Просмотр кода страницы Парадокс Кондорсе

[[Файл:Essai sur l application.jpg|thumb|upright|Титульная страница сочинения «Опыт применения анализа к проблеме вероятности решений большинством голосов», в котором Кондорсе сформулировал свой парадокс]]
{{нет сносок|дата=2021-05-08}}
'''Парадо́кс Кондорсе́''' — [[парадокс]] [[Теория общественного выбора|теории общественного выбора]], впервые описан [[маркиз]]ом [[Кондорсе, Мари Жан Антуан Никола|Кондорсе]] в [[1785 год]]у.

Он заключается в том, что при наличии более двух {{D-|[[Альтернатива|альтернатив]]}} и более двух избирателей коллективная ранжировка альтернатив может быть [[цикл]]ичной (не [[транзитивность|транзитивна]]), даже если ранжировки всех избирателей не являются цикличными (транзитивны). Таким образом, волеизъявления разных групп избирателей, каждая из которых представляет большинство, могут вступать в парадоксальное противоречие друг с другом.

Обобщён [[Теорема Эрроу|теоремой «о невозможности»]] [[Эрроу, Кеннет Джозеф|Эрроу]] в 1951 году.

На практике идея о необходимости ранжирования кандидатов реализована в голосовании по [[Метод Шульце|методу Шульце]].

== Принцип Кондорсе ==
Кондорсе определил правило, по которому сравнение выбираемых альтернатив (кандидатов) производится с учётом полной [[Ординалистская теория полезности|ординалистской]] информации о предпочтениях избирателей.

Согласно принципу Кондорсе, для определения истинной воли большинства необходимо, чтобы каждый голосующий проранжировал всех кандидатов в порядке их предпочтения. После этого для каждой пары кандидатов определяется, сколько голосующих предпочитает одного кандидата другому — формируется полная матрица попарных предпочтений избирателей.

На базе этой матрицы, используя транзитивность отношения предпочтения, можно попытаться построить коллективную ранжировку кандидатов.

== Пример применения принципа ==
Приведём численный пример из работы Кондорсе.

Введём для краткости обозначение: <math>A \succ B \succ C</math> будет означать, что голосующий предпочитает кандидата ''A'' кандидату ''B'', а кандидата ''B'' — кандидату ''С''.

Пусть 60 голосующих дали следующие предпочтения:
* 23 человека: <math>A \succ C \succ B</math>,
* 19 человек: <math>B \succ C \succ A</math>,
* 16 человек: <math>C \succ B \succ A</math>,
* 2 человека: <math>C \succ A \succ B</math>.

При сравнении ''A'' с ''B'' имеем: 23 + 2 = 25 человек за то, что <math>A \succ B</math>, и 19 + 16 = 35 человек за то, что <math>B \succ A</math>. По принципу Кондорсе мнение большинства состоит в том, что ''В'' лучше ''А''.

Сравнивая ''А'' и ''С'', будем иметь: 23 человека за <math>A \succ C</math> и 37 человек за <math>C \succ A</math>. Отсюда, по Кондорсе, заключаем, что большинство предпочитает кандидата ''С'' кандидату ''А''. Аналогично (19 человек за <math>B \succ C</math>, 41 человек за <math>C \succ B</math>) ''С'' более предпочтителен, чем ''B''.

Таким образом, по Кондорсе воля большинства выражается в виде трёх суждений: <math>C \succ B</math>; <math>B \succ A</math>; <math>C \succ A</math>, которые можно объединить в одно [[отношение предпочтения]] <math>C \succ B \succ A</math>, и если необходимо выбрать одного из кандидатов, то, согласно принципу Кондорсе, следует предпочесть кандидата ''С''.

== Противоречие с мажоритарной системой голосования ==
Сравним этот вывод с возможным исходом голосования по [[Мажоритарная избирательная система|мажоритарной системе]] относительного или абсолютного большинства.
* Для вышеприведённого примера голосование по системе [[Система относительного большинства|относительного большинства]] даст такие результаты: за ''А'' — 23 человека, за ''В'' — 19 человек, за ''С'' — 18 человек. Таким образом, в этом случае победит кандидат ''А''.
* При голосовании по системе [[Система абсолютного большинства|абсолютного большинства]] в два тура кандидаты ''А'' и ''В'' выйдут во второй тур, где кандидат ''А'' получит 25 голосов, а кандидат ''В'' — 35 голосов — и победит.

