Просмотр кода страницы Парабола

{{Другие значения|Парабола (значения)}}
{{Карточка
|имя              = -
|вверху           = Парабола
|стиль_вверху     = background:#cfe3ff;
|изображение     = [[Файл:Conicas2.PNG|200px]]<br>Парабола как [[коническое сечение]]
|изображение2      = [[Файл:Parabola3.svg|200px]]<br>Парабола, её фокус и директриса
|стиль_заголовков = background:#dcebff;

|метка1           = [[Эксцентриситет]]
|текст1           = <math>e = 1</math>
|заголовок2       = Уравнения
|текст3           = <math>
\begin{align}
&y = x^2 \\
&y = ax^2 + bx + c\\
&Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey = F \\
&\quad (B^2 - 4AC = 0)
\end{align}
</math>
|заголовок4       = Другие конические сечения
|текст5           = {{flatlist|
* [[Гипербола (математика)|Гипербола]]
* Парабола
* [[Эллипс]]
* [[Окружность]]
}}
}}
'''Пара́бола''' ({{lang-el|παραβολή}} — приближение<ref>{{cite web|title=Парабола|url=http://www.inslov.ru/html-komlev/p/parabola.html|website=Словарь иностранных слов|accessdate=2021-06-19|archive-date=2020-01-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20200114224832/http://inslov.ru/html-komlev/p/parabola.html|deadlink=no}}</ref>) — плоская кривая, один из типов [[Коническое сечение|конических сечений]].

== Определение ==
[[Математика в Древней Греции|Античные математики]] определяли параболу как результат пересечения [[Конус|кругового конуса]] с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его [[Конус|образующей]] (см. рисунок).
В [[Аналитическая геометрия|аналитической геометрии]] удобнее эквивалентное определение: парабола есть [[геометрическое место точек]] на плоскости, для которых расстояние до заданной точки ('''фокуса''') равно расстоянию до заданной прямой ('''[[Директриса (геометрия)|директрисы]]''') (см. рисунок){{sfn |Математическая энциклопедия|1984}}.

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую. 

Наряду с [[эллипс]]ом и [[гипербола (математика)|гиперболой]], парабола является [[коническое сечение|коническим сечением]]. Она может быть определена как коническое сечение с единичным [[эксцентриситет]]ом.

[[Файл:Conic Sections.svg|thumb|Парабола в семействе конических сечений]]

== Вершина ==
Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется ''вершиной'' этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

== Уравнения ==
Каноническое уравнение параболы в [[Прямоугольная система координат|прямоугольной]] [[система координат|системе координат]]:
: <math>\textstyle y^2=2px, p>0</math> (или <math>\textstyle x^2=2py</math>, если поменять местами оси координат).
Число {{math|''p''}} называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы<ref>{{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]]|часть=Парабола|заглавие=Курс аналитической геометрии и линейной алгебры|место={{М}}|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1979|страниц=512|страницы=69—72}}</ref>. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии <math>\frac{p}{2}</math> от обоих.
{|class="standard collapsible collapsed"
!style="text-align: left; background:#efefef;"| Вывод
|-
|[[Файл:Parabola4.svg|right|thumb|150px]]
Уравнение [[директриса (геометрия)|директрисы]] PQ: <math>\textstyle x+\frac{p}{2}=0</math>, фокус F имеет координаты <math>\left (\frac{p}{2};0\right ).</math> Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство {{nobr|KM {{=}} FM}}. Далее, поскольку <math> \textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x</math> и <math>\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}</math>, то равенство приобретает вид:
: <math>\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}=\frac{p}{2}+x.</math>
После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение <math>y^2=2px.</math>
|}

=== Парабола, заданная квадратичной функцией ===
[[Файл:Parabola with Processing.webm|left|200px|Визуализация квадратичной параболы]]
[[Квадратичная функция]] <math>y=ax^2+bx+c</math> при <math>a\neq 0</math> также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и <math>y=ax^2,</math> но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:
: <math>x_\textrm{A}=-\dfrac{b}{2a},\;y_\textrm{A}=-\dfrac{\mathcal{D}}{4a},</math> где <math> \mathcal{D}=b^2-4ac</math> — [[дискриминант]] квадратного трёхчлена.
Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При {{math|''a'' > 0}} ({{math|''a'' < 0}}) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4{{math|''a''}}, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение <math>y=ax^2+bx+c</math> может быть представлено в виде <math>y=a(x-x_\textrm{A})^2+y_\textrm{A},</math> а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом <math>p=\frac{1}{|2a|}.</math>

=== Общее уравнение параболы ===
В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является [[Кривая второго порядка|кривой второго порядка]] и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:
: <math>Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. </math>

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах [[дискриминант]] <math>B^2-4AC</math> равен нулю.

