Просмотр кода страницы Ожидаемая величина измерения (квантовая механика)

'''Ожидаемая величина измерения (квантовая механика)''' — вероятностное [[Математическое ожидание|ожидаемое значение]] результата эксперимента по измерению в [[квантовая механика|квантовой механике]]. Её можно рассматривать как среднее значение всех возможных результатов измерения, взвешенное по их вероятности, и, как таковое, оно не является "наиболее" вероятным значением измерения; действительно, ожидаемое значение может иметь [[Почти достоверное событие|нулевую вероятность]] возникновения (например, измерения, которые могут давать только целочисленные значения, могут иметь нецелочисленное среднее значение). Является фундаментальным понятием во всех областях [[квантовая физика|квантовой физики]].

== Популярное определение ==
Рассмотрим [[Оператор (физика)|оператор]] <math>A</math>. Тогда ожидаемая величина равна: <math>\langle A \rangle = \langle \psi | A | \psi \rangle </math> в [[Бра и кет|обозначениях Дирака]], где <math> |\psi \rangle </math> {{не переведено 5|Нормализация (статистика)|нормализованный|en|Normalization (statistics)}} вектор состояния.

== Математический аппарат ==
В квантовой теории исходные условия эксперимента по измерению описываются [[Квантовая наблюдаемая|наблюдаемой]] <math>A</math>, подлежащей измерению, и [[Квантовым состоянием|состоянием]] <math>\sigma</math> системы. Ожидаемая величина <math>A</math> в состоянии <math>\sigma</math> обозначается как <math>\langle A\rangle_\sigma</math>. Математически, <math>A</math> является
[[самосопряженный оператор|самосопряженным оператором]] в [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]].

В наиболее часто используемом случае в квантовой механике, <math>\sigma</math> является [[Квантовое состояние|чистым состоянием]], описываемым нормализованным вектором{{efn|В этой статье всегда принимается <math>\psi</math> за норму 1. Для ненормализованных векторов, <math>\psi</math> должен быть заменен на <math>\psi / \|\psi\|</math> во всех формулах.}} <math>\psi</math> в гильбертовом пространстве. Ожидаемая величина измерения <math>A</math> в состоянии <math>\psi</math> определена как:

{{NumBlk|:|<math> \langle A \rangle_\psi = \langle \psi | A | \psi \rangle .</math>|{{EquationRef|1}}}}

Если рассматривается [[Динамика (физика)|динамика]], то принимается, что либо вектор <math>\psi</math>, либо оператор <math>A</math> зависят от времени, в зависимости от того, используется [[Представление Шрёдингера|представление Шредингера]] или [[представление Гейзенберга]]. Однако эволюция ожидаемого значения не зависит от этого выбора.

Если <math>A</math> имеет полный набор [[Собственный вектор|собственных векторов]] <math>\phi_j</math>, с [[Собственный вектор|собственными значениями]] <math>a_j</math>, то ({{EquationNote|1}}) может быть выражено как<ref>{{Cite web |url=http://physics.mq.edu.au/~jcresser/Phys301/Chapters/Chapter14.pdf |title=Probability, Expectation Value and Uncertainty |access-date=2021-11-05 |archive-date=2021-11-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211105104650/http://physics.mq.edu.au/~jcresser/Phys301/Chapters/Chapter14.pdf |deadlink=no }}</ref>

{{NumBlk|:|<math> \langle A \rangle_\psi = \sum_j a_j |\langle \psi | \phi_j \rangle|^2 .</math>|{{EquationRef|2}}}}

Это выражение похоже на [[среднее арифметическое]] и иллюстрирует физический смысл математического формализма: собственные значения <math>a_j</math> являются возможными результатами эксперимента по измерению,{{efn|Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.}} и соответствующий им коэффициент <math>|\langle \psi | \phi_j \rangle|^2</math> - это вероятность того, что этот результат будет получен; его часто называют ''вероятностью перехода''.

Особенно простой случай возникает, когда <math>A</math> является [[Проектор (математика)|проекцией]] и, следовательно, имеет только собственные значения 0 и 1. Это физически соответствует типу эксперимента "да-нет". В этом случае ожидаемое значение - это вероятность того, что эксперимент приведет к "1", и его можно вычислить как

{{NumBlk|:|<math> \langle A \rangle_\psi = \|  A | \psi \rangle \|^2 .</math>|{{EquationRef|3}}}}

В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, такой как [[оператор координаты]] <math>X</math> в квантовой механике. Этот оператор имеет полностью [[непрерывный спектр]], с собственными значениями и собственными векторами, зависящими от непрерывного параметра, <math>x</math>. В частности, оператор <math>X</math> действует на пространственный вектор <math>| x \rangle</math> как <math>X | x \rangle = x |x\rangle</math>.<ref>{{Cite book|last=Cohen-Tannoudji, Claude, 1933-|url=https://www.worldcat.org/oclc/1159410161|title=Quantum mechanics. Volume 2|others=Diu, Bernard,, Laloe, Franck, 1940-, Hemley, Susan Reid,, Ostrowsky, Nicole, 1943-, Ostrowsky, D. B.|date=June 2020|isbn=978-3-527-82272-0|location=Weinheim|oclc=1159410161}}</ref>

