Просмотр кода страницы Оптимальное управление

{{универсальная карточка}}
'''Оптимальное управление''' — задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы<ref name="techcyber">''Самойленко В. И., Пузырев В. А., Грубрин И. В.'' «Техническая кибернетика», учеб. пособие, М., изд-во [[МАИ]], 1994, 280 с. ил., ISBN 5-7035-0489-9, гл. 4 «Оптимальные системы управления динамическими объектами и процессами», с. 63-113;</ref>.
== Определение ==
Задача оптимального управления включает в себя расчет оптимальной программы управления и синтез системы оптимального управления. Оптимальные программы управления, как правило, рассчитываются численными методами нахождения экстремума функционала или решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений{{sfn|Моисеев|с=114|1975}}. Синтез систем оптимального управления с математической точки зрения представляет собой задачу [[Нелинейное программирование|нелинейного программирования]] в функциональных пространствах{{sfn|Моисеев|с=316|1975}}.

Для решения задачи определения программы оптимального управления строится [[математическая модель]] управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния<ref>''[[Растригин, Леонард Андреевич|Растригин Л. А.]]'' Этот случайный, случайный, случайный мир. — М., Молодая гвардия, 1969. — С. 47 — 50</ref>.

Если математическая модель управляемого объекта или процесса заранее неизвестна, то для её определения необходимо провести процедуру [[Идентификация систем|идентификации]] управляемого объекта или процесса<ref>{{книга | автор  = [[Растригин, Леонард Андреевич|Растригин Л. А.]], Маджаров Н. Е. | | заглавие = Введение в идентификацию объектов управления | место = М. |издательство = Энергия | год = 1977 |страниц = 216 | ref = Растригин}}</ref>

Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных]] или [[Разностное уравнение|разностных]] уравнений{{sfn|Моисеев|с=79—89|1975}}, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств<ref>Коршунов Ю. М. «Математические основы кибернетики», учеб. пособие для вузов, 2-е изд., перераб. и доп., М., «Энергия», 1980, 424 с., ил., ББК 32.81 6Ф0.1, гл. 5 «Структура и математическое описание задач оптимального управления», c. 202;</ref>.

Все задачи оптимального управления можно рассматривать как задачи [[математическое программирование|математического
программирования]] и в таком виде решать их численными методами.{{sfn|Табак|с=18|1975}}{{sfn|Моисеев|с=304—368|1975}}

При оптимальном управлении иерархическими многоуровневыми системами, например, крупными химическими производствами,
металлургическими и энергетическими комплексами, применяются многоцелевые и многоуровневые иерархические системы оптимального управления. В математическую модель вводятся критерии качества управления для каждого уровня управления и для всей системы в целом, а также координация действий между уровнями управления<ref>''Месарович М., Мако Д., Ткахара И.''
Теория иерархических многоуровневых систем — М., Мир, 1973. — с. 344</ref>{{sfn|Моисеев|с=465—520|1975}}.

Если управляемый объект или процесс является детерминированным, то для его описания используются дифференциальные уравнения. Наиболее часто используются обыкновенные дифференциальные уравнения вида <math>\dot{x}(t)=a[x(t),u(t),t]</math>. В более сложных математических моделях (для систем с распределёнными параметрами) для описания объекта используются [[дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальные уравнения в частных производных]]. Если управляемый объект является стохастическим, то для его описания используются [[стохастическое дифференциальное уравнение|стохастические дифференциальные уравнения]].

Для решения задач оптимального управления в условиях конфликта или неопределенности используется теория [[Дифференциальные игры|дифференциальных игр]].<ref>''Красовский Н. Н., Субботин А. И.'' Позиционные дифференциальные игры. - М., Наука, 1974. - с. 24</ref>

Если решение поставленной задачи оптимального управления не является непрерывно зависящим от исходных данных ([[некорректные задачи|некорректная задача]]), то такая задача решается специальными численными методами.<ref>''Васильев Ф. П.'' Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981. — С. 159.</ref>

Для решения задач оптимального управления с неполной исходной информацией и при наличии ошибок измерений используется метод максимального правдоподобия{{sfn|Моисеев|с=351—368|1975}}.