=== Уравнение в полярной системе ===
Парабола в [[полярные координаты|полярной системе координат]] <math>(\rho,\vartheta)</math> с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением
: <math>\rho (1 - \cos \vartheta) = p,</math>

где {{math|''p''}} — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

=== Уравнение в подерной системе ===
Парабола в [[Подерная система координат|подерной системе координат]] <math>(r,p)</math> с центром в фокусе и параметром <math>a</math>, равным расстоянию от фокуса до вершины параболы, может быть представлена следующим уравнением{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=1.1. Coordinate Systems, p. 4}}:
: <math>p^2 = ar.</math>

=== Расчёт коэффициентов квадратичной функции ===
Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, <math>y = ax^2 + bx + c</math> известны координаты трёх различных точек параболы <math>(x_{1}; y_{1}), \;(x_{2}; y_{2}), \;(x_{3}; y_{3}),</math> то его коэффициенты могут быть найдены так:
: <math>a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ 
b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ 
c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.</math>
Если же заданы вершина <math>(x_0;y_0)</math> и старший коэффициент <math>a</math>, то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:
: <math>b=-2ax_0</math>
: <math>c=ax_0^2+y_0</math>
: <math>x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}</math>
: <math>x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}</math>

== Свойства ==
[[Файл:Parabel 2.svg|thumb|right|Отражательное свойство параболы (оптика)]]
[[Файл:Parabola with focus and directrix.svg|thumb|Расстояние от {{math|P<sub>''n''</sub>}} до фокуса {{math|F}} такое же, как и от {{math|P<sub>''n''</sub>}} до {{math|Q<sub>''n''</sub>}} (на директрисе L)]]
[[Файл:Parabola with focus and arbitrary line.svg|thumb|Длина линий {{math|FP<sub>''n''</sub>Q<sub>''n''</sub>}} одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также [[Шары Данделена]])]]
* Парабола — [[кривая второго порядка]].
* Она имеет ось [[симметрия|симметрии]], называемой ''осью параболы''. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
* '''Оптическое свойство.''' Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
* Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его [[образ (математика)|образ]] будет лежать на [[директриса конического сечения|директрисе]].
* Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса.
* Отрезок, соединяющий середину произвольной [[Хорда (геометрия)|хорды]] параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
* Парабола является [[антиподера|антиподерой]] [[прямая|прямой]].
* Все параболы [[подобие|подобны]]. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
* Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть [[цепная линия]]<ref>Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.</ref>.
*Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

== Связанные определения ==
* При вращении параболы вокруг оси симметрии получается [[эллиптический параболоид]].

== Подера параболы ==
{{Обзорная статья|Подера}}
Любая парабола имеет подеру — [[Циркулярная кривая|циркулярную кривую]] 3-го порядка на комплексной проективной плоскости{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 64}}.

<gallery widths=200px heights=150px caption="Подеры параболы">
Изображение:Line is pedal of parabola.svg|Прямая — полюс подеры в фокусе параболы
Изображение:Parabel fusspunkkurve zissoide diokles.svg|[[Циссоида Диокла]] — полюс подеры на вершине параболы
Изображение:Strophoid is pedal of parabola.svg|[[Строфоида]] <math>{\scriptstyle (y + 1)(x^{2} + y(y+1)) + x^{2} = 0}</math> — полюс подеры в центре директрисы параболы <math>{\scriptstyle x^{2} = 4y}</math>
Изображение:Ophiuroid is pedal of parabola.svg|[[Офиурида]] <math>{\scriptstyle (y + 1)(x(x-2) + y(y+1)) + (x-2)^{2} = 0}</math> — полюс подеры не в центре директрисы параболы <math>{\scriptstyle x^{2} = 4y}</math>
Изображение:Conchoid of de Sluze is pedal of parabola.svg|[[Конхоида Слюза|Прямая конхоида Слюза]] <math>{\scriptstyle (y - 4)(x^2 + y(y - 4)) + x^2 = 0}</math> — полюс подеры внутри на оси не в фокусе параболы <math>{\scriptstyle x^{2} = 4y}</math>
Изображение:Conchoid of de Sluze is pedal of parabola 2.svg|[[Конхоида Слюза]] <math>{\scriptstyle (y - 4)(x(x - 2) + y(y - 4)) + (x - 2)^2 = 0}</math> — полюс подеры внутри не на оси параболы <math>{\scriptstyle x^{2} = 4y}</math>
</gallery>
{{clear}}

