Просмотр кода страницы Октамино

[[Файл:The 369 Free Octominoes.svg|thumb|400px|369 свободных октамино]]
[[File:Octominoes with holes.svg|thumb|225px|Октамино с отверстиями]]
{{Родственные проекты}}
'''Октамино́''' — восьмиклеточные [[полимино]], то есть плоские фигуры, состоящие из восьми равных квадратов, соединённых сторонами. С фигурами октамино, как со всеми полимино, связано много задач занимательной математики.

Если не считать различными фигуры, совпадающие при поворотах и зеркальных отражениях, то различных («свободных») форм октамино насчитывается 369 (см.&nbsp;рисунок){{sfn|Голомб|1975}}. Существует 704 видов «односторонних» октамино (если зеркальные отражения считаются различными фигурами) и 2725 видов «фиксированных» октамино (различными считаются также и повороты)<ref>{{MathWorld3|Octomino}}</ref>.

== Классификация фигур октамино по свойствам симметрии ==
369 свободных фигур октамино по их свойствам симметрии можно разделить на 8 категорий:
* 316 фигур октамино (на рисунке изображены серым цветом) асимметричны;
* 23 октамино (изображены красным) имеют ось симметрии, параллельную линиям квадратной сетки;
* 5 октамино (изображены зелёным) имеют диагональную ось симметрии;
* 18 октамино (изображены синим) имеют центральную (вращательную) симметрию второго порядка;
* 1 октамино (изображено жёлтым) имеют центральную (вращательную) симметрию четвёртого порядка;
* 4 октамино (изображены фиолетовым) имеют две оси симметрии, параллельных линиям сетки;
* 1 октамино (изображено оранжевым) имеет две диагональных оси симметрии.
* 1 октамино (изображено сине-зелёным) имеет четыре оси симметрии — две параллельных линиям сетки и две диагональных.

Октамино — наименьший порядок полимино, в котором реализуются все восемь возможных типов симметрии. Следующий порядок полимино с этим свойством — додекамино (двенадцатиклеточное полимино).

Если зеркальные отражения фигур считать различными, то первая, четвёртая и пятая категории удваиваются в численности, что даёт дополнительно 335 октамино, то есть в общей сложности 704 односторонних октамино.

Если повороты также рассматривать как различные фигуры, то
* фигуры первой категории могут быть ориентированы восемью различными способами;
* фигуры из категорий со второй по четвёртую — четырьмя;
* фигуры из категорий с пятой по седьмую — двумя;
* единственная фигура из последней категории может быть ориентирована единственным образом.
Это даёт <math>316 \times 8 + (23 + 5 + 18) \times 4 + (1 + 4 + 1)\times 2 + 1 = 2725</math> фиксированных октамино.

== Составление фигур из октамино ==
[[File:Octominoes-58x51-6holes.png|thumb|233px|Укладка октамино в прямоугольник 51×58 с 6 отверстиями]]
[[File:Octominoes-3x29x34-3х2holes.png|thumb|356px|Укладка октамино в три прямоугольника 29×34, каждый с двумя отверстиями]]
Среди 369 свободных октамино есть 6 фигур с отверстиями («неодносвязные»). Из этого следует, что сплошное покрытие какого-либо прямоугольника площадью <math>369\times8=2952</math> квадратов полным набором октамино невозможно. Однако они могут быть уложены в некоторые прямоугольники площадью 2958 квадратов с шестью одноклеточными отверстиями. Поскольку число 2958 представляет собою произведение простых множителей 2×3×17×29, то можно поставить вопрос о составлении прямоугольников 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 и 51×58.

Для прямоугольника 51×58 существует решение с симметричным расположением отверстий, представленное на рисунке.
Существует также укладка октамино в три прямоугольника 29×34, каждый с двумя отверстиями вблизи центра. Комбинируя их различными способами, можно получить прямоугольник 34×87 или 29×102 с симметричным расположением трёх пар отверстий. Решения для прямоугольников 6×493 и 17×174 пока не известны.

=== Пространственные октамино ===
Из 369 пространственных октамино, имеющих форму обычных «плоских» октамино, можно собрать параллелепипед {{times|8|9|41}}. Одно из решений использует все фигуры, кроме прямого октамино, для сборки восьми отдельных слоёв {{times|1|9|41}}; прямое октамино проходит сквозь центры всех восьми слоёв<ref>{{cite web |url=http://www.mathpuzzle.com/Aug52001.htm |author=Ed Pegg, Jr. |publisher=MathPuzzle.com |title=material added 11 March 2001 |subtitle=Patrick Hamlyn packed the solid octominoes in an impressive way, with a three-coloring! |access-date=2015-11-20 |archive-date=2016-01-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160126184925/http://mathpuzzle.com/Aug52001.htm |deadlink=no }}</ref>.

== Псевдооктамино ==
Псевдополимино — обобщение полимино, набор полей бесконечной шахматной доски, которые может обойти [[Король (шахматы)|король]]{{sfn|Голомб|1975}}. Существует {{num|18770}} свободных (двусторонних)<ref>{{OEIS long|30222}}</ref>, {{num|37196}} односторонних<ref>{{OEIS long|30233}}</ref> и {{num|147941}} фиксированных<ref>{{OEIS long|6770}}</ref> псевдооктамино.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор=[[Голомб, Соломон Вольф|{{nobr|Голомб С.В.}}]]
 |заглавие=Полимино
 |оригинал=Polyominoes
 |ответственный=Пер. с англ. {{nobr|В. Фирсова.}} Предисл. и ред. [[Яглом, Исаак Моисеевич|{{nobr|И. Яглома}}]]
 |место=М.
 |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]
 |год=1975
 |страниц=207
 |ref = Голомб
}}

{{Полиформы}}

[[Категория:Головоломки]]
[[Категория:Полимино и другие полиформы|08]]