Просмотр кода страницы Перенормировка

'''Перенормиро́вка''' в [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]] — процедура устранения [[ультрафиолетовая расходимость|ультрафиолетовых расходимостей]] в классе теорий, называемых перенормируемыми. С физической точки зрения соответствует изменению начальных (затравочных) [[лагранжиан]]ов таких теорий с тем, чтобы результирующая динамика теории не содержала сингулярностей (и совпадала с наблюдаемой, если теория претендует на описание действительности). Другими словами, перенормировка — это уточнение лагранжиана взаимодействия с той целью, чтобы он не приводил к расходимостям. Члены, добавляемые для этого в лагранжиан, называются [[контрчлен]]ами.

В реальных вычислениях для проведения перенормировки используются процедуры [[регуляризация (физика)|регуляризации]].
<!--П. проводится в процессе решения квантовых ур-ний и в целом представляется в виде особого предписания, формулируемого дополнительно к осн. закону движения — ур-нию Шрёдингера. Др. значение термина «П.» связано с конечными изменениями параметров лагранжиана КТП, приводящими к ренормализациинной группе (см. ниже).
УФ-расходимости возникают в квантовополевой теории возмущений при вычислении интегралов в пространстве 4-импульсов соответствующих Фейнмана диаграммам, содержащим замкнутые петли. Путём введения вспомогат. регуляризации такие расходящиеся интегралы делаются конечными и вычисляются г. явном виде; при этом в простейших случаях сингулярные составляющие выделяются в аддитивные структуры, имеющие вид полиномов невысокой степени по внеш. импульсам [см. ф-лу (3) в ст. Регуляризация paссходимостей]. Для нек-рого класса КТП степень этих полиномов не зависит от порядка теории возмущений и не превышает двух. Такие теории допускают процедуру П., с помощью к-рой удаётся полностью устранить все УФ-расходимости и выразить результаты вычислений через небольшое число параметров, физически близких параметрам (массам, константам связи) исходного лагранжиана рассматриваемой системы взаимодействующих полей. Эти теории наз. перенормируемыми. В класс перенормируемых теорий (с нек-рыми оговорками) входят модели с безразмерными константами связи, в том числе теории калибровочных полей, такие как квантовая электродинамика (КЭД) и квантовая хромодинамика (КХД).
В перенормируемых теориях оказывается возможным собрать все сингулярные составляющие матричных элементов и Грина функций в небольшое число структур, к-рые в конечном счёте могут быть сведены к полевым добавкам к параметрам исходного лагранжиана. В КЭД, напр., все расходимости сводятся к полевым добавкам15042-51.jpg и15042-52.jpg к массе и заряду электрона. Формально эти добавки можно выразить через нек-рые числовые, обычно сингулярные, множители Zm и Ze к исходным (т. н. голым или затравочным) массе т0 и заряду e0:

15042-53.jpg

Вычисляемые физ. величины, такие как матричные элементы переходов, содержат зависимости только от произведений Zmm0 и Zee0. Затравочные масса и заряд, а также УФ-сингулярности по отдельности или в к.-л. др. комбинациях в них не входят. Поэтому возникает возможность отождествить произведения (1) с эксперим. («физическими») значениями массы и заряда электрона:

ZmmO =mфиз, ZeeO = ефиз. (2)