Получаем, что правила игры будут определять победителя, и эти победители будут разными при различных правилах голосования. Согласно второй, широко используемой в мире процедуре победить может кандидат, который при попарном голосовании проиграл бы отсеянному в первом туре кандидату в отношении вплоть до 1 к 1,99… Парадоксальность такой ситуации на реальных выборах иногда путают собственно с парадоксом Кондорсе.<ref>{{cite web |url=http://sondages2007.over-blog.com/article-6012059.html |title=Sarkozy et Royal au second tour, mais battus par Bayrou |lang=fr |website=Blog sondages 2007 |date=2007-03-13 |access-date=2012-11-30 |archive-date=2013-06-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130629150727/http://sondages2007.over-blog.com/article-6012059.html |deadlink=no }}</ref> Принцип Кондорсе устраняет подобные ошибки, связанные с неполным учётом предпочтений избирателей в первом туре, но может приводить к неразрешимому противоречию.

== Пример: четыре города ==
[[Файл:Карта для иллюстрации систем выборов.svg|мини|300px|alt=Карта с четырьмя городами: Казань на севере, Пенза на западе, Самара на востоке и Саратов на юге]]

Предположим, жители [[Казань|Казани]], [[Пенза|Пензы]], [[Самара|Самары]] и [[Саратов]]а решают голосованием, в каком из этих городов провести спортивный чемпионат. Предпочтения избирателей распределились следующим образом:

{| class="wikitable"
! width=25% | 34 % избирателей<br><small>(в Казани)</small>
! width=25% | 14 % избирателей<br><small>(в Пензе)</small>
! width=25% | 30 % избирателей<br><small>(в Самаре)</small>
! width=25% | 22 % избирателей<br><small>(в Саратове)</small>
|-
|
# '''Казань'''
# Самара
# Пенза
# Саратов
|
# '''Пенза'''
# Саратов
# Самара
# Казань
|
# '''Самара'''
# Пенза
# Саратов
# Казань
|
# '''Саратов'''
# Пенза
# Самара
# Казань
|}

Чтобы найти победителя по принципу Кондорсе, следует попарно сравнить кандидатов, составив все возможные пары. В каждой паре победителем будет кандидат, которого предпочитает большинство избирателей.

{| class="wikitable"
|-
!Пара !! Победитель
|-
|Казань (34 %) — Пенза (66 %) || Пенза
|-
|Казань (34 %) — Самара (66 %) || Самара
|-
|Казань (34 %) — Саратов (66 %) || Саратов
|-
|Пенза (36 %) — Самара (64 %) || Самара
|-
|Пенза (78 %) — Саратов (22 %) || Пенза
|-
|Самара (64 %) — Саратов (36 %) || Самара
|}

Результаты могут быть также представлены в виде матрицы:

{| class="wikitable"
|-
!1-е
! colspan="4" | Самара [См]
|3 выигрыша ↓
|-
!2-е
! colspan="3" | Пенза [П]
|1 проигрыш →
↓ 2 выигрыша
| style="white-space:nowrap;" | [См] 64 %<br>[П] 36 %
|-
!3-е
! colspan="2" | Саратов [Ср]
|2 проигрыша →
↓ 1 выигрыш
| style="white-space:nowrap;" | [П] 78 % <br>[Ср] 22 %
| style="white-space:nowrap;" | [См] 64 % <br>[Ср] 36 %
|-
!4-е
! | Казань [К]
|3 проигрыша →
| style="white-space:nowrap;" | [Ср] 66 % <br>[К] 34 %
| style="white-space:nowrap;" | [П] 66 % <br>[К] 34 %
| style="white-space:nowrap;" | [См] 66 % <br>[К] 34 %
|}

Видно, что Самара выигрывает у всех других кандидатов. Это и означает, что Самара является победителем согласно принципу Кондорсе.

Для сравнения, при [[Мажоритарная избирательная система|мажоритарной системе]] победил бы самый крупный город, Казань. В системе со вторым туром голосования, во втором туре участвовали бы Казань и Самара, и избиратели отдали бы предпочтение Самаре. При [[Рейтинговое голосование|рейтинговом голосовании]] победителем бы вышел Саратов.

Примечательно, что хотя Пенза при мажоритарной системе занимает последнее место, она выигрывает в парных предпочтениях у Казани и Саратова. Если хотя бы 15 % избирателей, проживающих в Казани, поставили Пензу на второе место, она выиграла бы также и у Самары, став абсолютным победителем согласно принципу Кондорсе.

