Просмотр кода страницы Парадокс Бурали-Форти

'''Парадокс Бурали-Форти''' демонстрирует, что предположение о существовании множества всех [[порядковое число|порядковых чисел]] ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является [[теория множеств]], в которой построение такого множества возможно.

== Формулировка ==
В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.

Можно доказать, что если <math>x</math> — произвольное множество порядковых чисел, то [[множество-сумма]] <math>\textstyle\bigcup x</math> есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов <math>x</math>. Предположим теперь, что <math>\Omega</math> — множество ''всех'' порядковых чисел. Тогда <math>\textstyle\bigcup \Omega</math> — порядковое число, большее или равное любому из чисел в <math>\Omega</math>. Но тогда и <math>\textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1</math> — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в <math>\Omega</math>. Но это противоречит условию, по которому <math>\Omega</math> — множество ''всех'' порядковых чисел.

== История ==
Парадокс был обнаружен {{нп3|Бурали-Форти, Чезаре|Чезаре Бурали-Форти||Cesare Burali-Forti}} в [[1897|1897 году]] и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что [[наивная теория множеств]] [[Противоречивость теории|противоречива]], а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех <math>x</math> таких, что <math>P</math>» (<math>\{x \mid P\}</math>).

Современная [[аксиоматика теории множеств|аксиоматическая теория множеств]] накладывает строгие ограничения на вид условия <math>P</math>, с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа [[Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя|Гёделя — Бернайса]] позволяется образование терма <math>\{x \mid P\}</math> для произвольных <math>P</math>, но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а [[Класс (математика)|классом]].

== См. также ==
* [[Парадокс Рассела]]
* [[Парадокс Кантора]]
* [[Парадокс Мириманова]]

== Литература ==
* {{статья |ref = Er, Justin M. |автор = Er, Justin M. |заглавие = An Historical Account Of Set-Theoretic Antinomies Caused By The Axiom Of Abstraction|ссылка=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.25.2928}}

{{Теория множеств}}

[[Категория:Теория порядков]]
[[Категория:Парадоксы теории множеств|Бурали-Форти]]