Эта операция переопределения физ. параметров то15042-54.jpgmфиз = Zmmo, e015042-55.jpgeфиз = Zeeo (3) путём их умножения на сингулярные множители, полностью исключающая УФ-расходимости из наблюдаемых физ. величин, и наз. операцией П. (иногда П. бесконечностей).
Теория П. в КТП была разработана в кон. 1940-х — нач. 50-х гг. в трудах Ю. Швингера (J. Schwinger), Р. Фейнмана (R. Feynman), Ф. Дайсона (F. Dyson), А. Салама (A. Salam), Н. Н. Боголюбова.
С качеств. точки зрения изменение масс и зарядов частиц под влиянием взаимодействия представляется вполне естественным. Подобные явления известны из классич. электродинамики: сторонний заряд в среде создаёт вокруг себя облако поляризации, к-рое частично его экранирует. Поэтому на больших расстояниях эфф. значение наблюдаемого заряда оказывается меньше истинного. При перемещении такой частицы вместе с ней движется и облако поляризации, что приводит к эфф. изменению её инерционных свойств, то есть массы. Изменения массы и заряда частицы в этом случае конечны.
В КТП подобная физ. интерпретация соотношений П. (3) затруднена из-за сингулярного характера констант П. Zm, Zc. В отличие от стороннего заряда в поляризуемой среде, к-рый можно извлечь из среды и исследовать в пустоте, электрон в КТП не может быть «освобождён» от взаимодействия с квантовым эл.-магн. полем вакуума. Поэтому входящие в соотношения П. величины m0, е0, Zm и Ze не могут быть измерены на опыте по отдельности, а лишь в комбинациях (2). В результате П. получаются конечные и однозначные выражения, к-рые в ряде случаев описывают эксперимент с чрезвычайно высокой степенью точности. Так, значение аномального магнитного момента электрона, вычисленное в КЭД, совпадает с опытным значением на уровне эксперим. погрешности порядка 10-10, что является рекордом в физике.
Операция устранения расходимостей может быть формализована и без использования соотношений П. типа (2), так как в пространственно-временном представлении УФ-расходимости обусловлены особенностями пропагаторов (одночастичных ф-ций Грина) Штюкель-берга — Фейнмана [Е. С. G. Stueckelberg, 1948; Фейнман. 1949] по переменной квадрата интервала s2 = c2t2 — х2на поверхности светового конуса (s2 = 0). Поскольку радиационные поправки к матричным элементам выражаются в этом представлении через произведения пропагаторов, приходится оперировать с произведениями подобных сингулярностей, напр. с квадратами дельта-функции Дирака от s2. С матем. точки зрения проблема сводится к задаче определения операции умножения обобщённых функций.
Теория умножения обобщённых ф-ций, возникающих в квантовополевых вычислениях, была разработана Н. Н. Боголюбовым в нач. 50-х гг. Проблема устранения расходимостей была затем рассмотрена на её основе Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком. Доказанная ими теорема о П. (см. Боголюбова — Парасюка теорема)с полной матем. строгостью исчерпывающе решает задачу получения конечных однозначных выражений для элементов матрицы рассеяния в рамках теории возмущений, без обращения к промежуточной регуляризации, контрчленам и сингулярным соотношениям П. типа (3). Рецептурная часть теории Боголюбова — Парасюка, т. н. R-операция Боголюбова, уже около трёх десятилетий является практич. основой получения конечных результатов в перенормируемых моделях КТП.
Как отмечалось, термин «П.» относится также и к конечным преобразованиям типа (3):

т15042-56.jpg zmm, e15042-57.jpgzee, (4)

где zm, ze — конечные числа. Возможность и важность таких преобразований конечной перенормировки, проводимых в квантовополевом формализме после устранения расходимостей, связаны с неоднозначностью результата процедуры устранения бесконечностей. Анализ структуры этих неоднозначностей, к-рая описывается преобразованиями (4), указывает на существование особой симметрии перенормируемых выражений — симметрии, лежащей в основе ренормализац. группы.

Лит.: Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1991.

Д. В. Ширков. -->

== Перенормируемость ==
Если процедура перенормировки устраняет все возможные типы [[ультрафиолетовая расходимость|ультрафиолетовых расходимостей]] в какой-либо модели [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]], то модель называется '''перенормируемой'''. Технически перенормируемость модели означает, что в ней может возникнуть лишь конечный набор независимых ультрафиолетовых расходимостей. Это в свою очередь значит, что все их можно устранить введением конечного числа [[контрчлен]]ов. После этой процедуры теория приобретает замкнутый вид и может использоваться для предсказаний явлений{{нет АИ|5|10|2014|с соответствующей степенью общности}}.

== Процедура перенормировки: технические подробности ==
При конкретных вычислениях перенормировку выполняют следующим образом. Выбирают какой-либо из вариантов [[регуляризация (физика)|регуляризации]]. К затравочному лагранжиану, состоящему обычно из небольшого числа слагаемых со вполне конкретным набором полевых функций, дописываются несколько [[контрчлен]]ов. Контрчлены имеют такой же вид, как слагаемые исходного лагранжиана, только коэффициентами при них стоят некоторые неизвестные константы. На основании этого нового лагранжиана вычисляются физические величины, выражающиеся через петлевые интегралы, которые теперь конечны.
При произвольной величине коэффициентов при контрчленах получающиеся физические величины будут при снятии регуляризации стремиться к бесконечности. Однако можно подобрать эти коэффициенты таким образом, чтобы основные параметры теории оставались конечными и после снятия регуляризации. Это требование позволяет зафиксировать окончательный вид контрчленов. Подчеркнём, что этот вид явно зависит от схемы регуляризации и вычитания.