Система оптимального управления, способная накапливать опыт и улучшать на этой основе свою работу, называется [[Обучающаяся система|обучающейся системой]] оптимального управления<ref>''Цыпкин Я. З.'' Основы теории обучающихся систем. — М.: Наука, 1970. — С. 252.</ref>.

Реальное поведение объекта или системы всегда отличается от программного вследствие неточности в начальных условиях, неполной информации о внешних возмущениях, действующих на объект, неточности реализации программного управления и т. д. Поэтому для минимизации отклонения поведения объекта от оптимального обычно используется [[Система управления|система автоматического регулирования]].<ref>''Александров А. Г.'' Оптимальные и адаптивные системы. — М.: Высшая школа, 1989. — 263 с. ISBN 5-06-000037-0</ref>

Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств ([[нечёткое управление]]). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные.<ref>Методы робастного, нейро-нечёткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н. Д. Егупова, изд. 2-е, стер., М., Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2002, 744 с ил., ISBN 5-7038-2030-8, тир. 2000 экз, ч. 2 «Нечёткое управление»</ref>{{sfn|Моисеев|с=465—520|1975}}

Для решения задач оптимального управления очень большой размерности, не позволяющей их решать методами классической математики, используются методы [[ситуационное управление|ситуационного управления]].

Для оптимального управления экономическими процессами применяются методы [[экономическая кибернетика|экономической кибернетики]], [[теория игр|теории игр]], [[теория графов|теории графов]]<ref>''[[Теплов, Лев Павлович|Теплов Л.]]'' Что считать: популярные очерки по экономической кибернетике. — М., Московский рабочий, 1970. — 317 c.</ref>

== Оптимальное управление детерминированными системами ==

=== Системы с сосредоточенными параметрами ===
Наиболее широко при проектировании систем управления детерминированными объектами c сосредоточенными параметрами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, применяются следующие методы: [[вариационное исчисление]], [[принцип максимума Понтрягина]] и [[динамическое программирование]] [[Беллман, Ричард|Беллмана]]<ref name="techcyber" />.

==== Задача оптимального управления ====
Сформулируем задачу оптимального управления:

* Уравнения состояния: <math>\dot{x}(t)=a[x(t),u(t),t]</math> (1).
* Граничные условия <math>x(t_0)=x_{0}^{*}</math>, <math>x(t_1)=x_{1}^{*}</math> (2).
* Минимизируемый функционал: <math>\eta=\int_{t_0}^{t_1}F[x(\tau),\dot{x}(\tau),\tau]d\tau,</math>.

здесь <math>x(t)</math> — вектор состояния <math>u(t)</math> — управление, <math>t_{0}, t_{1}</math> — начальный и конечный моменты времени.

Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния <math>x(t)</math> и управления <math>u(t)</math> для времени <math>({t_0}\le{t}\le{t_1})</math>, которые минимизируют функционал.

==== Вариационное исчисление ====
{{main|Вариационное исчисление}}
Рассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа [[Вариационное исчисление|вариационного исчисления]]<ref name="galeev">Э. М. Галеев, [[Тихомиров, Владимир Михайлович|В. М. Тихомиров]] «Оптимизация: теория, примеры, задачи», М., «Эдиториал УРСС», 2000, 320 с., ISBN 5-8360-0041-7, гл. 3 «Вариационное исчисление», п. 6 «Задача Лагранжа», с. 173—181;</ref>. Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа<ref name="galeev" />. Функция Лагранжа <math>\Lambda</math> имеет вид: <math>\Lambda=\int_{t_0}^{t_1}(F[x(t),\dot{x}(t),t]+\lambda_1^T(t)(\dot{x}(t)-a[x(t),u(t),t]))dt+l</math>, где <math>l=\lambda_2^T(x(t_0)-x_{0}^{*})+\lambda_3^T(x(t_1)-x_{1}^{*})</math> — граничные условия. Лагранжиан <math>L</math> имеет вид: <math>L[x(t),\dot{x}(t),u(t),\lambda(t),t]=F[x(t),\dot{x}(t),t]+\lambda_1^T(t)(\dot{x}(t)-a[x(t),u(t),t])</math>, где <math>\lambda_1</math>, <math>\lambda_2</math>, <math>\lambda_3</math> — [[Вектор (математика)|n-мерные вектора]] [[Метод множителей Лагранжа|множителей Лагранжа]].

Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:

* стационарность по u: <math>\hat{L}_{u}=0</math>, (3)
* стационарность по x, уравнение Эйлера: <math>\hat{L}_{x}-\frac{d}{dt}\hat{L}_{\dot{x}}=0</math> (4)
* трансверсальность по x: <math>\hat{L}_{\dot{x}}(t_0)=\hat{l}_{x(t_0)}</math>, <math>\hat{L}_{\dot{x}}(t_1)=-\hat{l}_{x(t_1)}</math> (5)

Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть — в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге<ref>«Численные методы в теории оптимальных систем», [[Моисеев, Никита Николаевич|Моисеев Н. Н.]], «Наука», 1971, 424 стр. с илл., гл. 2 «Численные методы расчета оптимальных программ, использующие необходимые условия экстремума», с 80 — 155;</ref>

==== Принцип максимума Понтрягина ====
[[Файл:Понтрягин_Лев_Семёнович.jpg|thumb| [[Лев Семёнович Понтрягин]].]]

Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае, когда нигде в допустимом диапазоне [[Управляющая переменная|управляющей переменной]] невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно <math>\hat{L}_{u}=0</math>.

В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):

: <math>\begin{align} \min_{u \in U}L(t,x(t),\dot{x}(t),u)&=L(t,\hat{x}(t),\dot{x}(t),\hat{u}) \Longleftrightarrow\\
&\Longleftrightarrow \min_{ u \in U}\left(F(t,x(t),u)-\lambda(t)a(t,x(t),u)\right)=f(t)-\lambda(t)a(t). \end{align}</math> (6)

В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона.
Уравнения Понтрягина записываются при помощи [[Функция Гамильтона|функции Гамильтона]] <math>H</math>, определяемой соотношением <math>H = F(t,x(t),u) - \lambda(t)a(t,x(t),u)</math>.
Из уравнений следует, что функция Гамильтона <math>H</math> связана с [[Функция Лагранжа|функцией Лагранжа]] <math>L</math> следующим образом: <math>L=H+\lambda(t)\dot{x}(t)</math>. Подставляя <math>L</math> из последнего уравнения в уравнения (3—5), получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:

* уравнение управления по u: <math>\hat{H}_{u}=0</math>, (7)
* уравнение состояния: <math>\dot{x}=-\hat{H}_{\lambda}</math>, (8)
* сопряжённое уравнение: <math>\dot{\lambda}=-\hat{H}_{x}</math>, (9)
* трансверсальность по x: <math>\lambda (t_0) =\hat{l}_{x(t_0)}</math>, <math>\lambda (t_1)=-\hat{l}_{x(t_1)}</math> (10)

Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина.
Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге<ref name="galeev" />.

===== Пример =====
Пусть требуется решить задачу минимизации функционала:

: <math>\int_{0}^{1}(u^{2}-4x)dt</math>, где <math>\frac{dx}{dt} = u</math>, <math>0 \leqslant u \leqslant 1</math>, <math>x(0)=0</math>.

Функция Гамильтона в данном случае имеет вид:

: <math>H = \lambda u - u^2 + 4x</math>.

Из условий 9) и 10) находим, что:

: <math>\lambda = 4 - 4t</math>, <math>t \in [0, 1]</math>.

Получаем:

: <math>H = (4-4t)u-u^2+4x</math>.

Максимум этой функции по <math>u</math>, <math>0 < u < 1</math>, достигается при <math>u=u^{*}(t)</math>, где

: <math>u^{*}(t) = \begin{cases}
  1,  & \mbox{if } 0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{2} \\
  2-2t, & \mbox{if } \frac{1}{2} \leqslant t \leqslant 1
\end{cases}</math>

По условию, <math>\frac{dx^{*}(t)}{dt} = u^{*}(t)</math>. Значит:

: <math>x^{*}(t) = \begin{cases}
  t+c_{1},  & \mbox{if } 0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{2} \\
  2t - t^{2} - c_{2}, & \mbox{if } \frac{1}{2} \leqslant t \leqslant 1
\end{cases}</math>

Из <math>x^{*}(0) = 0</math>, получаем <math>c_{1} = 0</math>. Из условия непрерывности <math>x^{*}(t)</math> в точке <math>t = \frac{1}{2}</math> найдем постоянную <math>c_{2} = - \frac{1}{4}</math>.

