчёт с перебором произвольных значений дополнительного параметра. На поиск одной хеш-суммы все компьютеры системы тратят примерно 10 минут, что регулирует скорость эмиссии новых биткойнов. Для проверки требуется лишь однократное вычисление хеша.

=== Стойкость криптографических схем ===
Существование односторонних функций является необходимым условием для стойкости многих типов криптографических схем. В некоторых случаях этот факт устанавливается достаточно просто. Рассмотрим функцию <math>f</math> такую, что <math>f(r) = K_1</math>. Она вычислима с помощью алгоритма <math>G</math> за полиномиальное время. Покажем, что если <math>f</math> не односторонняя функция, то криптосистема нестойкая. Предположим, что существует полиномиальный вероятностный алгоритм <math>A</math>, который инвертирует <math>f</math> с вероятностью по крайней мере <math>1/p(n)</math> для некоторого полинома <math>p</math>. Здесь <math>n</math> — длина ключа <math>K_1</math>. Атакующий может подать на вход алгоритму <math>A</math> ключ <math>K_1</math> и получить с указанной вероятностью некоторое значение <math>r'</math> из прообраза. Далее злоумышленник подаёт <math>r'</math> на вход алгоритма <math>G</math> и получает пару ключей <math>(K_1, K'_2)</math>. Хотя <math>K'_2</math> не обязательно совпадает с <math>K_2</math>, тем не менее, по определению криптосистемы <math>D_{K_2'}(E_{K_1}(m)) = m</math> для любого открытого текста <math>m</math>. Поскольку <math>K'_2</math> найден с вероятностью по крайней мере <math>1/p(n)</math>, которая в криптографии не считается пренебрежимо малой, криптосистема нестойкая.

Из всего сказанного следует, что предположение о существовании односторонних функций является самым слабым криптографическим предположением, которое может оказаться достаточным для доказательства существования стойких криптографических схем различных типов. На выяснение того, является ли это условие и в самом деле достаточным, направлены значительные усилия специалистов.

На настоящий момент{{когда}} доказано, что существование односторонних функций является необходимым и достаточным условием для существования стойких криптосистем с секретным ключом, а также стойких криптографических протоколов нескольких типов, включая протоколы электронной подписи. С другой стороны, имеется результат Импальяццо и Рудиха, который является достаточно сильным аргументом в пользу того, что для некоторых типов криптографических схем (включая протоколы распределения ключей типа Диффи-Хеллмана) требуются более сильные предположения, чем предположение о существовании односторонних функций<ref name="limits" />.

== Кандидаты в односторонние функции ==
Далее описаны несколько претендентов на односторонние функции. На данный момент не известно, являются ли они действительно односторонними, но обширные исследования пока не смогли найти эффективный обратный алгоритм к каждой из них.

=== Умножение и факторизация ===
Функция <math>f</math> принимает на вход два простых числа <math>p</math> и <math>q</math> в двоичном представлении и возвращает их произведение <math>N = f(p, q)</math>. Эта функция может быть вычислена за время порядка [[«O» большое и «o» малое|<math>O</math>]]<math>(n^2)</math>, где <math>n</math> — общая длина (количество двоичных чисел) входных данных. Построение обратной функции требует нахождения множителей заданного целого числа <math>N</math>. Определение множителей является очень трудоёмкой вычислительной операцией. Для оценки сложности алгоритма, раскладывающего целое число <math>N</math> на простые множители, часто используют функцию:
:: <math>L_N(\alpha, \beta) = \exp((\beta + o(1)(\ln N)^\alpha(\ln \ln N)^{1 - \alpha}))</math>
Если алгоритм имеет сложность <math>O(L_N(0, \beta))</math>, то ему требуется полиномиальное время на работу (размер задачи на входе, число бит числа, <math>\ln N</math>). При сложности <math>O(L_N(1, \beta))</math> ему потребуется уже экспоненциальное время. Таким образом скорость роста функции <math>L_N(\alpha, \beta)</math> при <math>0 < \alpha < 1</math> лежит между полиномиальной и экспоненциальной. Поэтому про алгоритмы с такой сложностью говорят, что они требуют суб-экспоненциального времени{{sfn|Смарт|2005|с = 185—186}}.

