Просмотр кода страницы Операционное исчисление

'''Операционное исчисление''' — один из методов [[Математический анализ|математического анализа]], позволяющий в ряде случаев с помощью простых средств решать сложные математические задачи.

== История ==
В середине [[XIX век]]а появился ряд сочинений, посвящённых так называемому ''символическому исчислению'' и применению его к решению некоторых типов линейных [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]]. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования <math>p  = {d\over dt} </math> ([[теория операторов]]).
В 1862 году в [[Киев]]е вышла обстоятельная монография профессора-математика [[Ващенко-Захарченко, Михаил Егорович|Михаила Ващенко-Захарченко]] «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений».{{значимость факта}} В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В [[1892 год в науке|1892 году]] появились работы английского учёного [[Хевисайд, Оливер|Оливера Хевисайда]], посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил [[обратный оператор]] однозначно, полагая <math>\frac{1}{p}f(t)  = \int\limits_{0}^{t}\!f(u)\,du </math> и считая <math>f(u)=0</math> для <math>u<0</math>. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.

Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между [[Преобразование Лапласа|функциональным преобразованием Лапласа]] <math>\bar{f}(p)  = L \left[f(t)\right]  =\int\limits_{0}^\infty\! e^{-pt} f(t)\,dt</math> и оператором дифференцирования <math>{d\over dt}. </math> Именно, если существует производная <math>f^\prime(t)</math>, для которой <math>L\left[{df\over dt}\right]</math> существует и <math>f(0)=0</math>, то <math>L\left[{df\over dt}\right]=p \bar{f}(p)</math>.

В 1950-е годы теоретическое обоснование операционного исчисления продолжил [[Микусинский, Ян|Ян Микусинский]], его идеи отличаются оригинальным взглядом и новаторским подходом, его вариант операционного исчисления получил название «операционное исчисление по Микусинскому». Этот метод может быть применён для решения дифференциальных уравнений и основан на использовании операции свёртки с применением [[Преобразование Фурье|преобразования Фурье]].

== Свойства изображений ==
* '''Линейность'''
Оригинал [[Линейная комбинация|линейной комбинации]] функций равен линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.
: <math>a\cdot f(t)+b\cdot g(t) \quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),</math>
где a и b — произвольные [[Комплексное число|комплексные числа]].

* '''Теорема подобия'''
: <math>f(at) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} F \left(  \frac{p}{a}  \right),</math>
где a>0.

* '''Дифференцирование оригинала'''
: <math>f(t) \quad \Rightarrow \quad F(p);</math>
: <math>f'(t) \quad \Rightarrow \quad pF(p) - f(0);</math>
: <math>f''(t) \quad \Rightarrow \quad p^2F(p) - pf(0) - f'(0);</math>
: <math>f'''(t) \quad \Rightarrow \quad p^3F(p) - p^2f(0) - pf'(0) - f''(0);</math>
: <math>...</math>
: <math>f^{(n)}(t) \quad \Rightarrow \quad p^nF(p) - p^{n-1}f(0) - p^{n-2}f'(0) - p^{n-3}f''(0) - ... - f^{(n-1)}(0).</math>

* '''Дифференцирование изображения'''
: <math>-tf(t) \quad \Rightarrow \quad F'(p).</math>

* '''Интегрирование оригинала'''
: <math> \int\limits_0^t f(t)dt \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{p}F(p).</math>

* '''Интегрирование изображения'''
: <math> \frac{f(t)}{t} \quad \Rightarrow \quad  \int\limits_p^{\infty} F(p)dp
.</math>

* '''Теорема смещения'''
: <math> e^{at}f(t) \quad \Rightarrow \quad  F(p-a).</math>

* '''Теорема запаздывания'''
: <math> f(t-\tau) \quad \Rightarrow \quad  e^{-p\tau}F(p).</math>

* '''Теорема умножения (свёртки)'''
: <math> \int\limits_0^tf(\tau)g(t-\tau)d\tau \quad \Rightarrow \quad  F(p)\cdot G(p).</math>