Таким образом:

: <math>x^{*}(t) = \begin{cases}
  t,  & \mbox{if } 0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{2} \\
  2t - t^{2} - \frac{1}{4}, & \mbox{if } \frac{1}{2} \leqslant t \leqslant 1
\end{cases}</math>

Можно проверить, что найденные <math>x^{*}(t)</math> и <math>u^{*}(t)</math> составляют оптимальное решение данной задачи<ref>''Барбаумов В. Е., Ермаков В. И., Кривенцова Н. Н.'' Справочник по математике для экономистов. — М., Высшая школа, 1987. — с. 243</ref>

===== Где применяется =====
Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.

===== История =====
За разработку теории оптимального управления [[Понтрягин, Лев Семёнович|Л. С. Понтрягину]] и его сотрудникам [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянскому]], [[Гамкрелидзе, Реваз Валерианович|Р. В. Гамкрелидзе]], и [[Мищенко, Евгений Фролович|Е. Ф. Мищенко]] в 1962 году была присуждена [[Ленинская премия]].

==== Метод динамического программирования ====
Метод динамического программирования основан на принципе оптимальности Беллмана, который формулируется следующим образом: оптимальная стратегия управления обладает тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние и управление в начале процесса, последующие управления должны составлять оптимальную стратегию управления относительно состояния, полученного после начальной стадии процесса<ref>[[Беллман, Ричард|Беллманн Р.]] «Динамическое программирование», ИЛ, М., 1960;</ref>. Более подробно метод динамического программирования изложен в книге<ref>«Численные методы в теории оптимальных систем», [[Моисеев, Никита Николаевич|Моисеев Н. Н.]], «Наука», 1971, 424 стр. с илл., гл. 3 «Прямые методы теории оптимального управления», с 156—265;</ref>

==== Достаточные условия оптимальности ====
Достаточные условия оптимальности управляемых процессов были получены в 1962 году [[Кротов, Вадим Федорович|В. Ф. Кротовым]], на их основе были построены итерационные вычислительные методы последовательного улучшения, позволяющие находить глобальный оптимум в задачах управления<ref>''Воронов А. А.'' Теория автоматического управления. Т. 1. — М.: Высшая школа, 1986, стр. 294—304.</ref><ref>''Васильев Ф. П.'' Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1988, стр. 522—530.</ref><ref>''Кротов В. Ф.'' Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. I—IV // Автоматика и телемеханика, 1962, т. 23, № 12, стр. 1571—1583; 1963, т. 24, № 5, стр. 581—598; 1963, т. 24, № 7, стр. 826—843; 1965, т. 26, № 1, стр. 24-41.</ref>.

=== Оптимальное управление системами с распределёнными параметрами ===
В задачах оптимального управления такими объектами, как проходная нагревательная печь, [[теплообменный аппарат]], установка для нанесения покрытия, сушильный агрегат, [[химический реактор]], установка для разделения смесей, доменная или [[мартеновская печь]], коксовая батарея, [[прокатный стан]], печь индукционного нагрева и т. д. управляемый процесс описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными уравнениями и интегро-дифференциальными уравнениями.

Теория оптимального управления в этом случае разработана лишь для отдельных видов этих уравнений: эллиптического, параболического и гиперболического типа.

В некоторых простых случаях удается получить аналог принципа максимума Понтрягина.<ref>''[[Лионс, Жак-Луи|Ж.-Л. Лионс]]'' Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, М., Мир, 1972, 412 c.</ref><ref name="Butkovski">Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, М., Наука, 1965</ref>

Если решения систем уравнений имеют неустойчивости, точки разрыва, точки бифуркации, кратные решения, то для их получения используется ряд специальных методов<ref>''[[Лионс, Жак-Луи|Ж.-Л. Лионс]]'' Управление сингулярными распределенными системами, М., Мир, 1987, 367 c.</ref>.