== Парадокс Кондорсе ==
В другом примере, рассмотренном Кондорсе:
* 1 человек: <math>A \succ B \succ C</math>,
* 1 человек: <math>C \succ A \succ B</math>,
* 1 человек: <math>B \succ C \succ A</math>.

По итогам голосования двумя третями голосов получаем три утверждения: <math>B \succ C</math>, <math>C \succ A</math>, <math>A \succ B</math>. Но вместе эти утверждения противоречивы. В этом и состоит парадокс Кондорсе или парадокс коллективного выбора. Оказывается невозможным определить волю большинства и принять какое-то согласованное решение. Если для оценки согласованности предпочтений этих избирателей применить разработанный позднее коэффициент ранговой [[корреляция|корреляции]] [[Спирмен, Чарльз Эдвард|Спирмена]], то коэффициенты корреляции между предпочтениями любых двух избирателей из этой тройки отрицательны и равны −0,5<ref>''Поддьяков А. Н.'' [http://psy-journal.hse.ru/data/2011/04/26/1210581923/88-111.pdf Непереходность (нетранзитивность) отношений превосходства и принятие решений] {{Wayback|url=http://psy-journal.hse.ru/data/2011/04/26/1210581923/88-111.pdf |date=20160311095919 }} // Психология. Журнал Высшей школы экономики. 2006. № 3. С. 88—111.</ref>.

В силу симметрии в таком виде парадокс разрешить невозможно. Но если заменить отдельных избирателей в этом примере на три группы с близким, но не одинаковым числом избирателей, например, 9, 10 и 11, то [[метод Шульце]] позволяет формально определить победителя. Хотя парадоксальная цикличность коллективной ранжировки сохраняется.

== Парадокс составного голосования ==
В другой форме парадокс Кондорсе возникает при постатейном принятии некоторого постановления или закона, когда каждая из статей закона принимается большинством голосов, а поставленный на голосование закон в целом отвергается (иногда даже стопроцентным большинством голосующих). Либо наоборот, вполне возможно, что коллективно будут приняты решения, которые на индивидуальном уровне не поддерживал ни один из голосующих.

{{ОРИСС|дата=2021-05-08}}<!-- вообще-то, если обычная процедура принятия большинством голосов «естественно, не удовлетворяет никого», то незачем было её применять -->
'''Пример'''. Пусть у нас имеются три человека, голосующих по трём вопросам. Первый из них голосует «да» по первому вопросу, «да» по второму и «нет» по третьему («да»/«да»/«нет»), второй — «да»/«нет»/«да», третий — «нет»/«да»/«да». Суммарный итог голосования подсчитывается как соотношение сумм голосов «да» и «нет» по каждому из вопросов. В рассмотренном случае суммарный итог голосования будет «да»/«да»/«да». Этот итог не отражает мнения ни одного из голосовавших и, естественно, не удовлетворяет никого.

== Альтернативное голосование ==
На практике идея Кондорсе о необходимости ранжирования кандидатов реализована в [[Метод Шульце|альтернативном голосовании]]. Данный метод применяется при выборах в различные органы власти [[Австралия|Австралии]], [[Новая Зеландия|Новой Зеландии]], [[Папуа - Новая Гвинея|Папуа — Новой Гвинеи]], [[Фиджи]], [[Ирландия|Ирландии]], [[США]], а также в ряде политических партий, неправительственных организаций и т. д.

== Антирейтинги ==
С парадоксом Кондорсе перекликается идея «антирейтинга» политика. При определении антирейтингов потенциальных избирателей просят назвать не только наиболее, но и наименее поддерживаемые кандидатуры, то есть фактически проранжировать всех кандидатов по степени предпочтения.

== Источники ==
* [https://web.archive.org/web/20060712094805/http://rrpolit.narod.ru/messen/condorse.htm Парадокс Кондорсе]
* [http://www.ksu.ru/infres/politology/zalyaev.doc Альтернативное голосование (с. 103)]{{Недоступная ссылка|date=Апрель 2020 |bot=InternetArchiveBot }}

== Литература ==
* ''Arrow K. J.'' Social Choice and Individual Values, London, 1951
* ''Granger G. G.'' La mathématique sociale du Marquis de Condorcet, Paris, 1956
* ''Sen A. K.'' Collective Choice and Social Welfare, London, 1970

== Примечания ==
{{примечания}}

{{парадоксы теории принятия решений}}
{{Выборы и предвыборные кампании}}

[[Категория:Парадоксы психологии и социологии]]
[[Категория:Парадоксы теории принятия решений]]
[[Категория:Системы выборов]]
[[Категория:Теория общественного выбора]]