Если теория перенормируема, то для того, чтобы все возможные наблюдаемые стали конечными, достаточно конечного числа контрчленов.

== История ==

=== Самодействие в классической физике ===
Проблема бесконечностей впервые возникла в [[Электродинамика|классической электродинамике]] [[Элементарные частицы|точечных частиц]] в XIX и начале XX века.

Масса заряженной частицы должна включать энергию-массу, содержащуюся в электростатическом поле частицы ([[электромагнитная масса|электромагнитную массу]]). Пусть частица с зарядом {{math|''q''}} представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса <math>r_e</math>. Энергия поля выражается как
: <math>m_\mathrm{em}c^2 = \int {1\over 2} \left(\varepsilon_0 E^2 \right)\, dV = \frac{\varepsilon_0}{2} \int\limits_{r_e}^\infty \left( {q\over 4\pi \varepsilon_0 r^2} \right)^2 4\pi r^2 \, dr = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0} {q^2 \over r_e}</math>
и становится бесконечной, когда <math>r_e</math> стремится к нулю. Это приводит к тому, что точечная частица должна обладать бесконечной [[Инерция|инерцией]] и, следовательно, не может находиться в ускоренном движении. Значение <math>r_e</math>, при котором <math>m_{\mathrm{em}}</math> равняется половине массы электрона, называется [[Классический радиус электрона|классическим радиусом электрона]], который (полагая <math>q = e</math>) оказывается равным

: <math>r_e = {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0 m_{\mathrm{e}} c^2} = \alpha {\hbar\over m_{\mathrm{e}} c} \approx 2{,}8 \times 10^{-15}\ </math> м,
где <math>\alpha \approx 1/137</math> — [[постоянная тонкой структуры]], а <math>\hbar/m_{\mathrm{e}} c</math> — [[комптоновская длина волны]] электрона.

Полная масса сферической заряженной частицы должна включать «голую» массу сферической оболочки (в добавление к вышеупомянутой «электромагнитной» массе, связанной с её электрическим полем). Если формально позволить «голой» массе принимать отрицательные значения, оказывается возможным получить согласующуюся с экспериментом массу электрона даже в пределе нулевого радиуса оболочки. Этот приём был назван ''перенормировкой''. [[Лоренц, Хендрик Антон|Лоренц]] и [[Абрахам, Макс|Абрахам]] предприняли попытку разработать классическую теорию электрона именно в таком ключе. Эта ранняя работа вдохновила более поздние попытки [[Регуляризация (физика)|регуляризации]] и перенормировки в квантовой теории поля.

При вычислении [[Электромагнитное взаимодействие|электромагнитных взаимодействий]] [[Заряженная частица|заряженных частиц]] существует соблазн пренебречь ''[[самодействие]]м'' — действием поля частицы на неё саму. Но самодействие необходимо, чтобы объяснить ''[[радиационное трение]]'': торможение заряженных частиц, когда они испускают излучение. Если считать электрон точечным, то значение самодействия расходится по тем же причинам, по которым расходится и электромагнитная масса, поскольку поле [[Закон обратных квадратов|обратно пропорционально квадрату расстояния]] от источника.

[[Радиационное трение#Формула Лоренца — Абрагама — Дирака|Теория Абрахама — Лоренца]] включает в себя некаузальное (нарушающее [[принцип причинности]]) «предускорение»: существует решение уравнений движения, согласно которому свободный электрон может начать ускоряться без приложения к нему какой-либо силы. Это признак того, что точечный предел несовместим с реальностью.

=== Проблема бесконечностей в квантовой электродинамике ===
После построения в конце [[1920-е|1920-х]] годов [[релятивистская квантовая механика|релятивистской квантовой механики]] и первых удачных вычислений в рамках этой теории были предприняты попытки провести расчёты и перенормировки таких параметров, как масса и заряд электрона. Однако они сразу же наткнулись на серьёзную трудность: согласно формулам квантовой теории поля и заряд, и масса электрона изменяются при взаимодействии с электромагнитным полем на ''бесконечную величину''.