==== Задача оптимального управления ====
* Задана область определения управляемого процесса <math>0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b</math>
* Уравнения, описывающие управляемый процесс: <math>\frac{\partial^{2} Q_{i}}{\partial x \partial y}=f_i(x, y, Q, \frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial y}, u);(1)</math> , где <math>Q</math> — <math>n</math> — мерный вектор, описываемый управляемый процесс, <math>\frac{\partial Q}{\partial x}</math> — <math>n</math> — мерный вектор производных вектора <math>Q</math> по координате <math>x</math>, <math>\frac{\partial Q}{\partial y}</math> — <math>n</math> — мерный вектор производных вектора <math>Q</math> по координате <math>y</math>, <math>u</math> — <math>r</math> — мерный управляющий вектор.
* Граничные условия для управляемого процесса: <math>Q_{i}(0, y)=\phi_{i}(y); Q_{i}(x, 0)=\psi_{i}(x); i=1,..., n; (2)</math>
* Задача оптимального управления состоит в том, чтобы найти такое управление <math>u(x, y)</math>, при котором допустимое уравнениями <math>(1), (2)</math> решение <math>Q(x, y)</math> приводит к максимуму функционала <math>J = \sum^{n}_{i=1} c_{i} Q_{i} (a,b)</math>.

===== Принцип максимума для систем с распределёнными параметрами =====
С целью формулировки принципа максимума для систем с распределёнными параметрами вводится функция Гамильтона: <math>H(N, Q, \frac{dQ}{dx}, \frac{dQ}{dy}, u) = \sum_{i=1}^{n} N_{i} f_{i} (x, y, Q, \frac{dQ}{dx}, \frac{dQ}{dy}, u)</math>, где вспомогательные функции <math>N_{1}(x, y), ..., N_{n}(x, y)</math> должны удовлетворять уравнениям <math>\frac{dN_{i}}{dxdy}=\frac{dH}{dQ_{i}}-\frac{d}{dx}\frac{dH}{dQ_{ix}}-\frac{d}{dy}\frac{dH}{dQ_{iy}}(2)</math> и граничным условиям <math>\frac{dN_{i}}{dx} = - \frac{dH}{dQ_{iy}}</math> при <math>y=b (3)</math>, <math>\frac{dN_{i}}{dy} = - \frac{dH}{dQ_{ix}}</math> при <math>x=a (4)</math>, <math>N_{i}(a,b)=-c_{i} (5)</math>.
{{теорема|
Если <math>u^{0}(x,y)</math> - оптимальное управление и <math>Q^{0}(x,y), N^{0}(x,y)</math> - получающиеся при оптимальном управлении функции, удовлетворяющие уравнениям <math>(1), (2), (3), (4), (5) </math>, то функция <math>H(N^{0}(x,y), Q^{0}(x,y), \frac{dQ^{0}(x,y)}{dx}, \frac{dQ^{0}(x,y)}{dy}, u)</math>, рассматриваемая как функция от аргумента <math>u</math> достигает максимума в области <math>\omega</math> при <math>u=u^{0}(x,y)</math>, то есть почти для всех точек <math>(x,y) \in D</math> выполняется равенство <math>\max_{u \in \omega}H(N^{0}(x,y), Q^{0}(x,y), \frac{dQ^{0}(x,y)}{dx}, \frac{dQ^{0}(x,y)}{dy}, u) = H(N^{0}(x,y), Q^{0}(x,y), \frac{dQ^{0}(x,y)}{dx}, \frac{dQ^{0}(x,y)}{dy}, u)</math>
}}
Если система <math>(1)</math> является линейной системой вида <math>\frac{d^{2}Q_{i}}{dxdy}=\sum_{k=1}^{n}\Bigl[ m_{ik}(x,y)\frac{dQ_{k}}{dx}+p_{ik}(x,y)\frac{dQ_{k}}{dy} + q_{ik}(x,y)Q_{k} \Bigr] + f_{i}(u)</math>, то выполняется теорема
{{теорема|
Для оптимальности управления <math>u(x,y)</math> в линейном случае необходимо и достаточно, чтобы выполнялся принцип максимума.
}}
Доказательство этих двух теорем смотри в книге<ref name="Butkovski" />.

== Оптимальное управление линейными стохастическими системами ==
В этом случае управляемый объект или процесс описывается линейными [[Стохастическое дифференциальное уравнение|стохастическими дифференциальными уравнениями]]. В этом случае решение задачи оптимального управления осуществляется на основе уравнения Риккати<ref>К. Ю. Острем Введение в стохастическую теорию управления, М., Мир, 1973</ref>.