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 64}}:
: <math>y^2 = 4px,</math> или <math>x^2 = 4py,</math>
где <math>p</math> — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы <math>y^2 = 4px</math> относительно произвольного полюса <math>(a,\;b)</math> есть [[дефективная гипербола]] с [[Двойная точка|двойной точкой]] <math>(a,\;b)</math>, [[Асимптота|асимптотой]] <math>a - p</math> и следующим уравнением{{sfn|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|loc=8. Рациональные циркулярные кривые, с. 63}}{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 64}}:
: <math>(x - a)(y(y - b) + x(x - a)) + p(y - b)^2 = 0.</math>

Другими словами, имеет место следующее утверждение{{sfn|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|loc=8. Рациональные циркулярные кривые, с. 63}}:
: подера параболы — это [[Алгебраическая кривая#Рациональные кривые|рациональная]] [[циркулярная кривая]] [[Кубика|3-го порядка]].

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|loc=8. Рациональные циркулярные кривые, с. 63}}
| Содержание    =
Найдём вещественное [[Неявная функция|неявное уравнение]] <math>f(x,\;y)</math> подеры параболы <math>y^2 = 4px</math> относительно полюса <math>(a,\;b)</math>. Текущая точка кривой — <math>(x_0,\;y_0)</math>.

Уравнение касательной к параболе <math>x = \frac{y^2}{4p}</math> запишем в виде
: <math>x - x_0 = x'_0(y - y_0),</math>
: <math>x = \frac{y^2_0}{4p} + \frac{y_0}{2p}(y - y_0),</math>
: <math>x = my - m^2p,\quad </math> <math>m = \frac{y_0}{2p},</math>

а уравнение нормали, проходящей через полюс <math>(a,\;b)</math>, —
: <math>x - a = -\frac1m(y - b).</math>

Уберём <math>m</math>, получим искомое уравнение:
: <math>m = -\frac{y - b}{x - a},</math>
:: <math>x(x - a)^2 = -y(y - b)(x - a) - p(y - b)^2.</math>
}}

Имеют место три разных случая, в которых дефективная гипербола выступает тремя разными частными случаями{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 64}}{{sfn|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|loc=8. Рациональные циркулярные кривые, с. 63}}:
* полюс подеры находится на параболе. Тогда полюс — [[Касп|точка возврата]] подеры;
:* если полюс лежит на касательной к [[Парабола#Вершина|вершине параболы]], то подера — [[офиурида]]{{sfn|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|loc=§ 5. Некоторые другие кривые, с. 84}};
::* если полюс совпадает с вершиной параболы, то подера — [[циссоида]];
* полюс подеры находится во внешности параболы. Тогда полюс — [[Особая точка кривой#Точки самопересечения|узловая точка]] подеры;
:* в частности, если полюс находится на [[Парабола#Определение|директрисе параболы]], то подера — [[строфоида]];
* полюс подеры находится внутри параболы. Тогда полюс — мнимая [[Изолированная точка кривой|изолированная точка]] подеры;
:* если полюс лежит на оси симметрии параболы, но не совпадает с [[Парабола#Определение|фокусом параболы]], то подера — [[конхоида Слюза]]{{sfn|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|loc=§ 4. Подэры, подоиды, изооптические кривые, с. 284}};
:* если полюс совпадает с фокусом параболы, то подера состоит из трёх прямых на комплексной проективной плоскости:
::* действительной прямой, которая касается параболы в её вершине;
::* две [[Мнимая прямая|мнимые прямые]], которые пересекаются в фокусе параболы.