== Изображения различных функций ==
{{нет источников в разделе|дата=2021-05-20}}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Оригинал
! Изображение
!
! Оригинал
! Изображение
!
! Оригинал
! Изображение
|-
| <math>C</math>
| <math>\frac{C}{p}</math>
|
| <math>t\cdot \sin~\omega t</math>
| <math>\frac{2p\omega}{(p^2+\omega^2)^2}</math>
|
| <math>t\cdot \operatorname{sh}~\omega t</math>
| <math>\frac{2p\omega}{(p^2-\omega^2)^2}</math>
|-
| <math>e^{at}</math>
| <math>\frac{1}{p-a}</math>
|
| <math>t\cdot \cos~\omega t</math>
| <math>\frac{p^2-\omega^2}{(p^2+\omega^2)^2}</math>
|
| <math>t\cdot \operatorname{ch}~\omega t</math>
| <math>\frac{p^2+\omega^2}{(p^2-\omega^2)^2}</math>
|-
| <math>\sin~\omega t</math>
| <math>\frac{\omega}{p^2+\omega^2}</math>
|
| <math>\operatorname{sh}~\omega t</math>
| <math>\frac{\omega}{p^2-\omega^2}</math>
|
| <math>t^n</math>
| <math>\frac{n!}{p^{n+1}}</math>
|-
| <math>\cos~\omega t</math>
| <math>\frac{p}{p^2+\omega^2}</math>
|
| <math>\operatorname{ch}~\omega t</math>
| <math>\frac{p}{p^2-\omega^2}</math>
|
| <math>t^a</math>
| <math>\frac{\Gamma (a+1)}{p^{a+1}}</math>
|-
| <math>e^{at}\sin~\omega t</math>
| <math>\frac{\omega}{(p-a)^2+\omega^2}</math>
|
| <math>e^{at}\operatorname{sh}~\omega t</math>
| <math>\frac{\omega}{(p-a)^2-\omega^2}</math>
|
| <math>e^{at}t^n</math>
| <math>\frac{n!}{(p-a)^{n+1}}</math>
|-
| <math>e^{at}\cos~\omega t</math>
| <math>\frac{p-a}{(p-a)^2+\omega^2}</math>
|
| <math>e^{at}\operatorname{ch}~\omega t</math>
| <math>\frac{p-a}{(p-a)^2-\omega^2}</math>
|
|
|
|}

== Применение операторных методов в электротехнике ==
{{see also|Операторный метод расчёта переходных процессов}}
[[Файл:Transient in RL-circuit.gif|thumb|[[Переходные процессы в электрических цепях|Переходный процесс]] в коммутируемой [[LR-цепь|RL-цепочке]]]]

=== Задача ===
На рисунке изображена [[Переходные процессы в электрических цепях|коммутируемая]] [[LR-цепь|RL-цепочка]]. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

=== Решение традиционным методом ===
Согласно второму [[Правила Кирхгофа|закону Кирхгофа]], схема описывается следующим дифференциальным уравнением:
: <math>U = iR + L\frac{di}{dt}, </math>
где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй — на индуктивности L.

Делаем замену переменной <math>i=ab</math> и приводим уравнение к виду:
: <math>U = Rab + L(a'b+ab');  \qquad  U = a(Rb + Lb')+La'b. </math>
Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:
: <math>Rb + Lb'=0. </math>
Разделяем переменные:
: <math>\frac{b'}{b} = -\frac{R}{L}; \qquad
\ln b = -\frac{R}{L}t; \qquad
b = e^{-\frac{R}{L}t}.
</math>
С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду
: <math>U = La'e^{-\frac{R}{L}t}; \qquad
a'=\frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L}; </math>
Интегрируя, получаем
: <math>a=\frac{L}{R}\cdot \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L}+C = \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C; \qquad </math>
Получаем выражение для тока
: <math>i=ab=
\left( \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C \right) \cdot e^{-\frac{R}{L}t} 
= \frac{U}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}t};
</math>

