Просмотр кода страницы Олоид

[[Файл:Oloid structure.svg|thumb|300px|Структура олоида. Показаны два 240-градусных круговых сектора и выпуклая оболочка.]]
[[Файл:Oloid development.svg|thumb|240px|[[Развёртка многогранника|Развёртка]] олоида]]
'''Олоид''' — трёхмерный криволинейный геометрический объект, открытый {{Нп3|Шатц, Пол|Полом Шатцем||Paul Schatz}} в 1929 году. Это [[выпуклая оболочка]] каркаса, сделанного из двух соединённых конгруэнтных окружностей в перпендикулярных плоскостях так, что центр каждой окружности лежит на другой окружности. Расстояние между центрами окружностей равно радиусу окружностей. Одна треть периметра каждого круга лежит внутри выпуклой оболочки, поэтому одна и та же форма может быть также сформирована как выпуклая оболочка двух оставшихся круглых дуг, каждая из которых охватывает угол 4π / 3.

== Площадь поверхности и объём ==
[[Площадь поверхности]] олоида, вычисляемая по формуле<ref name="development">{{citation
 | last1 = Dirnböck
 | first1 = Hans
 | last2 = Stachel
 | first2 = Hellmuth
 | issue = 2
 | journal = Journal for Geometry and Graphics
 | mr = 1622664
 | pages = 105—118
 | title = The development of the oloid
 | lang = en
 | url = http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg01_05/jgg0113.pdf
 | volume = 1
 | year = 1997
 }}. {{Wayback|url=http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg01_05/jgg0113.pdf |date=20180824081119 }}.</ref>
: <math>A = 4\pi r^2,</math>
что равняется площади поверхности сферы равного радиуса. 

[[Объём]] олоида в окончательном виде вычисляется по формуле<ref name="development"/><ref>[http://oeis.org/A215447 OEIS A215447]. {{Wayback|url=http://oeis.org/A215447 |date=20170913135716 }}.</ref>
: <math>\frac{2}{3} \left(2 E\left(\frac{3}{4}\right) + K\left(\frac{3}{4}\right)\right)r^3,</math>
где ''K'' и ''E'' означают полные [[Эллиптический интеграл|эллиптические интегралы]] первого и второго рода соответственно. Численный расчёт даёт
: <math>V \approx 3{,}0524184684\,r^3.</math>

== Кинетика ==
[[Файл:Oloid_in_Deutsches_Museum_2.webm|right|thumb|300px|Видео катящегося олоида, снятое [[Немецкий музей (Мюнхен)|Немецким музеем]] в [[Мюнхен]]е]]
Во время качения каждая точка поверхности олоида касается плоскости, по которой она катится<ref name="development"/>. В отличие от большинства аксиально-симметричных объектов (цилиндр, сфера и т. д.), при качении на плоской поверхности его центр масс движется по траектории [[Меандр (математика)|меандра]], а не линии. При каждом обороте расстояние между центром массы олоида и поверхностью качения имеет два минимума и два максимума. Разница между максимальной и минимальной высотой определяется формулой
: <math>\Delta h = r\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 3\frac{\sqrt{3}}{8}\right) \approx 0{,}0576\,r,</math>
где ''r'' — радиус дуги олоида. Поскольку эта разница довольно маленькая, движение олоида достаточно плавное. В каждой точке во время этого движения качения олоид касается плоскости в сегменте линии. Длина этого отрезка остаётся неизменной по всему движению и определяется выражением<ref name="development"/><ref>
{{citation
 |last1        = Kuleshov
 |first1       = Alexander S.
 |last2        = Hubbard
 |first2       = Mont
 |last3        = Peterson
 |first3       = Dale L.
 |last4        = Gede
 |first4       = Gilbert
 |contribution = Motion of the Oloid-toy
 |title        = Proc. 7th European Nonlinear Dynamics Conference, 24–29 July 2011, Rome, Italy
 |lang         = en
 |url          = http://w3.uniroma1.it/dsg/enoc2011/proceedings/pdf/Kuleshov_et_al_6pages.pdf
 |year         = 2011
 |url-status   = dead
 |archiveurl   = https://web.archive.org/web/20131228151322/http://w3.uniroma1.it/dsg/enoc2011/proceedings/pdf/Kuleshov_et_al_6pages.pdf
 |archivedate  = 2013-12-28
 |access-date  = 2017-09-13
}}. {{Wayback|url=http://w3.uniroma1.it/dsg/enoc2011/proceedings/pdf/Kuleshov_et_al_6pages.pdf |date=20131228151322 }}.
</ref>
: <math>l = \sqrt{3} r.</math>

== Связанные формы ==
<imagemap>
File:Comparison_oloid_sphericon_3D.svg|thumb|Сравнение олоида (слева) и сферикона (справа) в [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Comparison_oloid_sphericon_3D.svg SVG изображении]. Щёлкните по изображению для просмотра анимации.
default [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Comparison_oloid_sphericon_3D.svg]
</imagemap>
{{nobots}}
[[Сферикон]] — выпуклая оболочка двух полукругов в перпендикулярных плоскостях с центрами в одной точке. Его поверхность состоит из кусков четырёх конусов. Он похож на олоид и, подобно ему, представляет собой развитую поверхность, которая может быть разработана путем прокатки. Однако его экватор представляет собой квадрат, в отличие от экватора олоида, который углов не имеет.

== Примечания ==
{{примечания|30em}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=GM3_JuFgJ2E Rolling oloid] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=GM3_JuFgJ2E |date=20180824081128 }}, снято Швейцарским научным центром Technorama, Винтертур.
* [http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=oloid Paper model oloid] {{Wayback|url=http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=oloid |date=20170831000725 }}. Сделай собственный олоид.
* [https://web.archive.org/web/20180515223436/http://www.cs.columbia.edu/~Keenan/Projects/ModelRepository/#oloid Меш олоида и код для его генерации].
* {{cite web
 |url          = https://www.popmech.ru/design/383882-oloid-matematicheski-sovershennoe-proizvedenie-iskusstva/
 |title        = Олоид: математически совершенное произведение искусства
 |work         = [[Популярная механика]]
 |publisher    = popmech.ru
 |accessdate   = 2017-09-13
 |archive-date = 2017-09-17
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20170917032754/https://www.popmech.ru/design/383882-oloid-matematicheski-sovershennoe-proizvedenie-iskusstva/
 |url-status     = live
}}

{{ВС}}

[[Категория:Поверхности]]