== Вариации и обобщения ==
Графики [[Степенная функция|степенной функции]] <math>y=x^n</math> при [[Натуральное число|натуральном]] показателе <math>n>1</math> называются ''параболами порядка'' <math>n</math><ref>{{книга |автор=Битюцков В. И. |часть=Степенная функция |страницы=208—209 |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |страниц=1248 |том=5 |год=1985 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]}}</ref><ref name=MES>{{книга |часть=Степенная функция |заглавие=Математический энциклопедический словарь |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |год=1988 |страниц=847 |страницы=[https://archive.org/details/libgen_00858224/page/n563 564]—565}}</ref>. Ранее рассмотренное определение соответствует <math>n=2,</math> то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой [[Синусоидальная спираль|синусоидальную спираль]] при <math>\textstyle n = -\frac{1}{2}</math>;

== Параболы в физическом пространстве ==
[[Файл:Leonardo parabolic compass.JPG|thumb|Параболический компас Леонардо да Винчи]]

[[Траектория материальной точки|Траектории]] некоторых космических тел ([[комета|комет]], [[астероид]]ов и других), проходящих вблизи [[звезда|звезды]] или другого [[масса|массивного]] объекта ([[звезда|звезды]] или [[планета|планеты]]) на достаточно большой [[скорость|скорости]], имеют форму параболы (или [[гипербола (математика)|гиперболы]]). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются [[гравитация|гравитационным]] полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для [[Гравитационный манёвр|гравитационных манёвров]] космических кораблей (в частности, аппаратов [[Вояджер]]).

Для создания [[невесомость|невесомости]] в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с [[жидкость]]ю вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также [[Рефлектор (телескоп)|телескопов-рефлекторов]] (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных ([[спутниковая антенна|спутниковых]] и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, [[солнечная электростанция|солнечных электростанций]] и в других областях.

Форма параболы иногда используется в [[архитектура|архитектуре]] для строительства крыш и куполов.

<gallery>
Parabolic orbit.gif|Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
Bouncing ball strobe edit.jpg|Падение [[баскетбол]]ьного мяча
Parabolic trough solar thermal electric power plant 1.jpg|Параболическая [[солнечная электростанция]] в [[Калифорния|Калифорнии]], [[США]]
ParabolicWaterTrajectory.jpg|Параболические траектории струй воды
Parabola shape in rotating layers of fluid.jpg|Вращающийся сосуд с жидкостью
Parabola-antipodera.gif|Парабола — [[антиподера]] прямой
</gallery>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Акопян А. А., Заславский А. В. |заглавие= Геометрические свойства кривых второго порядка|ссылка= http://www.mccme.ru/free-books/akopyan/Zaslavky-Akopyan.pdf|место= М.|издательство= МЦНМО|год= 2007|страниц= 136}}
* {{статья |автор= Бронштейн И.|заглавие= Парабола|ссылка= http://kvant.mccme.ru/1975/04/parabola.htm|издание= [[Квант (журнал)|Квант]]|год= 1975|номер= 4|страницы= 9—16}}
* {{книга |автор= [[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]]|заглавие= Замечательные кривые|ссылка= http://www.math.ru/lib/files/plm/v04.djvu|место= |издательство= [[Гостехиздат]]|серия= [[Популярные лекции по математике]], выпуск 4|год= 1952|страниц= 32}}
* {{книга |часть=Парабола |страницы=191—192 |заглавие=[[Математическая энциклопедия]] (в 5-и томах) |место=М.
   |страниц=1216 |том=4 |год=1984 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]
  |ref=Математическая энциклопедия}}
* {{h|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|3=
''Савелов А. А.'' Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. [[Норден, Александр Петрович|А. П. Нордена]]. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
}}
* {{h|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|3=
''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
}}
* {{h|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|3=
''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
}}

== Ссылки ==
{{wiktionary|парабола}}
{{Навигация}}
* [http://www.pm298.ru/2step5.shtml Статья] в справочнике «Прикладная математика».
* [http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/102a56fb-ff41-ba07-824f-df2d64d5e750/parabola.html Анимированные рисунки], иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
* [http://mysite.du.edu/~jcalvert/math/parabola.htm Информация] ([[английский язык|англ.]]) о связи параболы с физикой.
* [https://web.archive.org/web/20160304092955/http://www.kvantmultfilm.ru/de_mal.php?en=14 Учебный фильм о параболе]

{{Кривые}}
{{Конические сечения}}

[[Категория:Конические сечения]]
[[Категория:Алгебраические кривые]]
[[Категория:Планиметрия]]