Просмотр кода страницы Омега (постоянная)

'''Постоянная омега''' — это [[математическая константа]], определяемая как единственное [[действительное число]], которое удовлетворяет уравнению

:: <math>\Omega e^{\Omega} = 1</math>.

Это значение <math>W(1)</math>, где <math>W</math> — [[W-функция Ламберта]]. Название происходит от альтернативного названия W-функции Ламберта — омега-функции. Числовое значение <math>\Omega</math>:

:: <math>\Omega = 0.567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots</math> ({{OEIS|A030178}})
:: <math>\frac{1}{\Omega} = 1.763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots</math> ({{OEIS|A030797}})

== Свойства ==

=== Представление в виде неподвижной точки отображения ===
Определяющее соотношение можно выразить, например, как

:: <math>\ln\biggl(\frac{1}{\Omega}\biggr) = \Omega</math>

или

:: <math>-\ln(\Omega) = \Omega</math>

или

:: <math>e^{-\Omega} = \Omega</math>

=== Вычисление ===
Можно вычислить <math>\Omega</math> [[Метод итерации|итеративно]], начав с первоначального предположения <math>\Omega_0</math> и рассмотрев [[последовательность]]

:: <math>\Omega_{n+1} = e^{-\Omega_n}</math>

Эта последовательность сходится к <math>\Omega</math>, когда n стремится к бесконечности. Это потому, что <math>\Omega</math> является притягивающей неподвижной точкой функции 
<math>e^{-x}</math>.
Однако намного эффективнее использовать рекуррентное соотношение

:: <math>\Omega_{n+1} = \frac{1 + \Omega_n}{1 + e^{\Omega_n}}</math>,

потому что функция

:: <math>f(x)=\frac{1+x}{1+e^x}</math>,

помимо того, что имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

Используя [[метод Галлея]], <math>\Omega</math> можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости:

:: <math>\Omega_{j+1}=\Omega_j-\frac{\Omega_j e^{\Omega_j}-1}{e^{\Omega_j}(\Omega_j+1)-\frac{(\Omega_j+2)(\Omega_je^{\Omega_j}-1)}{2\Omega_j+2}}</math>.

=== Интегральные представления ===
Тождество Виктора Адамчика:

:: <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{dt}{(e^t-t)^2+\pi^2} = \frac{1}{1+\Omega}</math>.

Еще одно соотношение, связанное с И. Мезо<ref>{{cite web|url=https://sites.google.com/site/istvanmezo81/others|title=An integral representation for the principal branch of Lambert the ''W'' function|first1=Mező|archive-url=https://web.archive.org/web/20161228033902/https://sites.google.com/site/istvanmezo81/others|archive-date=2016-12-28|access-date=2017-11-07|last1=István|url-status=dead}}</ref><ref>{{cite arXiv|last=Mező|first=István|title=An integral representation for the Lambert W function|date=2020|eprint=2012.02480}}.</ref>:

:: <math>\Omega=\frac{1}{\pi}\operatorname{Re}\int_0^\pi\log\left(\frac{e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}\right) dt</math>,
:: <math>\Omega=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\log\left(1+\frac{\sin t}{t}e^{t\cot t}\right)dt</math>.

== Трансцендентность ==
Константа <math>\Omega</math> [[Трансцендентное число|трансцендентна]]. Это можно рассматривать как прямое следствие [[Теорема Линдемана — Вейерштрасса|теоремы Линдемана — Вейерштрасса]]. Предположим, что <math>\Omega</math> алгебраическое. По теореме <math>e^{-\Omega}</math> трансцендентно, но <math>\Omega=e^{-\Omega}</math>; противоречие. Следовательно, <math>\Omega</math> должно быть трансцендентным числом. 

== См. также ==
* [[W-функция Ламберта]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Источники ==

* {{MathWorld|urlname=OmegaConstant|title=Omega Constant}}
* {{citation|title=Omega constant (1,000,000 digits)|url=http://ankokudan.org/d/d.htm?mathlistindex-e.html|work=[[Darkside communication group]] (in Japan)|access-date=2017-12-25}}

{{Числа с собственными именами}}

[[Категория:Числа с собственными именами]]
[[Категория:Трансцендентные числа]]
[[Категория:Математические константы]]