Существует несколько методов [[Факторизация|факторизации]] числа <math>N = p * q</math> с простыми <math>p</math> и <math>q</math>. Некоторые из них:
* ''Пробное деление'' — в этом алгоритме для всех простых чисел <math>p</math>, не превосходящих <math>\sqrt{N}</math>, проверяется условие <math>N / p \in \mathbb Z</math>. Такой алгоритм близок к полному перебору и имеет экспоненциальную сложность <math>O(L_N(1, 1))</math>.
* ''Метод эллиптической кривой'' хорошо работает, если один из простых множителей <math>p</math> не превосходит <math>2^{50}</math>. Его сложность оценивается как <math>L_p(1 / 2, c)</math>.
* ''Квадратичное решето'', вероятно, наиболее быстрый способ разложения чисел, лежащих между <math>10^{80}</math> и <math>10^{100}</math>. Его сложность — <math>L_p(1 / 2, 1)</math>.
* ''Квадратичное решето в числовом поле''. В настоящее время это наиболее успешный метод для чисел, насчитывающих 100 и более десятичных знаков. С его помощью можно разлагать на множители числа до <math>10^{155}</math>, а его сложность оценивается как <math>L_N(1/3,\;(64/9)^{\frac{1}{3}})</math>{{sfn|Смарт|2005|с = 185—186}}.

Функция может быть обобщена на диапазон [[Полупростое число|полупростых чисел]]. Заметим, что <math>f</math> не сможет быть односторонней для произвольных <math>p, q > 1</math>, так как их произведение с вероятностью ¾ имеет множитель 2.

Заметим, что факторизация с полиномиальной сложностью возможна на [[Квантовый компьютер|квантовом компьютере]] с помощью [[Алгоритм Шора|алгоритма Шора]] ([[класс BQP]]).

=== Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня по модулю ===
Функция <math>f</math> принимает два целых числа: <math>x</math> и <math>N</math>, где <math>N</math> — произведение двух простых <math>p</math> и <math>q</math>. На выходе — остаток от деления <math>x^2</math> на <math>N</math>. Нахождение обратной функции требует вычисления квадратного корня по модулю <math>N</math>, то есть нахождения <math>x</math> если известно <math>y</math> и то, что <math>x^2 \bmod N = y</math>. Можно показать, что последняя задача вычислительно так же сложна, как и разложение <math>N</math> на множители.

[[Криптосистема Рабина]] основывается на предположении, что функция Рабина является односторонней.

=== Дискретное экспоненцирование и логарифмирование ===
Функция дискретного экспоненцирования <math>f</math> принимает в качестве аргументов простое число <math>p</math> и целое <math>x</math> в интервале от <math>0</math> до <math>p - 1</math> и возвращает остаток от деления некоторого <math>A^x</math> на <math>p</math>. Эта функция может быть легко вычислена за время [[«O» большое и «o» малое|<math>O</math>]]<math>(n^3)</math>, где <math>n</math> — количество битов в <math>p</math>. Обращение этой функции требует вычисления [[дискретный логарифм|дискретного логарифма]] по модулю <math>p</math>. Пусть <math>(G, *)</math> — конечная абелева группа, например мультипликативная группа конечного поля или эллиптическая кривая над конечным полем. Задача вычисления дискретных логарифмов состоит в определении целого числа <math>x</math>, которое при данных <math>A, B</math> удовлетворяет соотношению
: <math>A^x = B.</math>
Для некоторых групп <math>G</math> такая задача довольно проста. Например, если <math>G</math> — группа целых чисел по модулю <math>N</math> по сложению. Для других групп, однако, эта задача более сложная. Например, в мультипликативной группе конечного поля, наилучший из известных алгоритмов, решающий задачу дискретного логарифмирования, — это метод [[Общий метод решета числового поля|квадратичного решета в числовом поле]]. Сложность вычисления дискретных логарифмов в этом случае оценивается как <math>L_N(1/3, c)</math>. [[Схема Эль-Гамаля]] основывается на этой задаче{{sfn|Смарт|2005|с = 187—188}}.

Для групп, подобных эллиптической кривой, задача дискретного логарифмирования ещё более трудна. Наилучший из доступных на сегодняшний день методов, вычисляющих дискретные логарифмы над общей эллиптической кривой над полем <math>\mathbb F_q</math>, называется [[Ρ-метод Полларда дискретного логарифмирования|ρ-метод Полларда]]. Его сложность <math>O(L_N(1, 1/2))</math>. Это экспоненциальный алгоритм, поэтому криптосистемы, основанные на эллиптической кривой, как правило, работают с малым ключом, около 160 бит. В то время как системы, отталкивающиеся от разложения на множители или вычисления дискретных логарифмов в конечных полях, используют ключи в 1024 бита{{sfn|Смарт|2005|с = 187—188}}.