Значение [[Постоянная интегрирования|постоянной интегрирования]] находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:
: <math>i(0)=0; \qquad
\frac{U}{R}+C=0;\qquad
C = -\frac{U}{R}.
</math>
Окончательно получаем
: <math>i=
\frac{U}{R} \left( 1-e^{-\frac{R}{L}t} \right).
</math>

=== Решение операторным методом ===
Найдём изображения каждого из слагаемых дифференциального уравнения:

: <math>i \Rightarrow I; \qquad
U \Rightarrow \frac{U}{p}; \qquad
iR \Rightarrow IR; \qquad
L\frac{di}{dt} \Rightarrow L \left[ pI-i(0) \right]= pLI.</math><ref>В иностранной литературе комплексная переменная ''p'' обычно обозначается буквой ''s''.</ref>

<math>U \Rightarrow \frac{U}{p}</math> получается потому, что изменение ''U'' во времени выражается функцией ''U = H(t)U'' (ключ замкнули в момент ''t'' = 0), где ''H(t)'' — ступенчатая [[функция Хевисайда]] (единичная функция), (''H(t)'' = 0 при ''t'' < 0 и ''H(t)'' = 1 при ''t'' = 0 и ''t'' > 0, причём изображение ''H(t)'' есть 1/''p'').

Получаем следующее изображение дифференциального уравнения
: <math>\frac{U}{p}=RI+pLI=I(R+pL).
</math>
Из последнего выражения найдём изображение тока:
: <math>I=\frac{U}{p(R+pL)}.</math>
Таким образом, решение сводится к нахождению оригинала тока по известному изображению.
Разложим правую часть уравнения на элементарные дроби:
: <math>\frac{U}{p(R+pL)} = \frac{A}{p}+\frac{B}{R+pL}
= \frac{A(R+pL)+Bp}{p(R+pL)}
= \frac{AR+p(AL+B)}{p(R+pL)};</math>
: <math>AR=U; \qquad  A = \frac{U}{R};</math>
: <math>AL+B=0; \qquad  B=-AL= -\frac{UL}{R};</math>
: <math>I = \frac{U}{Rp}-\frac{UL}{R(R+pL)}
=\frac{U}{Rp}-\frac{U}{R(\frac{R}{L}+p)}
=\frac{U}{R} \left(\frac{1}{p} - \frac{1}{\frac{R}{L}+p} \right).</math>
Найдём оригиналы элементов последнего выражения:
: <math>\frac{1}{p} \Leftarrow 1; \qquad  \frac{1}{\frac{R}{L}+p} \Leftarrow e^{-\frac{R}{L}t}.</math>
Окончательно получаем
: <math>i = \frac{U}{R} \left( 1-e^{-\frac{R}{L}t} \right).</math>

=== Вывод ===
Операционное исчисление чрезвычайно удобно в электротехнике для расчёта динамических режимов различных цепей. Алгоритм расчёта следующий.

1) Все элементы цепи рассматриваем как сопротивления Z<sub>i</sub>, величины которых находим исходя из изображений переходных функций соответствующих элементов.

Например, для резистора:
: <math>u = iR; \quad \Rightarrow \quad U=IR \quad \Rightarrow \quad Z_R = R.</math>

Для индуктивности:
: <math>u = L\frac{di}{dt} \quad \Rightarrow \quad U=IpL  \quad \Rightarrow \quad Z_L = pL.</math>

Для ёмкости:
: <math>u = \frac{1}{C} \int idt \quad \Rightarrow \quad U=\frac{I}{pC}  \quad \Rightarrow \quad Z_C = \frac{1}{pC}.</math>

2) Используя указанные значения сопротивлений, находим изображения токов в цепи, используя стандартные методы расчёта цепей, применяемые в электротехнике.

3) Имея изображения токов в цепи, находим оригиналы, которые и являются решением дифференциальных уравнений, описывающих цепь.