В этом случае вектор <math>\psi</math> может быть записан как [[Комплексное число|комплекснозначная]] функция <math>\psi(x)</math> на спектре <math>X</math> (обычно реальная линия). Формально это достигается путем проецирования вектора состояния
<math>| \psi\rangle</math> на собственные значения оператора, как в дискретном случае <math display="inline"> \psi(x) \equiv \langle x | \psi \rangle</math>. Случается, что собственные векторы позиционного оператора образуют полный базис для векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются [[Замыкание (алгебра)|уравнению замыкания]]:

<math display="block"> \int |x \rangle \langle x| \, dx \equiv \mathbb{I}</math>

Вышеизложенное может быть использовано для получения общего интегрального выражения для ожидаемого значения ({{EquationNote|4}}), путем вставки идентификаторов в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширения на основе позиции:

<math display="block">\begin{align}
\langle X \rangle_{\psi}
&= \langle \psi | X | \psi \rangle = \langle \psi |\mathbb{I} X \mathbb{I}| \psi \rangle = \iint \langle \psi | x \rangle \langle x | X | x' \rangle \langle x' | \psi \rangle dx\ dx' \\
&= \iint \langle x | \psi \rangle^* x' \langle x | x' \rangle \langle x' | \psi \rangle dx\ dx' = \iint \langle x | \psi \rangle^* x' \delta(x - x') \langle x' | \psi \rangle dx\ dx' \\
&= \int \psi(x)^* x \psi(x) dx = \int x \psi(x)^* \psi(x) dx = \int x |\psi(x)|^2 dx
\end{align}</math>

Где {{не переведено 5|Ортонормированность|условие ортонормированности|en|Orthonormality}} базисных векторов координат <math>\langle x | x' \rangle = \delta(x - x')</math>, уменьшает двойной интеграл до одного интеграла. В последней строке используется [[Абсолютная величина|модуль комплексной функции]] для замены <math>\psi^*\psi</math> на <math>|\psi|^2</math>, что является обычной заменой в квантово-механических интегралах.

Затем можно указать ожидаемое значение, где x неограниченно, в виде формулы:

{{NumBlk|:|<math> \langle X \rangle_\psi = \int_{-\infty}^{\infty} \, x \, |\psi(x)|^2 \, dx .</math>|{{EquationRef|4}}}}

Аналогичная формула справедлива для [[Оператор импульса|оператора импульса]] <math>P</math> в системах, где он имеет непрерывный спектр.

Все приведенные выше формулы действительны только для чистых состояний <math>\sigma</math>. Важное значение в [[термодинамика|термодинамике]] и [[квантовая оптика|квантовой оптике]] также имеют "смешанные состояния"; они описываются положительным оператором {{не переведено 5|Класс следа|класса следа|en|Trace class}}

<math display="inline">\rho = \sum_i \rho_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |</math>,

"статистический оператор" или "[[матрица плотности]]". Затем ожидаемое значение может быть получено как

{{NumBlk|:|<math> \langle A \rangle_\rho = \operatorname{Trace} (\rho A) = \sum_i \rho_i \langle \psi_i | A | \psi_i \rangle
= \sum_i \rho_i \langle A \rangle_{\psi_i} .</math>|{{EquationRef|5}}}}

== Общая формулировка ==

В общем случае квантовые состояния <math>\sigma</math> описываются положительными нормализованными [[Линейная форма|линейными функционалами]] на множестве наблюдаемых, математически часто принимаемыми за [[C*-алгебра|C*-алгебру]]. Ожидаемое значение
наблюдаемой <math>A</math> дается как

{{NumBlk|:|<math>\langle A \rangle_\sigma = \sigma(A) .</math>|{{EquationRef|6}}}}

Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо в [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]], и если <math>\sigma</math> является "нормальным функционалом", то есть непрерывным в {{не переведено 5|Сверхслабая топология|сверхслабой топологии|en|Ultraweak topology}}, то ее можно записать как

<math display="block"> \sigma (\cdot) = \operatorname{Trace} (\rho \; \cdot)</math>

с положительным оператором {{не переведено 5|Класс следа|класса следа|en|Trace class}} <math>\rho</math> следа 1. Это дает формулу ({{EquationNote|5}}) выше. В случае [[Квантовое состояние#Чистое состояние|чистого состояния]], <math>\rho= |\psi\rangle\langle\psi|</math> - это [[Проектор (математика)|проекция]] на единичный вектор <math>\psi</math>. Тогда <math>\sigma = \langle \psi |\cdot \; \psi\rangle</math> дает формулу ({{EquationNote|1}}) выше.