=== Задача оптимального управления ===
* Система описывается линейными стохастическими дифференциальными уравнениями <math>dx=Axdt+Budt+dv, dy=Cxdt+de</math>, где <math>x</math> — <math>n</math>-мерный вектор состояния, <math>u</math> — <math>p</math>-мерный вектор управления, <math>y</math> — <math>v</math>-мерный вектор наблюдаемых переменных, <math>v(t), e(t)</math> — независимые винеровские процессы с нулевыми средними значениями и заданными ковариациями приращений, <math>A, B, C</math> — матрицы.
* Необходимо найти оптимальное управление, минимизирующее математическое ожидание функции потерь <math>x^T(t_1)Q_0x(t_1)+\int_{t_0}^{t_1}[x^T(t)Q_1x(t)+u^TQ_2u(t)]dt]</math>.

== См. также ==
{{colbegin|2}}
* [[Оптимизация (математика)]]
* [[Оптимальное решение]]
* [[Вариационное исчисление]]
* [[Динамическое программирование]]
* [[Математическая модель]]
* [[Дифференциальное уравнение]]
* [[Численные методы]]
{{colend}}

== Примечания ==
{{Примечания|2}}

== Литература ==
* ''Растригин Л. А.'' Современные принципы управления сложными объектами. — М.: Сов. радио, 1980. — 232 с., ББК 32.815, тир. 12000 экз.
* ''Алексеев В. М., [[Тихомиров, Владимир Михайлович|Тихомиров В. М.]], Фомин С. В.'' Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979, УДК 519.6, — 223 c., тир. 24000 экз.
* {{книга | автор = Волгин Л. Н. | заглавие = Оптимальное дискретное управление динамическими системами | место = М. | издательство  = Наука | год = 1986 | страниц = 240 | ref = Оптимальное дискретное управление динамическими системами}}
* {{книга | автор = Табак Д., Куо Б. | заглавие = Оптимальное управление и математическое программирование | место = М. | издательство  = Наука | год = 1975 | страниц = 279 | ref = Табак}}
* {{книга | автор = [[Моисеев, Никита Николаевич|Моисеев Н. Н.]] | заглавие = Элементы теории оптимальных систем | место = М. | издательство = Наука | год = 1975 | страниц = 526 | ref = Моисеев}}
* {{книга | автор = [[Галеев, Эльфат Михайлович|Галеев Э. М.]], [[Тихомиров, Владимир Михайлович|Тихомиров В. М.]]  | заглавие = Краткий курс теории экстремальных задач | место = М. | издательство = МГУ | год = 1989 | страниц = 204| isbn = 5-211-00313-6 | ref = Галеев}}
* {{книга | автор = Кротов В.Ф., Гурман В. И. | заглавие = Методы и задачи оптимального управления | место = М. | издательство = Наука | год = 1973 | страниц = | isbn = | ref = Кротов}}
* {{книга | автор = Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. | заглавие = Математическая теория оптимальных процессов | место = М. | издательство = Наука | год = 1976 | страниц = | isbn = | ref = Понтрягин}}
* {{книга | автор = Болтянский В. Г. | заглавие = Оптимальное управление дискретными системами | место = М. | издательство = Наука | год = 1973 | страниц = | isbn = | ref = Болтянский}}
* {{книга | автор = Бутковский А. Г. | заглавие = Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами | место = М. | издательство = Наука | год = 1965 | страниц = | isbn = | ref = Бутковский}}
* {{книга | автор = Бутковский А. Г. | заглавие = Методы управления системами с распределенными параметрами | место = М. | издательство = Наука | год = 1975 | страниц = | isbn = | ref = Бутковский}}
* {{книга | автор = Будак Б. М., Васильев Ф. П. | заглавие = Приближенные методы решения задач оптимального управления | место = М. | издательство = МГУ | год = 1969 | страниц = | isbn = | ref = Будак}}
* {{книга | автор = Олейников В. А., Зотов Н. С., Пришвин А. М. | заглавие = Основы оптимального и экстремального управления | место = М. | издательство = Высшая школа | год = 1969 | страниц = 296 | isbn = | ref = Олейников}}
* {{книга | автор = Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т. К. | заглавие = Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами | место = М. | издательство = Машиностроение | год = 1986 | страниц = 216 | isbn = | ref = Дегтярев}}