== Применение операционного исчисления ==
Операторные методы применяются в [[теория электрических цепей|теории электрических цепей]], [[теория автоматического управления|теории автоматического управления]], [[теория сигналов|теории сигналов]], [[теоретическая механика|теоретической механике]]. Переход к изображениям позволяет перейти от решения дифференциальных уравнений к алгебраическим. Операционное исчисление позволяет работать с [[разрывная функция|разрывными функциями]], например [[функция-«ножницы»]], импульс, [[дельта-функция]] и другие. Эта особенность отличает операционное исчисление от {{нет АИ 2|математического анализа с его непрерывностью и дифференцированностью в каждой точке|24|05|2021}}. Однако, операционное исчисление является разделом [[Комплексный анализ|комплексного анализа]].

=== Замечания ===
Полученные выше выражения для операторного сопротивления различных элементов с точностью до преобразования
: <math>p \rightarrow j\omega</math>
совпадают с соответствующими выражениями для сопротивлений в цепях переменного тока:

: <math>Z_R = R; \qquad  Z_L = j\omega L; \qquad  Z_C = \frac{1}{j\omega C}.  </math>

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор = Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И.
|часть =
|заглавие = Лекции по теории функций комплексного переменного
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = 
|год = 1989
|страницы = 479
|isbn = 5-02-013954-8
}}
* {{книга
|автор = Брейсуэлл Р.
|часть =
|заглавие = Преобразование Хартли
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = 
|год = 1990
|страницы = 172
|isbn = 
}}
* {{книга
|автор = Деч Г. 
|часть =
|заглавие = Преобразование Лапласа
|ссылка = https://archive.org/details/libgen_00006280
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = 
|год = 1971
|страницы = [https://archive.org/details/libgen_00006280/page/n287 288]
|isbn = 
}}

* {{книга
|автор = Диткин В. А., Прудников А. П.
|часть =
|заглавие = Операционное исчисление
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = 
|год = 1975
|страницы = 408
|isbn = 
}}
* {{книга
|автор = Конторович М. И.
|часть =
|заглавие = Операционное исчисление
|ссылка = https://archive.org/details/libgen_00142227
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = 
|год = 1955
|страницы = [https://archive.org/details/libgen_00142227/page/n228 229]
|isbn = 
}}
* {{книга
|автор = Мартыненко В. С.
|часть =
|заглавие = Операционное исчисление
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = 
|год = 1990
|страницы = 359
|isbn = 
}}
* {{книга
|автор = Микусинский Ян
|часть =
|заглавие = Операторное исчисление
|ссылка = https://archive.org/details/libgen_00006342
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = 
|год = 1956
|страницы = [https://archive.org/details/libgen_00006342/page/n362 363]
|isbn = 
}}
* {{книга
|автор = Шостак Р. Я.
|часть =
|заглавие = Операционное исчисление
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = 
|год = 1972
|страницы = 274
|isbn =
}}

* {{книга
|автор = Штокало И. З.
|часть =
|заглавие = Операционное исчисление
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = 
|год = 1972
|страницы = 304
|isbn =
}}

* {{книга
|автор = Эйдерман В. Я.
|часть =
|заглавие = Операционное исчисление
|ссылка = https://archive.org/details/isbn_5922102834
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = «[[Физматлит (издательство)|Физматлит]]»
|год = 2002
|страницы = [https://archive.org/details/isbn_5922102834/page/n255 256]
|isbn = 5-9221-0283-4
}}

* {{публикация|книга
|автор = Пантелеев А. В., Якимова А. С.
|часть =
|заглавие = Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах
|вид = учебное пособие
|ссылка = https://archive.org/details/isbn_5060041352
|оригинал = 
|издание = 
|место =  
|издательство = «[[Выс. шк. (издательство)|Выс. шк.]]»
|год = 2001
|страницы = [https://archive.org/details/isbn_5060041352/page/n444 445]
|isbn = 5-06-004135-2
}}
[[Категория:Операционное исчисление| ]]