В квантовой теории поля проблема расходимости менее выражена, чем в классической, поскольку в квантовой теории поля заряженная частица испытывает колебания вокруг среднего положения (так называемый [[Zitterbewegung]]) благодаря интерференции с виртуальными парами частица-античастица (то есть между состояниями с положительной и отрицательной энергией), вследствие чего заряд эффективно размывается по области, сравнимой по размерам с комптоновской длиной волны. Поэтому в квантовой теории электромагнитная масса расходится лишь как логарифм радиуса частицы.

Эта проблема стояла перед физиками около 20 лет, и только к концу [[1940-е|1940-х]] годов усилиями [[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнмана]], [[Швингер, Джулиан|Швингера]] и [[Томонага, Синъитиро|Томонаги]] удалось понять, что же было неправильным в подходе к перенормировкам. Они построили теорию, свободную от бесконечностей — [[квантовая электродинамика|квантовую электродинамику]] (КЭД), и расчёты в рамках этой теории были в дальнейшем подтверждены экспериментально.

=== Неперенормируемость ===
Учитывая огромный успех КЭД, многие теоретики в течение нескольких лет после 1949 года полагали, что КТП вскоре сможет обеспечить понимание всех микроскопических явлений, а не только взаимодействий между фотонами, электронами и позитронами. Вопреки этому оптимизму, КТП вступила в очередной период депрессии, который длился почти два десятилетия{{sfn|Weinberg|1977|p=30}}.

Первым препятствием оказалось ограниченная применимость процедуры перенормировки. В пертурбативных вычислениях в КЭД все бесконечные величины можно исключить путём переопределения небольшого (конечного) числа физических величин (а именно массы и заряда электрона). Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для небольшого класса теорий, называемых «перенормируемыми теориями», примером которых является КЭД. Однако большинство теорий, включая [[Четырёхфермионная теория слабого взаимодействия|теорию]] [[Слабое взаимодействие|слабого взаимодействия]] Ферми, «неперенормируемы». Любое пертурбативное вычисление в этих теориях за пределами первого порядка привело бы к бесконечностям, которые нельзя было бы избегать путём переопределения конечного числа физических параметров теории{{sfn|Weinberg|1977|p=30}}.

Вторая серьёзная проблема возникает из ограниченной применимости метода диаграмм Фейнмана, который основан на разложении в ряд в теории возмущений. Для сходимости рядов и для существования хороших приближений только в приближении низкого порядка, [[Константа взаимодействия|константа связи]], по которому происходит разложение, должна быть достаточно малым числом. Константа связи в КЭД — это [[постоянная тонкой структуры]] {{Math|''α'' ≈ 1/137}}, которая достаточно мала, чтобы в реалистичных расчётах учитывать только простейшие диаграммы Фейнмана низшего порядка. Напротив, константа связи при [[Сильное взаимодействие|сильном взаимодействии]] примерно равна единице, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка столь же важными, как и простые. Таким образом, не оказалось возможности получить надёжные количественные предсказания в задачах с сильным взаимодействием при использованием пертурбативных методов КТП{{sfn|Weinberg|1977|p=31}}.

Когда возникли эти трудности, многие теоретики начали отворачиваться от КТП. Одни сосредоточились на принципах [[Симметрия (физика)|симметрии]] [[Законы сохранения|и законах сохранения]], другие взяли старую теорию S-матрицы Уиллера и Гейзенберга. КТП использовалась эвристически как руководящий принцип, но не как основа для количественных расчётов{{sfn|Weinberg|1977|p=31}}.