* {{книга | автор = [[Лернер, Александр Яковлевич|Лернер А. Я.]], Розенман Е. А. | заглавие = Оптимальное управление | место = М. | издательство = Энергия | год = 1970 | страниц = 360 | isbn = | ref = Лернер}}
* {{книга | автор = [[Гурман, Владимир Иосифович|Гурман В. И.]], Тихомиров В. Н., Кириллова Ф. М. | заглавие = Оптимальное управление | место = М. | издательство = Знание | год = 1978 | страниц = 144 | isbn = | ref = Гмурман}}
* {{книга | автор = [[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]] | заглавие = Математические методы оптимального управления | место = М. | издательство = Наука | год = 1969 | страниц = 408 | isbn = | ref = Болтянский}}
* {{книга | автор = Янг Л. | заглавие = Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления | место = М. | издательство = Мир | год = 1974 | страниц = 488 | isbn = | ref = Янг}}
* {{книга | автор = [[Макаров, Игорь Михайлович|Макаров И. М.]], Лохин В. М. Манько С. В. | заглавие = Искусственный интеллект и интеллектуальные системы управления | место = М. | издательство = [[Наука (издательство)|Наука]] | год = 2006 | тираж = 1000 | страниц = 333 | isbn = 5-02-033782-X | ref = Макаров}}
* {{книга | автор = Дончев А. | заглавие = Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности | место = М. | издательство = Мир | год = 1987 | тираж = 6700 | страниц = 156 | isbn = | ref = Дончев}}
* {{книга | автор = В. А. Иванов, А. С. Ющенко | заглавие = [http://ebooks.bmstu.ru/catalog/201/book1178.html Теория дискретных систем автоматического управления]  | место = М. | издательство = [[Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана]] | год = 2015 | тираж =  | страниц = 352 | isbn = 978-5-7038-4178-5 | ref = Иванов}}
* {{книга | автор = [[Кузин, Лев Тимофеевич|Кузин Л. Т.]] | заглавие = Основы кибернетики | место = М. | издательство = Энергия | год = 1973 | тираж = 30000 | страниц = 504 | isbn = | ref = Кузин}}
* {{книга | автор = [[Фурсиков, Андрей Владимирович|Фурсиков А. В.]] | заглавие = Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения | место = Новосибирск | издательство = Научная книга | год = 1999 | тираж = 1000 | страниц = 352 | isbn = 5-88119-017-3 | ref = Фурсиков}}
* {{книга | автор = [[Лионс, Жак-Луи|Лионс Ж. Л.]] | заглавие = Управление сингулярными распределёнными системами | место = Москва | издательство = Наука | год = 1987 | тираж = 3600 | страниц = 368 | isbn = | ref = Лионс}}
* {{книга | автор = Хазен Э. М. | заглавие = Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления | место = Москва | издательство = Советское радио | год = 1968 | тираж = 12000 | страниц = 256 | isbn = | ref = Хазен}}
* {{книга | автор = Лейтман Дж. | заглавие = Введение в теорию оптимального управления | место = Москва | издательство = Наука | год = 1968 | тираж = 14000 | страниц = 190 | isbn = | ref = Лейтман}}
* {{книга | автор = Саридис Дж. | заглавие = Самоорганизующиеся стохастические системы управления | место = Москва |издательство = Наука | год = 1980 | тираж = 4000 | страниц = 400 | isbn = | ref = Саридис}}
* {{книга | автор = [[Аграчёв, Андрей Александрович|А. А. Аграчев]], Ю. Л. Сачков | заглавие = [https://search.rsl.ru/ru/record/01002505604 Геометрическая теория управления] | место = Москва |издательство = ФИЗМАТЛИТ | год = 2004 | тираж = | страниц = 391 | isbn = 5-9221-0532-9 | ref = Аграчев}}

== Ссылки ==
* ''[[Гамкрелидзе, Реваз Валерианович|Гамкрелидзе Р. В.]]''. [https://web.archive.org/web/20160305172911/http://gct.math.nsc.ru/?p=1139 Открытие принципа максимума Понтрягина]
{{вс}}

[[Категория:Теория управления]]
[[Категория:Кибернетика]]
[[Категория:Прикладная математика]]
[[Категория:Оптимальное управление]]