Просмотр кода страницы Окрошка из кошки

[[Файл:Arnold's_cat_map.png|thumb|280px|Аппроксимация изображения из книги Арнольда и Аве, не защищённая авторским правом]]
'''Окрошка из кошки'''<ref>{{Cite web |url=http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=7345 |title=Видеотека: Н. Гончарук, Ю. Кудряшов, Окрошка из кошки. Лекция 1 |access-date=2020-06-20 |archive-date=2020-06-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200622035425/http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=7345 |deadlink=no }}</ref> ({{lang-fr|chat d'Arnold}}) — примечательное отображение из двумерного [[тор (поверхность)|тора]] в себя.

Представим тор как единичный квадрат со склеенными противоположными сторонами. Тогда отображение окрошки из кошки задаётся как <math>\Gamma \colon (x,y) \mapsto \left(\{x+y\},\{x+2y\}\right)</math>, где фигурные скобки обозначают дробную часть. Это отображение обратимо и сохраняет площадь фигур, но не длины отрезков.

Название «[[окрошка]] из кошки» связано с его перемешивающими свойствами: какое бы [[измеримое множество]] на торе («кошку») мы ни выбрали, под действием всё новых и новых итераций этого автоморфизма оно будет равномерно «размазываться». Говоря формально, для всякого измеримого подмножества [[File:Twemoji12 1f408.svg|20px]] [[мера Лебега|лебеговой меры]] <math>m</math> (считая меру всего тора единичной) и всякого открытого подмножества <math>U</math> мера пересечения <math>\Gamma^k(</math>[[File:Twemoji12 1f408.svg|20px]]<math>) \cap U</math> будет стремиться к <math>m\mu(U)</math> (где <math>\mu(U)</math> — лебегова мера <math>U</math>) при стремлении <math>k</math> к бесконечности. В монографии [[Арнольд, Владимир Игоревич|В. И. Арнольда]] и [[Аве, Андре|А. Аве]] ''Problèmes ergodiques de la mécanique classique'' силуэт кошачьей головы использовался для иллюстрации этого отображения<ref>
{{публикация|книга|язык=fr|автор=V. I. Arnold, A. Avez | заглавие=Problèmes ergodiques de la mécanique classique | издательство=Gauthier-Villars | серия=Monographies internationales de mathématiques modernes | год=1967 }}</ref>, хотя во французском языке игра слов теряется. Из-за этого это отображение в других языках известно как «отображение кота Арнольда» ({{lang-fr|chat d'Arnold}}, {{lang-en|Arnold's cat map}}), что сам В. И. Арнольд считал некоторым курьёзом.<ref name=chain>{{публикация|книга|автор=В. И. Арнольд | заглавие=Цепные дроби | издательство=Издательство МЦНМО | серия=Библиотека «Математическое просвещение» | год=2009 }}</ref> Изображение в оригинальной книге сопровождено иронической сноской, гласящей:

{{начало цитаты}}
[[:fr:Société protectrice des animaux|Общество защиты животных]] дало дозволение на воспроизведение этого изображения, а равно и иных.
{{оригинальный текст|fr|La S.P.A. a donné son autorisation pour la reproduction de cette figure, comme bien d'autres.}}
{{конец цитаты}}

Вместо автоморфизма тора с тем же успехом можно говорить об автоморфизме его [[универсальное накрытие|универсального накрытия]] (то есть евклидовой плоскости) с тем свойством, что <math>f(x + n,y + m) = f(x,y) + (n',m')</math> для произвольной точки <math>(x,y)</math> и целочисленных точек <math>(n,m)</math> и <math>(n',m')</math>. Соответствующее преобразование плоскости для окрошки из кошки — это линейное преобразование, задаваемое матрицей <math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}</math> (или какой-то другой подобной в зависимости от выбора координат). Определитель этой матрицы равен 1, так что задаваемое ею преобразование обратимо и сохраняет площадь. Кроме того, эта матрица симметрична, так что задаваемое ею преобразование диагонализуемо 
с [[собственное число|собственными числами]] <math>\frac{3+\sqrt{5}}2</math> и <math>\frac{3-\sqrt{5}}2</math>. Поскольку определитель этой матрицы равен 1, её орбиты — гиперболы <math>uv = \mathrm{const}</math>, где <math>u,v</math> — координаты в базисе из собственных векторов. Каждая из этих гипербол (а также их асимптоты) при проекции на тор переходят во всюду плотные кривые.