Предполагается, что <math>A</math> является самосопряженным оператором. В общем случае его спектр не будет ни полностью дискретным, ни полностью непрерывным. Тем не менее, можно написать <math>A</math> в [[Спектральная теорема|спектральном разложении]],

<math display="block">A = \int a \, dP(a)</math>

с помощью измеряемой проектором величины <math>P</math>. Для ожидаемого значения <math>A</math> в чистом состоянии <math>\sigma = \langle \psi | \cdot \, \psi \rangle</math>, это означает

<math display="block">\langle A \rangle_\sigma = \int a \; d \langle \psi | P(a) \psi\rangle ,</math>

который можно рассматривать как общее обобщение формул ({{EquationNote|2}}) и ({{EquationNote|4}}) выше.

В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (нерелятивистская квантовая механика) рассматриваемые состояния, как правило, являются нормальными. Однако в других областях квантовой теории используются также ненормальные состояния: они появляются, например. в виде {{не переведено 5|KMS-состояние|состояний KMS|en|KMS state}} в [[Квантовая статистическая механика|квантовой статистической механике]] бесконечно протяженных сред,
<ref>{{cite book
  | last = Bratteli
  | first = Ola
  | authorlink =Ola Bratteli
  |author2=Robinson, Derek W
  | title = Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1
  | publisher = Springer
  | date = 1987
  | location = 
  | pages =
  | url = 
  | doi =
  | id = 2nd edition
  | isbn = 978-3-540-17093-8}}
</ref> и как заряженные состояния в [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]].
<ref>{{cite book
  | last = Haag
  | first = Rudolf
  | authorlink = Rudolf Haag
  | title = Local Quantum Physics
  | publisher = Springer
  | date = 1996
  | location =
  | pages = Chapter IV
  | url =https://archive.org/details/localquantumphys0000haag
  | doi =
  | id =  
  | isbn = 3-540-61451-6}}
</ref>

В этих случаях ожидаемое значение определяется только более общей формулой ({{EquationNote|6}}).

== Пример в [[Конфигурационное пространство|конфигурационном пространстве]] ==

В качестве примера рассмотрим квантово-механическую частицу в одном пространственном измерении в представлении [[Конфигурационное пространство|конфигурационного пространства]]. Здесь гильбертовым пространством <math>\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})</math> является пространство квадратично интегрируемых функций на вещественной прямой. Векторы <math>\psi\in\mathcal{H}</math>  представлены функциями <math>\psi(x)</math>, называемыми [[Волновая функция|волновыми функциями]]. Скалярное произведение задается <math display="inline">\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle = \int \psi_1^\ast (x) \psi_2(x) \, dx</math>. Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей: <math display="block"> p(x) dx = \psi^*(x)\psi(x) dx</math> дает вероятность нахождения частицы в бесконечно малом интервале длины <math>dx</math> в какой-то точке <math>x</math>.

В качестве наблюдаемого рассмотрим оператор координаты <math>Q</math>, который действует на волновые функции <math>\psi</math> как <math display="block"> (Q \psi) (x) = x \psi(x) .</math>

Ожидаемое значение или среднее значение измерений <math>Q</math>, выполненных на очень большом количестве "идентичных" независимых систем, будет предоставлено как
<math display="block"> \langle Q \rangle_\psi
= \langle \psi | Q | \psi \rangle
= \int_{-\infty}^{\infty}  \psi^\ast(x) \, x \, \psi(x) \, dx
= \int_{-\infty}^{\infty}  x \, p(x) \, dx .</math>

Ожидаемое значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не относится ко всем векторам <math>\psi</math>. Это связано с тем, что оператор координаты [[Неограниченный оператор|неограничен]], и
<math>\psi</math> должен быть выбран из его [[область определения|области определения]].

В общем случае ожидание любого наблюдаемого может быть рассчитано путем замены <math>Q</math> соответствующим оператором. Например, для вычисления среднего импульса используется оператор импульса "в [[Конфигурационное пространство|конфигурационном пространстве]]", <math display="inline">P = -i \hbar \, \frac{d}{dx}</math>. Очевидно, его ожидаемое значение равно

<math display="block"> \langle P \rangle_\psi = -i\hbar \int_{-\infty}^{\infty}  \psi^\ast(x) \, \frac{d\psi(x)}{dx} \, dx.</math>

Вообще говоря, не все операторы описывают измеримые физические величины. Оператор, имеющий чисто вещественное ожидаемое значение, называется [[Квантовая наблюдаемая|наблюдаемым]], и его значение может быть непосредственно измерено в эксперименте.

== См. также ==
* [[Отношение Рэлея]]
* [[Принцип неопределённости]]
* [[Вириал#Теорема о вириале|Теорема о вириале]]

== Комментарии ==
{{примечания|group="lower-alpha"}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Дальнейшее чтение ==

Для обсуждения концептуальных аспектов см.:

* {{cite book
  | last = Isham
  | first = Chris J
  | authorlink = 
  | title = Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations
  | publisher = Imperial College Press
  | date = 1995
  | location = 
  | pages = 
  | url = https://archive.org/details/lecturesonquantu0000isha
  | doi = 
  | id = 
  | isbn = 978-1-86094-001-9
  | url-access = registration
  }}

[[Категория:Квантовая механика]]