С задачей дискретного логарифмирования так же связано несколько близких задач. Пусть дана конечная абелева группа <math>(G, *)</math>:
* ''Задача Диффи-Хеллмана'', которая состоит в следующем: даны элементы <math>A \in G, B = A^x, C = A^y</math>. Требуется вычислить <math>D = A^{xy}</math>.
* ''Задача выбора Диффи-Хеллмана''. Дано: <math>A \in G, B = A^x, C = A^y, D = A^z</math>. Требуется определить, является ли <math>z</math> произведением <math>x</math> и <math>y</math>.
Можно показать, что задача выбора Диффи-Хеллмана не сложнее задачи Диффи-Хеллмана, а задача Диффи-Хеллмана не сложнее задачи вычисления дискретных логарифмов{{sfn|Смарт|2005|с = 187—188}}.

=== Криптографические хеш-функции ===
Существует множество [[Криптографическая хеш-функция|криптографических хеш-функций]] (например, [[SHA-2|SHA-256]]), которые быстро вычисляются. Некоторые из более простых версий не проходили сложный анализ, но самые сильные версии продолжают предлагать быстрые практические решения для односторонних вычислений. Большая часть теоретической поддержки этих функций направлена на срыв некоторых из ранее проведённых успешных атак.

=== Другие претенденты ===
Другие претенденты в односторонние функции основываются на сложности декодирования случайных [[Линейный код|линейных кодов]] и иных задачах.

== См. также ==
* [[Криптографическая хеш-функция]]
* [[Односторонняя функция с потайным входом]]

== Примечания ==
{{примечания|refs=
<ref name="limits">{{книга|автор = Russell Impagliazzo, Steven Rudich|заглавие = Private Information Retrieval Does Not Imply One-way Permutations|ссылка = http://www.csie.ntu.edu.tw/~lyuu/theses/thesis_r88067.pdf|archive-date = 2015-09-23|archive-url = https://web.archive.org/web/20150923211641/http://www.csie.ntu.edu.tw/~lyuu/theses/thesis_r88067.pdf}}</ref>
}}

== Ссылки ==
* {{книга |год=2001 |заглавие=Foundations of Cryptography |часть=Volume 1, Basic Tools |издательство=[[Издательство Кембриджского университета|Cambridge University Press]] |isbn=0-521-79172-3 |ссылка=http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/frag.html |автор=Oded Goldreich }}
* {{книга |год=2007 |заглавие=Introduction to Modern Cryptography |ссылка=https://archive.org/details/Introduction_to_Modern_Cryptography |издательство=[[CRC Press]] |isbn=1-58488-551-3 |автор=Jonathan Katz, Yehuda Lindell }}
* {{книга |год=1997 |заглавие=Introduction to the Theory of Computation |ссылка=https://archive.org/details/introductiontoth00sips |издательство=PWS Publishing |isbn=0-534-94728-X |часть=Section 10.6.3: One-way functions |страницы=[https://archive.org/details/introductiontoth00sips/page/374 374]—376 |язык=en |автор={{Нп3|Michael Sipser}}}}
* {{книга |год=1993 |заглавие=Computational Complexity |издательство=[[Addison-Wesley|Addison Wesley]] |издание=1st edition |isbn=0-201-53082-1 |часть=Section 12.1: One-way functions |страницы=279—298 |автор=[[Пападимитриу, Христос|Christos Papadimitriou]] }}
* {{книга |заглавие=Введение в криптографию |ответственный=Под ред. В. В. Ященко |часть=Глава 2.3. Односторонние функции |ссылка=http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1157083&uri=book.html|ссылка часть=http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1157083&uri=node14.html }}
* {{книга |заглавие= Приложение теории детерминированного хаоса в криптографии |ответственный= Птицын Н |часть= Глава 2.5.2 Односторонняя функция |ссылка= http://www.reid.ru/books/%D0%A2%D0%B5%D1%85%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F/spec.lit/spechran/136-140/spec139/Pticin%20N.%20Prilozhenie%20teorii%20determinirovannogo%20haosa%20v%20kriptografii.%20(2002).pdf |год= 2002 |ref= Птицын }}{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга |заглавие=Криптография |ответственный=Смарт Н|часть=Глава 7.2 Односторонние функции |ссылка=https://ru.scribd.com/doc/38151420/%D0%A1%D0%BC%D0%B0%D1%80%D1%82-%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8F-2005|год = 2005|isbn=5-94836-043-1|ref = Смарт}}
* {{cite web|ref=Схема аутентификации|url=http://netcode.ru/cpp/?artID=4010|title=Глава 4.1 Односторонние функции|accessdate=2014-10-09|lang=рус.|archive-date=2016-12-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20161203195644/http://www.netcode.ru/cpp/?artID=4010|deadlink=no}}

[[Категория:Криптография]]
[[Категория:Нерешённые проблемы информатики]]