== Свойства окрошки из кошки ==
[[Изображение:Arnold_cat.png|thumb|Окрошка из кошки на рациональных точках: изображение размером 150×150 пикселей размещено на торе так, что пикселю <math>(n,m)</math> соответствует точка<math>\left(\frac{n}{150}, \frac{m}{150}\right)</math>. После трёхсот итераций все эти точки переходят в себя. В то же время, на других точках все итерации будут действовать хаотично]]
* Отображение <math>\Gamma</math> является [[эргодичность|эргодичным]], [[Диффеоморфизм Аносова|аносовским]] и [[структурная устойчивость|структурно устойчивым]].
* Тор может быть разрезан на пять прямоугольников со сторонами, параллельными собственным направлениям окрошки из кошки. [[Символьная динамика|Если записать]], с какой вероятностью окрошка из кошки переводит точку из <math>i</math>-того прямоугольника в <math>j</math>-тый, получится [[марковский процесс]]. Это может быть использовано при доказательстве перемешивающих свойств этого отображения. Вообще это кодирование сохраняет все свойства окрошки из кошки как динамической системы: так, всякой точке тора <math>x</math> соответствует её судьба — бесконечная в обе стороны последовательность цифр от 1 до 5, указывающих, в какой прямоугольник попадают точки <math>\dots, \Gamma^{-1}x, x, \Gamma x, \Gamma^2x, \dots</math>. Зафиксировать несколько значений будущего точки — всё равно что зафиксировать некий вертикальный пояс, в который она попадает; зафиксировать несколько значений прошлого — всё равно что зафиксировать горизонтальный пояс. Отсюда в частности видно, что для окрошки из кошки [[марковское свойство|будущее не зависит от прошлого]].<ref>{{Cite web |url=http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=7374&option_lang=rus |title=Видеотека: Н. Гончарук, Ю. Кудряшов, Окрошка из кошки. Лекция 3 |access-date=2020-06-20 |archive-date=2020-06-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200621081424/http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=7374&option_lang=rus |deadlink=no }}</ref>
* Периодические точки окрошки из кошки [[плотное множество|плотны]]: точка имеет периодическую орбиту (возможно, с некоторым предпериодом) тогда и только тогда, когда её координаты рациональны. Точка со знаменателем, делящим <math>N</math>, не может иметь периода, большего чем <math>3N</math>. В остальном зависимость периода от знаменателя чрезвычайно нерегулярна. Отображение окрошки из кошки на рациональных точках, в особенности с ограниченным знаменателем, часто называется «дискретной окрошкой из кошки». 
* Количество точек с периодом <math>n</math> равняется в точности <math>\left|\left(\frac{3+\sqrt{5}}2\right)^n + \left(\frac{3-\sqrt{5}}2\right)^n - 2\right|</math>. Первые числа в этой последовательности таковы: 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205, 5776, 15125, 39601, 103680, 271441, 710645, 1860496, 4870845, 12752041, 33385280, 87403801, 228826125, 599074576, 1568397605, 4106118241, 10749957120, 28143753121, 73681302245.<ref>{{Cite web |url=https://oeis.org/A004146 |title=A004146 - OEIS<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2020-06-20 |archive-date=2020-07-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200706050923/http://oeis.org/A004146 |deadlink=no }}</ref>

== Применения окрошки из кошки ==
* В брошюре «Цепные дроби» В. И. Арнольд пытался дать геометрическое доказательство теоремы Лагранжа, утверждающей, что вещественное число имеет периодическое разложение в [[цепная дробь|цепную дробь]] (возможно, с некоторым предпериодом) тогда и только тогда, когда это число есть [[квадратичная иррациональность]]. Его подход использовал окрошку из кошки. Для исследования введённых им «многомерных цепных дробей» он рассматривал аналогичные отображения торов большей размерности, например, автоморфизм трёхмерного тора, заданный матрицей <math>\begin{pmatrix}3 & 2 & 1\\2 & 2 & 1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}</math>. С его помощью его ученикам Цушиаши и Коркиной удалось найти некий аналог теоремы Лагранжа для кубических иррациональностей.<ref name=chain /> Соотношение между вещественной многомерной окрошкой из кошки и комплексной геометрией [[поверхность Инуэ|поверхностей Инуэ]], также связанной с кубическими иррациональностями, остаётся туманным.
* Отображение, аналогичное окрошке из кошки, может быть определено и для [[комплексный тор|комплексных торов]]. По двумерному комплексному тору может быть построена куммерова [[K3-поверхность]]; в этом случае окрошка из кошки задаёт отображение K3-поверхности. Теорема [[Канта, Серж|Канты]] и [[Дюпон, Кристоф|Дюпона]] утверждает, что всякая K3-поверхность с автоморфизмом, мера максимальной энтропии которого абсолютно непрерывна по мере Лебега, является куммеровой (то есть получается из тора; на этом торе автоморфизм будет действовать схожим образом с окрошкой из кошки).<ref>[[Тосатти, Валентино|V. Tosatti]]. [[arxiv:2003.06976v2|Ricci-flat metrics and dynamics on K3 surfaces]] {{Cite web |url=https://arxiv.org/abs/2003.06976v2 |title=Источник |access-date=2020-06-20 |archive-date=2020-06-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200622173911/https://arxiv.org/abs/2003.06976v2 |deadlink=unfit }}, 23 марта 2020 года</ref>

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Хаотические отображения]]