Швингер, однако, пошёл другим путем. Более десяти лет он и его ученики были почти единственными учёными последовательно продвигающими теорию поля, но в 1966 году он нашёл способ обойти проблему бесконечностей с помощью нового метода, который он назвал ''теорией источников'', которая представляла собой феноменологическую теорию и не использовала полевые операторы{{sfn|Schwinger |2018|p=37}}<ref>{{Cite journal|author=Schwinger|first=Julian|title=Particles and Sources|journal=Phys. Rev.|date=1966|volume=152|page=1219 |doi=10.1103/PhysRev.152.1219}}</ref>. Развитие физики пионов, в которой новая точка зрения наиболее успешно применялась, убедило его в огромных преимуществах математической простоты и концептуальной ясности, которые даёт её использование{{sfn|Schwinger |2018|p=xi}}. В теории источников нет расхождений и перенормировок. Её можно рассматривать как вычислительный инструмент теории поля, но она носит более общий характер<ref>{{cite book |editor=C.R. Hagen; Guralnik, G.;  Mathur, V. A. |link=https://apps.dtic.mil/sti/citations/AD0680505|display-editors=etal |title=Proc of the 1967 Int. Conference on Particles and Fields |date=1967 |publisher=Interscience |location=NY |page=128}}</ref>. Используя теорию источников, Швингер смог вычислить аномальный магнитный момент электрона в 1947 году, но на этот раз без «отвлекающих замечаний» о бесконечных величинах<ref>{{cite book |last1=Mehra and Milton |title=Climbing the Mountain: The scientific biography of Julian Schwinger |url=https://archive.org/details/climbingmountain00mehr |date=2000 |publisher=Oxford University Press |page=[https://archive.org/details/climbingmountain00mehr/page/n478 467]|isbn=0198527454}}</ref>. Швингер также применил теорию источников к своей КТП теории гравитации и смог воспроизвести все четыре классических результата Эйнштейна: гравитационное красное смещение{{sfn|Schwinger |2018|p=82}}, отклонение и замедление света под действием силы тяжести{{sfn|Schwinger |2018|p=83}} и прецессию перигелия Меркурия{{sfn|Schwinger |2018|p=83—84}}. Пренебрежение физическим сообществом теории источников стало большим разочарованием для Швингера{{sfn|Schwinger |2018|p=xi}}:
{{Начало цитаты}}
Непонимание этих фактов другими было удручающим, но понятным.
{{оригинальный текст|en|The lack of appreciation of these facts by others was depressing, but understandable.}}
{{Конец цитаты}}

== Перенормировки вне физики элементарных частиц ==
Как это нередко бывает, концепция перенормировок, придуманная в физике элементарных частиц, оказалась необычайно плодотворной в других областях физики, в особенности в [[Физика конденсированного состояния|физике конденсированных сред]], где перенормировки имеют особенно наглядную интерпретацию. Более конкретно, перенормировки применяются при описании [[фазовый переход|фазовых переходов]], [[Эффект Кондо|эффекта Кондо]] и т. д. В случае [[фазовый переход|фазового перехода]] [[ферромагнетик]]-[[парамагнетик]] [[ренормгруппа]] естественным образом получается из [[Блочный гамильтониан|построения Каданова]] и [[термодинамической гипотезы подобия]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{ФЭ|том=3|статья=Перенормировки}}
* ''[[Фейнман, Ричард|Фейнман Р.]]'' [http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/ked.htm КЭД — странная теория света и вещества]. — М.: Наука, 1988. — 144 с.
* ''[[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбов Н. Н.]], [[Ширков, Дмитрий Васильевич|Ширков Д. В.]]'' [http://kolho3.tiera.ru/P_Physics/PQft_Quantum%20field%20theory/PQtb_QFT%20textbooks/Bogolyubov%20N.N.,%20Shirkov%20D.V.%20%20Vvedenie%20v%20teoriju%20kvantovannyh%20polej%20(4e%20izd.,%20Nauka,%201984)(ru)(K)(T)(604s).djvu Введение в теорию квантованных полей.]{{Недоступная ссылка|date=Март 2018 |bot=InternetArchiveBot }} — 4-е изд. — М.: Наука, 1984. — 600 с.
* {{Cite journal|author=Weinberg|first=Steven|authorlink=Вайнберг, Стивен|date=1977|title=The Search for Unity: Notes for a History of Quantum Field Theory|url=https://archive.org/details/sim_daedalus_fall-1977_106_4/page/17|journal=Daedalus|volume=106|issue=4|pages=17–35|ref=Weinberg}}
* {{cite book | last = Schwinger | first = Julian | title = Particles, sources, and fields | publisher = CRC Press| page=444 | volume =I|year = 2018| isbn = 9780738200538|ref= Schwinger }}

[[Категория:Квантовая теория поля]]